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1、习题一d r d r1-1 I Ar I与/r有无不同？d z和d z有无不同?举例说明.解：（1）I加 I是位移的模，是位矢的模的增量,d r（2）d z是速度的模,d r d s即d/=M=山.d vd z和d vd t有无不同?其不同在哪里?试即=2-八|,4 =|引 一 同;d r山 只是速度在径向上的分量.有r =r，（式中户叫做单位矢），则d/d r d r .d r=r+r d z d zd r式 中 山 就是速度径向上的分量,d r.d 7i d/与d，不同如题1-1图所示.性I 同=1雪 曳（3）Id八表示加速度的模，即 3力，出是加速度a在切向上的分量.有n =v予代表轨道
2、节线方向单位矢），所以d v d v 一 d f=T4-V d t d t d tdv式 中 山 就是加速度的切向分量.d r d f丁 与（d/dt的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论）1-2设质点的运动方程为x =x）,歹=丁（/）,在计算质点的速度和加速度时，有人先求_ _ _ _ _ _ d r d2r出 =”2+歹2 ,然后根据丫=山，及a=d 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有尸=方+0,一 d r d r -d y -v =i +/d
3、z d z d r_ d2r d2x-r d2y-：a=-=-i+r-jdt2 d/2故它们的模即为而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作d r d2rv =a=-d t d 广d rd r d2r其二，可能是将以 误作速度与加速度的模。在 1-1 题中已说明山 不是速度的模,d 2 r而只是速度在径向上的分量，同样，也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中d2r （d0 Vq 径=芯,了的一部分L ,或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢尸在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢产及速度炉的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。1-3 一质点在
4、X。平面上运动，运动方程为x=3，+5,丁 =2 芦+3 l.式中，以 s 计，X,V 以 m计.（1）以时间，为变量，写出质点位置矢量的表示式；（2）求出，=1s忖刻和，=2s时刻的位置矢量，计算这1 秒内质点的位移；（3）计算，=0 s 时刻到，=4 s时刻内的平均速度；（4）求出质点速度矢量表示式，计算，=4s时质点的速度；（5）计算/=0 s至 =4s内质点的平均加速度；（6）求出质点加速度矢量的表示式，计算，=4s时质点的加速度（请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式）.r =（3/+5）F +（-Z2+3 Z-4）J解：2 m 将
5、 才=1,，=2 代入上式即有=87-0.5 7 mG =1 1/+”m尸：弓 一%=3 7 +4.5/m(丹=5，4 ,方=1 7 7 +1 6 t 4-0+2 0,4=3/+5 j m-s-1D =3 7 +(/+3)J m-s-1(4)由则v4=3 7 +7 7 m-s-(5)Vv0=3 7 +3 ,V4=3 7 +7 J-2m s5=-=1J m-s-2(6)d/这说明该点只有丁方向的加速度，且为恒量。1-4在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如 题1-4图所示.当人以5T)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小.解：设人到船之间绳的长度为/,此时绳与水面成6
6、角，由图可知=2 +/将上式对时间/求导，得根据速度的定义，并注意到乙$是随/减少的，d/ds.%=一 而=%船=一 了ds _ I dl _ I _%即 船=一 出 二一1 3 奇_lv0 _(h2+s2)/2v0或船=1=;将/a再对/求导，即得船的加速度d/.ds.s-/._ 8船 _ d/dr _ _ vo5+/丫船Q =-2-vo=-i-voAt s s(-S +/)V0 2 2_ s _ 拉 s2 s32-21-5质点沿了轴运动，其加速度和位置的关系为a=2+6X,。的单位为m-s,x的单位为m.质点在=0处，速度为10m-s 试求质点在任何坐标处的速度值.d v d v d x
7、d va=-=v 解：d/d x d/d x分离变量：v d v =ad x=(2 +6 x2)d xv2=2x+2x3+c两边积分得 2由 题 知,%=0时，=1,.=5 0v =2y 1x3+x +2 5 m-s-11-6已知一质点作直线运动，其加速度为。=4+3/m-s ,开始运动时.，x =5 m,丫=0,求该质点在/=1 0 s时的速度和位置.解：分离变量，得d v .a=4 +3，d/d v =(4 4-3/)d Z积分，得v =4.t+3 t 2+G2 1由题知，/=0,%=,G =0故,3 2v =4t+-t2又因为v =-d x -4t+3-t2d/23 ,d x =(4/+
8、-Z )d/分离变量，2c 2 1 3X=2t H t+Q积分得2由题知/=0,X。=5,.2 =5x =2t2+-Z3+5故2所以/=1 0 s时v1 0=4 x l 0 +|x l 02=1 9 0 m-s-1xl 0=2 x l 02+|x l 03+5 =7 0 5 m1-7 一质点沿半径为1 m的圆周运动，运 动方程为夕=2+3，式中以弧度计，Z以秒计，求：（1）（=2 s时，质点的切向和法向加速度；（2）当加速度的方向和半径成4 5 角时，其角位移是多少？解：/=2 s时，c o-d。=9八 广2 ，/?=d o=1,8o/d/口 d/aT=R/3=1 x 1 8 x 2 =3 6
9、 m-s 2an=R ar=l x(9 x 22)2=1 2 9 6 m s-2t a n 4 5 0 =l(2)当加速度方向与半径成4 5 角时，有 4即 府=耶 亦即(9/2)2 =1 8/2 2=_ 6 =2 +3 =2 +3 x =2.6 7 ra d则解得 9 于是角位移为 91入2VQZ-bt1-8质点沿半径为R的圆周按5=2 的规律运动，式中S为质点离圆周上某点的弧长，%,6都是常量，求：，时刻质点的加速度；(2)/为何值时，加速度在数值上等于以解：则加速度与半径的夹角为(2)由题意应有即d s .v =va-btd td v ,aT =-ba.(P=a rc t a n =a”
10、(v0-bt)a-b-R b从=8+(%?)4 ,n (%_4)4=0R1 d z=y _(%从yRR2.当 6 时，a =61-9半径为R的轮子，以匀速沿水平线向前滚动：(1)证明轮缘上任意点8的运动方程为x =R(c of -s inc ot),y=R(l c os o/),式中切=%/R是轮子滚动的角速度，当B与水平线接触的瞬间开始计时.此时8所在的位置为原点，轮子前进方向为X轴正方向；(2)求B点速度和加速度的分量表示式.解：依题意作出下图，由图可知、()、题1-9图.e ex=vor-2 7?s i n c os =vQt-R s i n 0=R(M -c ot)y =2 7?s i
11、 n s i n2 2=/?(l-c os )=J?(l -c os t y r)(2)vx=R o(l-c os f t y)vy=-=R s i n c ot)a=R e o2 s i n ai=“d/Vc 2 d vav=R c o c os 6 X =-，d r1-1 0 以初速度=2 om-s”抛出一小球，抛出方向与水平面成慢6 0 的夹角,求：(1)球轨道最高点的曲率半径曷；(2)落地处的曲率半径火 2.(提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)解：设小球所作抛物线轨道如题1-1 0图所示.%=叭=%c o s 60=g =1 0m-s-2又；V：(2 0 x c o s 600
12、)2fl W=1 0 m(2)在落地点,而P i%=吗=2 0 m s-1an=g x c o s 600年二(2 0尸an 1 0 x c o s 602=8 0 m1-1 1 飞轮半径为0.4 m,自静止启动，其角加速度为 =0.2 r a d S-2,求/=2 s 时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度.解：当/=2 s 时，a)=/3 t=0.2x 2=0.4 r a d s-1则 v=Reo-0.4x0.4=0.16 m-s-1an=Reo2 0.4x(0.4)2=0.064 m.s2aT=R/3=0.4x 0.2=0.08 m,s2a=M+a；=7(0.064)2+(
13、0.08)2=0.102 m.s-21-1 2如 题1-12图，物体Z以相对8的速度丫=J拓 沿 斜 面 滑 动，V为纵坐标，开始时幺在斜面顶端高为处，8物体以“匀速向右运动，求“物滑到地面时的速度.解：当滑至斜面底时，丁 =，则 工=荻，力物运动过程中又受到8的牵连运动影响,因此，力对地的速度为1-13 一船以速率4=30kmhi沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率匕=40kmh沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何？解：(1)大船看小艇，则有%1=弓一片，依题意作速度矢量图如题1-13图(a)0-arctan =arctan =36.87方向北偏西 匕 4(2)
14、小船看大船，则有弓2=一弓，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b),同上法，得%=5 km h-1方向南偏东36.871-14当一轮船在雨中航行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2 m的甲板上，篷高4 m但当轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3 m ,如雨滴的速度大小为8 m 求轮船的速率.解：依题意作出矢量图如题1T4所示.题1-14图由图中比例关系可知 南=V雨 船+船U船=丫 雨=8m-s-i习题二2-1 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为班的物体，另一边穿在质量为阴2的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动.今看到绳子从圆柱细孔中加速匕升，柱体相对于绳子 以 匀 加 速 度
15、 下 滑，求加I机2相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计).解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为q,其对于加2则为牵连加速度，又知加2对绳子的相对加速度为。，故机2对地加速度，由图(b)可知，为。2=弓一。又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力/在数值上等于绳的张力7,由牛顿定律，有m】g-T=叫 T-m2g =m2a2 联立、式，得_ (m-m2)g +m2aa =-m+加2C l =7771+m2/=7=不2(2 g/)+m2讨 论(1)若。=0,则 卬=%表示柱体与绳之间无相对滑动.(2)若=2g,则T =/=,表示
16、柱体与绳之间无任何作用力，此时加I,机2均作自由落体运动.n/2I。叫口 m2 II，昌 鹏(a)(b)题2-1图2-2 一个质量为p的质点，在光滑的固定斜面(倾角为a)上以初速度也运动，%的方向与 斜 面 底 边 的 水 平 线 平 行，如图所示，求这质点的运动轨道.解：物体置于斜面上受到重力掰合，斜面支持力N.建立坐标：取“。方向为X轴，平行斜面与X轴垂直方向为Y轴.如图2-2.8A题2-2图X方向：%=x=%r y 方向：Fy=m gsm a=may/=0时 夕=0 匕,=1 .2V=jg s in a由、式 消 去 得1 .2丁 =V T g s in a y2%2-3质量为16kg的
17、质点在工神平面内运动，受一恒力作用，力的分量为=6 N,3=-7 N,当/=0 忖，x=V=0,匕=-2 m s =0.求当，=2 s时 质 点 的(1)位矢；(2)速度.4 6 3ax=m s-2解：加 16 8fy _ 7 _2av=-=m-sm 16(1)3 5 1匕=匕。+1%曲=-2+x 2 =m-svy=vy0+aydt=-x 2 =-m s于是质点在2s时的速度1 3-1-7 -=(_2x2+-x j x 4);+-()x4；2.o 2 162-4质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力五（左为常数）作用，/=0时质点的速 度 为%,证明（1）/时刻的速度为口=胆 ；（2）由
18、0至”的时间内经过的距离为加 _L i（m%=（左）1-e幻”；（3）停止运动前经过的距离为“k；（4）证明当=机/%时速度减至的e,式中）为质点的质量.a-k_v_ d_v_ _答：（1）;w dr分离变量，得dv _-kdtv mr dv _ 一kdt即J。v mIn=Ine M%k t.v=vQe mx-jvd/-J voe d/-(1-e(3)质点停止运动时速度为零，即t-8,故有m 当t=：时，其速度为x=vedt=一上必 _|Vnv=voe w*=voe=e即速度减至%的e.2-5升降机内有两物体，质量分别为g，加2,且?2=2加i.用细绳连接，跨过滑轮，绳子2 _不可伸长，滑轮质
19、量及 切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速。=5g上升时，求：%和 加2相对升降机的加速度.(2)在地面上观察叼，僧2的加速度各为多少？解：分别以 牝加2为研究对象，其受力图如图(b)所示.设%相对滑轮(即升降机)的加速度为。，则唐2对地加速度a2=a-a,因绳不可伸长,故叫对滑轮的加速度亦为，又叫在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以叫在水平方向对地加速度亦为，由牛顿定律，有m2g T m2(a-a)T=ma联立，解得/=g方向向下(2)加2对地加速度为，ga2=a Q=2 方向向上色 在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速 度,即 绝=和+牵.卬=+/=jg 2 +（=与 g0-arct
20、an-arctan =26.6a2,左偏上.2-6-质量为机的质点以与地的仰角6=30的初速从地面抛出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量.解：依题意作出示意图如题2-6图题2-6图在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向下,而抛物线具有对y轴对称性，故末速度与x轴夹角亦为3。,则动量的增量为Ap=mv-ntv0由矢量图知，动量增量大小为何%I,方向竖直向下.2-7 一质量为团的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞.并在抛出1 s,跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等.求小球与桌面碰撞过程中，桌面给予小球的
21、冲量的大小和方向.并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒？解：由题知，小球落地时间为 6 s.因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大小为匕=g/=0-5g,小球上跳速度的大小亦为匕 二0-5g.设向上为y轴正向，则动量的增量酝=根 丹 一 加 方向竖直向上，大小|同=mv2-（一 加%）=mg碰撞过程中动量不守恒.这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用.另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒.2-8作用在质量为101的 物 体 上 的 力 为/=（1+2。1此 式 中，的单位是s,（1）求4s后,这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的抻量.
22、（2）为了使这力的冲量为200 Ns,该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度一 6/m s 的物体,回答这两个问题.解：（1）若物体原来静止，则酝=由=f（10+2。2=56 kg m s-亍 沿轴正向,A -A，C (T；匕=L=5.6 m s im=56 kg m s7若物体原来具有一6 m-sT初速，则p0=-rnvQ,p=m(-v0+d/)=-wv0+f Fdtm小 于是型 2 =Q_ Qo =品/=酝 1同理，%=八 匕，丁 2=7|这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量（亦即冲量）就一定相同，
23、这就是动量定理.（2）同上理，两种情况中的作用时间相同，即/=（1 0 +2/）d/=1 0/+/亦即/2+1 0/2 0 0 =0解得，=1 0 s,=2 0 s 舍去）2-9 一质量为加的质点在工帆 平面上运动，5位置矢量岁r-ac os c oti+6 s i n 此兀t=求质点的动量及，=0到 2 4 y 时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量.解：质点的动量为p rriv m 0）（-0 s in c o ti+6 c o s。）7 tt-将 1 =0和 2。分别代入上式，得p=mc obj p2=-mc oai则动量的增量亦即质点所受外力的冲量为7 二 酝 二 2 2 一 A
24、=-mc o（ai+历）2-1 0 一颗子弹由枪口射出时速率为丫。1 1 1。-,当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为尸=（。-从）N，b为常数），其中，以秒为单位：（1）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；（2）求子弹所受的冲量.（3）求子弹的质量.解：（1）由题意，子弹到枪口时，有_ aF =（a-扭）=0,得 一（2）子弹所受的冲量I-1（c z -bt）d t-at-b t2t _ a将 一 了 代 入，得/上2b（3）由动量定理可求得子弹的质量I a2m =-%2 他2-1 1 -炮弹质量为机，以速率v 飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸
25、药使弹片增加的动能为T,且一块的质量为另一块质量的左倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为证明：设一块为加1,则另一块为加2,mx-km2 及 叫+tn2=m于是得mxkmm?k+1m女+1又 设 叫 的 速 度 为%,机2 的速度为匕，则有T1 2T =”必-mv22mv=1%+m2v2联立、解得v2-(k +l)v kv将代入，并整理得于是有将其代入式，有2T.、2嬴=(又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取证毕.2-1 2 设 心=7,一 6/N.（1）当一质点从原点运动到 =-3,+4./+1 6 左 m 时，求户所作的功.（2）如果质点到，一处时需0.6 s,试求平均功率
26、.（3）如果质点的质量为1 k g,试求动能的变化.解：（1）由题知，%为 恒 力，,A=F-r=（j l-6；）-（-3/+4/+1 6 ）=-2 1-2 4 =-4 5 J（2）/0.6（3）由动能定理，3=-4 5 J2-1 3 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1 c m,问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同.解：以木板上界面为坐标原点，向内为y坐标正向，如题2-1 3 图，则铁钉所受阻力为题 2-1 3 图/=_第 一 锤外力的功为44=/4=卜 处=停 尸 彳 式中/是铁锤作用于钉上的力，
27、/是木板作用于钉上的力，在山一 时，/=一/.设第二锤外力的功为42,则同理，有4=皿=；砂;由题意，有4=4=（；mv2）=:1 .2 k k即-2k Zy22 2=2所以，于是钉子第二次能进入的深度为Ay=%-必=V2-1 =0.414 cm2-1 4设已知一质点（质量为机）在其保守力场中位矢为厂 点的势能为E p（r）=/,试求质点所受保守力的大小和方向.丑 尸 变 妇=空解：dr 产方向与位矢尸的方向相反，即指向力心.2-1 5 一根劲度系数为尢的轻弹簧Z的下端，挂根劲度系数为2的轻弹簧8,8的下端一重物C,C的质量为加，如题2-1 5图.求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之
28、比.解：弹簧4、8及重物受力如题2T5图所示平衡时，有Mg题2-15图FA=FB=Mg又FA=尤3FB=k2/Sx2所以静止时两弹簧伸长量之比为A%1 k2AX2 h弹性势能之比为E p-3k国 EP1K2-1 6 (1)试计算月球和地球对机物体的引力相抵消的一点。，距月球表面的距离是多少?地球质量5 9 8 X 1 0 k g,地球中心到月球中心的距离3.8 4 X 1 0 1,月球质量7.3 5 X 1 0 g,月球半径1.7 4 X 1 0 m.(2)如果一个1 k g 的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零，那么它在P点的势能为多少？解：(1)设在距月球中心为厂 处 月引二 尊 引
29、，由万有引力定律，有GmMr2m地经整理，得/_ _K地+月,7.3 5 x 1()2 2=4 5.9 8 x 1()2 4 +g 3 5 x 1()2 2 x3.4 8 x砂=3 8.3 2 x 1 0 6 m则P点处至月球表面的距离为h=r-r月=(3 8.3 2-1.7 4)x l O6=3.6 6 x l 07m(2)质量为1 k g 的物体在。点的引力势能为EP=-G GM也r(R-r)u s su 7.3 5 X 1 02 2,5 5.9 8 X 1 02 4=-6.6 7 x l O x-6.6 7 x l O x7-；-3.8 3 X 1 07(3 8.4 3.8 3)x 1
30、0 7=1.2 8 x l 06 J2-1 7 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为叼和加2的滑块组成如题2T7图所示装置，弹簧的劲度系数为左，自然长度等于水平距离8C,唐2与桌面间的摩擦系数为4,最 初 叼 静 止 于/点，AB=BC=h,绳已拉直，现令滑块落下吗,求它下落到B处时的速率.解：取 8点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有-jlm)V2-mtgh+k(M)22gh=(m+加2式中 为弹簧在4点时比原长的伸长量，则M=AC-BC=41-Y)h联立上述两式，得12（班 一 加2）g+奶2（后-1）、mx+m2题 2-17图C2-18
31、如题2-18图所示，一物体质量为2 k g,以初速度%=3m s 从斜面力点处下滑，它与斜面的摩擦力为8N,到达8 点后压缩弹簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度.解：取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原长处为弹性势能零点。则由功能原理，有-frs=kx2-fy mv+mgs sin 37。）mv2+sin 37。-/.s式中s=4.8+0.2=5 m,x=0.2 m,再代入有关数据，解得A r=1 3 9 0 N m-再次运用功能原理，求木块弹回的高度-j；s=mg/sin 37-kx2代入有关数据，得则木块弹回高度s=1.4 mI =ssin
32、370=0.84m题 2-19图2-1 9 质量为M的大木块具有半径为R的四分之一弧形槽，如题2-19图所示.质量为的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度.解：他从河上下滑的过程中，机械能守恒，以团，地球为系统，以最低点为重力势能零点，则有1 7 1 9-m v2+-M V222又下滑过程，动量守恒，以加，加 为系统则在机脱离又瞬间，水平方向有m v -M V=0联立，以上两式，得v=2 M g R(m+M)2-2 0 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞，试证碰后两小球的运动方向互相垂直.证：两小球碰
33、撞过程中，机械能守恒，有1 2 1 2 1 2m v0=m v f+m v2即V o =W+V；(a)题 2-2 0 图(a)(b)题 2-2 0 图(b)又碰撞过程中，动量守恒，即有m v0=m vx+m v2亦即由可作出矢量三角形如图(b),故知G与q是互相垂直的.又由式可知三矢量之间满足勾股定理，且以环为斜边,2-2 1 一质量为团的质点位于(西，乂)处，速度为质点受到一个沿负方向的力/的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩.解：由题知，质点的位矢为产=匹7 +必7作用在质点上 的力为所以，质点对原点的角动量为=尸 x mv=(xj +y j)x m(v j +vyj
34、)-(xxm vy-yxm vx k作用在质点上的力的力矩为=r xf=(xii+y j)x(-)=一一2-2 2 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆.它离太阳最近距离为八=8.7 5 X 1 0%时的速率是 =5.4 6 X 1 0 m s ,它离太阳最远时的速率是匕=9.0 8 X 1 0、s 这时它离太阳的距离多少？(太阳位于椭圆的一个焦点。)解：哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远II点时的速度都与轨道半径垂直，故有rmvl r2mv2八4 8.75xlOlox5.46xlO4 ,八 口F,=-=-7-=5.26x10 m.2 v
35、2 9.08X1022-23物体质量为3kg,/=0时位于尸=4：m,v=i+6；m-s；如一恒力7=5/N作用在物体上，求3秒后，(1)物体动量的变化；(2)相对z轴角动量的变化.解：酝=伊=/5汕=0 1 .0 1 1(2)解(一)x=x+%j=4+3=7N=+5H 2=6x3+x x32=25.5j即r1=4i 弓=72+25.5)匕=V0 x=1vv=vOv+at=6+x3=113即V,=i；+6,7(v2=7+11J工i=n x wPj=47 X3(F+6J)=72万L2=r2 xmv2=(Ji+25.5y)x3(z+11/)=154.5万.A=Z2-Z1=82.5万 kg m2-s
36、-1一 dzM=解(二),/出.A f=而 由=(尸 xR)d.=f (4+r)7+(6/+1)x|r2)J x5.汕题2-24图2-24平板中央开一小孔，质量为根的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为四1的重物.小球作匀速圆周运动，当半径为时重物达到平衡.今在 i的下方再挂一质量为加2的物体，如题2-24图.试问这时小球作匀速圆周运动的角速度和半径/为多少？解：在只挂重物时河I,小球作圆周运动的向心力为避，即2Mlg=mr()C O0挂上以2后，则有(M+M2)g=mrO)重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒.即“加%=r tnv=尸/g=Y2 3联立、得,M+%,=!Lg 二
37、mcoM+弧2-2 5 飞轮的质量机=6 0 k g,半径R=0.2 5 m,绕其水平中心轴转动，转速为90 0 r e v -m i n.现利用一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力产，可使飞轮减速.已知闸杆的尺寸如题2-2 5 图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数=0.4,飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算.试求：(1)设F=1 0 0 N,问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转？(2)如果在2 s 内飞轮转速减少一半，需加多大的力产？解：(1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b).图中N、N 是正压力，工、E 是摩擦力，工和工 是杆在“点转轴处所受支承力，R 是轮的重
38、力，。是轮在。轴处所受支承力.杆处于静止状态，所以对Z点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有/&+，2)N%=0 =A对飞轮，按转动定律有尸=ER ，式中负号表示/与角速度。方向相反.F,.=/JN N=NFr-/JN-J+k F又 I=-m R2,2=FrFR-2/(/,+/2)mR lF=1 0 0 N等代入上式，得B0 -2-x-0-.-4-0-x-(-0-.-5-0-+-0-.-7 5-)X1i0 0 =-4-0r a d s_260 x0.2 5 x0.5 0 3由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为(0。90 0 x2 x3 _t=一 一=-=7.0 6 sB 60 x4
39、 0这段时间内飞轮的角位移为1。2 90 0 x2 1 9 1 4 0 2(p =CD.t+-6f =-X-7 T-X X 2 60 4 2 3=5 3.1 x2 4 r a d可知在这段时间里，飞轮转了 5 3.1转.2万g=90 0 x r a d -s(2)60 ,要求飞轮转速在f=2 s内减少一半，可知o 2 。1 5 -2p=-.=-=-r a d st 2/2用上面式所示的关系，可求出所需的制动力为m R i pr-+/2)60 x0.2 5 x0.5 0 x1 5 -2 x0.4 0 x(0.5 0 +0.7 5)x2=1 7 7 N2-2 6固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其
40、光滑的水平对称轴0。转动.设大小圆柱体的半径分别为R和 厂，质量分别为M和m.绕在两柱体上的细绳分别与物体叫和a 2 相连,%和 加 2 则挂在圆柱体的两侧，如题2-2 6图 所 示.设&=0.2 0 m,r-0.1 0 m,加=4 k g,M k g,2 k g,且开始时叫，加2 离地均为=2 m.求：(1)柱体转动时的角加速度；(2)两侧细绳的张力.解：设4，的 和 B分别为加1,加2 和柱体的加速度及角加速度，方向如图(如图b).题 2-26(a)图题 2-26(b)图(1)m,机2和柱体的运动方程如下：T2-m2gm2a2 加店一汇=加10 T；R T；r=lB 式中 T；=T ，T；
41、=丁2&=邛,。）的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动.若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率至少为多少？解：门外观测者测得杆长为运动长度，f j i y,当I K。时.，可认为能被拉进门，6T Ax/；仅当n =时等式成立，系 中 最 短.3-1 1根据天文观测和推算，宇宙正在膨胀，太空中的天体都远离我们而去.假定地球上观察到颗脉冲星(发出周期无线电波的星)的脉冲周期为0.5 0s,且这颗星正沿观察方向以速度0.8 c离我们而去.问 这颗星的固有周期为多少？解：以脉冲星为s 系，&=0,固有周期加 =7。.地球为s系，则有运动时 0=a/,
42、这里不是地球上某点观测到的周期，而是以地球为参考系的两异地钟读数之差.还要考vA/j虑因飞行远离信号的传递时间，。vA Z.,v/=+-=ylt+一四=加1+与C则C0.5(1+0.8)0 3 =0.1666 s1 1.8oN3-1 2 6 000m 的高空大气层中产生了一个万介子以速度v=0.9 9 8 c 飞向地球.假定该不介子在其自身静止系中的寿命等于其平均寿命2 X 1 0%.试分别从下面两个角度，即地球上的观测者和介子静止系中观测者来判断左介子能否到达地球.解：）介 子 在 其 自 身 静 止 系 中 的 寿 命=2 x 1 0-6 s 是固有（本征）时间，对地球观测者，由于时间膨胀
43、效应，其寿命延长了.衰变前经历的时间为4=义_=3.16*10-5.这段时间飞行距离为=4 =9 4 7 0 m因d 6000 m,故该左介子能到达地球.或在万介子静止系中，乃介子是静止的.地球则以速度丫接近介子，在,时间内，地球接近 的 距 离 为=4。=5 9 9 1 1 1或=6000 m经洛仑兹收缩后的值为：d；=dol 一一-379 md%,故乃介子能到达地球.3-1 3 设物体相对S系沿x 轴正向以0.8 c 运动，如果S系相对S系沿x 轴正向的速度也是 0.8 c,问物体相对S系的速度是多少？解：根据速度合成定理，=0-8 c,=S cvx+u _ 0.8c+0.8c0.8c x
44、 0.8c=0.98 c,uvx,1 +V 1 +C3-1 4 飞船4以 0.8 c 的速度相对地球向正东飞行，飞船8以 0.6 c 的速度相对地球向正西方向飞行.当两飞船即将相遇时4飞船在自己的天窗处相隔2 s 发射两颗信号弹.在8飞船的观测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少？解：取8为S系，地球为S 系，自西向东为x（x ）轴正向，则/对 S 系的速度=0-8 c,S 系对S系的速度为“=0-6 c,则 N对 S系（8船）的速度为vfx+u 0.8c+0.6cVv=T=-=0.946 c”,uvx 1 +0.487r，发射弹是从力的同一点发出，其时间间隔为固有时“，=2 s,7S，孙&J
45、 S系 j-广 东地 球 厂题 3-1 4 图B中测得的时间间隔为:3-15(1)火箭力和8分别以0.8c和0.6c的速度相对地球向+X和-X方向飞行.试求由火箭8测得力的速度.(2)若火箭/相对地球以0.8c的速度向+方向运动，火箭8的速度不变，求力相对8的速度.解：(1)如图。，取地球为S系，B为S系,则S 相对S的速度=0 6 c,火箭力相对S的速度匕=。，则/相 对S(8)的速度为：，匕一“0.8c-(-0.6c)v=-=-=0 946 cx,u,(-0.6c)(0.8c)-1一万匕 1-yc c或者取4为S 系，则=.8c,8相对S系的速度匕=0 c,于是8相对Z的速度为：/匕一 -
46、0.6c-0.8c(cAv=-=-=-0 946 cx,U 1 (0.8c)(-0.6c)12Vx 1-CC(2)如 图b,取地球为s系，火 箭8为S 系，s 系 相 对S系沿X方向运动，速度u=一 ,力对S系的速度为，匕=,匕，=0-8 c,由洛仑兹变换式A相对8的速度为：A相对6的速度大小为/=J.2 +V,=0.88 c速度与x 轴的夹角夕为/Vtan。=-y =1.07咚6,=46.80.8c 0.6cO o o oA B A B地球 工 地球 工(a)(b)题3-15图3-16静止在S系中的观测者测得一光子沿与x轴成60。角的方向飞行.另一观测者静止于S，系，S 系 的/轴 与X轴一
47、致，并以0.6c的速度沿X方向运动.试问S，系中的观测者观测到的光子运动方向如何？解：S系中光子运动速度的分量为vx=c c os 6 0 =0.50 0 cvy,=c sin6 0 =0.8 6 6 c由速度变换公式，光子在S 系中的速度分量为0vx-u0.5c-0.6 c1 111-2VxCU21-v1 U1 二 匕C0.6 c x 0.5c1 /一=-0.1 4 3 cA/1-0.62 X0.8 6 6C0.6 c x 0.5c17=0.990 c光子运动方向与x 轴的夹角/满足Vta n。=0.6 92匕/在第二象限为夕=98.2 在S 系中，光子的运动速度为：+C正是光速不变.3-1
48、 7(1)如果将电子由静止加速到速率为0.1 c,须对它作多少功？(2)如果将电子由速率为0.8 c加速到0.9c,又须对它作多少功？解：(D对电子作的功，等于电子动能的增量，得做=E1 t=mc?-moc2=moc2(y-1)=w0c2(=-1)FI=9.1X1 0-3IX(3X1 08)2(-7=1=-1)V l-0.12=4.1 2X1 0-|6J=2.57X1 03 e V=Eki-Eki=(m2c2-moc2)-(mc2-mac2)=9.1 x l0-3 1 X32X1 01 6(,1-.1)V l-0.92 V l-0.82=5.1 4 x 1 0*J =3.2 1 x 1 0 5
49、 e V3-1 8 子静止质量是电子静止质量的2 0 7倍，静止时的平均寿命诟=2 X 1 0%,若它在实验室参考系中的平均寿命7=7X 1 06S,试问其质量是电子静止质量的多少倍？解：设4子静止质量为优。，相对实验室参考系的速度为丫 =生，相应质量为相，电子静C=*，即 J止质量为加。，因 gh 7一由质速关系，在实验室参考系中质量为:r _ 73 =5加。m=207加 oe1 故mmO e207 7=,=2 0 7 x-7251 仍23-19-物体的速度使其质量增加了 10%,试问此物体在运动方向上缩短了百分之几?解：设静止质量为阴。，运动质量为加，=0.10由题设 相。由此二式得在运动
50、方向上的长度和静长分别为/和/。，则相对收缩量为：=1-J 1-2=1-L =0.091=9.1%/。/。1-103-20 一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电势差才能使其质量增加0.4%?此时电子速度是多少？已知电子的静止质量为9.1 X 10-3,kg.A/%_ AE _ 0.4解：由质能关系 加0机。,2 1 0 0A E=C=0.4X9.1X10-3,X(3X108)2/100_ 3.28X10T6=3.28x0T6 j=.X i0 T eV=2.0 x()3 eV所需电势差为2 9 x l0 伏特由质速公式有：限 至 J o =加o _ 1=1 =1m mo+Am Am