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1、晨鸟教育 Earlybird 专题限时集训(十)数列 1(2018 全国卷)记 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 a17，S315.(1)求an的通项公式；(2)求 Sn，并求 Sn的最小值 解(1)设an的公差为 d，由题意得 3a13d15.由 a17 得 d2.所以an的通项公式为 an2n9.(2)由(1)得 Snn28n(n4)216.所以当 n4 时，Sn取得最小值，最小值为16.2(2020 全国卷)设an是公比不为 1 的等比数列，a1为 a2，a3的等差中项 (1)求an的公比；(2)若 a11，求数列nan的前 n 项和 解(1)设an的公比为 q，由题设得 2a1a
2、2a3，即 2a1a1qa1q2.所以 q2q20，解得 q1(舍去)或 q2.故an的公比为2.(2)记 Sn为nan的前 n 项和由(1)及题设可得，an(2)n1.所以 Sn12(2)n(2)n1，2Sn22(2)2(n1)(2)n1n(2)n.可得 3Sn1(2)(2)2(2)n1n(2)n1 2n3n(2)n.所以 Sn19 3n12n9.3(2019 全国卷)已知数列an和bn满足 a11，b10,4an13anbn4,4bn13bnan4.(1)证明：anbn是等比数列，anbn是等差数列；(2)求an和bn的通项公式 解(1)证明：由题设得 4(an1bn1)2(anbn)，即
3、 an1bn112(anbn)晨鸟教育 Earlybird 又因为 a1b11，所以anbn是首项为 1，公比为12的等比数列 由题设得 4(an1bn1)4(anbn)8，即 an1bn1anbn2.又因为 a1b11，所以anbn是首项为 1，公差为 2 的等差数列(2)由(1)知，anbn12n1，anbn2n1.所以 an12(anbn)(anbn)12nn12，bn12(anbn)(anbn)12nn12.4(2016 全国卷)Sn为等差数列an的前 n 项和，且 a11，S728.记 bnlg an，其中x表示不超过 x 的最大整数，如0.90，lg 99 1.(1)求 b1，b1
4、1，b101；(2)求数列bn的前 1 000 项和 解(1)设an的公差为 d，据已知有 721d28，解得 d1.所以an的通项公式为 ann.b1lg 10，b11lg 11 1，b101lg 101 2.(2)因为 bn 0，1n10，1，10n100，2，100n1 000，3，n1 000，所以数列bn的前 1 000 项和为 1902900311 893.1(2020 安阳模拟)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，正项等比数列bn的前 n 项和为 Tn.若 a1b13，a2b214，a3b334.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)求数列anbn的前 n 项和 解(1)设
5、等差数列an的公差为 d，等比数列bn的公比为 q(q0)，由 a1b13，a2b214，a3b334，得 a2b23d3q14，a3b332d3q234，比若求数列的前项和解设的公比为由题设得即所以解得舍去或故的公比为记为的前项和由及题设可得所以可得所以全公比为的等比数列由题设得即又因为所以是首项为公差为的等差数列由知所以全国卷为等差数列的前项和且记其中表安阳模拟已知等差数列的前项和为正项等比数列的前项和为若求数列与的通项公式求数列的前项和解设等差数列的公晨鸟教育 Earlybird 解得：d2，q3.an32(n1)2n1，bn3n.(2)anbn(2n1)3n，anbn的前 n 项和为(
6、a1a2an)(b1b2bn)(352n1)(3323n)32n1 n23 13n13n(n2)3 3n12.2(2020 潍坊模拟)已知等比数列an的首项 a12，且 a2，a32，a4成等差数列(1)求an的通项公式；(2)若 bnlog2an，求数列1bnbn1的前 n 项和 Tn.解(1)等比数列an的首项 a12，公比设为 q，a2，a32，a4成等差数列，可得 a2a42(a32)，即有 2q2q32(2q22)，解得 q2.则 ana1qn12n.(2)bnlog2anlog22n n，则1bnbn11n n11n1n1，前 n 项和 Tn11212131n1n111n1nn1.
7、3(2020 吉林二模)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 a23，S60.(1)求数列an的通项公式；(2)求使不等式 Snan成立的 n 的最小值 解(1)设等差数列an的公差为 d，a23，S60，a1d3,6a115d0.解得 a15，d2.an52(n1)2n7.比若求数列的前项和解设的公比为由题设得即所以解得舍去或故的公比为记为的前项和由及题设可得所以可得所以全公比为的等比数列由题设得即又因为所以是首项为公差为的等差数列由知所以全国卷为等差数列的前项和且记其中表安阳模拟已知等差数列的前项和为正项等比数列的前项和为若求数列与的通项公式求数列的前项和解设等差数列的公晨鸟教育 E
8、arlybird(2)不等式 Snan，即5nn n1222n7，等价于(n1)(n7)0，解得n7.使不等式 Snan成立的 n 的最小值为 8.4(2020 淄博模拟)已知数列an满足 a132，且 anan1212n1(n2，nN*)(1)求证：数列2nan是等差数列，并求出数列an的通项公式；(2)求数列an的前 n 项和 Sn.解(1)证明：当 n2 时，由 anan1212n1，两边同时乘以 2n，可得 2nan2n1an12，即 2nan2n1an12(n2)21a12323，数列2nan是以 3 为首项，2 为公差的等差数列 2nan32(n1)2n1，an2n12n，nN*.
9、(2)由(1)可知，Sna1a2an3215227232n12n12n12n，12Sn3225232n12n2n12n1，两式相减，可得：12Sn321212212n12n12n1 321212n1122n12n1 522n52n1，Sn52n52n.比若求数列的前项和解设的公比为由题设得即所以解得舍去或故的公比为记为的前项和由及题设可得所以可得所以全公比为的等比数列由题设得即又因为所以是首项为公差为的等差数列由知所以全国卷为等差数列的前项和且记其中表安阳模拟已知等差数列的前项和为正项等比数列的前项和为若求数列与的通项公式求数列的前项和解设等差数列的公晨鸟教育 Earlybird 1已知数列a
10、n的前 n 项和 Snn22kn(kN*)，Sn的最小值为9.(1)确定 k的值，并求数列an的通项公式；(2)设 bn(1)n an，求数列bn的前 2n1 项和 T2n1.解(1)由已知得 Snn22kn(nk)2k2，因为 kN*，则当 nk 时，(Sn)mink29，故 k3.所以 Snn26n.因为 Sn1(n1)26(n1)(n2)，所以 anSnSn1(n26n)(n1)26(n1)2n7(n2)当 n1 时，S1a15，满足 an2n7，综上，an2n7.(2)依题意，得 bn(1)n an(1)n(2n7)，则 T2n1531135(1)2n(4n7)(1)2n12(2n1)
11、7 52n.2已知数列an，bn满足 a11，b112，2an1an12bn,2bn112anbn.(1)证明：数列anbn，anbn为等比数列；(2)记 Sn为数列an的前 n 项和，证明：Sn103.解(1)依题意得 2an1an12bn，2bn112anbn，两式相加得：an1bn134(anbn)，anbn为等比数列，两式相减得：an1bn114(anbn)，anbn为等比数列(2)由(1)可得：anbn3234n1，比若求数列的前项和解设的公比为由题设得即所以解得舍去或故的公比为记为的前项和由及题设可得所以可得所以全公比为的等比数列由题设得即又因为所以是首项为公差为的等差数列由知所以
12、全国卷为等差数列的前项和且记其中表安阳模拟已知等差数列的前项和为正项等比数列的前项和为若求数列与的通项公式求数列的前项和解设等差数列的公晨鸟教育 Earlybird anbn1214n1，两式相加得：an14n34n，Sn14114n1143413n4n1341411434134103.3设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 S12，an1Sn2.(1)证明：an为等比数列；(2)记 bnlog2an，数列bnbn1的前 n 项和为 Tn，若 Tn10 恒成立，求 的取值范围 解(1)证明由已知，得 a1S12，a2S124，当 n2 时，anSn12，所以 an1an(Sn2)(Sn12)
13、an，所以 an12an(n2)又 a22a1，所以an1an2(nN*)，所以an是首项为 2，公比为 2 的等比数列(2)由(1)可得 an2n，所以 bnn.则bnbn1n n11n1n1，Tn11212131n1n111n1，因为 Tn10，所以nn110，从而 10 n1n，因为10 n1n1011n20，所以 的取值范围为20，)4已知数列an的各项都为正数，a12，且an1an2anan11.(1)求数列an的通项公式；(2)设 bnlg(log2an)，其中x表示不超过 x 的最大整数，如0.90，lg 99比若求数列的前项和解设的公比为由题设得即所以解得舍去或故的公比为记为的
14、前项和由及题设可得所以可得所以全公比为的等比数列由题设得即又因为所以是首项为公差为的等差数列由知所以全国卷为等差数列的前项和且记其中表安阳模拟已知等差数列的前项和为正项等比数列的前项和为若求数列与的通项公式求数列的前项和解设等差数列的公晨鸟教育 Earlybird 1，求数列bn的前 2 020 项和 解(1)由题意，an1an2anan11，即 a2n1an1an2a2n0，整理，得(an1an)(an12an)0.数列an的各项都为正数，an12an0，即 an12an.数列an是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，an2n.(2)由(1)知，bnlg(log2an)lg(log22n)lg n，故 bn 0，1n10，1，10n100，2，100n1 000，3，1000n2 020，nN*.数列bn的前 2 020 项的和为 190290031 0214 953.比若求数列的前项和解设的公比为由题设得即所以解得舍去或故的公比为记为的前项和由及题设可得所以可得所以全公比为的等比数列由题设得即又因为所以是首项为公差为的等差数列由知所以全国卷为等差数列的前项和且记其中表安阳模拟已知等差数列的前项和为正项等比数列的前项和为若求数列与的通项公式求数列的前项和解设等差数列的公