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1、习 题 一 dr dr1-1 I Ar I 与 有 无 不 同？d z和 d z有 无 不 同?举 例 说 明.解：（1）是 位 移 的 模，卜 是 位 矢 的 模 的 增 量,dr（2）d z是 速 度 的 模,dr ds即 d/=H=dt.dvd z和 dvdt有 无 不 同?其 不 同 在 哪 里?试 即 加 1=2-八|,4=同 一 同;dr山 只 是 速 度 在 径 向 上 的 分 量.有 r=r/（式 中 户 叫 做 单 位 矢）,dr式 中 山 就 是 速 度 径 向 上 的 分 量，dr.dr一 与 一 dt dtdr dr.dr贝 i j dt-d J+7 dt不 同 如 题
2、 1-1图 所 示.电 同=电 曳（3）3 八 表 示 加 速 度 的 模，即 由，出 是 加 速 度 a 在 切 向 上 的 分 量.有 v=表 轨 道 节 线 方 向 单 位 矢），所 以 dv dv-df=r+v dt dt dtdv式 中 山 就 是 加 速 度 的 切 向 分 量.dr d f丁 与（d/d t的 运 算 较 复 杂，超 出 教 材 规 定，故 不 予 讨 论）1-2设 质 点 的 运 动 方 程 为 x=x）,歹=丁（/）,在 计 算 质 点 的 速 度 和 加 速 度 时，有 人 先 求 _ dr d2r出=”2+歹 2,然 后 根 据 丫=山，及 a=d 而 求
3、 得 结 果；又 有 人 先 计 算 速 度 和 加 速 度 的 分 量，再 合 成 求 得 结 果，即 你 认 为 两 种 方 法 哪 一 种 正 确？为 什 么？两 者 差 别 何 在？解：后 一 种 方 法 正 确.因 为 速 度 与 加 速 度 都 是 矢 量，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，有 产=宜+0,一 dr dr-dyv=i+7dr dz dzd2r d2x v d2y-dr2 db J故 它 们 的 模 即 为 而 前 一 种 方 法 的 错 误 可 能 有 两 点，其 一 是 概 念 上 的 错 误，即 误 把 速 度、加 速 度 定 义 作 dr d2rv=a=-d
4、t d广 drdr d2r其 二，可 能 是 将 以 误 作 速 度 与 加 速 度 的 模。在 1-1题 中 已 说 明 山 不 是 速 度 的 模,d2r而 只 是 速 度 在 径 向 上 的 分 量，同 样，也 不 是 加 速 度 的 模，它 只 是 加 速 度 在 径 向 分 量 中 d2rq径 二 济 厂 了 的 一 部 分 L,或 者 概 括 性 地 说，前 一 种 方 法 只 考 虑 了 位 矢 尸 在 径 向（即 量 值）方 面 随 时 间 的 变 化 率，而 没 有 考 虑 位 矢 产 及 速 度 炉 的 方 向 随 间 的 变 化 率 对 速 度、加 速 度 的 贡 献。1
5、-3 一 质 点 在 X。平 面 上 运 动，运 动 方 程 为 x=3，+5,丁=2 芦+3l.式 中，以 s 计，X,V 以 m 计.（1）以 时 间，为 变 量，写 出 质 点 位 置 矢 量 的 表 示 式；（2）求 出，=1s 忖 刻 和，=2 s 时 刻 的 位 置 矢 量，计 算 这 1秒 内 质 点 的 位 移；（3）计 算，=0 s 时 刻 到，=4s时 刻 内 的 平 均 速 度；（4）求 出 质 点 速 度 矢 量 表 示 式，计 算，=4 s 时 质 点 的 速 度；（5）计 算/=0 s 至=4 s 内 质 点 的 平 均 加 速 度；（6）求 出 质 点 加 速 度
6、 矢 量 的 表 示 式，计 算，=4 s 时 质 点 的 加 速 度（请 把 位 置 矢 量、位 移、平 均 速 度、瞬 时 速 度、平 均 加 速 度、瞬 时 加 速 度 都 表 示 成 直 角 坐 标 系 中 的 矢 量 式）.r=（3/+5）F+（-Z2+3/-4）J解：2 m 将 才=1,，=2 代 入 上 式 即 有=87-0.57 m5 T 1 1+”m 尸=弓 一 次=37+4.5/m(3)V兀=5 4 丹=177+16-Ar 片 一 小 12/+20;产-1v=-=-=3?+5/m-s t 4-0 4v=37+(/+3)Jm-s-1(4)由 则 v4=3z+7j m-s-1%
7、=3 f+3j,%=3f+7(5)V(6)A _v=4=17AZ 4 4_ dva=dr-2m-sM m s-2这 说 明 该 点 只 有 丁 方 向 的 加 速 度，且 为 恒 量。1-4在 离 水 面 高 h 米 的 岸 上，有 人 用 绳 子 拉 船 靠 岸，船 在 离 岸 S 处，如 题 1-4图 所 示.当 人 以 5T)的 速 率 收 绳 时，试 求 船 运 动 的 速 度 和 加 速 度 的 大 小.解：设 人 到 船 之 间 绳 的 长 度 为/,此 时 绳 与 水 面 成 e 角，山 图 可 知 I2=h2+s2将 上 式 对 时 间/求 导，得 根 据 速 度 的 定 义，
8、并 注 意 到 人 5 是 随/减 少 的，dl ds 一 了=%船=一 山 ds _ I dl _1 _%即 船=一 出=一 1 了 嬴 5或 船 I 一 5一 将/a再 对/求 导，即 得 船 的 加 速 度 d/.dsdu 船 d/dr-vo5+/丫 船=-2%=-i-%At s s(-S+L)说 2 2_s _ 拉 s2 s32-21-5质 点 沿 了 轴 运 动，其 加 速 度 和 位 置 的 关 系 为 a=2+6X,。的 单 位 为 m-s,x 的 单 位 为 m.质 点 在=0 处，速 度 为 10m-s,试 求 质 点 在 任 何 坐 标 处 的 速 度 值.解：/分 离 变
9、 量：两 边 积 分 得 dv dv dx dva=-=v d/dx d/dxtd u=adx=(2+6x2)dxv2=2x+2x3+c2由 题 知，=0时，=1,，。=50 v=2五 3+x+25 m-s-11-6 已 知 一 质 点 作 直 线 运 动，其 加 速 度 为 a=4+3/m-s-2,开 始 运 动 时，X=5 m,求 该 质 点 在/=1 0 s时 的 速 度 和 位 置.dv.a=4+3，解：山 分 离 变 量，得 dv=(4+3/)d/“3 2V=4/+/4-C,积 分，得 2由 题 知，/=0,%=,G=0v=4/+-/2故 2v=dx=4/+一 3，2又 因 为 由
10、23、dr=(4/+广)dz分 离 变 量，2C 2 1 3X=2t t+Q积 分 得 2v=0,由 题 知/=0,X。=5,.2=5x=2+5故 2所 以/=10 s 时 v10=4 x l0+-|x l 02=190 m-s-1xl0=2 x l02+x l 03+5=705 m1-7 一 质 点 沿 半 径 为 1 m 的 圆 周 运 动，运 动 方 程 为 夕=2+3，8 式 中 以 弧 度 计，/以 秒 计，求：（1）（=2 s 时，质 点 的 切 向 和 法 向 加 速 度；（2）当 加 速 度 的 方 向 和 半 径 成 45角 时，其 角 位 移 是 多 少？解：/=2 s 时
11、,ar=R/3=l x l 8 x 2=36 m-s2R 2=lx(9 x 22)2=1296 m-s-2tan45=l（2）当 加 速 度 方 向 与 半 径 成 45角 时，有 4即 Reo2=R/3 亦 即（9为 2=18/2 2t3=-6=2+3=2+3x=2.67 rad则 解 得 9 于 是 角 位 移 为 91入 2VQZ-bt1-8质 点 沿 半 径 为 R 的 圆 周 按 5=2 的 规 律 运 动，式 中 S为 质 点 离 圆 周 上 某 点 的 弧 长，%,6 都 是 常 量，求：，时 刻 质 点 的 加 速 度；（2）/为 何 值 时，加 速 度 在 数 值 上 等 于
12、 以 解：则 加 速 度 与 半 径 的 夹 角 为（2）由 题 意 应 有 即 ds.v=va-btdt 0dv,aT=-bT dt_ V2 _(-4)2aR Ra=M+a：=b2/=幺.,.当 b 时,a-b(P-arctan=-火：an(%一 4)一，Q 中 从+（%，/）4,二 3。一 次）4=01-9半 径 为 R 的 轮 子，以 匀 速 沿 水 平 线 向 前 滚 动：（1）证 明 轮 缘 上 任 意 点 8 的 运 动 方 程 为 x=R（f-sincof）,y=R（l cos碗），式 中 口=%/R 是 轮 子 滚 动 的 角 速 度，当 B 与 水 平 线 接 触 的 瞬 间
13、 开 始 计 时.此 时 8 所 在 的 位 置 为 原 点，轮 子 前 进 方 向 为 X 轴 正 方 向；（2）求 B 点 速 度 和 加 速 度 的 分 量 表 示 式.解：依 题 意 作 出 下 图，由 图 可 知、()、题 1-9图 x=vnr-27?sincos 2 2=vj _ R sin 0=R(cot-7?sin 69/)y=27?sin sin2 2=7?(1-cos。)=7?(1-C O S G/)(2)Vx=R(1-COS 69/)vy=R sin cot)n 2.dvra,=Reo smcot=-“d/V2 dva”=R s coscot=-I，d/1-10以 初 速
14、 度=20m-sT抛 出 一 小 球，抛 出 方 向 与 水 平 面 成 慢 60的 夹 角,求：(1)球 轨 道 最 高 点 的 曲 率 半 径 曷；(2)落 地 处 的 曲 率 半 径 火 2.(提 示：利 用 曲 率 半 径 与 法 向 加 速 度 之 间 的 关 系)解：设 小 球 所 作 抛 物 线 轨 道 如 题 1-10图 所 示.Vj=vx=v0 cos 60=g=10 m s-2又,:an=PivI2(20 x cos 600)2P=-4 10=10 m(2)在 落 地 点，%=20 m s-1而=gxcos600.=五=四)2=8 0 man 10 x cos 601-11
15、飞 轮 半 径 为 0.4 m,自 静 止 启 动，其 角 加 速 度 为=0.2 rad S-2,求/=2s时 边 缘 上 各 点 的 速 度、法 向 加 速 度、切 向 加 速 度 和 合 加 速 度.解：当，=2 s 时，。=0.2x2=0.4 rad-sT则 v=Reo=0.4x 0.4=0.16 m an=Reo2 0.4x(0.4)2=0.064 m,s-2aT=Rp=0.4 x 0.2=0.08 m.s-2a=小 a；+片=7(0.064)2+(0.08)2=0.102m-s-21-1 2 如 题 1-1 2图，物 体 Z 以 相 对 8 的 速 度 丫=J 拓 沿 斜 面 滑
16、动，V 为 纵 坐 标，开 始 时 幺 在 斜 面 顶 端 高 为 处，8 物 体 以“匀 速 向 右 运 动，求“物 滑 到 地 面 时 的 速 度.解：当 滑 至 斜 面 底 时，y=h,则%二 J 防，A 物 运 动 过 程 中 又 受 到 B 的 牵 连 运 动 影 响,因 此，力 对 地 的 速 度 为 1-13 一 船 以 速 率 4=3 0 k m h i沿 直 线 向 东 行 驶，另 一 小 艇 在 其 前 方 以 速 率 匕=40km h 沿 直 线 向 北 行 驶，问 在 船 上 看 小 艇 的 速 度 为 何?在 艇 上 看 船 的 速 度 又 为 何？解：(1)大 船
17、看 小 艇，则 有%1=弓 一 片，依 题 意 作 速 度 矢 量 图 如 题 1-1 3图(a)0=arctan=arctan=36.87方 向 北 偏 西 匕 4(2)小 船 看 大 船，则 有 弓 2=/1-5，依 题 意 作 出 速 度 矢 量 图 如 题 1-1 3图(b),同 上 法，得 vi2=50 km h-1方 向 南 偏 东 36.871-1 4 当 一 轮 船 在 雨 中 航 行 时，它 的 雨 篷 遮 着 篷 的 垂 直 投 影 后 2 m的 甲 板 上，篷 高 4 m 但 当 轮 船 停 航 时，甲 板 上 干 湿 两 部 分 的 分 界 线 却 在 篷 前 3 m,
18、如 雨 滴 的 速 度 大 小 为 8 m 求 轮 船 的 速 率.解：依 题 意 作 出 矢 量 图 如 题 1 T 4所 示.题 1-14图南=V雨 船+U船 由 图 中 比 例 关 系 可 知 U船=丫 雨=8 n v s“习 题 二 2-1 一 细 绳 跨 过 一 定 滑 轮，绳 的 一 边 悬 有 一 质 量 为 班 的 物 体，另 一 边 穿 在 质 量 为 阴 2的 圆 柱 体 的 竖 直 细 孔 中，圆 柱 可 沿 绳 子 滑 动.今 看 到 绳 子 从 圆 柱 细 孔 中 加 速 匕 升，柱 体 相 对 于 绳 子 以 匀 加 速 度 下 滑，求 加 I 机 2相 对 于 地
19、 面 的 加 速 度、绳 的 张 力 及 柱 体 与 绳 子 间 的 摩 擦 力(绳 轻 且 不 可 伸 长，滑 轮 的 质 量 及 轮 与 轴 间 的 摩 擦 不 计).解：因 绳 不 可 伸 长，故 滑 轮 两 边 绳 子 的 加 速 度 均 为 q,其 对 于 加 2则 为 牵 连 加 速 度，又 知 加 2对 绳 子 的 相 对 加 速 度 为，故 机 2对 地 加 速 度，由 图(b)可 知，为 a2 a a，又 因 绳 的 质 量 不 计，所 以 圆 柱 体 受 到 的 摩 擦 力/在 数 值 上 等 于 绳 的 张 力 7,由 牛 顿 定 律，有 mg-T=ma T-m2g=m2
20、a2 联 立、式，得 a_(m-m2a=-m+m2C l 2=(叫-m2)g-tnar7771+7M2+m2讨 论(1)若 储=0,则 卬=%表 示 柱 体 与 绳 之 间 无 相 对 滑 动.(2)若=2 g,则 T=/=,表 示 柱 体 与 绳 之 间 无 任 何 作 用 力，此 时 加 I,机 2均 作 自 由 落 体 运 动.(a)(b)题 2-1图 2-2 一 个 质 量 为 p 的 质 点，在 光 滑 的 固 定 斜 面(倾 角 为 a)上 以 初 速 度 也 运 动，%的 方 向 与 斜 面 底 边 的 水 平 线 平 行，如 图 所 示，求 这 质 点 的 运 动 轨 道.解：
21、物 体 置 于 斜 面 上 受 到 重 力 掰 合，斜 面 支 持 力 N.建 立 坐 标：取“。方 向 为 X 轴，平 行 斜 面 与 X 轴 垂 直 方 向 为 Y 轴.如 图 2-2.8 A题 2-2图 X 方 向：工=0 y 方 向：Fy=m g s m a m ay/=0 时 夕=0 匕,=1.2y=g sm a t由、式 消 去 得 1 2y=-g sincr-x2%2-3 质 量 为 1 6 k g的 质 点 在 工 神 平 面 内 运 动，受 一 恒 力 作 用，力 的 分 量 为，=6N,-7 N,当/=0 忖，=0,匕=-2 m s，=0.求 当，=2 s 时 质 点 的(
22、1)位 矢；(2)速 度.4 6 3ax=m s 解：加 16 8fv-7.2=m-sm 16(1)F 3 5 匕=匕。+1 A.=-2+-X 2=-m s-匕，=%，。+f%成=高 2=-：m s-于 是 质 点 在 2 s时 的 速 度 _ 5-7-v=i j m-s4 8(2)1 3-1-7-=(_2X 2+-X|X 4);+-()x 4；2 o 2 lo1 3,7:=-1 i m4 82-4 质 点 在 流 体 中 作 直 线 运 动，受 与 速 度 成 正 比 的 阻 力 五(左 为 常 数)作 用，=0时 质 点 的 速 度 为%,证 明(1)/时 刻 的 速 度 为 口=胆；(2
23、)由 0 至”的 时 间 内 经 过 的 距 离 为 竺 1,凸%=(左)1-e 幻”；(3)停 止 运 动 前 经 过 的 距 离 为“k；(4)证 明 当=机/%时 速 度 减 至 的 e,式 中)为 质 点 的 质 量.a-k-v dv答：(I)：m dr分 离 变 量，得dv-kdtV 业=J,o y bm-kdtm即 In=Ine M%k tv=vQe m x=jvd/=J 7山=(1-ek(3)质 点 停 止 运 动 时 速 度 为 零，即 1 8,故 有 m 当 廿 左 时，其 速 度 为=第 1-立 典 _1 Vnv=voe w*=voe=ej_即 速 度 减 至%的 e.2-
24、5 升 降 机 内 有 两 物 体，质 量 分 别 为 g，加 2,且?2=2 加 i.用 细 绳 连 接，跨 过 滑 轮，绳 子 2_不 可 伸 长，滑 轮 质 量 及 切 摩 擦 都 忽 略 不 计，当 升 降 机 以 匀 加 速。=5 g 上 升 时，求：%和 加 2相 对 升 降 机 的 加 速 度.(2)在 地 面 上 观 察 叼，僧 2的 加 速 度 各 为 多 少？解：分 别 以 优 加 2为 研 究 对 象，其 受 力 图 如 图(b)所 示.设%相 对 滑 轮(即 升 降 机)的 加 速 度 为，则 唐 2对 地 加 速 度 a2=a-a.因 绳 不 可 伸 长,故 叫 对
25、滑 轮 的 加 速 度 亦 为，又 叫 在 水 平 方 向 上 没 有 受 牵 连 运 动 的 影 响，所 以 叫 在 水 平 方 向 对 地 加 速 度 亦 为。，由 牛 顿 定 律，有 m2g-T-m2(-d)T=ma题 2-5 图 联 立，解 得=8 方 向 向 下(2)加 2对 地 加 速 度 为,_ g=a-a 2 方 向 向 上叫 在 水 面 方 向 有 相 对 加 速 度，竖 直 方 向 有 牵 连 加 速 度,即 绝=相+0牵.ax=J 储 2+2=Jg 2+.=与 g0-arctan=arctan=26.6。2,左 偏 上.2-6-质 量 为 机 的 质 点 以 与 地 的
26、仰 角 6=3 0 的 初 速。从 地 面 抛 出，若 忽 略 空 气 阻 力，求 质 点 落 地 时 相 对 抛 射 时 的 动 量 的 增 量.在 忽 略 空 气 阻 力 情 况 下,抛 体 落 地 瞬 时 的 末 速 度 大 小 与 初 速 度 大 小 相 同，与 轨 道 相 切 斜 向 下,而 抛 物 线 具 有 对 y 轴 对 称 性，故 末 速 度 与 x 轴 夹 角 亦 为 3。,则 动 量 的 增 量 为 Ap=mv-mv0由 矢 量 图 知，动 量 增 量 大 小 为 何%I,方 向 竖 直 向 下.2-7 一 质 量 为 团 的 小 球 从 某 一 高 度 处 水 平 抛
27、出，落 在 水 平 桌 面 上 发 生 弹 性 碰 撞.并 在 抛 出 1 s,跳 回 到 原 高 度，速 度 仍 是 水 平 方 向，速 度 大 小 也 与 抛 出 时 相 等.求 小 球 与 桌 面 碰 撞 过 程 中，桌 面 给 予 小 球 的 冲 量 的 大 小 和 方 向.并 回 答 在 碰 撞 过 程 中，小 球 的 动 量 是 否 守 恒？解：由 题 知，小 球 落 地 时 间 为 6 s.因 小 球 为 平 抛 运 动，故 小 球 落 地 的 瞬 时 向 下 的 速 度 大 小 为 h=g/=0-5g,小 球 上 跳 速 度 的 大 小 亦 为 匕=0-5g.设 向 上 为 y
28、 轴 正 向，则 动 量 的 增 量 酝;加 丹 一 加 方 向 竖 直 向 上，大 小|绿|=mv2 一（一 加%）=mg碰 撞 过 程 中 动 量 不 守 恒.这 是 因 为 在 碰 撞 过 程 中，小 球 受 到 地 面 给 予 的 冲 力 作 用.另 外，碰 撞 前 初 动 量 方 向 斜 向 下，碰 后 末 动 量 方 向 斜 向 上，这 也 说 明 动 量 不 守 恒.2-8作 用 在 质 量 为 101的 物 体 上 的 力 为/=（1+2。1此 式 中，的 单 位 是 s,（1）求 4 s后,这 物 体 的 动 量 和 速 度 的 变 化，以 及 力 给 予 物 体 的 抻 量
29、.（2）为 了 使 这 力 的 冲 量 为 200 N s,该 力 应 在 这 物 体 上 作 用 多 久，试 就 一 原 来 静 止 的 物 体 和 一 个 具 有 初 速 度 一 6/m-s 的 物 体,回 答 这 两 个 问 题.解：（1）若 物 体 原 来 静 止，则 瓯=伊/=f（10+2。2=5 6kg-m-s看 沿 轴 正 向，A-、P c 於 一 1；Avj=L=5.6 m-s im/j=酝=56 kg m s-7若 物 体 原 来 具 有 一 6 m-s T初 速，则 p0=-m vQ,p=m J/。+f d/）=-w v0+Fdt m 小 于 是 2=P-P0=户 由=酝
30、同 理，%=A G,7 2=7 i这 说 明，只 要 力 函 数 不 变，作 用 时 间 相 同，则 不 管 物 体 有 无 初 动 量，也 不 管 初 动 量 有 多 大,那 么 物 体 获 得 的 动 量 的 增 量（亦 即 冲 量）就 一 定 相 同，这 就 是 动 量 定 理.（2）同 上 理，两 种 情 况 中 的 作 用 时 间 相 同，即/=（10+2/）d/=10/+/亦 即 t2+10/-200=0解 得 1=10 s,“=20 s 舍 去）2-9 一 质 量 为 加 的 质 点 在 工 帆 平 面 上 运 动，5 位 置 矢 量 岁 r-acQ SC O ti+6sin 的
31、 7 1t-求 质 点 的 动 量 及，=0 到 2（y 时 间 内 质 点 所 受 的 合 力 的 冲 量 和 质 点 动 量 的 改 变 量.解：质 点 的 动 量 为 p=mv=m cD（-asm a）ti+bcoscotj）7 1t-将 1=0和 2。分 别 代 入 上 式，得 px=mcobj p2=-mcoai则 动 量 的 增 量 亦 即 质 点 所 受 外 力 的 冲 量 为 I=/p=p2-pi=-mco（ai+bj2-10 一 颗 子 弹 由 枪 口 射 出 时 速 率 为 丫。111。“，当 子 弹 在 枪 筒 内 被 加 速 时，它 所 受 的 合 力 为 F=（a-b
32、 t）N（a,b为 常 数）,其 中，以 秒 为 单 位：（1）假 设 子 弹 运 行 到 枪 口 处 合 力 刚 好 为 零,试 计 算 子 弹 走 完 枪 筒 全 长 所 需 时 间；（2）求 子 弹 所 受 的 冲 量.（3）求 子 弹 的 质 量.解：（1）由 题 意，子 弹 到 枪 口 时，有 E=(6/)=0,得 b（2）子 弹 所 受 的 冲 量 I-出=at-b t2t _ a将 一 7 代 入，得 2b（3）由 动 量 定 理 可 求 得 子 弹 的 质 量 I a2m=-%2他 2-11-炮 弹 质 量 为 机，以 速 率 v飞 行，其 内 部 炸 药 使 此 炮 弹 分
33、裂 为 两 块，爆 炸 后 由 于 炸 药 使 弹 片 增 加 的 动 能 为 T,且 一 块 的 质 量 为 另 一 块 质 量 的 左 倍，如 两 者 仍 沿 原 方 向 飞 行，试 证 其 速 率 分 别 为证 明：设 一 块 为 叫 于 是 得 则 另 一 块 为 相 2,mx-km2及 叫+吗=mmxkmk+1m?mk+1 又 设 叫 的 速 度 为%,机 2的 速 度 为 匕，则 有 T1 2-mv22 mv=加 产+m2v2联 立、解 得 v2=(k+l)v-kv 将 代 入，并 整 理 得 2T.、2嬴=(于 是 有 将 其 代 入 式，有 又，题 述 爆 炸 后，两 弹 片
34、仍 沿 原 方 向 飞 行，故 只 能 取 证 毕.2-12设 心=7,-6/N.（1）当 一 质 点 从 原 点 运 动 到=-3,+4/+16km 时，求 户 所 作 的 功.（2）如 果 质 点 到，一 处 时 需 0.6s,试 求 平 均 功 率.（3）如 果 质 点 的 质 量 为 1kg,试 求 动 能 的 变 化.解：（1）由 题 知，%为 恒 力，,=F-r=（7/-6；）-（-3/+4；+16）=-21-24=-45 J（2）/0.6（3）由 动 能 定 理，3=/=-45 J2-13以 铁 锤 将 一 铁 钉 击 入 木 板，设 木 板 对 铁 钉 的 阻 力 与 铁 钉
35、进 入 木 板 内 的 深 度 成 正 比，在 铁 锤 击 第 一 次 时，能 将 小 钉 击 入 木 板 内 1 cm,问 击 第 二 次 时 能 击 入 多 深，假 定 铁 锤 两 次 打 击 铁 钉 时 的 速 度 相 同.解：以 木 板 上 界 面 为 坐 标 原 点，向 内 为 y 坐 标 正 向，如 题 2-13图，则 铁 钉 所 受 阻 力 为 题 2-13图f=-ky第 一 锤 外 力 的 功 为 44=/3=卜 处=1 0 5=4 式 中/是 铁 锤 作 用 于 钉 上 的 力，/是 木 板 作 用 于 钉 上 的 力，在 山-时，=-于.设 第 二 锤 外 力 的 功 为
36、4 2,则 同 理，有 由 题 意，有 4=砂;-4=4=(-WV2)=y k _ k2 2y=叵 2即 所 以，于 是 钉 子 第 二 次 能 进 入 的 深 度 为 y=%-必=V2-1=0.414 cm2-1 4 设 已 知 一 质 点(质 量 为 机)在 其 保 守 力 场 中 位 矢 为 厂 点 的 势 能 为 Ep(r)=/,试 求 质 点 所 受 保 守 力 的 大 小 和 方 向.L、d(r)nkF(r)=-解：dr 产 方 向 与 位 矢 尸 的 方 向 相 反，即 指 向 力 心.2-15 一 根 劲 度 系 数 为 尢 的 轻 弹 簧 Z 的 下 端，挂 根 劲 度 系
37、数 为 2的 轻 弹 簧 8,8 的 下 端 一 重 物 C,C 的 质 量 为 加，如 题 2-15图.求 这 一 系 统 静 止 时 两 弹 簧 的 伸 长 量 之 比 和 弹 性 势 能 之 比.解：弹 簧 4、8 及 重 物 受 力 如 题 2 T 5 图 所 示 平 衡 时，有 M g题 2-15图 FA=FB=Mg又 FA=k MFB=攵 22所 以 静 止 时 两 弹 簧 伸 长 量 之 比 为%=七 AX2 h弹 性 势 能 之 比 为 Ep二 5 k.二.E J-2 32-16(1)试 计 算 月 球 和 地 球 对 机 物 体 的 引 力 相 抵 消 的 一 点。，距 月
38、球 表 面 的 距 离 是 多 少?地 球 质 量 5 98X10 kg,地 球 中 心 到 月 球 中 心 的 距 离 3.84X101,月 球 质 量 7.35X 10g,月 球 半 径 1.74X 10 m.(2)如 果 一 个 1kg的 物 体 在 距 月 球 和 地 球 均 为 无 限 远 处 的 势 能 为 零，那 么 它 在 P 点 的 势 能 为 多 少？解：(1)设 在 距 月 球 中 心 为 厂 处 月 引=尊 引，由 万 有 引 力 定 律，有 G背 二 G加“地 依-4经 整 理，得 R,7.35x1()22=55.98x1()24+,7.35x1()22 x 3 48
39、 x 砂=38.32 xlO6 m则 P 点 处 至 月 球 表 面 的 距 离 为 h=r r月=(38.32-1.74)xlO6=3.66xl07m(2)质 量 为 1 k g 的 物 体 在。点 的 引 力 势 能 为 EP=-G-GM 也 r(-6.67x10 X 73 5 X 1 0-6.6 7 X10-X3.83xl07：1.28x106 j5.98xl024(38.4 3.83)x1072-1 7 由 水 平 桌 面、光 滑 铅 直 杆、不 可 伸 长 的 轻 绳、轻 弹 簧、理 想 滑 轮 以 及 质 量 为 叼 和 加 2的 滑 块 组 成 如 题 2 T 7 图 所 示 装
40、 置，弹 簧 的 劲 度 系 数 为 左，自 然 长 度 等 于 水 平 距 离 8 C,唐 2与 桌 面 间 的 摩 擦 系 数 为，最 初 叼 静 止 于/点，AB=B C=h,绳 已 拉 直，现 令 滑 块 落 下 外,求 它 下 落 到 B 处 时 的 速 率.解：取 8 点 为 重 力 势 能 零 点，弹 簧 原 长 为 弹 性 势 能 零 点，则 由 功 能 原 理，有-/jm2gh=(W1+m2)v2-migh+A：(A/)2式 中 X 为 弹 簧 在/点 时 比 原 长 的 伸 长 量，则 M=A C-B C=(41-Y)h联 立 上 述 两 式，得12（叫-）gh+A T?2
41、（后 一、+m2/2-1 8如 题 2-1 8图 所 示，一 物 体 质 量 为 2 k g,以 初 速 度%=3 m s 从 斜 面 力 点 处 下 滑，它 与 斜 面 的 摩 擦 力 为 8 N,到 达 8 点 后 压 缩 弹 簧 20cm后 停 止，然 后 又 被 弹 回，求 弹 簧 的 劲 度 系 数 和 物 体 最 后 能 回 到 的 高 度.解：取 木 块 压 缩 弹 簧 至 最 短 处 的 位 置 为 重 力 势 能 零 点，弹 簧 原 长 处 为 弹 性 势 能 零 点。则 由 功 能 原 理，有-frs=m v+机 g ssin 37。J m v2+mgs sm 3 1-fr
42、s式 中 s=4.8+0.2=5 m,x=0.2 m,再 代 入 有 关 数 据，解 得 左=1 3 9 0 N-m 再 次 运 用 功 能 原 理，求 木 块 弹 回 的 高 度 2-frs=m gssin 370-kx代 入 有 关 数 据，得 则 木 块 弹 回 高 度=ssin370=0.84 m题 2-1 9图 2-1 9 质 量 为 的 大 木 块 具 有 半 径 为 R 的 四 分 之 一 弧 形 槽，如 题 2 T 9 图 所 示.质 量 为 加 的 小 立 方 体 从 曲 面 的 顶 端 滑 下，大 木 块 放 在 光 滑 水 平 面 上，二 者 都 作 无 摩 擦 的 运
43、动，而 且 都 从 静 止 开 始，求 小 木 块 脱 离 大 木 块 时 的 速 度.解：能 从 河 上 下 滑 的 过 程 中，机 械 能 守 恒，以 优，加，地 球 为 系 统，以 最 低 点 为 重 力 势能 零 点，则 有 1 7 1,-m v2+-M V22 2又 下 滑 过 程，动 量 守 恒，以 加，M 为 系 统 则 在 机 脱 离 又 瞬 间，水 平 方 向 有 m v-M V=0联 立，以 上 两 式，得 v=2M gR(m+2-20 一 个 小 球 与 一 质 量 相 等 的 静 止 小 球 发 生 非 对 心 弹 性 碰 撞，试 证 碰 后 两 小 球 的 运 动 方
44、 向 互 相 垂 直.证：两 小 球 碰 撞 过 程 中，机 械 能 守 恒，有 1 2 1 2 1 2m v0-mv,-+m v2即 环=环+环(a)题 2-20 图(a)(b)题 2-20 图(b)又 碰 撞 过 程 中，动 量 守 恒，即 有 亦 即 由 可 作 出 矢 量 三 角 形 如 图(b),故 知 G 与 q 是 互 相 垂 直 的.m vQ=m vx+m v2其=G+%又 由 式 可 知 三 矢 量 之 间 满 足 勾 股 定 理，且 以 环 为 斜 边,2-21 一 质 量 为 团 的 质 点 位 于(西，乂)处，速 度 为 质 点 受 到 一 个 沿 负 方 向 的 力/
45、的 作 用，求 相 对 于 坐 标 原 点 的 角 动 量 以 及 作 用 于 质 点 上 的 力 的 力 矩.解：由 题 知，质 点 的 位 矢 为 r=x j+y j作 用 在 质 点 上 的 力 为 所 以，质 点 对 原 点 的 角 动 量 为 Zo=r x mv=+y j)x m(v J+vyj)=(Xjwvv-yxm vxk作 用 在 质 点 上 的 力 的 力 矩 为 而 0=尸 X 7=(x+弘 7)X(-/)=yflc2-2 2哈 雷 彗 星 绕 太 阳 运 动 的 轨 道 是 一 个 椭 圆.它 离 太 阳 最 近 距 离 为 八=8.7 5 X 1 0%时 的 速 率 是
46、=5.46X10 m s,它 离 太 阳 最 远 时 的 速 率 是 匕=9.08X10、s 这 时 它 离 太 阳 的 距 离 多 少？(太 阳 位 于 椭 圆 的 一 个 焦 点。)解：哈 雷 彗 星 绕 太 阳 运 动 时 受 到 太 阳 的 引 力 即 有 心 力 的 作 用，所 以 角 动 量 守 恒；又 由 于哈 雷 彗 星 在 近 I I点 及 远 日 点 时 的 速 度 都 与 轨 道 半 径 垂 直，故 有 rlmv=r2mv2八 4 8.75xlOlox 5.46xlO4,八 口 r,=-=-；-=5.26x 10d m.2 v2 9.08 xlO22-23物 体 质 量
47、为 3kg,f=o时 位 于 尸=4：m,v=i+6jm s；如 一 恒 力 7 二 5/N作 用 在 物 体 上，求 3秒 后，（1）物 体 动 量 的 变 化；（2）相 对 z轴 角 动 量 的 变 化.解：7 解 即 J元/=/5jdt=15j kg-m-s-1x=x0+vQxt=4+3=71 2/C 1 5-2.y=%J+=6x3+x x3-=25.5 jr=4i r2=li+25.5 j匕=1即 心 vv=v0.+a/=6+1 x 3=11G=%+6 丹=：+iL7I=耳 x mvx=47 x 3(F+6J)=12kr2 x mv2=(72+25.5J)x3(7+11J)=154.5
48、万 A=Z2-Z)=82.5斤 kg-m2-s-1t,dzM=解（二）,/小 Af=必.山=J(rxF)d/=f(4+r)7+(6/+1)x|r2)7 x 5jdt，5(4+/)2d/=82.5 kg-m2-s-1应 I题 2-24图 2-24平 板 中 央 开 一 小 孔，质 量 为 根 的 小 球 用 细 线 系 住，细 线 穿 过 小 孔 后 挂 一 质 量 为 四 1的 重 物.小 球 作 匀 速 圆 周 运 动，当 半 径 为 时 重 物 达 到 平 衡.今 在 i 的 下 方 再 挂 一 质 量 为 加 2的 物 体，如 题 2-24图.试 问 这 时 小 球 作 匀 速 圆 周
49、运 动 的 角 速 度 和 半 径/为 多 少？解：在 只 挂 重 物 时 河 I,小 球 作 圆 周 运 动 的 向 心 力 为 避，即 Mg=mr（）co（）2 挂 上 以 2后，则 有(A/,+M2)g-mrco，2 重 力 对 圆 心 的 力 矩 为 零，故 小 球 对 圆 心 的 角 动 量 守 恒.即 rQmvu-r mv2，2=既=/。联 立、得 gM g叫 co应 M 跖+M 取 叫 M1M 厂 二 L=M+弧 2-25飞 轮 的 质 量 机=60kg,半 径 R=0.25m,绕 其 水 平 中 心 轴 转 动，转 速 为 900rev-min.现 利 用 一 制 动 的 闸
50、杆，在 闸 杆 的 一 端 加 一 竖 直 方 向 的 制 动 力 产，可 使 飞 轮 减 速.已 知 闸 杆 的 尺 寸 如 题 2-25图 所 示，闸 瓦 与 飞 轮 之 间 的 摩 擦 系 数=0.4,飞 轮 的 转 动 惯 量 可 按 匀 质 圆 盘 计 算.试 求：(1)设 F=100 N,问 可 使 飞 轮 在 多 长 时 间 内 停 止 转 动?在 这 段 时 间 里 飞 轮 转 了 几 转?(2)如 果 在 2s内 飞 轮 转 速 减 少 一 半，需 加 多 大 的 力 产？解：(1)先 作 闸 杆 和 飞 轮 的 受 力 分 析 图(如 图(b).图 中 N、N 是 正 压