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1、2021年高考数学模拟训练卷（113）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.（）分）1.设集合4=0,2,4,集合B =x e N|lo g 2X S 1,则4 U B =()A.2,4 B.0,1,4）2.已知复数：=-53 则z 等于（）C.(1,2,4)D.0,1,2,4)A*咦 B.j1JC -D -5 5 5 x +y 3,3.若变量x,y 满足约束条件；x-y 2-1,则z =?的最大值为（）2 x-y 3,A.4 B.2C 3 D-!4.如图，已知 O A B,若点C满 足 於=2 通,元=/1a+4 通（九“/?），则：+；=（）5 .已知过点P（2,2）的直线/与曲线了
2、=：炉一相切，则直线/的方程为（）.A.y =%或y =8%18 B.y=xC.y =8%18 D.y =%或y =8%18E.y =%或y =-8%18 F.y =x 或y =-8%186 .若|沅|=2,m-n =8,m,H 的夹角为6 0。，则|五|的值为（）A.5 B.6 C.7 D.87.某校从6名教师中选派3 名教师去完成4 项不同的工作，每人至少完成一项，每项工作由1 人完成，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是（）A.25 2 B.288 C.36 0 D.2168.在4 A B C 中，内角 C 的对边分别是 a,b,c,已知c =1,C =，若s
3、 inC +s in（4 一 B）=3s in28,则 48C 的面积为（）A 竺3 B.竺 C.母 或 逅 D,这或更4 4 4 6 28 69.如图，阴影部分是由三个半圆弧围成的曲边三角形.已知4C=2 C B,在最大半圆内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率为10.（二 一 1）（正+$6的展开式中的常数项为（）A.-60 B.240 C.180 D.-8011.已知函数/。）=基 一 k/（x e R）有四个不同的零点，则实数%的取值范围是（）A.f c 0 B,f c 1 C.0 f c 112.已知直线）/=/一1与双曲线2一3/2=4的右支有两个交点，则攵的取值范围为（）A.（0
4、净 B.1 当 C.（今 由 D.（1 净二、填 空 题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知x l,观察下列不等式：x+：2；x2+-3；Xx3+-4；x按此规律，第 个 不 等 式 为.14.函数/（x）=sinx（cosx+1）的最小值为.15.设数列 册 的前 项和为%.若S2=4,an+1=2Sn+l,n e N*,则S5=.16.在4 8。中，Z A B C =90,A B =4 BC=3,点。在线段/C上，若NBOC=4 5，则B D =_三、解 答 题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数/(x)=cos(2x-$+Z si/x 一 i,(1)求f(x)的单调递增区
5、间；(2)在4BC中，a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边，且a=2,c=2遮，f(今=去 求 4BC的面积.18.等腰直角三角形A B C中,A BC=90,点D在边AB上,O E垂直4 B交A C于E，如图.将 A BC沿O E折起，使A到达产的位置，且使平面POE 平面Q B C E,连接PC,P B,如图.(I)若尸为P 8的中点，D B=DP,求证：D F 1 P C；(口)若8。=4,当三棱锥P-D B C的体积最大时，求二面角B-P E-C的余弦值.19.随着我国互联网信息技术的发展，网络购物已经成为许多人消费的一种重要方式.某市为了了解本市市民的网络购物情况，特委托一家网络
6、公司进行了网络问卷调查，并从参与调查的10000名网民中随机抽取了 200人进行抽样分析，得到了下表所示数据：经常进行网络购物偶尔或从不进行网络购物合计男性5050100女性6040100合计11090200(1)依据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为该市市民进行网络购物的情况与性别有关？(2)现从所抽取的女性网民中利用分层抽样的方法再抽取5 人，从这5 人中随机选出3 人赠送网购优惠券，求选出的3 人中至少有两人是经常进行网络购物的概率；(3)将频率视为概率，从该市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记经常进行网络购物的人数为X,求 X 的期望和方差.附.K2=M
7、ad-bc)2.其中九=a+b+c+d(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2 ko)0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63520.设 4(m,0),0)(m*0),直线AC,BC相交于C,而且他们的斜率之积为一京，若点P(1号是点C 的轨迹上的点，直线/的方程为x=2.(I)求点c的轨迹方程；(n)过点E(1,O)的直线与点C的轨迹相交于。，历两点(不经过尸点)，直线。M与直线/相交于N,记直线尸 ,P M,PN的斜率分别为七，k2,&求 证：ky+k2=2fc3.21.己知函数/(%)=lnx+2一；，a e R且a 力 0.(
8、1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当 e ,e时，试判断函数g(x)=(Inx-l)ex+x-m的零点个数.22.直线/的参数方程为匕：+(t为参数)，在平面直角坐标系xOy中，以原点。为极点，以x轴的正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为p=4V2COS(I)求直线/的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(II)若直线/与x轴交于点P,与圆C交于M,N两点，求 高+击 的 值.2 3.已知函数/(%)=|x -a|+|x +2 b l(a 0,b 0).(1)当Q=b =1 时，解不等式/(%)2 -%；(2)若函数f(x)的值域为 2,+o o),求?+萼的最小值.【答案与解析】1.答案：D解析
9、：本题考查集合的并集运算及对数不等式的求解，属基础题，难度不大.解出集合8,再求并集即可.解：由题知B=X N|0 +2 =(XQ l)(%o-2)yo=3 xo xo 就 XQ+2 =(%o l)(xo-2)x0=0,或 诏=3,k=Xg-1=8 或1,故直线l的方程y=-x 或y=8 x 1 8.故答案为：y=-x 或y=8 x -1 8.设切点为(出,yo),根据导数的几何意义求出曲线在点&处的切线斜率，可得切线方程，代入切点，便可建立关于出的方程.求得&，从而求得过点且与曲线C相切的直线方程.此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会根据一点坐标和斜率写出直线的方程,是一道
10、综合题.6.答案：D解析：本题考查向量数量积的运算，属于基础题.代入向量的数量积公式求解即可.解：因为万 5 7 TH 7rm(),_ nt H _ 8所 以 nt 1 B.2 X 2故选。.7.答案：A解析：解：根据题意，分 2 步进行分析：，在 6 名教师中选派3 名教师，要求甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，分 2 种情况讨论：甲去，则丙一定去，乙一定不去，有 玛=3种不同选法甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有 盘=4种不同选法则有3 +4 =7 种不同的选法有；，在 4 项工作中任选2 个，安排给3 人中的1人，再将剩下的2项工作全排列，安排给剩下的2人，有戏废 掰=36
11、种情况，则有36 x 7=252种不同的选派方法；故选：A.根据题意，分 2 步进行分析：，在 6 名教师中选派3 名教师，要求甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，在 4 项工作中任选2 个，安排给3 人中的1人，再将剩下的2 项工作全排列，安排给剩下的2 人，由分步计数原理计算可得答案.本题考查排列组合的综合应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于中档题.8.答案：D解析：本题考查余弦定理，三角形面积公式，涉及两角和差的三角函数公式，属基础题，根据已知条件，利用两角和差的正弦公式得到cosB-0或sinA-3sinB,-B=或a=3b.若B=p 可直接求面积;若a=3 b,由余弦定理，求得
12、=点进而利用三角形的面积公式求面积.解：由题意，得sin(4+8)+sin(/l-8)=2sinAcosB=6sinBcosB,cosB=OcsinA=3sinB,：,B=或a=3b.若B=则A=g S=-c-danA=;2 6 2 6若a=3 b,由余弦定理，得Q 2+b2-ab=i,得s=更.7228故选。9.答案：B解析：本题考查几何概型概率的计算，属于基础题.设47=2CB=4 r,则小圆的半径为心中等圆的半径为2小 大圆的半径为3r.先求出阴影部分的面积，再求出大圆的面积，根据几何概型概率公式计算，即可得到答案.解：设4c=2CB=4 r,则小圆的半径为r,中等圆的半径为2 r,大圆
13、的半径为3几则阴影部分的面积为7*9r2-7 T x 4 r-7 T x r)2;rr2.又最大圆的面积为：X 7 T x 9 r2=：9日2 TIT2 4所以该点取自阴影部分的概率 0 =jF 二=9.故选8.10.答案：C解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题.把（五+|）6 按照二项式定理展开，可得（丁-1）（五+|）6 的展开式中的常数项.解：（/-i）（V x +1）6=（X3-1）（质%3+盘 2 艰+盘 4+盘 8 x 4+C*-16 x-3+C l-3 2-+*64”），故它的展开式中的常数项为以 16 -靠 4=18 0,故选
14、C.11.答案：D解析:本题考查了函数的零点，函数的零点个数问题往往转化为函数图象的交点问题，属基础题.解,函数/（无）=瞿 一 kx2（x G R）有四个不同的零点,1 方程k=|x|(x+2);有三个不同的根，即方程器=|x|（x +2）有三个不同的根,记 函 数 田 2噌篝筋由题意y =与y =g（x）有三个不同的交点,，置由图知螂y 二k 1,装故 选 D12.答案：D解析：解：双曲线的渐近线方程为y =x,.当时，直线与双曲线的右支只有1个交点，当k W-l 时，直线与双曲线右支没有交点，把y =kx 1 代入/y2=4得：(1 fc2)x +2kx 5=0,号=4 1 +20(1-
15、fc2)=0,解得k=9或k=一苧(舍).1 n +1解析：解：由x +2；x2+-3；X%3+-4；X按此规律，第个不等式为：xn+n+l,故答案为：xn+n+l由归纳推理易得：xn+n+l.本题考查了归纳推理，属简单题.14.答案：一地4解析：本题考查了导数和三角函数知识的综合运用，先求出/(切=5)4 8 5%+1)的导数，根据函数的单调性即可求解；解：/(%)=cosx (cosx+1)+sinx (-s in x)=2cos2x+cosx-1=0,解得CO S T =1或一 1,当 c o s x =-1时，/(%)=0;当c o s x =；时,S in x =2),则册+1 an
16、=2an,an+1=3an(n 2),乂aZ =3a，所以c in+i=3dn(n 2 1)所以数列 即 是 以 1为首项，3 为公比的等比数列，所以S s =旦=121.3 1-3故答案为121.16.答案：学解析：本题考查正弦定理，属于基础题.利用正弦定理即可得答案.解：在R T A 4 B C 中，sinC =A C=75利用正 弦 定 理 得 丝=V7S U K.si n 15所以8。=谷=9，2故答案为生517.答案：解：函 数/=c o s(2x -g+2si n 2x -l=-cos2x+sin2x cos2x2 2=sin2x cos2x2 2=sin(2x ),由2攵 九 一
17、 3 W 2%g W 2A7r+g,k EZ.2.6 Z可得：/C 7 T -7 X a,C A,4=J，6B=p三角形的直角三角形，S=-ac=-x 2 x 2-/3=2V3.2 2解析：(1)利用两角和与差的三角函数以及二倍角的余弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过正弦函数的单调增区间，求/(%)的单调递增区间；(2)通过/(5=；,求出C,利用正弦定理求出A,判断三角形的形状，即可求力BC的面积.本题考查三角函数的化简求值，三角形的面积的求法，两角和与差的三角函数的应用.18.答案：(/)证明：平面PD E1平面。8 C E,平面PD En平面。BCE=DE,PD 1 DE
18、,PD，平面 D B C E,又BC u 平面 DBCE,A PD IB C,5LBC 1 DB,PD CBD=D,BC 1 平面 P B D,又DF u 平面 PBD,DF 1 BC,P D =B D,尸是P 8 的中点，D F 1 P B,又PBu平面 3 C,BCu平面 2C,P B C B C =B,D F 1 平面 P B C,又P C u 平面 P BC,D F 1 P C.()解：设B D =m,则P D =4-m,S BC=2m,1 2-VP-DBC=gSD BC .P D =聂 m(4 -m),由基本不等式可知，当m=4 -n t 即z n =2时，取得最大值，以。为原点，以
19、。E,DB,。尸为坐标轴建立空间坐标系。-x yz,则B(0,2,0),P(0,0,2),E(2,O,0),C(4,2,0),.丽=(0,-2,2)，E P =(-2,0,2),E C=(2,2,0),设平面P B E的法向量为沆=(x,y,z),则 但.空=,即 厂?+华=?，令z =l 可得沅=(1,1,1),同理可得平面P E C 的法向量为元=(1,一1,1).,t、m n 1 1：c o s =-p-p =|m|n|V 3 x V 3 3.当三棱锥P -O B C 的体积最大时，二面角B -PE-C 的余弦值为解析：本题考查了线面垂直的判定和性质，考查空间向量与二面角的计算，属于中档
20、题.(/)先证明B C 1平面P B Q 得出B C 1 DF,再证明OF，平面P B C 得出D F 1 P C；()根据基本不等式得出当。B =2时，棱锥体积最大，再建系求出平面P B E 和平面P C E 的法向量,计算法向量的夹角得出二面角的大小.19.答案：解：(1)由列联表数据计算力 的观测值k =白桨蓝黑饕x 2.020 2.07 2,不能在犯错误的概率不超过0.15 的前提下认为该市市民网购情况与性别有关.(2)由题意，抽取的5名女性网民中，经常进行网购的有5 x言=3人，偶尔或从不进行网购的有5 x孤=2人，故从这5 人中选出3 人至少有2 人经常进行网购的概率为：警+国=(
21、3)由列联表可知，经常进行网购的频率为黑=%，由题意，从该市市民中任意抽取1人恰好是经常进行网购的概率是非,由于该市市民数量很大，故可以认为X8（10,非）,.-.(%)=10 x1=5.5.11 9 99D(X)=1 0 x-x-=-解析：本题考查独立性检验及应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.由列联表数据求出依 的观测值k,2.020 0),当a0 恒成立，所以函数f(x)是(0,+8)上的单调递增函数；当a0时，由/(%)0,得x ；,由/(%)0,得0 x ；,函数f(x)在(：
22、.+x)单调递增，在(0,*上单调递减;综上所述，当a 0时，函数f(x)在区间6,+8)上单调递增，在区间(0,上单调递减.(2)V x e i,e ,函数9(工)=(I m -l)e +工-的零点，即方程(l ux -1)/(I)=0./.-+htr 12 0 在4 G 白 e上恒成立.Ne/./l(x)=(-+llLE-1”+1 2 0+1 0,X：./r(x)-(InJ l)cz+1 在 工 6 E，e上单调递增.h(%)min=h()=-2ee+,h(x)m a x=九(e)=e,所以当m e时，函数g(%)没有零点；e当一2/+工 m e时，函数g(%)有一个零点.e解析：本题主要
23、考查利用导数分析函数的单调性以及函数的零点个数问题，属于较难题.(1)求导，当a 0 恒成立，所以函数/(x)是(0,+8)上的单调递增函数；当a 0 时，利用导数讨论单调性即可.(2)x e j,e ,函数g(r)(htr-l)e,+上 r的零点，即方程(htr-1)/+t 二，的根，利用导数研究函数”工)=(Ini-1)+工 的单调性与最值即可求解.22.答案：解：(1)由 为参数)得x-y-2=0.直线I的普通方程是x-y-2 =0.由p=4A/2COS(0 4-2),得p=4cos0 4sin9,.p2=4pcos6 4psin0，由,X-pcos),得%2+y2=4%_ 4y,(y=
24、psmJ，曲线C的直角坐标方程是/+y2 一 钛+4y=o.(U)将直线/的参数方程化为标准形式为(x=2+t五2 为参数)，I V2 fly=Tt代入/+y2-4x+4y=0中，得i +2 7 2 f-4 =0.设 M,N 两点对应的参数分别为t i t，则 2忆产.|t-t 2=J(ti+t2)2-4匕/=2 迎)2-4 x (-4)=2V6.,_J_+_ =_ +_=lil+Qzl=Q iT，2l=2二伤 PM 十 PN 一两 两 1%|。1 一|t，t，2l|-4|T*解析：本题考查简单曲线的极坐标方程和直线的参数方程，是一般题.(I )将直线的参数方程化为普通方程，曲线的极坐标方程化
25、为直角坐标方程;(口)将直线的标准参数方程代入曲线直角坐标方程，进而即可得结果.23.答案：解：(1)当a=b=l 时根据题意得|%-1|+|%+2|2 2-%,当 不 2-x,解得 -3,当 2 V x 2%,解得一 1 x 1时，不等式可化为 l+x+2 2%,解得%1,综上，不等式的解集为：%|%4 3或x 1.(2)/(%)=|x-a|+|x+2b x-a x 2b=a+2b,当且仅当。一 a)(x+2 b)4 0时等号成立，因为Q 0,h 0,/(%)的值域为 2,+8),.a+2b=2,a2 4b2=(五+2b)+(+a)2 2m+2V 4P-2=2(a+2b)-2=2,当且仅当a=2b=1时等号成立，a2 4b2 今,元+-r 2，”的最小值为2.2b a解析：本题考查绝对值不等式和基本不等式，属于中档题.(1)利用绝对值的三角形不等式可解得此不等式，也可根据绝对值的定义分类去绝对值符号后，求得不等式的解集；(2)由/(x)的值域为 2,+8),得a+26 =2,利用基本不等式可求得最小值.