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1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷 数学（理科）本试题卷分第卷和第卷两部分。全卷共 4 页，第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页。满分 150 分，考试时间 120 分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。第卷（共 50 分）注意事项：1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。参考公式：如果事件 A、B互斥，那么 P（A+B）=P（A）+（B）如果事件 A、B相互独立，那么 P（AB）=P（
2、A）（B）如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p那么n次独立重复试验中恰好发生 k次的概率：球的表面积公式 S=42R 其中R表示球的半径 求的体积公式V=334R 其中R表示球的半径一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知a是实数，iia1是春虚数，则a=（A）1 （B）-1 （C）2 （D）-2（2）已知 U=R，A=0|xx,B=1|xx,则（AACBBCAuu （A）（B）0|（C）1|（D）10|或（3）已知a，b 都是实数，那么“22ba”是“ab”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条
3、件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（4）在)5)(4)(3)(2)(1(xxxxx的展开式中，含4x的项的系数是 （A）-15 （B）85 （C）-120 （D）274（5）在同一平面直角坐标系中，函数)20)(232cos(，xxy的图象和直线21y的交点个数是（A）0 （B）1 （C）2 （D）4（6）已知na是等比数列，41252aa，则13221nnaaaaaa=（A）16（n 41）（B）16（n 21）（C）332（n 41）（D）332（n 21）（7）若双曲线12222byax的两个焦点到一条准线的距离之比为 3：2,则双曲线的离心率是 （A）3 （B）5 （C）
4、3 （D）5（8）若,5sin2cosaa则atan=（A）21 （B）2 （C）21 （D）2（9）已知a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足0)()(cbca,则c的最大值是 （A）1 （B）2 （C）2 （D）22（10）如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，若点 P在平面a内运动，使得ABP的面积为定值，则动点 P的轨迹是（A）圆 （B）椭圆 （C）一条直线 （D）两条平行直线2008 年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷 数学（理科）第卷（共 100 分）注意事项：1黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上，不能答在试题卷上。2在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔，确定后必
5、须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑。二填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分。（11）已知a0，若平面内三点 A（1，-a），B（2，2a），C（3，3a）共线，则a=_。（12）已知21FF、为椭圆192522yx的两个焦点，过1F的直线交椭圆于 A、B两点 若1222BFAF，则AB=_。（13）在ABC中，角 A、B、C所对的边分别为a、b、c，若CaAcbc o sc o s3，则Acos_。（14）如图，已知球 O点面上四点 A、B、C、D，DA平面 ABC，ABBC，DA=AB=BC=3，则球 O点体积等于_。（15）已知 t 为常数，函数txxy22在区间0，3
6、上的最大值为 2，则t=_。（16）用 1，2，3，4，5，6 组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且 1 和 2 相邻，这样的六位数的个数是_（用数字作答)。（17）若0,0 ba，且当1,0,0yxyx时，恒有1 byax，则以a,b 为坐标点 P（a，b）所形成的平面区域的面积等于_。三解答题：本大题共 5 小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（18）（本题 14 分）如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC所在平面互相垂直，BE/CF，BCF=CEF=90,AD=3,EF=2。（）求证：AE/平面 DCF；（）当 AB的长为何值时,二面角
7、 A-EF-C 的大小为60？（19）（本题 14 分）一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。已知从袋中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率是52；从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是97。（）若袋中共有 10 个球，（i）求白球的个数；（ii）从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为,求随机变量的数学期望E。（）求证：从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的概率不大于107。并指出袋中哪种颜色的球个数最少。（20）（本题15 分）已知曲线C是到点P（83,21）和到直线85y距离相等的点的轨迹。是过点 Q（-1，0）的直线，M是 C上（不在上）的动点；A、B
8、在上，xMBMA,轴（如图）。（）求曲线 C的方程；（）求出直线的方程，使得QAQB2为常数。（21）（本题 15 分）已知a是实数，函数)()(axxx。（）求函数)(x的单调区间；（）设)(ag为)(x在区间2,0上的最小值。（i）写出)(ag的表达式；（ii）求a的取值范围，使得2)(6ag。（22）（本题 14 分）已知数列na，0na，01a，)(12121Nnaaannn记nnaaaS21)1()1)(1(1)1)(1(11121211nnaaaaaaT 求证：当Nn时，（）1nnaa；（）2nSn；（）3nT。2008 年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷 数学（理科）参考答案
9、一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题 5 分，满分 50 分 1A 2D 3D 4A 5C 6C 7D 8B 9C 10B 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题 4 分，满分 28 分 1112 128 1333 14 92 15 1 1640 171 三、解答题 18本题主要考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力满分 14 分 方法一：（）证明：过点E作EGCF交CF于G，连结DG，可得四边形BCGE为矩形，又ABCD为矩形，所以ADEG，从而四边形ADGE为平行四边形，故AEDG 因为AE 平面DCF，DG 平面DCF，所以AE
10、平面DCF（）解：过点B作BHEF交FE的延长线于H，连结AH 由平面ABCD 平面BEFC，ABBC，得 AB 平面BEFC，从而AHEF 所以AHB为二面角AEFC的平面角 在RtEFG中，因为3EGAD，2EF，所以60CFE，1FG 又因为CEEF，所以4CF，从而3BECG 于是3 3sin2BHBEBEH 因为tanABBHAHB，所以当AB为92时，二面角AEFC的大小为60 方法二：如图，以点C为坐标原点，以CBCF，和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建D A B E F C H G D A B E F C y z x 立空间直角坐标系Cxyz 设ABaBEbCFc，则(0 0
11、0)C，(3 0)Aa，(3 0 0)B，(30)Eb，(00)Fc，（）证明：(0)AEba，(3 0 0)CB，(00)BEb，所以0CB CE，0CB BE，从而CBAE，CBBE，所以CB 平面ABE 因为CB 平面DCF，所以平面ABE平面DCF 故AE平面DCF（）解：因为(30)EFcb，(30)CEb，所以0EF CE，|2EF，从而 解得34bc，所以(3 3 0)E，(0 4 0)F，设(1)nyz，与平面AEF垂直，则0n AE，0n EF，解得3 3(13)na，又因为BA平面BEFC，(0 0)BAa，所以2|3 31|cos|2|427BA nan BABAnaa，
12、得到92a 所以当AB为92时，二面角AEFC的大小为60 19本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力满分14 分（）解：（i）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则2102107()19xCP AC，得到5x 故白球有 5 个（ii）随机变量的取值为 0，1，2，3，分布列是 0 1 2 3 的数学期望 155130123121212122E （）证明：设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意得25yn，所以2yn，21yn，故112yn 记“从袋中任意摸出
13、两个球，至少有 1 个黑球”为事件B，则 231755210 所以白球的个数比黑球多，白球个数多于25n，红球的个数少于5n 故袋中红球个数最少 20本题主要考查求曲线的轨迹方程、两条直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力满分 15 分（）解：设()N xy，为C上的点，则 2213|28NPxy ，N到直线58y 的距离为58y 由题设得22135288xyy 化简，得曲线C的方程为21()2yxx（）解法一：设22xxMx，直线:l ykxk，则()B xkxk，从而2|1|1|QBkx 在RtQMA中，因为 A B O Q y x l M 222|(1)14x
14、QMx，2222(1)2|1xxkMAk 所以222222(1)|(2)4(1)xQAQMMAkxk.2|1|2|2 1xkxQAk，222|2(1)112|QBkkxQAkxk 当2k 时，2|5 5|QBQA，从而所求直线l方程为220 xy 解法二：设22xxMx，直线:l ykxk，则()B xkxk，从而 2|1|1|QBkx 过Q(10)，垂直于l的直线11:(1)lyxk 因为|QAMH，所以2|1|2|2 1xkxQAk，222|2(1)112|QBkkxQAkxk 当2k 时，2|5 5|QBQA，从而所求直线l方程为220 xy 21本题主要考查函数的性质、求导、导数的应用
15、等基础知识，同时考查分类讨论思想以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力满分 15 分（）解：函数的定义域为0)，A B O Q y x l M H l1 3()22xaxafxxxx（0 x）若0a，则()0fx，()f x有单调递增区间0)，若0a，令()0fx，得3ax，当03ax 时，()0fx，当3ax 时，()0fx ()f x有单调递减区间03a，单调递增区间3a，（）解：（i）若0a，()f x在0 2，上单调递增，所以()(0)0g af 若06a，()f x在03a，上单调递减，在23a，上单调递增，所以2()333aaag af 若6a，()f x在0 2，上单调递减
16、，所以()(2)2(2)g afa 综上所述，002()06332(2)6aaag aaaa ，（ii）令6()2g a 若0a，无解 若06a，解得36a 若6a，解得623 2a 故a的取值范围为323 2a 22 本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力满分 14 分（）证明：用数学归纳法证明 当1n 时，因为2a是方程210 xx 的正根，所以12aa 假设当*()nk kN时，1kkaa，因为221kkaa222211(1)(1)kkkkaaaa 2121()(1)kkkkaaaa，所以12kkaa 即当1nk 时，1nnaa也成立 根据和，可知1nnaa对任何*nN都成立 （）证明：由22111kkkaaa，121kn，（2n），得22231()(1)nnaaaana 因为10a，所以21nnSna 由1nnaa及2211121nnnaaa 得1na，所以2nSn （）证明：由221112kkkkaaaa，得 所以23421(3)(1)(1)(1)2nnnaaaaaa，于是2222232211(3)(1)(1)(1)2()22nnnnnnaanaaaaa，故当3n时，2111 1322nnT ，又因为123TTT，所以3nT