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1、 第讲 直线、平面垂直的判定及其性质 课时达标 一、选择题 1若，表示两个不同的平面，直线m，则“”是“m”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 B 解析 由面面垂直判定定理得m，m，而时，内任意直线不可能都垂直于，因此“”是“m”的必要不充分条件故选 B.2已知平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()AABm BACm CAB DAC D 解析 如图所示，ABlm；ACl，mlACm；ABlAB，只有 D项不一定成立故选 D.3(2019忻州二中月考)设m，n是两条不同的直线，是三个不同的平
2、面 下列命题中正确的有()若m，则m；若，m，则m；若n，n，m，则m；若，则.A B C D D 解析 由面面垂直的性质定理知若m，且m垂直于，的交线时，m，故错误；若，则，无交点，又m，所以m，故正确；若n，n，则，又m，所以m，故正确；若，不能得出，故错误 4如图，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，BC1AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A直线AB上 B直线BC上 C直线AC上 DABC内部 A 解析 因为ACAB，ACBC1，所以AC平面ABC1.又因为AC平面ABC，所以平面ABC1平面ABC，所以C1在底面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上 5如图，在四边形A
3、BCD 中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥 ABCD中，下列命题正确的是()A平面ABD平面ABC B平面ADC平面BDC C平面ABC平面BDC D平面ADC平面ABC D 解析 在平面图形中CDBD，折起后仍有CDBD，由于平面ABD平面BCD，故CD平面ABD，CDAB，又ABAD，故AB平面ADC，所以平面ABC平面ADC.6(2019宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：若ABAC，BDCD，则BCAD；若ABCD，ACBD，则BCAD；若ABAC，BDCD，则BCAD；若ABCD，AC
4、BD，则BCAD.其中为真命题的是()A B C D D 解析 如图，取BC的中点M，连接AM，DM.由ABACAMBC，同理，DMBCBC平面AMD，而AD平面AMD，故BCAD；设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由ABCDBOCD，由ACBDCOBDO为BCD的垂心DOBCADBC.二、填空题 7如图，已知PA平面ABC，BCAC，则图中直角三角形的个数为_ 充分条件故选已知平面平面点直线直线直线则下列四种位置关系中不一定成立的是解析如图所示只有项不一定成立故性质定理知若且垂直于的交线时故错误若则无交点又所以故正确若则又所以故正确若不能得中则在底面上的射出故错影必在两平面
5、的交线上如图在四边形中将沿折起使平面平面构成三棱锥则在三棱锥中下列命题正确的是平面平面平面 解析 因为PA平面ABC，所以PABC，又ACBC，所以BC平面PAC，所以几何体中的直角三角形有PAB，PAC，ABC和PBC，共 4 个 答案 4 8(2019合肥三中月考)已知a，b表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，给出下列命题：若a，b，ab，则；若a，a垂直于内的任意一条直线，则；若，a，b，则ab；若a不垂直于平面，则a不可能垂直于平面内的无数条直线；若a，a，则.其中正确命题的序号是_ 解析 一个平面内的一条直线与另一个平面内的一条直线垂直，这两个平面不一定垂直，故错误；满足两个平面
6、垂直的定义，故正确；若，a，b，则a与b平行或相交(相交时可能垂直)，故错误；若a不垂直于平面，但a可能垂直于平面内的无数条直线，故错误；垂直于同一条直线的两个平面互相平行，故正确 答案 9如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADC90，且AA1ADDC2，M平面ABCD，当D1M平面A1C1D时，DM_.解析 因为DADCAA1DD1，且DA，DC，DD1两两垂直，故当点M使四边形ADCM为正方形时，D1M平面A1C1D，所以DM2 2.答案 2 2 三、解答题 10如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形，BCAD，ABD是边长为 2 的
7、正三角形，E，F分别为AD，A1D1的中点 充分条件故选已知平面平面点直线直线直线则下列四种位置关系中不一定成立的是解析如图所示只有项不一定成立故性质定理知若且垂直于的交线时故错误若则无交点又所以故正确若则又所以故正确若不能得中则在底面上的射出故错影必在两平面的交线上如图在四边形中将沿折起使平面平面构成三棱锥则在三棱锥中下列命题正确的是平面平面平面 (1)求证：DD1平面ABCD；(2)求证：平面A1BE平面ADD1A1.证明(1)因为侧面ADD1A1和侧面CDD1C1都是矩形，所以DD1AD，且DD1CD.因为ADCDD，所以DD1平面ABCD.(2)因为ABD是正三角形，且E为AD中点，所
8、以BEAD，因为DD1平面ABCD，而BE平面ABCD，所以BEDD1.因为ADDD1D，所以BE平面ADD1A1，又因为BE平面A1BE，所以平面A1BE平面ADD1A1.11(2019渭南检测)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，且AD2，AB1，PA平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点(1)证明：PFFD；(2)若PA1，求点E到平面PFD的距离 解析(1)证明：连接AF，则AF 2，又DF 2，AD2，所以DF2AF2AD2，所以DFAF.因为PA平面ABCD，所以DFPA，又PAAFA，所以DF平面PAF，又PF平面PAF，所以DFPF.(2)连接EP，ED，E
9、F.因为SEFDS矩形ABCDSBEFSADESCDF25434，所以V三棱锥PEFD13SEFDPA1334114.设点E到平面PFD的距离为h，则由V三棱锥EPFDV三棱锥PEFD得13SPFDh1362h14，解得h64，即点E到平面PFD的距离为64.12(2016浙江卷)如图，在三棱台ABCDEF中，平面 BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.(1)求证：BF平面ACFD；(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值 充分条件故选已知平面平面点直线直线直线则下列四种位置关系中不一定成立的是解析如图所示只有项不一定成立故性质定理知若且垂直于的交线时故错误若则无
10、交点又所以故正确若则又所以故正确若不能得中则在底面上的射出故错影必在两平面的交线上如图在四边形中将沿折起使平面平面构成三棱锥则在三棱锥中下列命题正确的是平面平面平面 解析(1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示 因为平面BCFE平面ABC，且ACBC，所以AC平面BCK，因此BFAC.又因为EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK，所以BF平面ACFD.(2)因为BF平面ACK，所以BDF是直线BD与平面ACFD所成的角 在 RtBFD中，BF 3，DF32，得 cos BDFDFBDDFBF2DF2217，所以直线BD与平面ACFD
11、所成角的余弦值为217.13 选做题 如图，在直角梯形ABCD 中，BCDC，AEDC，N，M分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，下列说法正确的是_(填上所有正确说法的序号)不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN平面DEC；不论D折至何位置都有MNAE；不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MNAB.解析 如图，分别取EC，DE的中点P，Q，由已知易知四边形MNQP为平行四边形，则MNPQ，又PQ平面DEC，故MN平面DEC，正确；取AE的中点O，易证NOAE，MOAE，故AE平面MNO，又MN平面MNO，则AEMN，正确；因为D 平面ABC，所以N 平面ABC，又A，B
12、，M平面ABC，所以MN与AB异面，错误 答案 充分条件故选已知平面平面点直线直线直线则下列四种位置关系中不一定成立的是解析如图所示只有项不一定成立故性质定理知若且垂直于的交线时故错误若则无交点又所以故正确若则又所以故正确若不能得中则在底面上的射出故错影必在两平面的交线上如图在四边形中将沿折起使平面平面构成三棱锥则在三棱锥中下列命题正确的是平面平面平面 充分条件故选已知平面平面点直线直线直线则下列四种位置关系中不一定成立的是解析如图所示只有项不一定成立故性质定理知若且垂直于的交线时故错误若则无交点又所以故正确若则又所以故正确若不能得中则在底面上的射出故错影必在两平面的交线上如图在四边形中将沿折起使平面平面构成三棱锥则在三棱锥中下列命题正确的是平面平面平面