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1、2021年浙江省高考数学模拟试卷（6）（4 月份）一、单 选 题（本大题共10小题，共 40分）1.(4 分)已知集合 A=x|x|v2,B=x|x2-3 x/2D.12)5.（4 分）已知 4 是等差数列，4=11,S,为数列”的前”项和，且 S 5=S?,则邑的最大值为（）A.66 B.56 C.46 D.366.（4 分）在 AABC中，角 A,B,C 所对的边分别是q,b,c,则“3=出一”sin B sin C+sin A是“A48C为等腰三角形”的（）A.充分不必要条件 B,必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.（4 分）已知随机变量4 满 足 PC=0）=l-p
2、,P q =l）=p,且 0 p l,令随机变量=ig-EC)|,贝I J()A.E）E您）C.。6 0）,K，E分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的cC b下顶点，直线A F,交椭圆于另一点P,若I P K H P A I，则椭圆的离心率为（）A 召 R 1 0&D 13 3 2 21 0.（4分）如图，三棱锥V-A8 C的侧棱长都相等，底面4 8 c 与侧面V A C 都是以AC为斜边的等腰直角三角形，E为线段AC的中点，F 为直线他 上 的 动点，若平面K E F 与平面V B C 所成锐二面角的平面角为J ,则c os。的最大值是（）A石 R 2 0小 D 3 3 3 3二、填 空 题（
3、本大题共7 小题，共 36分，单空题每题4 分，多空题每题6 分）1 1.（4分）新型冠状病毒疫情期间，5 位党员需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那么总共有一种不同安排方法.（用数字作答）1 2.（4分）已知 eR,若函数/耳?一 在区间x e（l,2）上存在最小值，则。的取值范围是.1 3.（4分）已知A A 8 c 三边长分别为3,M,岳,P是平面A8 C内任意一点，则P A L E B +P BITC+P CiP A 的最小值是14.(6 分)我国古代数学名著 算法统宗中有如下描述：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十
4、一.”意思是：一座7 层塔共挂了 381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍.请问塔顶层有一盏灯，塔底层有一盏灯.15.(6 分)已知复数z满足2(1 +，)=-2+，为虚数单位)，则 z 的 虚 部 是,|z|=.16(6 分)已 知 多 项 式(x2+l)(x-I)5=a0+a,(x+2)+a,(%+2)2+%(x+2)，=b0+bx+b2x2+.+bJx1,则%+4+%+.+%=,b5.17.(6 分)已知圆。:犬+丁=4,过点P(g,0)作 两 条 互 相 垂 直 的 直 线 6,其中4 交该圆于A,3 两点，4 交该圆于C，。两点，则|A B|的 最 小 值 是,|AB
5、|+|CQ|的最大值是.四、解答题(本大题共5 小题，共 74分)18.已知函数 f(x)=2sinx-cos(x-g)+cosx.(I)求，(幻的最小正周期;(I I)求 f(x)在X0,生 上的最大值，并求此时的X值.219.如图，已知三棱锥P-A 8 C 中，平 面 PAC J.平 面 ABC,AB=AC=BC=PA=2,ZPAC=120,PM=3MC.(I)证明：I3M PC；(I D 求直线AB和平面PBC所成角的正弦值.20.已知数列 “满足：q=l,(2+1)2=(2/?-1)2 an+l(?7 e M).正项数列%满足：对每个 w N*,=%，且 c2n_,c2l,c?“+i
6、成等比数列.(I)求数列%,c,的通项公式;(II)当”.2 时，证明：-一一 l+l+l+.+-L 四 一 2?若存在，求。的取值范围；若不存在，请说明理由.X j-x2 2注：仇3 1 0.2021年浙江省高考数学模拟试卷（6）（4 月份）)(-2,3)y=2x参考答案与试题解析一、单 选 题（本大题共10小题，共40分）1.（4 分）已知集合4=“集|2,B=xx2-3 x 0,则 限|8=（A.（0,2）B.（0,3）C.（2,3）D.【解答】解：.,集合A=x|x|v2=尤|2 x 2,B=x|x2-3x 0=x 10 x 0）,a Zr可得渐近线方程丫=2 了，a2双曲线f 一匕=
7、1的a=l,b=2,4可得渐近线方程为y=2x.故选：D.y.O3.（4 分）若实数x,y 满足约束条件r +2 y-2 0，贝 U z=|x-2 y|的最大值是（）x-y.OA.-B.C.2 D.s/535j.O【解答】解：作出实数X,y 满足约束条件x+2 y-2,0 对应的平面区域如图：由 =x-2 yx-y.0得 y=平移直线 y=,由图象可知当直线y=经过点B（2,0）时，直线y=！x-4”的截距最小，此时“最大：212 2由1+2），1 2=,解 得 2,2）,直线经过4时，“取得最小值：-2,x-y =O 3 3 3所以z=|x-2y|的最大值：2.故选：C.4.（4分）某几何体
8、的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）侑视圉A.2B.4C.4夜 D.1 2【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为三棱柱A B C-O E 尸切去一个三棱锥体C-D E F .如图所示:D所以：V=l x 2 x 2 x 3-x l x 2 x 2 x 3 =4.2 3 2故选：B.5.（4分）已知&是等差数列，q=U,S”为数列 q 的前项和，且 S$=S 7，则S 的最大值为（）A.6 6 B.5 6 C.4 6 D.36【解答】解：因为 4 是等差数列，4=1 1,且$5=5 7，S7-55=0,所以+%=0，所以 2 q+lld =0 即 4 =一 2,因为4 =1 1 0,/
9、.a6 0,%0,贝 D 5 的最大值为 56=6 x ll+1 5 x（-2）=36故选：D.6.（4分）在 A 4 8 c 中，角 A,B,C 所对的边分别是a,b,c,则“一=s in B s in C +s in A是“A A 8 C 为等腰三角形”的（）A.充分不必要条件 B,必要不充分条件C.充要条件 D,既不充分也不必要条件【解答】解：由 3=处，根据正弦定理可得：3 =*，化为：（a-hXa+h+c）=（）,s in B s in C +s in A h c+a解得a-b.为等腰三角形，反之不成立，可能a=c,或6=.=”是“AABC为等腰三角形”的充分不必要条件.sin B
10、sin C+sin A故选：A.7.(4 分)已知随机变量J 满 足 PC=O)=1-，P(g=l)=，且 O v p l,令随机变量=|J E C)|,则()A.E()E S)B.C.D S)D(G【解答】解：依题意，随机变量J 服从两点分布，故 EC)=，D(G=p(l-p),又=|一p 一 2p(l-p)f=p(l p)l-4 p(l-p),:.E(JJ)-E(4)=2p(l-p)-p=p-2 pl=p(l-2 p),可能为正也可能为负，即 E()和 E C)大小关系不确定；0 p 1 ,D-D =p(l-p)l-4 p(l-p)-(p-p2)=Y/(1 _ p)2 0,-D(rj)D(
11、J).故选：C.8.(4 分)已 知 函 数/(了)=竺*(4/0)的部分图象如图所示，则()A.tz 0 C.b-c 0 D.3a-2b+c 0,故 A错误；g(0)=-c 0,故。错误；g(1)=a-c 0,故 5 正确；g(-l)=3a+2 b-c v 0,则 3-2b+c 0,故 0 错误.故选：B.9.(4 分)已知椭圆rr2 +=v2=l(a b 0),月，鸟分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的a b下顶点，直线交椭圆于另一点P,若|产月|二|如|,则椭圆的离心率为()A.3 B.1 C.m D.13 3 2 22 2【解答】解：椭圆二+与=l(a b 0),K，居分别是椭圆的左、右
12、焦点，A是椭圆的下a b顶点，直 线 交 椭 圆 于 另 一 点尸，3可得|A K I=|A g|=a,|P/+|P|=2 a,若|尸大|=|川，所以|珠|=/。，|。6|二；。，(-a)2+(-a)2-a2(-a)2+(-a)2-4c2COSZAPQ 代,可得=3 e2 x-a x-a 2 x-a x-a2 2 2 2所以椭圆的离心率为：与.1 0.(4 分)如 图，三棱锥V-ABC 的侧棱长都相等，底面A 8 C 与侧面M A C 都是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E 为线段4c的中点，尸为直线至上的动点，若平面V E F 与平面V 8 C 所成锐二面角的平面角为。，贝 c o s。的最
13、大值是()A.B B.2 C.g D.如3 3 3 3【解答】解：由底面A 8 C 与侧面V A C 都是以AC 为斜边的等腰直角三角形，得 Rt A A B C n Rt A A VC,VA=VC=HA=BC.设VA =VC=8 A =B C =2 ,由E为线段AC的中点，可得V E=E 3 =0.VE2+BE2=VB-,可得 VE_LE8.以E为坐标原点，分别以EC,E V所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.则 C（0,应，0）,8（点，0,0）,V（0,0,7 2）,设 F（x,x-2,0）,V C =(0,V2,-V2),V =(V2,0,-7 2),V =(0,0,7 2),丙
14、1=(x,x-后,一夜).设平面V B C的一个法向量为沅=(x,y,z),J 河 园 =V 5 y-拒z =0 3，由 1 _ ，取x =l ,得沅=(1,1,1)；tnlVB=V2 x-V2 z =0设平面忆项7的一个法向量为a=（5,加4）,由，”号=低=。，取x=l,得万=(也n W F=x L k,+(x-V2)j,-V2 z,=0 x平面V E F与平面V B C所成锐二面角的平面角为。，则 c o s蚱RL =/X =/&73 1 2 _述 +2 46x2-6贬X+6V x2 x令/(幻=6-6岳 +6 =6(-昌2+3.当x =时=3 c o s 6 的最大值为72 767 3
15、=T故选：D.二、填 空 题（本大题共7小题，共3 6分，单空题每题4分，多空题每题6分）11.（4分）新型冠状病毒疫情期间，5位党员需要被安排到3个不同的路口执勤，每个路口至少安排一人，其中党员甲和乙不能被安排到同一个路口，那 么 总 共 有1 1 4种不同安排方法.(用数字作答)【解答】解：分为两类：第一类有一路口分3人时，用间接法先随意分然后减去甲乙在一起的分法应有=42种；有 两 路 口 分2人 时，用 间 接 法 先 随 意 分 然 后 减 去 甲 乙 在 一 起 的 分 法 应 有崇r2C2父-C；C；A；=72 种,则由加法原理共有42+72=114种.故答案为：114.12.(
16、4分)已 知a e R,若函数在区间x e(l,2)上存在最小值，则a的取值2 e范围是 2 2 2【解答】解：当。0时，y=-色 在(1,2)上单调递增,2 ex-rzB e a e a“J 衍-y 0，42 e-,即/(x)加=0,得+”；e a 2 2-012 e当4=0时,当。0时,f(x)=g,在(1,2)上单调递增，不存在最小值，不合题意;/、e*a ex af(x)H-=-2/2,.X e(1,2),a又(当且仅当C,即，时取等号),ex2 e22,若函数f(x)史-色|在区间x e(l,2)上存在最小值,2 e则 e J-2a e2,解得一 a 则z的虚部是3,Z I=J =,
17、2 V4 4 2故答案是3,典.2 216(6 分)已 知 多项式(x2+1)(%I)，=%+4(X+2)+/(%+2)2+%+2)7=4)+4%+4工2 +.+&X，贝！J%+q+电+.+%=_-6 4 _,h5=,【解答】解：*.*令(%2+1)(X 1)5=4 +4(%+2)+。2(元 +2)2+.+%(%+2)7；令 x=-1 可得 2 x(2)5=4 +q+%+.+%;即 4 +4 +4+.+%64；,/(X2+1)(%1)5=b()+3 +如2+,仇为r的系数；含/的项为：d 4一1)2+1X=1 lx5；故=1 1 ；故答案为：-6 4,11.17.(6分)已知圆。:/+9=4,
18、过点尸(右,0)作 两 条 互 相 垂 直 的 直 线4,其中4交该圆于A,8两点，4交该圆于C,D 两 点,则于31的 最 小 值 是2,|ABI+I C 0的最大值是.【解答】解：若|A 8|长度最小，则圆心到直线4距离 最长，所以直线4,0尸，4Hm=6，所以I ABI,而=2 2?-(谷)2=2 当直线4斜率不存在时，由上可知|A 8|=2,|C|=4,此时|4 8|+|C Q|=6；当直线（斜率为0时，可得：|A B|=4,|8|=2,此时|A 8|+|C ）|=6；当直线4斜率存在时，设直线4方程为：），=红 一6）,此时直线/,方程为：=（犬-6）,k圆 心。到 直 线 43&2
19、+1门 明=2广=27=2府卬的 距 离此时|A B|+1 C|=2(7 1+7 +5/4 7)=2小1 +/+4 +2+、)(4万=2 V5 +2 P?+3 r +4 ,r e （0,3）,易知当/=?时，|A B|+|C ）|的最大值为2函.2故答案分别为：2；2函.四、解答题(本大题共5小题，共7 4分)jr1 8.已知函数/(%)=2 sinx-co s(x-)+co sx.(I)求f(x)的最小正周期；(I I)求了(X)在 上 的 最 大 值，并求此时的X值.【解答】解：(I )6 F(x)=2 sinx-co s(1-g +co sx =2 sinx(|co sx +#sinx)
20、,=3 sin xcosx+/3sin2x=sin 2x-co s 2x+,2 2 2=6 sin(2 x -)+，6 2：.T=7T.(I I)当工 卜,工，贝吃工一工 一工，包,L 2 j 6 L 6 6 J-7T Jrli ls i n(2x.所以0效贴sin(2 x 工)+且 .即0额(x)所以x)的 最 大 值 为 孚.当即A。时，函数/(x)取 得 最 大 值 半.1 9.如图，已知三棱锥P-A B C 中，平 面 PACJL平 面 ABC,AB=AC=BC=PA=2,ZPAC=120,PM=3MC.(I)证明：I3M PC;(I I)求直线AB和平面PBC所成角的正弦值.【解答】
21、解法一：(1)取 AC 的中点 E,PC 的中点 F,连 A F,M E,BE.v PA=AC,AF L PC,X v PM=3MC,是 CF 的中点，AF/ME,ME Y PC,又：AB=BC,BEV AC,又.面尸47_1_面 48(?且二平面交于AC,.面 PAC,BE 1 PC.又；M EnBE=E,，PC_L 面 MBE,PC .(2)由知尸(7_1_面 加 的，.面MBK_L面 PBC且交于M3,.,.过E 作垂足为,E H 即是E 到面PBC的距离,BEX.M E,MB2 V39KF2又E 是 AC的中点，r.A到面PRC的距离hA=2EH=啜 一，,与 面 的 所 成角的正弦值
22、为如寥之鲁解法二：(1)取 AC 的中点 E,连 腔、EB,：AB=BC=2,BE 1 AC,CE=,又面 PAC 面ABC且交于AC.p面尸AC,BE 1 PC,v PA=AC=2,ZPAC=1 2 0,又.丽=3祝，I/0CM=-P C =t ZPCA=ZAPC=30,4 2出,：cos Z.PCA=25+C M 2-M E 22CEJCMME=,2CM 1 ME,PC _L 面 M BE,PC LUM.(2)过产作PO_LCA交其延长线于。，.面 PAC_L 面 ABC 且交于 AC,PO J.面 A B C,连 8。可 得 尸=PO?+80?,又.AC=A P=2,ZPAC=120,:
23、.PO=,PC=2百，AO=1,又：OB=ylBE2+OE2=/j ,PB=4PO1+BO1=710,cos Z.PBC=PB?+BC?-PC?2BCXPB25/10.sin NPBC=,2V101 J39SZ Xr OBCC =-2 BCEPBSin 4PBe=2,令 A 到面PBC的距离为h0,则 VA_PBC=VP_ABCJ J 、&PBC 7 59，45与面尸8c所 成 角 的 正 弦 值 为 右 二-二 叵.AB 2 屈 13解法三：(1)取A C的中点0,建立如图所示的坐标系，由已知可得 0(0,0,0),C(l,0,0),8(0,G,o),4-1,0,0)P(2,0,百)，4.而
24、 =(；,-百，当，卮=(3,0,一回,B M 1 P C ,(2)由(1)可 知 费=(1,6,0),丽=(2,百,-百),配=(1,-7 5,0),设面P B C的法向量为冗=(x,y,z),则 nLP B=2 x+V 5 y-x/3z=0n_BC=x-Gy =0令 y=l,则 工=百，z =3,n=(G,1,3)，r.A B与面尸8c所成角的正弦值为|c o s 荏，万|=丝?型=超2=我.ABn 2 I _ V13 13B2 0.已知数列4满足：a,=l,(2n+l)2a=(2n-l)2an+1(n e A T).正项数列c,J 满足：对每个 e N，c2 n.=a,且 J”,c2 n
25、,q.+1成等比数列.（I）求数列 q ,%的通项公式;(I I)当”.2 时，证明：-+.3 九 +1 C C2 Q7-4+l)=2 _ i(是偶数),综上可得为=（2-1）2,q J 为奇数/I/为偶数(II)证明：先证L+-L+-L+2.：G c3 c 4当 =2 时，+=1 +=刎.+（力T+，士-士”和+白 呆 士MiiE+.+c c2 c3 cn 3 +1=2 时，左边=1 +=3,右边=&,成立;33.3时1 1 1-4+一+G c2 C3+1+-+1 +-+-+-+-ck 3 3 4 n 3 3x4 4x5 x(+l)g,后山 5 1111 1 7综上，所以-,，一+.+雪-2
26、?若存在，求。的取值范围；若不存在，请说明理由.x-x2 2注：历3 y l.10.【解答】解：(I)/(X)的定义域是(0,”)，1(X)=(21)3-2),X 若 4,0,则 a x-2 0,则/(x)在(0弓)递 增,在%，+8),(词若0 a ,则/a)在(o,2)递 增,在(2,3)递 减,在(3,+8)递增；3 a a 2 2(II)h(x)=f(x)+g(x)=ax2-4 x+6/nx+6,h(x)=2or-4+9=2*”+6，若 丫 =h(x)有 2 个极值点,X X则 加-2 x +3=0有2个解斗，x2,23则 看+马=,司马=二，且=4-120,x,0,x7 0,a a故0 1 ,则 X|一=(耳-x2)X+X-=(xt-x2)(+)x|=(r-),x24x2 X)2 2 tah(xj-h(x2)_ 4tlnt.-=-Z+-2-，%(-X2 f 1土力(不)一力(X)3勿3右-z,X-/2则 半 蚪，即8“一3(*_1)历30,t2-1 2令加=8加3(r 1)/3,m(3)=0,m(1)=0,机 (0=8/加+8 6 3,m(1)=8-6/30,M (3)=8-10/?3 0,mr(3)迎2 _ 2,xx-x2 2M 4 1 1故FT)即实数的范围是，1).