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1、 1 2023 届新高考数学高频考点专项练习：专题十四 考点 39 抛物线及其性质（B 卷）1.若抛物线22(0)ypx p的焦点是椭圆2213xypp的一个焦点，则p()A.2 B.3 C.4 D.8 2.抛物线22yx上的一点 P 到原点的距离为22，则点 P 到抛物线准线的距离为()A.22 B.2 C.52 D.32 3.已知抛物线2:2(0)Cxpyp的焦点为 F，直线3y与抛物线交于 A，B 两点，|4AF，则抛物线 C 的方程为()A.24xy B.22xy C.2xy D.212xy 4.已知抛物线24yx的焦点为 F，过点 F 的直线交拋物线于 A，B 两点，延长 FB 交准
2、线于点 C，分别过点 A，B 作准线的垂线，垂足分别记为 M，N，若|2|BCBN，则AFM的面积为()A.4 3 B.4 C.2 3 D.2 5.已知抛物线22(0)ypx p过点1,22A，其准线与 x 轴交于点 B，直线 AB 与抛物线的另一个交点为 M，若MBAB，则实数()A.13 B.12 C.2 D.3 6.已知拋物线2:2(0)C ypx p的焦点为 F，点0,2 2M x02xp是抛物线 C 上一点，以点 M 为圆心的圆与直线2xp交于 E，G 两点，若1sin3MFG，则抛物线 C 的方程是()A.2yx B.22yx C.24yx D.28yx 7.过抛物线24yx焦点
3、F 的直线交抛物线于,A B两点，交其准线于点 C，且,A C位于 x 轴同侧.若|2|ACAF，则|BF()A.2 B.3 C.4 D.5 8.(多选)在平面直角坐标系 xOy 中，点(4,4)M在抛物线22(0)ypx p上，抛物线的焦点为 F，延长 MF 与抛物线相交于点 N，则下列结论正确的是()2 A.抛物线的准线方程为1x B.17|4MN C.OMN的面积为72 D.|MFNFMFNF 9.(多选)已知 O 为坐标原点，抛物线2:2Cypx上一点 A 到焦点 F 的距离为 4，若点 M为抛物线 C 准线上的动点，以下说法正确的是()A.当MAF为正三角形时，p 的值为 2 B.存
4、在点 M，使得MAMF 0 C.若3MFFA，则3p D.若|OMMA的最小值为213，则4p 或 12 10.一条光线从抛物线22(0)ypx p的焦点 F 射出，经抛物线上一点 B 反射后，反射光线经过点(5,4)A，若|6ABFB，则抛物线的标准方程为_.11.已知 l 为拋物线28yx的准线，拋物线上的点 M 到直线 l 的距离为 d，点 A 的坐标为(1,4)，则AM d的最小值是_.12.已知点(1,0)A 是抛物线22ypx的准线与 x 轴的交点，F 为抛物线的焦点，P 是抛物线上的动点，则|PFPA的最小值为_.13.已知抛物线22(0)ypx p的焦点为(1,0)F，准线为
5、l，过焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线，垂足为 C，D，若|4|AFBF，则p_.三角形CDF 的面积为_.14.已知抛物线2:2(1)Cypxp上的点0,1Px到其焦点 F 的距离为54.(1)求抛物线 C 的方程；(2)点(,4)E t在抛物线 C 上，过点(0,2)D的直线 l 与抛物线 C 交于112212,0,0A xyBxyyy两点，点 H 与点 A 关于 x 轴对称，直线 AH 分别与直线OE，OB 交于点 M，N(O 为坐标原点)，求证：|AMMN.15.已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为 F，(,2)M m 为抛物线上一点，|2M
6、F.(1)求抛物线 C 的标准方程；(2)过 M 的两直线交抛物线于 A，B，且AMB的平分线平行于 y 轴，试判断AMB的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由.3 4 答案以及解析 1.答案：D 解析：抛物线22(0)ypx p的焦点坐标为,02p，椭圆2213xypp的一个焦点为,02p，234ppp，又0p，8p.2.答案：C 解析：设000,0Pxyx，则2002yx，22200(2 2)8xy，即200280 xx，解得02x 或-4（舍去）.抛物线的准线方程为12x ，所以点 P 到准线的距离为15222.故选 C.3.答案：A 解析：法一 抛物线2:2(0)Cxp
7、yp的准线方程为2py .因为|4AF，所以由抛物线的定义得342p，解得2p，所以抛物线 C 的方程为24xy.故选 A.法二 设直线3y与 y 轴的交点为 D，1,3A x，由题意可得0,2pF，216xp，当点 D与点 F 重合时，则32p，6p，1|6AFADx，与题意不符，所以点 D 与点 F不重合.则由勾股定理得222|AFADDF，即216 632pp，解得2p（负值舍去），所以抛物线 C 的方程为24xy.故选 A.4.答案：A 解析：法一 由题意可知，2p，则(1,0)F，抛物线的准线方程为直线1x，|BFBN，|AFAM.因为|2|BCBN，所以|2|BCBF，所以|2|3
8、BCCF，所以|23BNp，所以4|3BNBF，8|3BC，所以|4CF.因为|pCFAMCA，所以2|44|4|4|CFAMCFAFAFAM，解得|4AM，所以|4AF，点 F 到 AM 的距离为22422 3，所以142 34 32AFMS，故选 A.5 法二 因为|2|BCBN，所以|2|BCBF，所以30BCN，即60CAM.连接FM，又AMAF，所以AFM为等边三角形.易得|4AM，所以2344 34AFMS，故选 A.5.答案：C 解析：把1,22代入抛物线的方程，得122p，解得2p，所以抛物线的方程为24yx，则(1,0)B，设2,4MMyMy，则3,22AB，21,4MMyM
9、By .由MBAB，得231,422,MMyy 解得2或1（舍去），故选 C.6.答案：C 解析：过 M 作MDEG，垂足为 D.由点0(,2 2)M x在抛物线上，得082px，所以04px 由题意得0|,2pDMx 0|,2pMFx因为1sin,3MFG所以1|3DMMF.所以001232ppxx，即0 xp.由解得02xp（舍去）或02xp，故抛物线 C 的方程是24yx.故选 C.7.答案：C 6 解析：设抛物线24yx的准线为 l，准线 l 与 x 轴交于点 H，则(1,0)F，:1l x，|2HFp，过 A 作ADl，垂足为 D，由抛物线的定义可知|AFAD，|2|ACAF，|2|
10、ACAD，|2|3ADACHFCF，则1216|3ABxxp，6ACD，16|3AFBF，|4BF，故选 C.8.答案：AD 解析：点(4,4)M在抛物线22(0)ypx p上，24242pp，24yx，焦点 F为(1,0)，准线为直线1x，A 正确.(4,4)M，4044 13MFk，故直线 MF 的方程为4(1)3yx.联立224,14174044(1)3yxxxxyx 或4x，4Mx，1,14N，|452pMF，15|424pNF，525|544MN，B 错误.25|4MFNFMNMFNF，D 正确.OMN的面积为115|1 5222MNOFyy ，C 错误.故选 AD.7 快解 由上解
11、析知抛物线24yx，直线 MN 的斜率为43，设直线 MN 的倾斜角为，则4tan3，4sin5.所以2225|sin4pMN，252sin2OMNpS，1121|MFNFp，所以|MFNFMFNF.9.答案：AC 解析：对于 A，当MAF为正三角形时，4AFAMMF，如图所示，设抛物线 C的准线交 x 轴于点 N，则由抛物线的定义知 AM 与准线垂直，在正三角形 MAF 中，60AMF，所以30FMN，所以1|2|NFMF，而|NFp，所以1|22pMF，故 A 正确；对于 B，假设存在点 M，使得MAMF 0，即MAMF，则点 A，F 重合，与已知条件矛盾，所以 B 不正确；对于 C，若3
12、MFFA，则|:|3:4MFMA，如图，过点A 作抛物线 C 的准线的垂线并交准线于点 E，设准线交 x 轴于点 B，由抛物线的定义可知|4AEAF，易知MFBMAE，则|MFFBMAAE，即344p，解得3p，所以 C 正确；对于 D，如图，作 O 关于抛物线 C 的准线的对称点(,0)Op，连接AO交准线于点 M，过点 A 作抛物线 C 的准线的垂线并交准线于点 D，由对称性知，min(|)OMMAAO，由抛物线的定义可知|42ApADAFx，则42Apx，代入抛物线 C 的方程，得2242Apyp，所以222242422AOAppAOxxyp 2231216(2 13)4pp，化简可得
13、8 216480pp，解得4p 或12p.当12p 时，|6|42pOFAF，所以12p 不符合题意，所以4p，所以 D 不正确.故选 AC.10.答案：24yx 解析：抛物线具有光学性质，即从焦点出发的光经抛物线上一点反射后，反射光线沿平行于抛物线对称轴的方向射出，|6ABFB，562p，2p，抛物线的标准方程为24yx.11.答案：17 解析：抛物线28yx的焦点(2,0)F，准线方程为2x，连接 FM，MA.由拋物线定义，得MFd，所以22(1 2)(40)17AMdAMMFAF，当且仅当 A，M，F三点共线时，取等号，所以AM d的最小值为17.9 12.答案：22 解析：依题意知12
14、p，所以2p，因此抛物线方程为24yx，(1,0)F.设00,P xy，则22200002220000121|611xyxxPFPAxxxy20002200001146112121xxxxxxx0014112xx，因为00 x，所以00001122xxxx，当且仅当001xx，即01x是等号成立，因此00124xx，004112xx，0041212xx，故001224112xx，即当01x时，|PFPA的最小值为22.13.答案：2；5 解析：因为抛物线22(0)ypx p的焦点为(1,0)F，所以12p，所以2p.如图所示，过点 B 作BMl，交直线 AC 于点 M，由抛物线的定义知|AFA
15、C，|BFBD，又|4|AFBF，所以|3|AMBF，|5|ABBF，所以|4|BMBF，因为AFxBAM，所以直线 AB 的斜率|4tan|3BMkBAMAM，则直线 AB 的方程为4(1)3yx，设点11,Axy，2,Bx y，由24(1),34,yxyx消去 y 并整理，得 10 241740 xx，所以12174xx，所以1225|4ABxxp，所以254|sin545CDBMABBAM，所以CDF的面积为15252.14.答案：(1)方程为24yx.(2)证明过程见解析.解析：(1)由点0,1Px在抛物线上可得，2012 px，解得012xp.由抛物线的定义可得015|2224ppP
16、Fxp，整理得22520pp，解得2p 或12p(舍去).故抛物线 C 的方程为24yx.(2)由(,4)E t在抛物线 C 上可得244t，解得4t，所以(4,4)E，直线 OE 的方程为yx.易知11,Hxy，12,x x均不为 0.由题意知直线 l 的斜率存在且大于 0，设直线 l 的方程为2(0)ykxk，联立，得22,4,ykxyx消去 y，得22(44)40k xkx.则22(44)1616320kkk，得102k，11 所以12244kxxk，1 224x xk.由直线 OE 的方程为yx，得11,Mxx.易知直线 OB 的方程为22yyx，故1212,x yN xx.数形结合可
17、知，要证|AMMN，即证12MNyyy，即证121122x yyxx，即证1221122x yx yx x，即证1212(22)20kx xxx，则2248 8(22)0kkkk，此等式显然成立，所以|AMMN.15.答案：(1)标准方程为24yx.(2)有最大值，最大值为 6.解析：(1)因为(,2)M m 为抛物线2:2(0)Cypxp上一点，所以422mpp.因为|2MF，所以22pm，即222pp，解得2p，所以抛物线 C 的标准方程为24yx.(2)由(1)得，(1,2)M.设221212,44yyAyBy.因为AMB的平分线平行于 y 轴，所以MAMBkk，得12221222114
18、4yyyy，即121122222222yyyyyy，整理得124yy，12 所以212221144AByykyy.设直线211:4ABylyyx，即21104yxyy，点 M 到直线ABl的距离211342yyd，2221121|222 2 244yyAByyy，所以211211134112 2 2|216|2242ABMyySyyy.令12yt，由124yy，120,0yy得22t ，所以31164ABMStt.因为31()164f ttt是偶函数，所以只需讨论02t 的情况.当02t 时，令3()16g ttt，则2()1630gtt，所以3()16g ttt在0,2上单调递增，所以3()16g ttt的最大值为(2)24g，即31164ABMStt的最大值为1(2)(2)64fg.综上可知，AMB的面积有最大值，最大值为 6.13