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1、精品文档 精品文档 第三节 抛物线及其性质 考纲解读 掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形和及其简单几何性质.命题趋势探究 抛物线是圆锥曲线的重要内容，高考主要考查抛物线的方程、焦点、准线及其几何性质，题形上，选择、填空、解答题都有可能出现，以考查学生的运算、数形结合和分析能力为主.预测 2019 年高考主要考查抛物线标准方程和性质的应用，焦点弦是重点考查的内容.知识点精讲 一、抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线)(lFl的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.注 若在定义中有lF，则动点的轨迹为l的垂线，垂足为点F.二、抛物线的方程、图形及性
2、质 抛物线的标准方程有4 种形式：)0(2,2,2,22222ppyxpyxpxypxy，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向（如表 10-3 所示）表 10-3 标准方程)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx 图形 对称轴 x轴 y轴 顶点 原点)0,0(焦点坐标)0,2(p)0,2(p)2,0(p)2,0(p 准线方程 2px 2px 2py 2py 三、抛物线中常用的结论 1.点),(00yxP与抛物线)0(22ppxy的关系（1）P在抛物线内（含焦点）0202pxy.（2）P在抛物线上0202pxy.（3）P在抛物线外0202pxy.y
3、 x O F l y x O F l y x O F l F y x O l 精品文档 精品文档 2.焦半径 抛物线上的点),(00yxP与焦点F的距离称为焦半径，若)0(22ppxy，则焦半径20pxPF，2maxpPF.3.)0(pp的几何意义 p为焦点F到准线l的距离，即焦准距，p越大，抛物线开口越大.4.焦点弦 若AB为抛物线)0(22ppxy的焦点弦，),(11yxA，),(22yxB，则有以下结论：（1）4221pxx.（2）221pyy.（3）焦点弦长公式 1：pxxAB21，pxxxx21212，当21xx 时，焦点弦取最小值p2，即所有焦点弦中通径最短，其长度为p2.焦点弦长
4、公式 2：2sin2pAB（为直线AB与对称轴的夹角）.（4）AOB的面积公式：sin22pSAOB（为直线AB与对称轴的夹角）.5.抛物线的弦 若 AB 为抛物线22(p0)ypx 的任意一条弦，1122(x,y),B(x,y)A，弦的中点为000(x,y)(y0)M，则（1）弦长公式：212122111(kk0)ABABkxxyyk （2）0ABpky （3）直线 AB的方程为000(xx)pyyy （4）线段 AB的垂直平分线方程为000(xx)yyyp 有可能出现以考查学生的运算数形结合和分析能力为主预测年高考主要考查抛物线标准方程和性质的应用焦点弦是重叫抛物线的焦点定直线叫做抛物线的
5、准线则动点的轨迹为的垂线垂足为点注若在定义中有二抛物线的方程图形及性质轴轴轴顶点原点焦点坐标准线方程三抛物线中常用的结论点与抛物线的关系在抛物线内含焦点在抛物线上在抛物线外精品文档 精品文档 6求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（4A法）（1）2(A0),yAx 焦点为(,0)4A，准线为4Ax (2)2(A0),xAy 焦点为(0,)4A，准线为4Ay 如24yx，即24yx，焦点为1(0,)16，准线方程为116y 7参数方程 22(p0)ypx 的参数方程为222xptypt （参数tR）8切线方程和切点弦方程 抛物线22(p0)ypx的切线方程为0000(xx),(x,y)y yp
6、为切点 切点弦方程为00(xx),y yp点00(x,y)在抛物线外 与中点弦平行的直线为00(xx),y yp此直线与抛物线相离，点00(x,y)（含焦点）是弦 AB的中点，中点弦 AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果。题型归纳及思路提示 题型 143；抛物线的定义与方程 思路提示 求抛物线的标准方程的步骤为：(1)先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置：(2)根据题目条件列出 P 的方程(3)解方程求出 P，即得标准方程 10 23例 已知抛物线22(p0)ypx的准线与圆22670 xyx 相切,求的值为（）A12 B 1 C 2 D4 解析；抛物
7、线的准线为2px ，圆22670 xyx 的标准方程为22(x3)16y，由2px 与圆相切，知3()42p，解得2p，故选 C 评注 准线 是抛物线的重要性质，要熟记准线方程。变式 1 设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x ，则抛物线的方程是（）A28yx B 28yx C24yx D24yx 变式 2 设00(x,y)M 为抛物线2:8C xy上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，有可能出现以考查学生的运算数形结合和分析能力为主预测年高考主要考查抛物线标准方程和性质的应用焦点弦是重叫抛物线的焦点定直线叫做抛物线的准线则动点的轨迹为的垂线垂足为点注若在定义中有二抛物线的方程图形及性质轴轴轴
8、顶点原点焦点坐标准线方程三抛物线中常用的结论点与抛物线的关系在抛物线内含焦点在抛物线上在抛物线外精品文档 精品文档 FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则0y的取值范围是（）A 0,2 B 0,2 C2,D2,例10.24 若点p到直线1x 的距离比它到点 2,0的距离小1，则点p的轨迹为（）A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 解析 解法一：（直接法）设(x,y)P 依题意有221(x2)1xy ，当1x 时，221 1(x2)xy ，整理得28yx 当1x 时，24(x1)y ，显然不成立，故点p的轨迹方程为28(x0)yx 解法二：（定义法）由题意可知，点p只能在1x 的右侧，点p到直线2x
9、 的距离等于它到点 2,0的距离，根据抛物线的定义知，点p的轨迹是抛物线，故选 D 变式 1 设圆C 与圆22(y3)1x 外切，与直线0y 相切，则C的圆心轨迹为（）A抛物线 B双曲线 C椭圆 D圆 变式 2 动点M到点(2,1)F的距离和到直线:34100lxy 的距离相等，则动点M的轨迹为（）A抛物线 B直线 C线段 D射线 10.25例 设抛物线28yx上一点P 到y 轴的距离是4，则点P抛物线焦点的距离是（）A4 B6 C8 D12 解析 由焦半径公式4262ppPFx 知点P到焦点的距离为 6，故选 B 变式 1 （2012 四川理 8）已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点
10、O，并且经过点0(2,y)M，若点M 到该抛物线焦点的距离为 3，则OM（）A2 2 B2 3 C4 D2 5 变式 2 已知F是抛物线2yx的焦点，,A B 是该抛物线上的两点，3AFBF 则线段AB的中点到y轴的距离为（）A34 B1 C54 D74 有可能出现以考查学生的运算数形结合和分析能力为主预测年高考主要考查抛物线标准方程和性质的应用焦点弦是重叫抛物线的焦点定直线叫做抛物线的准线则动点的轨迹为的垂线垂足为点注若在定义中有二抛物线的方程图形及性质轴轴轴顶点原点焦点坐标准线方程三抛物线中常用的结论点与抛物线的关系在抛物线内含焦点在抛物线上在抛物线外精品文档 精品文档 变 式 3 设F为
11、 抛 物 线24yx的 焦 点，,A B C 为 该 抛 物 线 上 三 点，若0FAFBFCuuu ruuu ruuu rr，则FAFBFCuuu ruuu ruuu r（）A9 B6 C4 D3 10.26例 过抛物线22(p0)ypx 的焦点F作倾斜角为60o的直线与抛物线分别交于,A B两点（点A 在x轴上方），则AFBF 解析 如图 10-10所示，由题意得准线:2pl x ，作ACl 于点C，BDl于点D，BHAC于点H，则,AFACBFBD，AHACBDAFBF，因为 在 三 角 形AHB中，60HABo，所 以cos60AHAFBFABAFBFo，即1()2AFBFAFBF，得
12、3AFBF 变式 1 已知F是抛物线2:4Cyx的焦点，过F且斜率为 1 的直线交C于,A B 两点，设FAFB，则FA与FB的比值等于 变式 2 已知点(2,0)A，抛物线2:x4Cy的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则:FMMN（）有可能出现以考查学生的运算数形结合和分析能力为主预测年高考主要考查抛物线标准方程和性质的应用焦点弦是重叫抛物线的焦点定直线叫做抛物线的准线则动点的轨迹为的垂线垂足为点注若在定义中有二抛物线的方程图形及性质轴轴轴顶点原点焦点坐标准线方程三抛物线中常用的结论点与抛物线的关系在抛物线内含焦点在抛物线上在抛物线外精品文档 精品文档 A2:5
13、B1:2 C1:5 D1:3 题型 144 与抛物线有关的距离和最值问题 思路提示 抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，从而把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解。10.27例已知直线1:4360lxy 和直线2:1lx ，抛物线24yx上一动点P 到直线1l和2l的距离之和的最小值是（）A2 B3 C115 D3716 分析 画出图形，利用等价转化，将距离之和的最小值转化为点到直线的距离。解析 作辅助线
14、如图 10-11 所示，连接PF 抛物线方程为24yx，2l为其准线，焦点为(1,0)F，由抛物线的定义可如12111(F,l)2PHPHPHPFFHd，故选A 评注 本题考查抛物线的定义及转化与化归的数学思想 变式 1 已知点P是抛物线22yx 上的一个动点，则点P到点(0,2)M与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A172 B3 C5 D92 变式 2 已知点P在抛物线24yx上，那么当点P到点(2,1)Q的距离与点P到抛物线有可能出现以考查学生的运算数形结合和分析能力为主预测年高考主要考查抛物线标准方程和性质的应用焦点弦是重叫抛物线的焦点定直线叫做抛物线的准线则动点的轨迹为的垂线垂足
15、为点注若在定义中有二抛物线的方程图形及性质轴轴轴顶点原点焦点坐标准线方程三抛物线中常用的结论点与抛物线的关系在抛物线内含焦点在抛物线上在抛物线外精品文档 精品文档 焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A1(,1)4 B1(,1)4 C(1,2)D(1,2)变式 3 动圆满足过定点(1,0)F，且与定直线1x 相切，直线:2 21l yx 与动圆有公共点，则动圆的面积最小值为 题型 145 抛物线中三角形，四边形的面积问题 思路提示 解决此类问题经常利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离，并构成直角三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比。例 10.28（2012
16、北京理 12）在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线24yx的焦点F，且与该抛物线相交于,A B两点，其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60o，则OAFV的面积为 解析 解法一：直线l的方程为3(x1)y 没，代入24yx得231030 xx 解得121,33xx 得(3,2 3)A 111 2 3322OAPASOF y V 解法二：如图 10-12 所示，由题意得抛物线的准线:1l x ，过A作ACl于C，FHAC于H，连接,CF OA，则AFAC，又60CAFo，故三角形ACF为正三角形，因为2CHp ，所以2 3FH ，所以有可能出现以考查学生的运算数形结合和分析能力为主预测年高考主
17、要考查抛物线标准方程和性质的应用焦点弦是重叫抛物线的焦点定直线叫做抛物线的准线则动点的轨迹为的垂线垂足为点注若在定义中有二抛物线的方程图形及性质轴轴轴顶点原点焦点坐标准线方程三抛物线中常用的结论点与抛物线的关系在抛物线内含焦点在抛物线上在抛物线外精品文档 精品文档 111 2 3322OAFSOF OH V 评注 解法一求出了交点A 的坐标，从而求得OAFV 的面积；解法二利用了抛物线的定义及三角形的性质，得出OAFV中边OF 的高，计算量较小，方法更简捷 变式 1 （2012 安徽理 9）过抛物线24yx 的焦点F的直线交抛物线于,A B 两点，点O是坐标原点，若3AF，则AOBV的面积为（
18、）A22 B2 C232 D2 2 例 10.29 抛物线24yx的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKFV的面积是（）A4 B3 3 C4 3 D8 分析 作出图形，利用数形结合思想，在图中找到三角形的底和高从而使问题得以解决。解析 解法一：如图 10-13 所示，由题意可知(1,0)F，准线方程为1x ，由23(x1)4yyx，解得(3,2 3)A，故3 14AK ，因为直线AF的斜率3，所以60AFxo，则60FAKo，又AKAF，则AKFV为正三角形，AKFV的底为4AK ，高为2 3，所以14 2 34 32AKFS
19、V 有可能出现以考查学生的运算数形结合和分析能力为主预测年高考主要考查抛物线标准方程和性质的应用焦点弦是重叫抛物线的焦点定直线叫做抛物线的准线则动点的轨迹为的垂线垂足为点注若在定义中有二抛物线的方程图形及性质轴轴轴顶点原点焦点坐标准线方程三抛物线中常用的结论点与抛物线的关系在抛物线内含焦点在抛物线上在抛物线外精品文档 精品文档 解法二：由焦点F到准线l的距离为 2，因为直线AF的斜率为3，所以60AFxo，则60FAKo，又AKAF，则AKFV为正三角形，则60FAKo30F AKo，则24KFF F ，所以2344 34AKFSV，选 C 变式 1 已知抛物线2;8C yx的焦点为F，准线与
20、x 轴的交点为K，点A在C 上且2AKAF，则AKFV的面积为（）A4 B8 C16 D32 变式 2 设抛物线22yx的焦点为F，过点(3,0)M的直线与抛物线相交于,A B两点，与抛物线的准线相交于点C，2BF，则BCFACFSSVV 等于（）A45 B23 C47 D12 最有效训练题 44（限时 45 分钟）1 抛物线224(0)yax a上有一点M，它的横坐标是 3,它到焦点的距离是 5,则抛物线的方程为()A28yx B212yx C216yx D220yx 2.若点P到直线2x 的距离比它到点(1,0)的距离大 1,则点P的轨迹为()A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 3.已知抛物
21、线22ypx,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A相离 B相切 C相交 D不能确定 4.已知双曲线22122:1(0,0)xyCabab的离心率为 2,若抛物线22:2(0)Cxpy p 的焦点到双曲线1C的渐近线的距离为 2,则抛物线2C 的方程为()有可能出现以考查学生的运算数形结合和分析能力为主预测年高考主要考查抛物线标准方程和性质的应用焦点弦是重叫抛物线的焦点定直线叫做抛物线的准线则动点的轨迹为的垂线垂足为点注若在定义中有二抛物线的方程图形及性质轴轴轴顶点原点焦点坐标准线方程三抛物线中常用的结论点与抛物线的关系在抛物线内含焦点在抛物线上在抛物线外精品文档 精品文档 A2
22、8 33xy B216 33xy C28xy D216xy 5.等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C与抛物线216yx的准线交于,A B两点,4 3AB ,则C的实轴长为()A2 B2 2 C4 D8 6.已知,P Q 为抛物线22xy 上两点,点,P Q的横坐标分别为4,2,过,P Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为()A1 B3 C4 D8 7.已知以F为焦点的抛物线24yx 上的两点,A B 满足3AFFBuuu ruuu r，则弦AB 的中点到准线的距离为 8若点3,1是抛物线22ypx的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为 2，则p 9已知点 2,0,
23、4,0AB，动点P在抛物线24yx 上运动，则AP BPuuu r uuu rg取得最小值时的点P的坐标是 10已知抛物线22yx的焦点是F，点P是抛物线上的动点（1）若有点 3,2A，求的最小值，并PAPF求出取最小值时P点的坐标（2）若点A的坐标为 2,3，求PAPF的最小值（3）若P点在y轴上的射影是M，点A的坐标是7,42，求PAPM的最小值.11已知抛物线方程20ymx mRm，且 （1）若抛物线焦点坐标为10，求抛物线的方程 （2）若动圆M过A（2，0），且圆心M在该抛物线上运动，EF，是圆M和y轴的交点，当m满足什么条件时，EF是定值？12如图 10-14所示，已知点 2,8A，
24、1122,B x yC xy均在抛物线220ypx p上，ABCV的重心与此抛物线的焦点F重合。（1）写出该抛物线的方程及焦点F的坐标；有可能出现以考查学生的运算数形结合和分析能力为主预测年高考主要考查抛物线标准方程和性质的应用焦点弦是重叫抛物线的焦点定直线叫做抛物线的准线则动点的轨迹为的垂线垂足为点注若在定义中有二抛物线的方程图形及性质轴轴轴顶点原点焦点坐标准线方程三抛物线中常用的结论点与抛物线的关系在抛物线内含焦点在抛物线上在抛物线外精品文档 精品文档（2）求线段BC的中点M的坐标；（3）求BC所在直线的方程.有可能出现以考查学生的运算数形结合和分析能力为主预测年高考主要考查抛物线标准方程和性质的应用焦点弦是重叫抛物线的焦点定直线叫做抛物线的准线则动点的轨迹为的垂线垂足为点注若在定义中有二抛物线的方程图形及性质轴轴轴顶点原点焦点坐标准线方程三抛物线中常用的结论点与抛物线的关系在抛物线内含焦点在抛物线上在抛物线外