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1、理科数学 第1页（共5页）绵阳市高中绵阳市高中2020 级第二学年末考试 理科数学参考答案及评分意见 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ABCDC BCBAD DA 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 1365 14-40 15e(2，163633，三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 17解：（1）证明：连接 BC1，与 CB1交于点 M 点 M，D 是分别是 BC1，AB 的中点，MD 是中位线，AC1/MD 又 AC1平面 CDB1，MD平面 CDB1，AC1/平面 CDB1 6 分 （2）以点 C 为坐标原点，分别以 CA
2、，CB，CC1为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz 由题意得 A(3，0，0)，C1(0，0，2)，B1(0，4，2)，C(0，0，0)，则1AC=(-3，0，2)，1CB=(0，4，2)9 分 设直线 AC1与直线 CB1所成角为 1111112 22 65coscos=651320AC CBAC CBACCB=，11 分 直线 AC1与直线 CB1所成角的余弦值为2 6565 12 分 18解：（1）从参加集训的男生中随机抽取 3 人，女生中随机抽取 3 人组成代表队的抽取方法数为33771225CC=2 分 代表队中恰好有 1 名高一的学生的抽取方式中 恰有
3、 1 名高一学生，若学生为男生，则抽取方法数为123435120CCC=若学生为女生，则抽取方法数为20251233=CCC 高一恰好有 1 名学生入选代表队的概率120204122535P+=6 分 MA1B1ABCC1D理科数学 第2页（共5页）（2）由题意得 的可能值为 0，1，27 分 51)0(2623=CCP，53)1(261313=CCCP，51)2(2623=CCP 10 分 的分布列为 0 1 2 P 15 35 15 的数学期望为131()0121555E=+=12 分 19解：（1）当 k=0 时，f(x)=x3-3x2+1，2()=36fxxx 2 分 令()=0fx，
4、得 x1=0，x2=2 ()()xfxf x，的变化情况如下表：x(-，0)0(0，2)2(2，+)()fx +0-0+f(x)单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 函数 f(x)在 x=0 处取得极大值 f(0)=1，在 x=2 处取得极小值 f(2)=-3 5 分 （2）22()3633(2)fxxxkxxk=当 k0 时，对任意x2，3，有()(2)30fxfk=，函数 f(x)在区间2，3上单调递增，函数 f(x)在区间2，3上的最大值为(3)199fk=，得89k=7 分 当 0k3 时，若x2，11k+)，则()0fx；若x(11k+，3，则0)(xf 函数 f(x)在区间
5、 2，11k+)上单调递减，在区间11k+，3上单调递增 (2)360fk=，(3)191fk=，函数 f(x)在区间2，3上的最大值小于 9，不符合题意 9 分 当 k3 时，对任意x2，3，有()(3)930fxfk=，函数 f(x)在区间2，3上单调递减，函数 f(x)在区间2，3上的最大值为(2)360fk=，不符合题意 综上，存在实数89k=，使得函数 f(x)在区间2，3上的最大值是 912 分 理科数学 第3页（共5页）20解：（1）ADAB，BC/AD，BCAB 2 分 又 AP底面 ABCD，BC底面 ABCD，APBC 又APABA=，BC平面 PAB 又 BC平面 PBC
6、，平面 PBC平面 PAB 5 分 （2）以 A 为坐标原点，分别以 AB，AD，AP 为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz 由题意得 A(0，0，0)，B(2，0，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，E(0，2，1)7 分 设PFPC=，可得(2222)F，(22 2 22)BF=，又底面 ABCD 的法向量 n=(0，0，1)，设直线 BF 与平面 ABCD 所成角为，2223sincos312168，BFBFBF=+nnn，解得12=，9 分 F(1，1，1)AE=(0，2，1)，AF=(1，1，1)设平面 AEF 的一个法向量为 n1=(x，y，z)
7、2+0+0y zxy z=+=，不妨设 z=-2，则 n1=(1，1，-2)又平面 EAD 的一个法向量为 n2=(1，0，0)cos=12121666 1=n nnn11 分 由图可知，所求二面角的平面角为钝角，二面角 F-EA-D 的余弦值为66 12 分 21解：（1）当 x=0 时，f(0)=2-m=1，又()2esin2xfxmxax=+，k=(0)f=2=n 由题意得 n=2，m=1 4 分 z y x 理科数学 第4页（共5页）（2）()()f xg x等价于 2ex-cosx-ax2-2x-10 令()h x=2ex-cosx-ax2-2x-1，则()=2sin22xh xex
8、ax+，令 p(x)=2sin22xexax+，则()p x=2cos2xexa+，令 q(x)=2cos2xexa+，则()q x=2sinxex 当 x0 时，()0q x，q(x)=2cos2xexa+在0)+，上单调递增，q(x)min=q(0)32a=6 分 当 3-2a0，即32a时，()(0)320p xpa=，()=2esin22xh xxax+在0)+，上单调递增，()(0)0h xh=，()h x=2ex-cosx-ax2-2x-1 在0)+，上单调递增，()(0)0h xh=，32a成立 8 分 当 3-2a0 时，即32a 时，min()(0)32p xpa=0，使得当
9、00)xx，时，()0p x 当00)xx，时，()=2esin22xh xxax+在00)x，上单调递减，又(0)=0h，当00)xx，时，()0h x恒成立 函数()h x=2ex-cosx-ax2-2x-1 在00)x，上单调递减，又 h(0)=0，当00)xx，时，()0h x，与对于x0，()()f xg x恒成立矛盾 11 分 综上，实数 a 的取值范围是32a12 分 22解：（1）由2132，xtytt=+消去参数 t，得曲线 C 的普通方程为2yxx=2 分 cossinxy=，直线l的极坐标方程为1sin()32=曲线 C 的极坐标方程为2cossincos=+5 分 理科
10、数学 第5页（共5页）（2）联立23cossincos=+，得点 M 的极径22 3M=+，即22 3OM=+7 分 联立231sin()32=，解得33=点 N 的极径33N=，即33ON=9 分 6+2 3OMON=10 分 23解：（1）m=5，522)(+=xxxf 当2x时，52)(=xxf，由()2f x 可化为72x ，得72x ；2 分 当22x时，1)(=xf，由()2f x 无解；当 x2 时，52)(=xxf，由()2f x 可化为27x，得27x 综上，不等式()2f x 的解集为72x x 或27x5 分 （2）函数245yxx=+与函数 y=f(x)的图象有公共点；由图象可知，函数2()45g xxx=+在 x=2 时取得最大值 9 6 分 函数2(2)=fmxxx+在区间-2，2取得最小值 4-m 8 分 要使得函数245yxx=+与函数 y=f(x)的图象有公共点，则(2)(2)fg，解得5m m的取值范围是 5)，+.10分