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1、绝密 启用前 数 学(理工农医类)第卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数 a 的值为 A.1 B.2 C.1 或 2 D.-1(2)设集合 A=x|1xx0,B=x|0 x3,那么“mA”是“mB”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(3)设an是公比为正数的等比数列，若 n1=7,a5=16,则数列an前 7 项的和为 A.63 B.64 C.127 D.128(4)函数 f(x)
2、=x3+sinx+1(xR),若 f(a)=2,则 f(-a)的值为 A.3 B.0 C.-1 D.-2(5)某一批花生种子，如果每 1 粒发牙的概率为45,那么播下 4 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是 A.16625 B.96625 C.192625 D.256625(6)如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则 BC1与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为 A.63 B.2 65 C.155 D.105(7)某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为 A.14 B.24 C.28
3、 D.48(8)若实数 x、y 满足 10,xy 则yx的取值范围是 A.(0,1)B.0,1 C.(1,+)D.1,(9)函数 f(x)=cosx(x)(xR)的图象按向量(m,0)平移后，得到函数 y=-f(x)的图象，则 m的值可以为 A.2 B.C.D.2 (10)在ABC中，角 ABC的对边分别为 a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=3ac,则角 B的值为 A.6 B.3 C.6或56 D.3或23(11)又曲线22221xyab（a0,b0）的两个焦点为 F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3)B.1,3 C.(3,
4、+)D.3,(12)已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是 第卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在答题卡的相应位置.（13）若(x-2)5=a3x5+a5x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则 a1+a2+a3+a4+a5=_.(用数字作答)x=1+cos(14)若直线 3x+4y+m=0 与圆 y=-2+sin （为参数）没有公共点，则实数 m的取值范围是 .（15）若三棱锥的三个侧圆两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .（16）设 P是一个数集，且至少
5、含有两个数，若对任意 a、bR，都有 a+b、a-b，ab、ab P（除数 b0），则称 P是一个数域.例如有理数集 Q是数域；数集2,Faba bQ也是数域.有下列命题：整数集是数域；若有理数集QM，则数集 M必为数域；数域必为无限集；存在无穷多个数域.其中正确的命题的序号是 .（把你认为正确的命题的序号填填上）三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分 12 分）已知向量 m=(sinA,cosA),n=(3,1)，m n1，且 A为锐角.（）求角 A的大小；（）求函数()cos 24cossin()f xxAx xR的值域.
6、（18）（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，则面 PAD 底面 ABCD，侧棱 PA=PD 2，底面 ABCD为直角梯形，其中 BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O为 AD中点.（）求证：PO平面 ABCD；（）求异面直线 PD与 CD所成角的大小；（）线段 AD上是否存在点 Q，使得它到平面 PCD的距离为32？若存在，求出AQQD 的值；若不存在，请说明理由.（19）（本小题满分12 分）已知函数321()23f xxx.（）设an 是正数组成的数列，前 n 项和为 Sn，其中 a1=3.若点211(,2)nnnaaa(nN*)在函数 y=f(x)的图象上
7、，求证：点（n,Sn）也在 y=f(x)的图象上；（）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值.（20）（本小题满分12 分）某项考试按科目A、科目 B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科 目 B 的考试.已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证 书.现某人参加这项考试，科目 A 每次考试成绩合格的概率均为23，科目 B 每次考试 成绩合格的概率均为12.假设各次考试成绩合格与否均互不影响.（）求他不需要补考就可获得证书的概率；（）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的数学期望 E.（21）（本小题满分 12 分）如图、椭圆
8、22221(0)xyabab的一个焦点是 F（1，0），O为坐标原点.（）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（）设过点 F 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点.若直线 l 绕点 F 任意转动，值有222OAOBAB,求 a 的取值范围.（22）（本小题满分 14 分）已知函数 f(x)=ln(1+x)-x1 （）求 f(x)的单调区间；（）记 f(x)在区间 0,（nN*）上的最小值为 bx 令 an=ln(1+n)-bx.（）如果对一切 n，不等式22nnncaaa恒成立，求实数 c 的取值范围；（）求证：131321122424221 1.nnna aa aa
9、aaaa aa aa 数学试题（理工农医类）参考答案 一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算.每小题 5 分，满分 60 分.（1）B （2）A （3）C （4）B （5）B （6）D（7）A （8）C （9）A （10）D （11）B （12）D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分，满分 16 分.（13）31 （14）(,0)(10,)（15）9（16）三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力.满分 1
10、2 分.解：（）由题意得3sincos1,m nAA 由 A为锐角得,.663AA （）由（）知1cos,2A 所以2213()cos 22sin1 2sin2sin2(sin).22f xxxxsx 因为 xR，所以 sin1,1x，因此，当1sin2x 时，f(x)有最大值32.当 sinx=-1 时，f(x)有最小值-3，所以所求函数 f(x)的值域是33,2.（18）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分 12 分.解法一：（）证明：在PAD中 PA=PD,O为 AD中点，所以 PO AD,又侧面 P
11、AD 底面 ABCD,平面PAD 平面 ABCD=AD,PO 平面 PAD，所以 PO平面 ABCD.（）连结 BO，在直角梯形 ABCD中、BCAD，AD=2AB=2BC,有 OD BC且 OD=BC,所以四边形 OBCD是平行四边形，所以 OB DC.由（）知，POOB,PBO为锐角，所以PBO是异面直线 PB与 CD所成的角.因为 AD=2AB=2BC=2,在 RtAOB中，AB=1,AO=1,所以 OB 2，在 RtPOA中，因为 AP 2，AO 1，所以 OP 1，在 RtPBO中，tan PBO 122,arctan.222PGPBOBC 所以异面直线 PB与 CD所成的角是2ar
12、ctan2.（）假设存在点 Q，使得它到平面 PCD的距离为32.设 QD x，则12DQCSx，由（）得 CD=OB=2，在 RtPOC中，222,PCOCOP 所以 PC=CD=DP,233(2),42PCDS 由 Vp-DQC=VQ-PCD,得 2，所以存在点 Q满足题意，此时13AQQD.解法二：()同解法一.()以 O为坐标原点，OC OD OP、的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),所以110111CDPB（，），（，）.所以异面直线PB
13、与 CD所成的角是arccos63，()假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为32，由()知(1,0,1),(1,1,0).CPCD 设平面 PCD的法向量为 n=(x0,y0,z0).则0,0,n CPn CD所以00000,0,xzxy 即000 xyz，取 x0=1,得平面 PCD的一个法向量为 n=(1,1,1).设(0,0)(11),(1,0),QyyCQy 由32CQ nn，得13,23y解 y=-12或 y=52(舍去)，此时13,22AQQD，所以存在点 Q满足题意，此时13AQQD.(19)本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法
14、，考查分析问题和解决问题的能力.满分 12 分.()证明：因为321()2,3f xxx所以f(x)=x2+2x,由点211(,2)(N)nnnaaan在函数 y=f(x)的图象上,又0(N),nan所以11()(2)0,nnnnaaaa 所以2(1)32=22nn nSnnn,又因为f(n)=n2+2n,所以()nSfn,故点(,)nn S也在函数 y=f(x)的图象上.()解:2()2(2)fxxxx x,由()0,fx 得02xx 或.当 x 变化时,()fx()f x的变化情况如下表:注意到(1)12aa ,从而 当212,21,()(2)3aaaf xf 即时的极大值为,此时()f
15、x无极小值；当10,01,()aaaf x 即时的极小值为(0)2f,此时()f x无极大值；当2101,()aaaf x 或或时既无极大值又无极小值.(20)本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题/解愉问题的能力.满分 12 分.解:设“科目 A第一次考试合格”为事件 A，“科目 A补考合格”为事件 A2；“科目 B第一次考试合格”为事件 B，“科目 B补考合格”为事件 B.x(-,-2)-2(-2,0)0(0,+)f(x)+0-0+f(x)极大值 极小值 ()不需要补考就获得证书的事件为 A1B1,注意到 A1与 B1相互独立，则1111211()()()323P
16、 A BP AP B .答：该考生不需要补考就获得证书的概率为13.()由已知得，2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得 故4418234.9993E 答：该考生参加考试次数的数学期望为83.(21)本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分 12 分.解法一：()设 M，N为短轴的两个三等分点，因为MNF 为正三角形，所以32OFMN,即 13 2,3.23bb解得 2214,ab 因此，椭圆方程为221.43xy ()设1122(,),(,).A x yB xy ()当直线 AB 与 x 轴重合时，()当直线
17、 AB不与 x 轴重合时，设直线 AB的方程为：22221,1,xyxmyab代入 整理得22222222()20,ab myb myba b 所以222212122222222,b mba byyy yab mab m 因为恒有222OAOBAB，所以AOB恒为钝角.即11221212(,)(,)0OA OBx yxyx xy y恒成立.又 a2+b2m20,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2 a2-a2b2+b2 对 mR恒成立.当 mR时，a2b2m2最小值为 0，所以 a2-a2b2+b20.a2a2b2-b2,a20,b0,所以 a0,解得 a152或 a152,综合（i）(i
18、i)，a 的取值范围为（152，+）.解法二：（）同解法一，（）解：（i）当直线 l 垂直于 x 轴时，x=1 代入22222221(1)1,Ayb ayaba=1.因为恒有|OA|2+|OB|2|AB|2,2(1+yA2)1，即21aa1,解得 a152或 a152.（ii）当直线 l 不垂直于 x 轴时，设 A（x1,y1）,B（x2,y2）.设直线 AB的方程为 y=k(x-1)代入22221,xyab 得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+a2 k2-a2 b2=0,故 x1+x2=222222222222222,.a ka ka bx xba kba k 因为恒有|OA|2+|OB
19、|2|AB|2,所以 x21+y21+x22+y22(x2-x1)2+(y2-y1)2,得 x1x2+y1y20恒成立.x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1-1)(x2-1)=(1+k2)x1x2-k2(x1+x2)+k2=(1+k2)2222222222222222222222222()a ka ba kaa bb ka bkkba kba kba k.由题意得（a2-a2 b2+b2）k2-a2 b20时，不合题意；当 a2-a2 b2+b2=0时，a=152;当 a2-a2 b2+b20时，a2-a2(a2-1)+(a2-1)0,解得 a2352或 a2352（舍去），a152，因此
20、 a152.综合（i）（ii），a 的取值范围为（152，+）.（22）本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分 14 分.解法一：（I）因为 f(x)=ln(1+x)-x，所以函数定义域为（-1,+）,且 f(x)=11x-1=1xx.由 f(x)0 得-1x0，f(x)的单调递增区间为（-1，0）；由 f(x)0，f(x)的单调递增区间为（0，+）.(II)因为 f(x)在0,n 上是减函数，所以 bn=f(n)=ln(1+n)-n,则 an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n.(
21、i)222()2(2)22nnnaaannnnnn 221.22nnn 又 lim22(2)lim12112xnnnn,因此 c1，即实数 c 的取值范围是（-，1）.（II）由（i）知12121.21nnn 因为1 3 5(21)2 4 6(2)nn 2=32221 3 3 5 5 7(21)(21)11,246(2)2121nnnnn 所以1 3 5(21)12 4 6(2)21nnn2121nn(nN*),则11 31 3 5(21)22 42 4 6(2)nn 21 1(nan N*）解法二：（）同解法一.（）因为 f(x)在 0,n上是减函数，所以()ln(1),nbf nnn 则l
22、n(1)ln(1)ln(1).nnanbnnnn （i）因为22nnncaaa对 nN*恒成立.所以22cnnn 对 nN*恒成立.则222cnnn 对 nN*恒成立.设2()22,g nnnn n N*，则 cg(n)对 nN*恒成立.考虑2()22,1,.g xxxx x 因为1222111()1(2)?(22)11212xxg xxxxxxx 0，所以()1,g x在内是减函数；则当 nN*时，g(n)随 n 的增大而减小，又因为224224lim()lim(22)limlim222211xxxxnng nnnnnnnnn 1.所以对一切*N,()1.ng n因此 c1,即实数 c 的取值范围是(-，1.()由()知12121.21nnn 下面用数学归纳法证明不等式1 3 5(21)1(N).2 4 6(2)21nnnn 当 n=1时，左边12，右边13，左边右边.不等式成立.假设当n=k时,不等式成立.即1 3 5(21)1.2 4 6(2)21kkn 当 n=k+1时，=,1)1(2132132148243824kkkkkkk 即 nk1 时，不等式成立 综合、得，不等式*)N(121)2(642)12(531nnnn成立.所以1212)2(642)12(531nnnn 即*)N(1212421231423121naaaaaaaaaaaaannn.