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1、习题一1-1 I|与 厂有无不同？举例说明.d rAt和d rd 7有无不同？d vd 7和d vd t有无不同？其不同在哪里?试解：（1）d r是位移的模，是位矢的模的增量，即 加1邛2-八|,从=同 一|同;d rds(2)d rd r是速度的模，即d/=H=d/山 只是速度在径向上的分量.有（式中,叫做单位矢），则d）d rd r d r .d r一=r+r一At At式 中 山 就是速度径向上的分量,d r d r.dtd t不同如题1-1图所示.曳 同=悴 曳（3）d，表示加速度的模，即 1山，山 是加速度a在切向上的分量.有丫 =丫式7表轨道节线方向单位矢），所以d v d v _
2、 AT=r +v dt dt Atdv式 中 小 就是加速度的切向分量.d F d f（山 d t的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论）1-2设 质 点 的 运 动 方 程 为）,y=y（/）,在计算质点的速度和加速度时，有人先求d r d2r出.卜+产,然后根据丫=由，及a=dt2而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有尸一 d r dr-如:v =i +idt d/d r而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作d r
3、d-rv =-a =-d/山2d r d2r d r-其二，可能是将由 d/误作速度与加速度的模。在 1题中已说明d r不是速度的模，d2r而只是速度在径向上的分量，同样，db也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中d2r。径 一 不 一 而 J _的一部分L、,或者概括性地说，前二种方法只考虑了位矢尸在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢产及速度日的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。1-3 一 质 点 在 平 面 上 运 动，运动方程为x=31 5,y =2 f2+3（-4.式 中/以s计，X,V以m计.（1）以时间/为变量，写出质点位置矢量的表示式；（2）求出/=1s时刻
4、和，=2 s时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；（3）计算，=0 s时刻到，=4 s时刻内的平均速度；（4）求出质点速度矢量表示式，计算/=4 s时质点的速度；（5）计算=0 s至心=4 s内质点的平均加速度；（6）求出质点加速度矢量的表示式，计算，=4 s时质点的加速度（请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式）.r=（3t +5）i +（-t2+3t-4）j解：2 m 将/=1,/=2代入上式即有斤=87-0.5.7 m=1 1.7+4.7 m尸=5一工=3；+4.5；m一 r0=5 j-4,F4=1 7 i +1 6j另=竺=三M 4
5、-01 2 1 +207=3/+5；m-s-4v =3/+(/+3)/m s-l 山则(5)v4=3/+77 m-s-1v0=3f+37，%=37+7竺=，1，t 4 4m-s(6)dvd t17 m 2这说明该点只有N方向的加速度，且为恒量。1-4在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示.当人以(m的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小.解：设人到船之间绳的长度为人 此时绳与水面成e角，由图可知I2=h2+s2将上式对时间，求导，得根据速度的定义，并注意到/,S是随，减少的，d/&sv纯二 一 三 二%船=-37dz d/d s _ I d l _ I
6、_%即V d/s d t 5 V cos。I VO(/+/产或 晞=7=一%将 船再对/求导，即得船的加速度，d/_/d5八 dv船 d/dz -船、，F=一。=一(i 22 -21-5质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为。=2+6%，。的单位为m-s,x的单位 为m.质点在x=0处，速度为1 0 m-s，试求质点在任何坐标处的速度值.dv dv dx dv解:分离变量:两边积分得a=-=v d/dx dt dxudu=adx=(2+6x2)dxv2=2x+2x3+c2由题知，x=0时，匕)=1,.,.c=50.v=2y1x3+x+25 m-s-11-6已知一质点作直线运动，其加速度为。=4
7、+3,m-s”,开始运动时，x=5m,v=0,求该质点在/=10s时的速度和位置.解：分离变量，得积分，得由题知，七,%=,二 G=a=dv =4.+o3/d/dv=(4+3/)d/4 3 2v=4r+r+G2 1故又因为,3 2u=47+一 厂2v=dx =4/+3-/2At 23,dx=(4t+t2)dt分离变量，2积分得由题知/=0,4 =5,.0?=5c 2 1 3x=2t-+-z +c2故所以f=10s时x=2t2+-Z3+52工103,=4xl0+-x l02=1902=2 x 6 +l x l 03+5=7052m-s-1m1-7 一质点沿半径为1 m的圆周运动，运动方程为 8=
8、2+3广，8式中以弧度计，/以秒计，求：（1），=2 s时，质点的切向和法向加速度；（2）当加速度的方向和半径成45。角时，其角位移是多少？解：=2 s时,aT=R(3=lxl8x2=36m san=R（o2=l x（9X2?）2=1 2 9 6 m s-2t a n 4 5 =1当加速度方向与半径成4 5 角时，有 4即 R e o2=R/3 亦即（9广）“=1 8/2 2I3=-夕=2 +3 =2 +3 x =2.6 7 r a d则解得 9 于是角位移为 9v d-h t21-8质点沿半径为H的圆周按s=2 的规律运动，式中s为质点离圆周上某点的弧长，,6都是常量，求：（1）/时刻质点的
9、加速度；（2）/为何值时，加速度在数值上等于d s,.解：（1）v=L则加速度与半径的夹角为d v6 7 =r d/v2an-二R4)2RI R2c i R b(p=a r c t a n =-ran(%-4厂（2）由题意应有*/+中b2即.,.当 6 时，a =61-9半径为R的轮子，以匀速沿水平线向前滚动：（1）证明轮缘上任意点8的运动方程为x =R （f-s i n f）,J=R（1-COS创），式中=%/我 是轮子滚动的角速度，当B与水平线接触的瞬间开始计时.此时8所在的位置为原点，轮子前进方向为X轴正方向；（2）求8点速度和加速度的分量表示式.解：依题意作出下图，由图可知、O 、题1
10、-9图B 0 x=匕/一 2R si n c o s 2 2=v0/一 R si n 8=R(o t -R s i n co t)y =2 7?si n si n2 2=7?(1-c o s 0)=7?(1 -c o s co t)(2)Vx=R (1 -CO S 6 9/)=v/R(2mg h-k h2)k2V m R2+1_ 卜2 x 6.0 x 9.8 x 0.4 -2.0 x(U?)x V 6.0 x0.3 2 +0.5=2.0 m s-1题 2-32图 题 2-33图2-3 3 空心圆环可绕竖直轴N C 自由转动，如题2-33图所示，其转动惯量为。，环半径为R ,初始角速度为例）.质
11、量为机的小球，原来静置于力点，由于微小的干扰，小球向下滑动.设圆环内壁是光滑的，问小球滑到8 点与C 点时，小球相对于环的速率各为多少？解：（1）小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒，当小球滑至8 点时，有/。=（/（）+加 A）。该系统在转动过程中，机械能守恒，设小球相对于圆环的速率为也，以3 点为重力势能零点，则有g W+mg R=:G o +机及2）刃2+m v22 2 2 联立、两式，得当小球滑至C 点时，故由机械能守恒，有0.C Dc-。0mg(2R)=mv v 0=2新请读者求出上述两种情况下，小球对地速度.习题三3-1惯性系S，相对惯性系S 以速度运动.当它们的坐标原点。与。重合时
12、，/=/=0,发出一光波，此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观测的波阵面的方程.解：由于时间和空间都是均匀的，根据光速不变原理，光讯号为球面波.波阵面方程为：x2+y2+z2=（c/）2x 2+y 2+z2=（以一题3-1图3-2设 图 3-4中车厢上观测者测得前后门距离为2人试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测到同一光信号到达前、后门的时间差.解：设光讯号到达前门为事件1,在车厢（s ）系时空坐标为在车站B）系：八+4-X）=/（-+-T/）=0+-）C C C C C,（X，f）-（_/L光信号到达后门为事件2,则在车厢（S ）系 坐 标 为2,2 。，在车
13、站（S）系：，2=/（+-TX2）=（1）C C C”=-2 咚于是或者 ，=0,A/=/j -t2,xr=x -x2r=21Ar=/（A/1+=M）=y 邑 2/）c c3-3惯性系S，相对另一惯性系S 沿x 轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时 起 点.在 S 系中测得两事件的时空坐标分别为X|=6xl0 m,4=2x10、，以及2=12x104m,M x l Q-s.已知在S，系中测得该两事件同时发生.试问：S，系相对S 系的速度是多少？（2）S系中测得的两事件的空间间隔是多少？解：设（S ）相对S的速度为V,l=/（zi-Txi）c由题意(2=r(Z2 -2 X2)c=0则V
14、 /、2 一1 f)故由洛仑兹变换代入数值，v =c2 =-=-1.5x10sX 2-X|2m -s-1X；=y(xl-v tx),x 2=/(x2-v t2)x 2-x =5.2 x 104 m3-4长度4=1 m的米尺静止于S，系中，与 轴的夹角夕=30,S，系相对S系沿X轴运动，在S系中观测者测得米尺与x轴夹角为夕=451 试求：（1）S，系和S系的相对运动速度.（2）S系中测得的米尺长度.解：（1）米尺相对s 静止，它 在 轴 上 的 投 影 分 别 为：Ux-L co s。=0.8 6 6 m =L（）s i n 夕 二 0.5 m米尺相对S沿X方向运动，设速度为V,对S系中的观察者
15、测得米尺在X方向收缩，而歹方向的长度不变，即把6 =45。及,4代入Q-5则得V c2 0.8 6 6故v=0.8 16 cLrL=0.707 m 在S系中测得米尺长度为 s i n 453-5 一门宽为。，今有一固有长度，。d。）的水平细杆，在门外贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动.若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率至少为多少？解：门外观测者测得杆长为运动长度，i J l T，当时，可认为能被拉进门，U-C解得杆的运动速率至少为：题 3-6 图3-6 两个惯性系中的观察者。和。以 0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果。测得两者的初始距离
16、是20m,解：。测得相遇时间为/则O 测得两者经过多少时间相遇？A/t =Lo=-2-0-v 0.6 co测得的是固有时At，/Lm1一 伊t=二-y v=8.8 9x10-8 sv =0.6c1Y=-0.8 ,或者，,测得长度收缩，L-LO-J 1 /3-L0-l.0.62-O.8 Ao,Az,V。2。8.8 9x10%解：甲测得4 =4$,4=0,乙测得4 =5 5,坐标差为Ax =x；0.6 c 0.6 x3x103-7 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系S 和 S 中，甲测得在同一地点发生的两事件的时间间隔为4 s,而乙测得这两个事件的时间间隔为5 s.求：(1)S 相对于S 的运动速
17、度.(2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离.V1M =/(AZ+Ax)=入2 :A/cV 2(1)4yLA/4v=c J l-(-y =c J l-A2=1c解出V A Z V 5 5=L8xl()8 m-s-1,/、5Ax=/(Ax vA/),/=,Ax=0(2)t 45 3Ax=-vvAt=x ex4=-3c=-9x 10s m4 5负号表示*2 -x；(0.3-8 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行.如果宇航员希望把这路程缩短为3光年,则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少？/=3 =/。次 _ 2 =5正 户，则伊解：53-9论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同地点
18、，在有相对运动的其他惯性系中，这两个事件一定不同时.证：设在S系、8事件在区6处同时发生，则 =%-一七，在S 系中测得f=t,B -t Ax)c.Az =0,Ax *0A/HO即不同时发生.3-10试证明：(1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短.(2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性关系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短.解：如 果 在S 系 中，两 事 件4、8在 同 一 地 点 发 生，则Ar=O,在S系 中，=,仅当v=0时，等式成立，最短.若 在s 系中同时发生，即/=(),则在S系中
19、，Ax=yx Ax t仅当n=时等式成立，.S 系 中 最 短.3-11根据天文观测和推算，宇宙正在膨胀，太空中的天体都远离我们而去.假定地球上观察到一颗脉冲星(发出周期无线电波的星)的脉冲周期为0.50s,且这颗星正沿观察方向以速度0.8c离我们而去.问这颗星的固有周期为多少？解：以脉冲星为S 系，Ax=O,固有周期加=，。.地球为S系，则有运动时加1 =处，这里不是地球上某点观测到的周期，而是以地球为参考系的两异地钟读数之差.还要考皿 虑 因飞行远离信号的传递时间，CA A 必。A，U AA/=A/j+-L=ybt+双=W（i+与c则八八0.8c x4（1 +一）（1 -）/0.5 0.3
20、=-=0.1 6 6 6 s（1 +0.8）1,80.63-1 2 6 0 0 0 m的高空大气层中产生了一个乃介子以速度丫=0.9 9 8c飞向地球.假定该万介子在其自身静止系中的寿命等于其平均寿命2 x 1 0%.试分别从下面两个角度，即地球上的观测者和乃介子静止系中观测者来判断万介子能否到达地球.解：介子在其自身静止系中的寿命4。=2 x 1 0 s是固有（本征）时间，对地球观测者，由于时间膨胀效应，其寿命延长了.衰变前经历的时间为A t4 3.1 6 x 1 0-s这段时间飞行距离为=vA t=9 4 7 0 m因d 6 0 0 0 m,故该乃介子能到达地球.或在左介子静止系中，乃介子
21、是静止的.地球则以速度丫接近介子，在 时 间 内，地球接近的距离为“=5 9 9 m或=6 0 0 0 m经洛仑兹收缩后的值为：或=4卜 一 一 =37 9 md，,故介子能到达地球.3-1 3设物体相对S，系沿 轴正向以0.8c运动，如果S，系相对S系沿x轴正向的速度也是0.8c,问物体相对S系的速度是多少？解：根据速度合成定理，=0-8 J吸=S c0.8c +0.8cy =：-=-=0 98 cx,u v ,0.8c X 0.8c+当 2 c c3-14飞船Z以0.8c的速度相对地球向正东飞行，飞船8以0.6 c的速度相对地球向正西方向飞行.当两飞船即将相遇时4飞船在自己的天窗处相隔2s
22、发射两颗信号弹.在3飞船的观测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少？解：取3为S系，地球为S 系，自西向东为x（）轴正向，则工对S 系的速度V；=0-8c,S 系对S系的速度为“=0-6 c ,则工对S系（8船）的速度为发射弹是从力的同一点发出,v 4-u 0.8。+0.6 c=-=-=0.946 c 匕 1+0.48至其时间间隔为固有时/，=2s,ys，孙工东地 球 厂题3_14图B中测得的时间间隔为：At 2 At=,-=6.17 sI V；V1-0.9462卜/3-15(1)火箭4和8分别以0.8c和0.6c的 速 度 相 对 地 球 向 和-X方向飞行.试求由火箭8测得 力 的 速 度
23、.(2)若火箭/相对地球以0.8c的速度向+方向运动，火箭8的速度不变，求力相对8的速度.解：如 图。，取地球为S系，8为S 系，则S 相对S的速度 =S 6 c,火箭力相对S的速度匕=68 c,则/相 对S(8)的速度为：v,=-v-x-u-=-0-.-8-c-(-0-.-6-c-)=0 946 cx 1 u 1(-0.6c)(0.8c).C C或者取4为S 系，则 =.8c,8相对S系的速度匕=一。，于是8相对力的速度为：M =匕 一 =-O&-O.8C _o946cr,u 1 (0.8c)(-0.6c)1一一TVx 1-2-cc 如 图b,取地球为S系，火 箭8为S 系，S 系相对S系
24、沿 一x方向运动，速度 =-0 6c,/对S系的速度为，匕=0,匕，=S 8 c,由洛仑兹变换式/相对8的速度为：,4相对6的速度大小为v=J吸2 +4 =0 88 c速度与x 轴的夹角夕为Vta n。=1.07e=46.80.8cO_A0.6c-_OB地球 工 地球 工(a)(b)题3-15图3-16静止在S系中的观测者测得一光子沿与x轴成60。角的方向飞行.另一观测者静止于S，系，S，系的X轴与X轴一致，并以0.6c的速度沿X方向运动.试问S，系中的观测者观测到的光子运动方向如何？解：s系中光子运动速度的分量为vx=c c os 6 0 =0.500 cvy=c s i n 6 0=0.8
25、6 6 c由速度变换公式，光子在S 系中的速度分量为vx-u 0 1 _._5_c_-_0._6 _c_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _n 0.6 c x 0.5c一一ivx c c=-0.143cU21-v2 yC5 =-1 u1-T 匕c光子运动方向与X,轴的夹角,满足V l-0.62 x 0.86 6 c1-0.6 c x 0.5c0.990ct a n。=r匕-0.6 92夕在第二象限为夕=98.2。在 S 系中，光子的运动速度为公 网+邛 正 是 光 速 不 变.3-17(1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c,须对它作多少功？(2)如果将电子由速率为0.8c 加速到0
26、.9c,又须对它作多少功？解：(1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得Ek =Ek=m e2 一相0c 2=woc2(7-1)=w0c2(F?=9.1x 10-31 x(3x i o8)2(1-1)V l-0.12=4.12X10-|6J=2.57X103 e VA E；=Ek2-Ek i=(w2c2-mnc2)-(w,c2-mnc2)=9.1x l O T i x 32 x l 06(-1)V l-0.92 V l-0.82=5.14x 10*J =3.21x l 05 e V3-18子静止质量是电子静止质量的207倍，静止时的平均寿命7=2x 10飞，若它在实验室参考系中的平均寿命工=7
27、x 10%，试问其质量是电子静止质量的多少倍？解：设子静止质量为根。，相对实验室参考系的速度为丫 =优，相应质量为加，电子静r =,%，即 J =-止质量为加。*因h V1-由质速关系，在实验室参考系中质量为:二。2故2 0 7 3#7m 207 _ 7 _.=,=207 x =725m0e1一 仍23-19 一物体的速度使其质量增加了 10%,试问此物体在运动方向上缩短了百分之几?解：设静止质量为阴。，运动质量为加，=0.10由题设加。m=-mOJ _ 21-1 =0.10由此二式得J1-.2=_L、1.10在运动方向上的长度和静长分别为/和1 0,则相对收缩量为：2=2=1 _ L =0.
28、091=9.1%I。/。“1-103-20 一电子在电场中从静止开始加速，试问它应通过多大的电势差才能使其质量增加0.4%?此时电子速度是多少？已知电子的静止质量为9.1 x 10-51kg.m解：由质能关系加0A E=04”d =100E _ 0.4moc2 1000.4X9.1X10X(3X108)2/100_ 3.28x10*3.28x10*j=L6X10T9=V=2.0 x103 eV所需电势差为2.0X 10,伏特由质速公式有：瓦万4m?。+Am +bm +0.4 1.004w0 100111故电子速度为/=(-)2=1 ()2=7.95x10-3c 1.004v=J3c=2.7x
29、107 m-s-13-21 一正负电子对撞机可以把电子加速到动能/K=2.8 x 10eV.这种电子速率比光速差多少？这样的一个电子动量是多大？(与电子静止质量相应的能量为“。=0.511xl()6eV)解:,V2 1 mQc2J I-=-=-所以 V c2 +Ek/moc2 Ek+moc2由上式，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _加 0。2.加 C 2+Ek=C7l-(0.51 X106)2/(0.511X106+2.8 X109)2=2.9979245 x 108 m-s-1c-v =2.997924580 xlO8 m-s-1-2.9979245 x 108=8 m-s-1由
30、动量能量关系 2 =P*+/可得 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _JE2-mc4 J(Ek+m0c2)2-m1c4 JE+2Ekmac2p=-=-=-c c c=(2.82 xlO18+2x2.8xl09 xO.511xlO6)xl.62xlO82/3X108=1.49x1()78 kg m-s-2 3 43-22氢原子的同位素笊C H)和氟()在高温条件下发生聚变反应，产生氮CHe)原子核和1 2 3 4 1一个中子(on),并释放出大量能量，其反应方程为iH+iH-2 H e+n已知笊核的静止质量为2.0 135原子质量单位(1原子质量单位=1.60 0 xl(T”k
31、g),氤核和氮核及中子的质量分别为3.0 155,4.0 0 15,1.0 0 865原子质量单位.求上述聚变反应释放出来的能量.解:反应前总质量为20135+3.0155=5.0290 a mu反应后总质量为 4.0015+1.0087=5.0102 a mu质量亏损 Aw=5.0290-5.0102=0.0188 a mu=3.12x10-29 kg由质能关系得 至=3.12x10-29x(3x108)2=2.81xl0-21 J=i.75xlO7eV3-23 一静止质量为加。的粒子，裂变成两个粒子，速度分别为0.6c和 0.8c.求裂变过程的静质量亏损和释放出的动能.解：孤立系统在裂变过
32、程中释放出动能，引起静能减少，相应的静止质量减少，即静质量亏损.设裂变产生两个粒子的静质量分别为明。和加2。，其相应的速度=S6c,v2=0.8c由于孤立系统中所发生的任何过程都同时遵守动量守恒定律和能(质)量守恒定律，所以有注意巴和加2必沿相反方向运动，动量守恒的矢量方程可以简化为一维标量方程，再以匕=0.6孰 匕=S c代入，将上二方程化为：6 8 叫。加2 0W.n =相-1-二加 08 1 0 6 2 0,0.8 0.6 上二式联立求解可得:；7 71 0=0.4 5 9加 m2 0=O.257/77O故静质量亏损机=加。一（叫。+机2。）=6 2 8 4/%由静质量亏损引起静能减少，
33、即转化为动能，故放出的动能为 阻=防。2 =0.2 8 4 323-2 4 有工，8两个静止质量都是?。的粒子，分别以匕=匕匕=-丫的速度相向运动，在发生完全非弹性碰撞后合并为一个粒子.求碰撞后粒子的速度和静止质量.解：在实验室参考系中，设碰撞前两粒子的质量分别叫和机2,碰撞后粒子的质量为加、速度为P，于是,根据动量守恒和质量守恒定律可得：mV+加 2 y 2 =儿%吗+掰2 =M 一+?,”+门 卜）=0小-5小-心由于代入式得 C Cr =01m M -m+m2.-V c ,即为碰撞后静止质量.3-2 5 试估计地球、太阳的史瓦西半径.2GM3-2 6 典型中子星的质量与太阳质量M0=2
34、x 1 0 把 k g 同数量级，半径约为1 0 k m.若进一步解：史瓦西半径地球：C2M a 6 x 1 0 2 4 k gr=2 x 6.7 x 1 0-X 6 X 1 0-则：s(3 x 1 0)太阳：M 2 x l O3 0 k g2 x 6.7 x 1 0 x 2 x l O3 0,a 3r=-=3 x 1 0则：(3 x 1 0)皿坍缩为黑洞，其史瓦西半径为多少？一个质子那么大小的微黑洞（1 0-”c m）,质量是什么数量级？解：（D史瓦西半径与太阳的相同，=3 x l 03 m(2)Q=1。1 5 c m -1 0-1 7 m由2GMc2“rsc2 10-,7X(3X108)2
35、M=-得 2 G 2 x 6.7 x 1 0 3-2 7 简述广义相对论的基本原理和实验验证.=6.7 x 1 0 9k g解：广义相对论的基本原理是等效原理和广义相对性原理.等效原理又分为弱等效原理和强等效原理.弱等效原理是：在局部时空中，不可能通过力学实验区分引力和惯性力，引力和惯性力等效.强等效原理是：在局部时空中，任何物理实验都不能区分引力和惯性力，引力和惯性力等效.广义相对性原理是：所有参考系都是平权的，物理定律的表述相同.广义相对论的实验验证有：光线的引力偏转，引力红移，水星近日点进动，雷达回波延迟等.习题四4-1符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动：拍皮球时
36、球的运动；如 题4-1图所示，一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动（设小球所经过的弧线很短）.7777/7777k题4-1图解：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长等等在运动中保持为常量；二，系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用.或者说，若一个系统的运动微分方程能用描述时，其所作的运动就是谐振动.（1）拍皮球时球的运动不是谐振动.第一，球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力.（2）小球在题4-1
37、图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动.显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统（指小球凹槽、地球系统）的稳定平衡位置即凹槽最低点,即系统势能最小值位置点。；而小球在运动中的回复力为-m g s i n。，如题4-1图（b）所示.题 中 所 述，k S R,故8 =f一0,所以回复力为一mg。.式中负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反.即小球在。点附近的往复运动中所受回复力为线性的.若以小球为对象，则小球在以O 为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方向上有m R-=-m O1,2 令G 2 =&,则有R4-2 劲度系数为左和左2的两根弹簧，与质量为加的小
38、球按题4-2图所示的两种方式连接，试证明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期.m(a)(b)题4-2图解：（1）图中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有尸=a=工，设串联弹簧的等效倔强系数为K中等效位移为X,则有F=-kxF=-kxF2=-k2x2又有X =X j +x2rF F F2左 串h k2所以串联弹簧的等效倔强系数为串 kx+k2即小球与串联弹簧构成了 一个等效倔强系数为k=尢 左2%+&）的弹簧振子系统，故小球作谐振动.其振动周期为V =2兀（2）图中可等效为并联弹簧，同上理，应有尸=片=巴，即=f=*2,设并联弹簧的倔强系数为并，则有kjtx=kX+k2x2故k 井=k
39、、+k 2同上理，其振动周期为mkx+k24-3如题4-3图所示，物体的质量为根，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为6,弹簧的倔强系数为左，滑轮的转动惯量为/,半径为R.先把物体托住，使弹簧维持原长，然后由静止释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期.题4-3图解：分别以物体加和滑轮为对象，其受力如题4-3图（b）所示，以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点，沿斜面向下为X轴正向，则当重物偏离原点的坐标为X时，有d2xmg s i n 6 -7=m 7 邛-1小=甲 T2=k（x0+x）式中x =m g s i n e/A,为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有(mR+/)d ：=-k x
40、RR dt2令则有(Ok R2m R2+1 +co2x =0故知该系统是作简谐振动，其振动周期为4-4质量为l OxK T k g的小球与轻弹簧组成的系统，按x=0.1 c o s(8万+号)(S I)的规律作谐振动，求：振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值；最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等？(3)%=5 s与4 =l s两个时刻的位相差；解：设谐振动的标准方程为x=/c o s(初+%),则知：又当/=,时，即A=0.1 m,6 9 =8肛 二.7=二s,。=2/3C D 4|v/w|=co A=0.8 m-s-1=2.5 1 m-s-1=co
41、1 A 6 3.2 m-s-2闻=6 =0.6 3 NE=-mv l=3.1 6 x1 0-2 J2_ _ 1Ep=Ek=-=1.58X10-2J2有 E =2Ep,l x2=-(-2)2 2 2x =A =m(3)/=co(t2-Z j)=8万(5 -1)=3 2万4-5 一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为/,周期为T,其振动方程用余弦函数表 示.如 果，=0时质点的状态分别是：(1)x0=-A ;过平衡位置向正向运动;A 过x =一处向负向运动;2A(4)过x =正处向正向运动.试求出相应的初位相，并写出振动方程.解：因为x0=A c os 。v0=-co A s i n将以上初值条件
42、代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相.故有二7 1x=4 cos（/+乃）a=37 12,2 兀 3、X=Jcos（/+打7 1?71 4、X-Acos（/+）3T 3弧 二5%义4 5、4X-Acos（f+不）4-6 一质量为lOxlOkg的物体作谐振动，振幅为2 4 c m,周期为4.0 s,当/=0时位移为+2 4 c m.求：(l)/=0.5s时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向；(2)由起始位置运动到x=12cm处所需的最短时间；在x=12cm处物体的总能量.解：由题已知 A=24xl02m,r=4.0s24 _ _._i 二co-=0.5万 ra d-sT又，/=
43、0 时，/=+4,.二二 0故振动方程为x=24 x 102 cos(0.57)m 将/=0.5s代入得x05=24x10-2 cos(0.5 加)m=0.17mr-2r=-ma=-mco x=-10X10-3X()2X0.17=-4.2X10-3N方向指向坐标原点，即沿x轴负向.(2)由题知，Z =0时，%=0,ATT/=/时/=+5,且v 0,.*.=肛 又,/=10cm,T=2s即co-=7t ra d-s-1T3故xa=0.1 cos(R+乃)mA 57r由题 4-8 图(b)=E =0 时，X=万,%0,0 o=-Y兀乙=0 时，X=0,V 0=3乃 /2又故其角振幅小球的振动方程为
44、A。=一 =3.2 x 1 0 7 r a d30=3.2 x 1 0 3c os(3.1 3/+-)r a d4-1 1有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.2 0 m,位相与第一振动TT的位相差为一，已知第一振动的振幅为0.1 7 3 m,求第二个振动的振幅以及第一、第二两振6动的位相差.A题 411图解：由题意可做出旋转矢量图如下.由图知团=4：+T -2 4/COS 3 0。=(0.1 7 3)2+(0.2)2-2 x 0.1 7 3 x 0.2 x 7 3/2=0.0 1A2-0.1 m设角4 4。为e,则A2=+/；-244 c o s。4 团+4-T (0.1 7
45、 3)2+(0.1)2 _ (0.0 2)2即 244 2 x 0.1 7 3 x 0.1=0即。=,这说明，4与42 间夹角为一，即二振动的位相差为一.2 2 24-1 2 试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅:71、x=5 c o s(3/+y)c m7T Tx2=5 c o s(3/+)c mz.71、x=5 c o s H)c m47 rx2=5 c o s(3 r +)c m 解：=。2 一必7万7 =2肛二合振幅(2)V；合振幅A =Al+A2=1 0 c mA /4 4 0 =-=肛3 3A =04-13 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为匹
46、=0.4 c o s(2/+)mx2=0.3 c o s(2 z试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。解：；ta n。/=(7T)=716 64合=A-A2 =0.1 m .上 /0.4 x si n -0.3 si n nzA si n(p+A2 si n(f)2 6 6 4 34 c o s?c o s2 _ 0,4300,3。366,乃其振动方程为x=0.1 cos(2?+)m（作图法略）,4-1 4如题4-14图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆，已知X方向的振动方程为x=6cos2mcm,求歹方向的振动方程.解:转,因合振动是一正椭圆，故知
47、两分振动的位相差为7 T二 或34一；又，轨道是按顺时针方向旋2 2T T故知两分振动位相差为;.所以y方向的振动方程为71.y=12 COS(2R+)cm习题五5-1振动和波动有什么区别和联系？平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同？又有什么联系？振动曲线和波形曲线有什么不同？解：（1）振动是指一个孤立的系统（也可是介质中的一个质元）在某固定平衡位置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为丁 =/（）;波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x,又是时间/的函数，即N=
48、/（x J）.在谐振动方程丁=/（）中只有一个独立的变量时间/,它描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程歹=/（%）中有两个独立变量，即坐标位置x和时间/,它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律.y-A cos（t ）当谐波方程 中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持续不断地振动又是产生波动的必要条件之一.振动曲线歹=/（/）描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为V,横轴为/;波动曲线歹=/（苍/）描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律，其纵轴为y，横轴为x.每一幅图只能给出某一时刻质元的位移
49、随坐标位置x变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图.X Xt-5-2波动方程y=cos。（）+。中的“表示什么？如果改写为V=/coscox cox XC O t-b（p0-t-（u）,又是什么意思?如果，和X均增加，但相应的0 （）+夕。的值不变，由此能从波动方程说明什么？a)x解：波动方程中的x/表示了介质中坐标位置为X的质元的振动落后于原点的时间；U则表示X处质元比原点落后的振动位相；设，时刻的波动方程为yt=A cos（cot-+%）u则，+/时刻的波动方程为,r /“、O（x +A x）,1y,+M =A c o s （/+加）-+%U（cot
50、-）其表示在时刻，位置X处的振动状态，经过/后传播到X +处.所以在 U中,/C O Xx-）当r,X均增加时，u的值不会变化，而这正好说明了经过时间A r,波形即向前传y=A C O S（69/-F 0 0 ）播了 =的距离，说明.u 描述的是一列行进中的波，故谓之行波方程.5-3 波在介质中传播时，为什么介质元的动能和势能具有相同的位相，而弹簧振子的动能和势能却没有这样的特点？解：我们在讨论波动能量时，实际上讨论的是介质中某个小体积元,厂 内所有质元的能量.波动动能当然是指质元振动动能，其与振动速度平方成正比，波动势能则是指介质的形变势能.形变势能由介质的相对形变量（即应变量）决定.如果取