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1、 第讲 圆的方程 课时达标 一、选择题 1(2019宁波中学月考)原点位于圆x2y22ax2y(a1)20(a1)的()A圆内 B圆上 C圆外 D均有可能 C 解析 把原点坐标代入圆的方程得(a1)20(a1)，所以原点在圆外故选 C.2圆(x1)2(y2)21 关于直线yx对称的圆的方程为()A(x2)2(y1)21 B(x1)2(y2)21 C(x2)2(y1)21 D(x1)2(y2)21 A 解析 设对称圆的方程为(xa)2(yb)21，圆心(1,2)关于直线yx的对称点为(2,1)，故对称圆的方程为(x2)2(y1)2 1.故选 A.3圆心在y轴上，半径长为 1，且过点(1,2)的圆
2、的方程是()Ax2(y2)21 Bx2(y2)21 C(x1)2(y3)21 Dx2(y3)21 A 解析 依题意，设圆心坐标为(0，a)，则1022a21，所以a2，故圆的方程为x2(y2)21.4 已知圆O：x2y21，若A，B是圆O上的不同两点，以AB为边作等边ABC，则|OC|的最大值是()A.2 62 B.3 C2 D.31 C 解析 如图所示，连OA，OB和OC.因为OAOB，ACBC，OCOC，所以OACOBC，所以ACOBCO30，在OAC中，由正弦定理得OAsin 30OCsin OAC，所以OC2sin OAC2，故|OC|的最大值为 2.故选 C.5若实数x，y满足x2y
3、22x4y0，则x2y的最大值为()A.5 B10 C9 D52 5 B 解析 原方程可化为(x1)2(y2)25，表示以(1，2)为圆心，5为半径的圆 设x2yb，则x2y可看作直线x2yb在x轴上的截距，当直线与圆相切时，b取得最大值或最小值，此时|1 4b|5 5，所以b10 或b0，所以x2y的最大值是 10.6设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率e 2，右焦点F(c,0)，方程ax2bxc0 的两个实数根分别为x1，x2，则点P(x1，x2)与圆x2y28 的位置关系为()A点P在圆外 B点P在圆上 C点P在圆内 D不确定 C 解析 因为e21ba22，所以ba21，所以
4、ba1，所以ab，c 2a，所以方程ax2bxc0 可化为x2x 20.所以x1x21，x1x2 2.所以x21x22(x1x2)22x1x212 20，32a0，解得a3 或 1a32.故a的取值范围为(，3)1，32.答案(，3)1，32 三、解答题 10已知ABC的顶点坐标分别为A(1,5)，B(2，1)，C(4,3)，M是BC的中点 (1)求AB边所在直线的方程；(2)求以线段AM为直径的圆的方程 解析(1)因为A(1,5)，B(2，1)，所以由两点式得AB的方程为y515x121，整理得 6xy110.(2)因为M是BC的中点，所以M242，132，即M(1,1)，所以|AM|112
5、5122 5，所以圆的半径为 5.所以AM的中点为112，512，即中点为(0,3)，所以以线段AM为直径的圆的方程为x2(y3)25.11已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0)求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程 解析(1)设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y0.因为ACBC，所以kACkBC1，又kACyx1，kBCyx3，所以yx1yx31，化简得x2y22x30.因此直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(y0)程为故选圆心在轴上半径长为且过点的圆的方程是解析依题意设圆心坐标为则所以故圆的方程为已知圆若是圆上的不数满足则
6、的最大值为解析原方程可化为表示以为圆心为半径的圆设则可看作直线在轴上的截距当直线与圆相切时取得系为点在圆外点在圆上点在圆内解析因为所以所以所以所以方程可化为所以所以不确定所以点在圆内故选二填空题天(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得xx032，yy002，所以x02x3，y02y.由(1)知点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)，将x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(y0)12已知M(m，n)为圆C：x2y24x14y450 上任意一点(1)求m2n的最大值；
7、(2)求n3m2的最大值和最小值 解析 将圆C化为标准方程可得(x2)2(y7)28，所以圆心C(2,7)，半径r2 2.(1)设m2nb，则b可看作是直线n12mb2在纵轴上截距的 2 倍，故当直线m2nb与圆C相切时，b有最大或最小值所以|2 27b|12222 2，所以b162 10(b162 10舍去)，所以m2n的最大值为 162 10.(2)设n3m2k，则k可看作点(m，n)与点(2,3)所在直线的斜率，所以当直线n3k(m2)与圆C相切时，k有最大或最小值，所以|2k72k3|1k22 2，解得k2 3或k2 3.所以n3m2的最大值为 2 3，最小值为 2 3.13 选做题(
8、2019郴州二中期中)已知圆C关于x轴对称，经过点(0,1)，且被y轴分成两段弧，弧长之比为 21，则圆的方程为()Ax2y33243 Bx2y33213 C.x332y243 D.x332y213 C 解析 设圆的方程为(xa)2y2r2(a0)，圆C与y轴交于点A(0,1)，B(0，1)，由弧长之比为 21 易知OCA12ACB1212060，则 tan 60|OA|OC|1|OC|3，所以a|OC|33，即圆心坐标为33，0，r2|AC|21233243.所以圆的方程为x332y243.程为故选圆心在轴上半径长为且过点的圆的方程是解析依题意设圆心坐标为则所以故圆的方程为已知圆若是圆上的不数满足则的最大值为解析原方程可化为表示以为圆心为半径的圆设则可看作直线在轴上的截距当直线与圆相切时取得系为点在圆外点在圆上点在圆内解析因为所以所以所以所以方程可化为所以所以不确定所以点在圆内故选二填空题天 程为故选圆心在轴上半径长为且过点的圆的方程是解析依题意设圆心坐标为则所以故圆的方程为已知圆若是圆上的不数满足则的最大值为解析原方程可化为表示以为圆心为半径的圆设则可看作直线在轴上的截距当直线与圆相切时取得系为点在圆外点在圆上点在圆内解析因为所以所以所以所以方程可化为所以所以不确定所以点在圆内故选二填空题天