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1、精品文档 精品文档 精品文档 精品文档 切线两切线交点位置有何特殊之处结论交点在准线上先猜后证当弦轴时则点的坐标为在准线上证明从略结论切线交点述命题的逆命题是否成立结论过抛物线准线上任一点作抛物线的切线则过两切点的弦必过焦点先猜后证过准线与轴的是抛物线焦点弦是的中点是抛物线的准线过的切线相交于与抛物线交于点则有结论结论结论平分结论平分平分结论结精品文档 精品文档 抛物线焦点弦性质总结 30 条 aACC(X3,Y3)BOFB(X2,Y2)A(X1,Y1)基础回顾 1.以 AB为直径的圆与准线L相切；2.2124px x g;3.212y yp g;4.90AC Bo;5.90A FBo;6.1
2、23222()2sinppABxxpx ;7.112AFBFP;8.A、O、B三点共线；9.B、O、A三点共线；10.22sinAOBPSV；11.23()2AOBSPABV（定值）；12.1 cosPAF；1cosPBF；13.BC垂直平分B F；14.AC垂直平分A F；15.C FAB；16.2ABP；17.11()22CCABAABB；18.AB3PK=y；19.2p22ytan=x-;20.2AB4 AFBF;21.1CFAB2.22.切线方程 xxmyy00 性质深究 一)焦点弦与切线 1、过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？结论 1：交点在准线上 先
3、猜后证：当弦xAB轴时，则点 P 的坐标为0,2p在准线上 证明:从略 结论 2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴 结论 3 弦 AB不过焦点即切线交点 P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴 2、上述命题的逆命题是否成立？结论 4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 先猜后证：过准线与 x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点 AB 的弦必过焦点 结论 5 过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径 3、AB 是抛物线pxy22（p0）焦点弦，Q 是 AB 的中点，l 是抛物线的准线，lAA 1，lBB 1，过A，B 的切线相交于 P，P
4、Q 与抛物线交于点 M则有 结论 6PAPB 结论 7PFAB 结论 8 M 平分 PQ 结论 9 PA平分A1AB，PB 平分B1BA 结论 102PFFBFA 结论 11PABS2minp 切线两切线交点位置有何特殊之处结论交点在准线上先猜后证当弦轴时则点的坐标为在准线上证明从略结论切线交点述命题的逆命题是否成立结论过抛物线准线上任一点作抛物线的切线则过两切点的弦必过焦点先猜后证过准线与轴的是抛物线焦点弦是的中点是抛物线的准线过的切线相交于与抛物线交于点则有结论结论结论平分结论平分平分结论结精品文档 精品文档 二)非焦点弦与切线 思考：当弦AB不过焦点，切线交于P点时，也有与上述结论类似结
5、果：结论 12 pyyxp221，221yyyp 结论 13 PA平分A1AB，同理 PB 平分B1BA 结论 14 PFBPFA 结论 15 点 M 平分 PQ 结论 16 2PFFBFA 相关考题 1、已知抛物线yx42的焦点为 F，A，B 是抛物线上的两动点，且FBAF（0），过 A，B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M，（1）证明：ABFM 的值；（2）设ABM的面积为 S，写出 fS 的表达式，并求 S 的最小值 2、已知抛物线 C 的方程为yx42，焦点为 F，准线为 l，直线 m 交抛物线于两点 A，B；（1）过点 A的抛物线 C 的切线与 y 轴交于点 D，求证：DFAF
6、；（2）若直线 m 过焦点 F，分别过点 A，B 的两条切线相交于点 M，求证：AMBM，且点 M 在直线 l 上 3、对每个正整数 n，nnnyxA,是抛物线yx42上的点，过焦点 F 的直线 FAn交抛物线于另一点 nnntsB,，（1）试证：4nnsx（n1）（2）取nnx2，并 Cn为抛物线上分别以 An与 Bn为切点的两条切线的交点，求证：122121 nnnFCFCFC（n1）切线两切线交点位置有何特殊之处结论交点在准线上先猜后证当弦轴时则点的坐标为在准线上证明从略结论切线交点述命题的逆命题是否成立结论过抛物线准线上任一点作抛物线的切线则过两切点的弦必过焦点先猜后证过准线与轴的是抛
7、物线焦点弦是的中点是抛物线的准线过的切线相交于与抛物线交于点则有结论结论结论平分结论平分平分结论结精品文档 精品文档 椭圆与双曲线的对偶性质-（必背的经典结论）高三数学备课组 椭 圆 1.点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的外角.2.PT 平分PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P xy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221x xy yab.6.若000(
8、,)P xy在椭圆22221xyab外，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是00221x xy yab.7.椭圆22221xyab(ab0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点12F PF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFSb.8.椭圆22221xyab（ab0）的焦半径公式：10|MFaex,20|MFaex(1(,0)Fc,2(,0)F c00(,)M xy).9.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则
9、MFNF.10.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11.AB 是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB 的中点，则22OMABbkka，即0202yaxbKAB。12.若000(,)P xy在椭圆22221xyab内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab.13.若000(,)P xy在椭圆22221xyab内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab.双曲线 1.点 P
10、处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的内角.2.PT 平分PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）上，则过0P的双曲线的切线方程是00221x xy yab.6.若000(,)P xy在双曲线22221xyab（a0,b0）外，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是00
11、221x xy yab.7.双曲线22221xyab（a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意一点12F PF，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PFSb co.8.双曲线22221xyab（a0,bo）的焦半径公式：(1(,0)Fc,2(,0)F c 当00(,)M xy在右支上时，10|MFexa,20|MFexa.当00(,)M xy在左支上时，10|MFexa,20|MFexa 9.设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF.10
12、.过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11.AB 是双曲线22221xyab（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为 AB 的中点，则0202yaxbKKABOM，即0202yaxbKAB。12.若000(,)P xy在 双 曲 线22221xyab（a 0,b 0）内，则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是2200002222x xy yxyabab.13.若000(,)P xy在 双 曲 线22221xyab（a 0,b 0）内，则
13、 过 Po的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是22002222x xy yxyabab.切线两切线交点位置有何特殊之处结论交点在准线上先猜后证当弦轴时则点的坐标为在准线上证明从略结论切线交点述命题的逆命题是否成立结论过抛物线准线上任一点作抛物线的切线则过两切点的弦必过焦点先猜后证过准线与轴的是抛物线焦点弦是的中点是抛物线的准线过的切线相交于与抛物线交于点则有结论结论结论平分结论平分平分结论结精品文档 精品文档 椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）高三数学备课组 椭 圆 1.椭圆22221xyab（abo）的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)A a，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1
14、、P2时A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab.2.过椭圆22221xyab(a0,b0)上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且2020BCb xka y（常数）.3.若 P 为椭圆22221xyab（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1,F 2是焦点,12PF F,21PF F，则tant22accoac.4.设椭圆22221xyab（ab0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记12F PF,12PF F,12F F P，则有sinsinsincea.5.若椭圆22221x
15、yab（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 0e21时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项.6.P 为 椭 圆22221xyab（a b 0）上 任 一 点,F1,F2为 二 焦 点，A为 椭 圆 内 一 定 点，则2112|2|aAFPAPFaAF,当且仅当2,A F P三点共线时，等号成立.7.椭 圆220022()()1xxyyab与 直 线0AxByC 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是2222200()A aB bAxByC.8.已知椭圆22221xyab（ab0），O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且
16、OPOQ.（1）22221111|OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a bab;（3）OPQS的最小值是2222a bab.9.过椭圆22221xyab（ab0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x轴于 P，则|2PFeMN.10.已知椭圆22221xyab（ab0）,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点0(,0)P x,则22220ababxaa.11.设 P 点是椭圆22221xyab（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF，则(1)2122|1cosbPFPF.(
17、2)1 22tan2PF FSb.12.设 A、B 是椭圆22221xyab（ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB,PBA,BPA，c、e 分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|sabPAac co.(2)2tantan1e.(3)22222cotPABa bSba.13.已知椭圆22221xyab（ab0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭
18、圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.切线两切线交点位置有何特殊之处结论交点在准线上先猜后证当弦轴时则点的坐标为在准线上证明从略结论切线交点述命题的逆命题是否成立结论过抛物线准线上任一点作抛物线的切线则过两切点的弦必过焦点先猜后证过准线与轴的是抛物线焦点弦是的中点
19、是抛物线的准线过的切线相交于与抛物线交于点则有结论结论结论平分结论平分平分结论结精品文档 精品文档 椭圆与双曲线的对偶性质-（会推导的经典结论）高三数学备课组 双曲线 1.2.双曲线22221xyab（a0,b0）的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)A a，与 y 轴平行的直线交双曲线于P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab.3.过双曲线22221xyab（a0,bo）上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线 BC 有定向且2020BCb xka y（常数）.4.5.若P为双曲线22221xyab（a0,b0）右（或左）
20、支上除顶点外的任一点,F1,F 2是焦点,12PF F,21PF F，则tant22cacoca（或tant22cacoca）.6.7.设双曲线22221xyab（a0,b0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在PF1F2中，记12F PF,12PF F,12F F P，则有sin(sinsin)cea.8.若双曲线22221xyab（a0,b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 1e21时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项.9.10.P 为双曲线22221xyab（a0,b0）上任一点,F1,
21、F2为二焦点，A 为双曲线内一定点，则21|2|AFaPAPF,当且仅当2,A F P三点共线且P和2,A F在 y 轴同侧时，等号成立.11.双 曲 线22221xyab（a 0,b 0）与 直 线0AxByC 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是22222A aB bC.12.13.已知双曲线22221xyab（ba 0），O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点，且OPOQ.（1）22221111|OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a bba;（3）OPQS的最小值是2222a bba.14.过双曲线22221xyab（a0,b0）的右焦点 F 作直线交该双
22、曲线的右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则|2PFeMN.15.已知双曲线22221xyab（a0,b0）,A、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点0(,0)P x,则220abxa或220abxa.16.设 P 点是双曲线22221xyab（a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF，则(1)2122|1 cosbPFPF.(2)1 22cot2PF FSb.17.18.设 A、B 是双曲线22221xyab（a0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，PAB,PBA,BPA，c、e 分别是双曲线的半焦距离
23、心率，则有(1)22222|cos|s|abPAac co.(2)2tantan1e.(3)22222cotPABa bSba.19.20.已知双曲线22221xyab（a0,b0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.21.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.22.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.切线两切线交点位置有何特殊之处结论交点在准线上先猜后证当弦轴时则
24、点的坐标为在准线上证明从略结论切线交点述命题的逆命题是否成立结论过抛物线准线上任一点作抛物线的切线则过两切点的弦必过焦点先猜后证过准线与轴的是抛物线焦点弦是的中点是抛物线的准线过的切线相交于与抛物线交于点则有结论结论结论平分结论平分平分结论结精品文档 精品文档 23.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).24.25.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.26.27.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.切线两切线交点位置有何特殊之处结论交点在准线上先猜后证当弦轴时则点的坐标为在准线上证明从略结论切线交点述命题的逆命题是否成立结论过抛物线准线上任一点作抛物线的切线则过两切点的弦必过焦点先猜后证过准线与轴的是抛物线焦点弦是的中点是抛物线的准线过的切线相交于与抛物线交于点则有结论结论结论平分结论平分平分结论结