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1、2008 年普通高等学校统一考试（宁夏卷）数学（理科）由潘老师录入 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、已知函数 y=2sin(x+)(0)在区间0，2 的图像如下：那么=（）A.1 B.2 C.1/2 D.1/3 2、已知复数1zi，则21zz（）A.2 B.2 C.2i D.2i 3、如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍，那么它的顶角的 余弦值为（）A.5/18 B.3/4 C.3/2 D.7/8 4、设等比数列na的公比2q，前 n 项和为nS，则42Sa（）A.2 B.4 C.152 D.172 5
2、、右面的程序框图，如果输入三个实数 a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）A.c x B.x c C.c b D.b c 6、已知1230aaa，则使得2(1)1ia x(1,2,3)i 都成立的x取值范围是（）A.（0，11a）B.（0，12a）C.（0，31a）D.（0，32a）7、0203sin702cos 10=（）A.12 B.22 C.2 D.32 8、平面向量a，b共线的充要条件是（）A.a，b方向相同 B.a，b两向量中至少有一个为零向量 C.R，ba D.存在不全为零的实数1，2，120ab 9、甲、乙、丙3 位志愿者安排在
3、周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（）是 否 开始 输入x=a b输出 x 结束 x=b x=c 否 是 A.20 种 B.30 种 C.40 种 D.60 种 10、由直线21x，x=2，曲线xy1及 x 轴所围图形的面积是（）A.415 B.417 C.2ln21 D.2ln2 11、已知点 P在抛物线 y2=4x 上，那么点 P到点 Q（2，1）的距离与点 P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A.（41，1）B.（41，1）C.（1，2）D.（1，2）12、某几何体的一条棱长为7，在
4、该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和 b 的线段，则 a+b的最大值为（）A.22 B.32 C.4 D.52 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。13、已知向量(0,1,1)a，(4,1,0)b，|29ab 且0，则=_ 14、过双曲线221916xy的右顶点为 A，右焦点为 F。过点 F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B，则AFB的面积为_ 15、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为 3，那么这个球的体积
5、为 _ 16、从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25 根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：由以上数据设计了如下茎叶图：甲 乙 3 1 27 7 5 5 0 28 4 5 4 2 29 2 5 8 7 3 3 1 30 4 6 7 9 4 0 31 2 3 5 5 6 8 8 8 5 5 3 32 0 2 2 4 7 9 7 4 1 33 1 3 6 7 34 3 2 35 6 根据以上茎叶图，对甲乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：_ 甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319
6、323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356 _ 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分。解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。17、（本小题满分12 分）已知数列na是一个等差数列，且21a，55a 。（1）求na的通项na；（2）求na前 n 项和nS的最大值。18、（本小题满分12分）如图，已知点P在正方体ABCD A1B1C1D1的对角线BD1上，PDA
7、=60。（1）求 DP与 CC1所成角的大小；（2）求 DP与平面 AA1D1D所成角的大小。19、（本小题满分12 分）A、B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和 X2。根据市场分析，X1和 X2的分布列分别为 X1 5%10%X2 2%8%12%P 0.8 0.2 P 0.2 0.5 0.3（1）在 A、B两个项目上各投资 100 万元，Y1和 Y2分别表示投资项目 A和 B所获得的利润，求方差 DY1、DY2；（2）将 x（0 x100）万元投资 A项目，100 x 万元投资 B项目，f(x)表示投资 A项目所得利润的方差与投资 B项目所得利润的方差的和。求 f(x)的最小值，并指出
8、 x 为何值时，f(x)取到最小值。（注：D(aX+b)=a2DX）20、（本小题满分 12 分）在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C1：22221(0)xyabab 的左、右焦点分别为 F1、F2。F2也是抛物线 C2：24yx的焦点，点 M为 C1与 C2在第一象限的交点，且25|3MF。（1）求 C1的方程；（2）平面上的点 N满足12MNMFMF，直线lMN，且与 C1交于A、B两点，若OAOB=0，求直线l的方程。21、（本小题满分 12 分）设函数1()(,)f xaxa bZxb，曲线()yf x在点(2,(2)f处的切线方程为 3y。（1）求()yf x的解析式；（2）证明：曲线
9、()yf x的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3）证明：曲线()yf x上任一点处的切线与直线1x 和直线yx所围三角形的面积为定值，并求出此定值。请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。22、（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 如图，过圆 O外一点 M作它的一条切线，切点为 A，过 A作直线 AP垂直直线 OM，垂足为 P。（1）证明：OM OP=OA2；（2）N为线段 AP上一点，直线 NB垂直直线 ON，且交圆 O于 B点。过 B点的切线交直线 ON于 K。证明：OKM=90。2
10、3、（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 已知曲线 C1：cos()sinxy为参数，曲线 C2：222()22xttyt为参数。KBPAOMN（1）指出 C1，C2各是什么曲线，并说明 C1与 C2公共点的个数；（2）若把 C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1C，2C。写出1C，2C的参数方程。1C与2C公共点的个数和 C1与 C2公共点的个数是否相同？说明你的理由。24、（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知函数|4|8|)(xxxf。（1）作出函数)(xfy 的图像；（2）解不等式2|4|8|xx。2008 年普通高等学校统一考试（宁夏
11、卷）数学（理科）参考答案 一、选择题 1B 2B 3D 4C 5A 6B 7C 8D 9A 10D 11A 12C 二、填空题 133 143215 1543 16 1乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）2甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）3甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm 4乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（
12、均值附近）甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀 三、解答题 17解：（）设na的公差为d，由已知条件，11145adad ，解出13a，2d 所以1(1)25naandn （）21(1)42nn nSnadnn 24(2)n 所以2n 时，nS取到最大值4 18解：如图，以D为原点，DA为单位长建立空间直角坐标系Dxyz 则(1 0 0)DA ，(0 01)CC ，连结BD，BD 在平面BB D D中，延长DP交BD于H 设(1)(0)DHmmm，由已知60DH DA，由cosDA DHDA DHDA DH，可得2221mm 解得22m，所以22122DH，（
13、）因为2200 1 1222cos212DH CC ，所以45DH CC，即DP与CC所成的角为45（）平面AAD D的一个法向量是(0 10)DC ，因为2201 1 0122cos212DH DC，所以60DH DC，可得DP与平面AAD D所成的角为30 19解：（）由题设可知1Y和2Y的分布列分别为 Y1 5 10 P 0.8 0.2 15 0.8100.26EY ，221(56)0.8(106)0.24DY ，22 0.28 0.5120.38EY ，Y2 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3 A B C D P x y z H 2222(28)0.2(88)0.5(128)0.
14、312DY （）12100()100100 xxf xDYDY 2224(46003 100)100 xx，当600752 4x 时，()3f x 为最小值 20解：（）由2C：24yx知2(1 0)F，设11()M xy，M在2C上，因为253MF，所以1513x ，得123x，12 63y M在1C上，且椭圆1C的半焦距1c，于是 2222481931.abba，消去2b并整理得 4293740aa，解得2a（13a 不合题意，舍去）故椭圆1C的方程为22143xy（）由12MFMFMN知四边形12MF NF是平行四边形，其中心为坐标原点O，因为lMN，所以l与OM的斜率相同，故l的斜率2
15、 63623k 设l的方程为6()yxm 由2234126()xyyxm，消去y并化简得 22916840 xmxm 设11()A xy，22()B xy，12169mxx，212849mx x 因为OAOB，所以12120 x xy y 21(1428)09m 所以2m 此时22(16)4 9(84)0mm，故所求直线l的方程为62 3yx，或62 3yx 21解：（）21()()fxaxb ，于是2121210(2)abab，解得11ab，或948.3ab，因abZ，故1()1f xxx （）证明：已知函数1yx，21yx都是奇函数 所以函数1()g xxx 也是奇函数，其图像是以原点为中
16、心的中心对称图形 而1()111f xxx 可知，函数()g x的图像按向量(11)，a平移，即得到函数()f x的图像，故函数()f x的图像是以点(11)，为中心的中心对称图形 （）证明：在曲线上任取一点00011xxx，由0201()1(1)fxx 知，过此点的切线方程为 2000200111()1(1)xxyxxxx 令1x 得0011xyx，切线与直线1x 交点为00111xx，令yx得021yx，切线与直线yx交点为00(2121)xx，直线1x 与直线yx的交点为(11)，从而所围三角形的面积为0000011121 21 12222121xxxxx 所以，所围三角形的面积为定值2
17、 22解：（）证明：因为MA是圆O的切线，所以OAAM 又因为APOM在RtOAM中，由射影定理知，2OAOM OP（）证明：因为BK是圆O的切线，BNOK 同（），有2OBON OK，又OBOA，所以OP OMON OK，即ONOMOPOK 又NOPMOK，所以ONPOMK，故90OKMOPN 23解：（）1C是圆，2C是直线 1C的普通方程为221xy，圆心1(0 0)C，半径1r 2C的普通方程为20 xy 因为圆心1C到直线20 xy 的距离为1，所以2C与1C只有一个公共点（）压缩后的参数方程分别为 1C：cos1sin2xy，（为参数）；2C：22224xtyt，（t为参数）化为普通方程为：1C：2241xy，2C：1222yx，联立消元得222 210 xx，其判别式2(2 2)42 10 ，所以压缩后的直线2C与椭圆1C仍然只有一个公共点，和1C与2C公共点个数相同 24解：（）44()2124848.xf xxxx ，图像如下：（）不等式842xx ，即()2f x，由2122x 得5x 由函数()f x图像可知，原不等式的解集为(5)，1 1 O x y 2 3 4 2 4-1-2-2 8-4