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1、 晨鸟教育 专题限时集训(十一)立体几何 1(2019 全国卷)如图，直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1 4，AB 2，BAD 60，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点(1)证明：MN 平面 C1DE；(2)求二面角 A-MA1-N 的正弦值 解(1)证明：连接 B1C，ME.因为 M，E 分别为 BB1，BC 的中点，所以 1 1 ME B1C，且 ME B1C 又因为 N 为 A1D 的中点，所以 ND A1D 2 2 由题设知 A1B1 DC，可得 B1C A1D，故 ME ND，因此四边形 MNDE 为平 行四边形，所以 MN ED 又 MN 平面
2、 C1DE，所以 MN 平面 C1DE.(2)由已知可得 DE DA 以 D 为坐标原点，DA 的方向为 x 轴正方向，建立如 图所示的空间直角坐标系 D-xyz，则 A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，3，2)，N(1,0,2)，A 1A(0,0，4)，A 1M(1，3，2)，A 1N(1,0，2)，MN(0，3，0)Earlybird平面由已知可得以为坐标原点的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系则晨鸟教育设为平面的法向量则所以 上且二面角为求与平面所成角的正弦值解证明因为为的中点所以且连接因为所以为等腰直角三角形且由知由得平面如 量为由得可取所以由已知可得所以解得舍去或所
3、以又所以所以与平面所成角的正弦值为全国卷图是由矩形和菱形组成 晨鸟教育 设 m(x，y，z)为平面 A1MA 的法向量，则 Error!所以 Error!可取 m(3，1,0)设 n(p，q，r)为平面 A1MN 的法向量，则 Error!所以 Error!可取 n(2,0，1)m n 2 3 15 于是 cos m，n，所以二面角 A-MA1-N 的正弦值为|m|n|2 5 5 10.5 2(2018 全国卷)如图，在三棱锥 P-ABC 中，AB BC 2 2，PA PB PC AC 4，O 为 AC 的中点(1)证明：PO 平面 ABC；(2)若点 M 在棱 BC 上，且二面角 M-PA-
4、C 为 30，求 PC 与平面 PAM 所成角 的正弦值 解(1)证 明：因为 AP CP AC 4，O 为 AC 的中点，所以 OP AC，且 OP 2 3.2 连 接 OB 因 为 AB BC AC，所 以 ABC 为 等 腰 直 角 三 角 形，且 2 1 OB AC，OB AC 2.2 由 OP2 OB2 PB2 知 PO OB 由 OP OB，OP AC，OB AC O，得 PO 平面 ABC(2)如图，以 O 为坐标原点，OB 的方向为 x 轴正方 平面由已知可得以为坐标原点的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系则晨鸟教育设为平面的法向量则所以 上且二面角为求与平面所成角的正
5、弦值解证明因为为的中点所以且连接因为所以为等腰直角三角形且由知由得平面如 量为由得可取所以由已知可得所以解得舍去或所以又所以所以与平面所成角的正弦值为全国卷图是由矩形和菱形组成 bird平面由已知可得以为坐标原点的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系则晨鸟教育设为平面的法向量则所以 上且二面角为求与平面所成角的正弦值解证明因为为的中点所以且连接因为所以为等腰直角三角形且由知由得平面如 量为由得可取所以由已知可得所以解得舍去或所以又所以所以与平面所成角的正弦值为全国卷图是由矩形和菱形组成 晨鸟教育 向，建立空间直角坐标系 O-xyz.由 已 知 得 O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(
6、0，2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2 3)，AP(0,2,2 3)取平面 PAC 的一个法向量 OB(2,0,0)设 M(a,2 a,0)(0 a 2)，则 AM(a,4 a,0)设平面 PAM 的法向量为 n(x，y，z)由 AP n 0，AM n 0 得 Error!可取 n(3(a 4)，3 a，a)，2 3 a 4 3 所以 cos OB，n.由已知可得|cos OB，n|，2 3 a 42 3 a2 a2 2 2 3|a 4|3 4 所以，解得 a 4(舍去)或 a，2 3 a 42 3 a2 a2 2 3 8 3 4 3 4 所以 n(3).，3 3 3 又 PC(0,2
7、，2 3)，所以 cos PC，n.4 3 所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为.4 3(2019 全国卷)图 1 是由矩形 ADEB，Rt ABC 和菱形 BFGC 组成的一个 平面图形，其中 AB 1，BE BF 2，FBC 60，将其沿 AB，BC 折起使得 BE 与 BF 重合，连接 DG，如图 2.图 1 图 2 平面由已知可得以为坐标原点的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系则晨鸟教育设为平面的法向量则所以 上且二面角为求与平面所成角的正弦值解证明因为为的中点所以且连接因为所以为等腰直角三角形且由知由得平面如 量为由得可取所以由已知可得所以解得舍去或所以又所以所以与平
8、面所成角的正弦值为全国卷图是由矩形和菱形组成(1)证明：图 2 中的 A，C，G，D 四点共面，且平面 ABC 平面 BCGE；(2)求图 2 中的二面角 B-CG-A 的大小 解(1)证明：由已知得 AD BE，CG BE，所以 AD CG，故 AD，CG 确定一个平面，从而 A，C，G，D 四点共面 由已知得 AB BE，AB BC，BE BC B，故 AB 平面 BCGE.Earlybird平面由已知可得以为坐标原点的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系则晨鸟教育设为平面的法向量则所以 上且二面角为求与平面所成角的正弦值解证明因为为的中点所以且连接因为所以为等腰直角三角形且由知由得
9、平面如 量为由得可取所以由已知可得所以解得舍去或所以又所以所以与平面所成角的正弦值为全国卷图是由矩形和菱形组成 晨鸟教育 又因为 AB 平面 ABC，所以平面 ABC 平面 BCGE.(2)作 EH BC，垂足为 H.因为 EH 平面 BCGE，平面 BCGE 平面 ABC，所 以 EH 平面 ABC 由已知，菱形 BCGE 的边长为 2，EBC 60，可求得 BH 1，EH 3.以 H 为坐标原点，HC 的方向为 x 轴的正方向，建立 如图所示的空间直角坐标系 H-xyz，则 A(1,1,0)，C(1，0,0)，G(2,0，3)，CG(1,0，3)，AC(2，1,0)设平面 ACGD 的法向
10、量为 n(x，y，z)，则 Error!即 Error!所以可取 n(3,6，3)又平面 BCGE 的法向量可取为 m(0,1,0)，n m 3 所以 cos n，m.|n|m|2 因此二面角 B-CG-A 的大小为 30.4(2020 全国卷)如图，已知三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是正三角形，侧面 BB1C1C 是矩形，M，N 分别为 BC，B1C1 的中点，P 为 AM 上一点，过 B1C1 和 P 的平面交 AB 于 E，交 AC 于 F.(1)证明：AA1 MN，且平面 A1AMN 平面 EB1C1F；(2)设 O 为 A1B1C1 的中心，若 AO 平面 EB1C1F，且 A
11、O AB，求直线 B1E 与平面 A1AMN 所成角的正弦值 解(1)证明：因为 M，N 分别为 BC，B1C1 的中点，所以 MN CC1.又由已知得 AA1 CC1，故 AA1 MN.因为 A1B1C1 是正三角形，所以 B1C1 A1N.又 B1C1 MN，故 B1C1 平面 A1AMN.平面由已知可得以为坐标原点的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系则晨鸟教育设为平面的法向量则所以 上且二面角为求与平面所成角的正弦值解证明因为为的中点所以且连接因为所以为等腰直角三角形且由知由得平面如 量为由得可取所以由已知可得所以解得舍去或所以又所以所以与平面所成角的正弦值为全国卷图是由矩形和菱
12、形组成 Earlybird平面由已知可得以为坐标原点的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系则晨鸟教育设为平面的法向量则所以 上且二面角为求与平面所成角的正弦值解证明因为为的中点所以且连接因为所以为等腰直角三角形且由知由得平面如 量为由得可取所以由已知可得所以解得舍去或所以又所以所以与平面所成角的正弦值为全国卷图是由矩形和菱形组成 晨鸟教育 所以平面 A1AMN 平面 EB1C1F.(2)由已知得 AM BC|为 以 M 为坐标原点，MA 的方向为 x 轴正方向，|MB 单 位长，建立如图所示的空间直角坐标系 M-xyz，则 AB 2，AM 3.连 2 3 接 NP，则四边形 AONP 为
13、平行四边形，故 PM，3 2 3 1(，0).，3 3 由(1)知平面 A1AMN 平面 ABC E 作 NQ AM，垂足为 Q，则 NQ 平面 ABC 2 3 设 Q(a,0,0)，则 NQ 4(a)，3 2 3 B1(a，1，4(a)，3 2 3 2 2 3 故 B1E(，a，4(a)3 3 3 2 10|B 1E|.3 又 n(0，1,0)是平面 A1AMN 的法向量，故 n B 1E 10 平面由已知可得以为坐标原点的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系则晨鸟教育设为平面的法向量则所以 上且二面角为求与平面所成角的正弦值解证明因为为的中点所以且连接因为所以为等腰直角三角形且由知由
14、得平面如 量为由得可取所以由已知可得所以解得舍去或所以又所以所以与平面所成角的正弦值为全国卷图是由矩形和菱形组成 sin(n，B1E cos n，.2 10)B1E|n|B 1E|10 所以直线 B1E 与平面 A1AMN 所成角的正弦值为.10 1 1(2020 六安模拟)如图 1，在梯形 ABCD 中，AD BC，AB BC AD，E 2 为 AD 中点，O 是 AC 与 BE 的交点，将 ABE 沿 BE 翻折到图 2 中 A1BE 的位置 得到四棱锥 A1-BCDE.Earlybird平面由已知可得以为坐标原点的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系则晨鸟教育设为平面的法向量则所以
15、 上且二面角为求与平面所成角的正弦值解证明因为为的中点所以且连接因为所以为等腰直角三角形且由知由得平面如 量为由得可取所以由已知可得所以解得舍去或所以又所以所以与平面所成角的正弦值为全国卷图是由矩形和菱形组成 晨鸟教育 图 1 图 2(1)求证：CD A1C；2(2)若 A1C AB，BE 3 AB，求二面角 B-A1E-D 的余弦值 2 解(1)由题图 1 可知，四边形 ABCE 为菱形，则 AC BE，则在图 2 中，BE A1O，BE CO，所以 BE 平面 A1OC 又 BE CD，所以 CD 平面 A1OC 又 A1C 平面 A1OC,故 CD A1C 2(2)因为 BE 3 AB，
16、所以 BAE，3 设 AB 2，则 A1O OC 1，2 又 A1C AB 2，所以 A1OC.2 2 建立如图所示的空间直角坐标系，则 O(0,0,0)，B(3，0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,1)，E(3，0,0)，D(2 3，1,0)，则 ED(3，1,0)，EA1(3，0,1)则平面 A1EB 的法向量为 n1(0,1,0)，设平面 A1ED 的法向量为 n2(x，y，z)，则 Error!则 Error!令 x 1，则 y 3，z 3，则 n2(1，3，3)，n1 n 2 3 21 所以 cos n1，n2，|n1|n2|7 平面由已知可得以为坐标原点的方向为轴正方向建立如
17、图所示的空间直角坐标系则晨鸟教育设为平面的法向量则所以 上且二面角为求与平面所成角的正弦值解证明因为为的中点所以且连接因为所以为等腰直角三角形且由知由得平面如 量为由得可取所以由已知可得所以解得舍去或所以又所以所以与平面所成角的正弦值为全国卷图是由矩形和菱形组成 7 又由图可知二面角 B-A1E-D 为钝二面角，Earlybird平面由已知可得以为坐标原点的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系则晨鸟教育设为平面的法向量则所以 上且二面角为求与平面所成角的正弦值解证明因为为的中点所以且连接因为所以为等腰直角三角形且由知由得平面如 量为由得可取所以由已知可得所以解得舍去或所以又所以所以与平面
18、所成角的正弦值为全国卷图是由矩形和菱形组成 晨鸟教育 21 故二面角 B-A1E-D 的余弦值为.7 2(2020 沈阳模拟)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ABC 是边长为 2 的等 边三角形，BC BB1，CC1 2，AC1 6.(1)证明：平面 ABC 平面 BB1C1C；(2)M，N 分别是 BC，B1C1 的中点，P 是线段 AC1 上的动点，若二面角 P-MN-C 的平面角的大小为 30，试确定点 P 的位置 解(1)证明：因为 AC 2，CC1 2，AC1 6，所以 AC2 CC2 1 AC2 1，即 AC CC1.又因为 BC BB1，BB1 CC1，所以 BC CC
19、1，AC BC C，所以 CC1 平面 ABC 因为 CC1 平面 BB1C1C，所以平面 ABC 平面 BB1C1C(2)连接 AM，因为 AB AC 2，M 是 BC 的中点，所以 AM BC 由(1)知，平面 ABC 平面 BB1C1C，所以 AM 平面 BB1C1C 以 M 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 M-xyz，则平面 BB1C1C 的一个法向量是 m(0,0,1)，A(0,0，3)，N(0，2，0)，C1(1，2，0)设 AP tAC1(0 t1)，P(x，y，z)，AP(x，y，z 3)，AC 1(1，2，3)，代入上式得 x t，y 2 t，z 3(1 t)，平面由已
20、知可得以为坐标原点的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系则晨鸟教育设为平面的法向量则所以 上且二面角为求与平面所成角的正弦值解证明因为为的中点所以且连接因为所以为等腰直角三角形且由知由得平面如 量为由得可取所以由已知可得所以解得舍去或所以又所以所以与平面所成角的正弦值为全国卷图是由矩形和菱形组成 Earlybird平面由已知可得以为坐标原点的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系则晨鸟教育设为平面的法向量则所以 上且二面角为求与平面所成角的正弦值解证明因为为的中点所以且连接因为所以为等腰直角三角形且由知由得平面如 量为由得可取所以由已知可得所以解得舍去或所以又所以所以与平面所成角的正
21、弦值为全国卷图是由矩形和菱形组成 晨鸟教育 所以 P(t，2 t，3 3 t)设平面 MNP 的一个法向量为 n(x1，y1，z1)，MN(0，2，0)，MP(t，2 t，3 3 t)，由 Error!得 Error!令 z1 t，得 n(3 3 t,0，t)因为二面角 P-MN-C 的平面角的大小为 30，m n 3 t 3 所以，即，|m|n|3 1 t2 t2 2 2 3 解得 t.4 3 3 2 3 所以点 P 为线段 AC1 上靠近 C1 点的四等分点，且坐标为 P(4).，4 4 3(2020 鄂州模拟)如图，AB 是半圆 O 的直径，C 是半圆 O 上除 A，B 外的 一个动点，
22、DC 垂直于半圆 O 所在的平面，DC EB，DC EB 1，AB 4.(1)证明：平面 ADE 平面 ACD；(2)当 C 点为半圆的中点时，求二面角 D-AE-B 的余弦值 解(1)证明：AB 是圆 O 的直径，AC BC，DC 平面 ABC，BC 平面 ABC，DC BC，又 DC AC C，BC 平面 ACD，DC EB，DC EB，四边形 DCBE 是平行四边形，DE BC，DE 平面 ACD 又 DE 平面 ADE，平面 ACD 平面 ADE.(2)当 C 点为半圆的中点时，AC BC 2 2，平面由已知可得以为坐标原点的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系则晨鸟教育设为平面
23、的法向量则所以 上且二面角为求与平面所成角的正弦值解证明因为为的中点所以且连接因为所以为等腰直角三角形且由知由得平面如 量为由得可取所以由已知可得所以解得舍去或所以又所以所以与平面所成角的正弦值为全国卷图是由矩形和菱形组成 以 C 为原点，以 CA，CB，CD 为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示，则 D(0,0,1)，E(0,2 2，1)，A(2 2，0,0)，B(0,2 2，0)，Earlybird平面由已知可得以为坐标原点的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系则晨鸟教育设为平面的法向量则所以 上且二面角为求与平面所成角的正弦值解证明因为为的中点所以且连接因为所以为等腰直角三角形且由知
24、由得平面如 量为由得可取所以由已知可得所以解得舍去或所以又所以所以与平面所成角的正弦值为全国卷图是由矩形和菱形组成 晨鸟教育 AB(2 2，2 2，0)，BE(0,0,1)，DE(0,2 2，0)，DA(2 2，0，1)，设平面 DAE 的法向量为 m(x1，y1，z1)，平面 ABE 的法向量为 n(x2，y2，z2)，则 Error!Error!即 Error!Error!令 x1 1 得 m(1,0,2 2)，令 x2 1 得 n(1,1,0)m n 1 2 cos m，n.|m|n|3 2 6 二面角 D-AE-B 是钝二面角，2 二面角 D-AE-B 的余弦值为.6 1.在三棱柱 A
25、BC-A1B1C1 中，已知 AB AC AA1 5，BC 4，O 为 BC 的中 点，A1O 平面 ABC(1)证明四边形 BB1C1C 为矩形；(2)求直线 AA1 与平面 A1B1C 所成角的余弦值 解(1)证明：连接 AO，因为 O 为 BC 的中点，可得 BC AO，平面由已知可得以为坐标原点的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系则晨鸟教育设为平面的法向量则所以 上且二面角为求与平面所成角的正弦值解证明因为为的中点所以且连接因为所以为等腰直角三角形且由知由得平面如 量为由得可取所以由已知可得所以解得舍去或所以又所以所以与平面所成角的正弦值为全国卷图是由矩形和菱形组成 Early
26、bird平面由已知可得以为坐标原点的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系则晨鸟教育设为平面的法向量则所以 上且二面角为求与平面所成角的正弦值解证明因为为的中点所以且连接因为所以为等腰直角三角形且由知由得平面如 量为由得可取所以由已知可得所以解得舍去或所以又所以所以与平面所成角的正弦值为全国卷图是由矩形和菱形组成 晨鸟教育 A1O 平面 ABC,BC 平面 ABC，A1O BC，又 AO A1O O，BC 平面 AA1O，BC AA1，BB1 AA1,BC BB1，又 四边形 BB1C1C 为平行四边形，四边形 BB1C1C 为矩形(2)如图，分别以 OA，OB，OA1 所在直线为 x，y
27、，z 轴，建立空间直角坐标系，则 B(0,2,0)，C(0，2,0)，Rt AOB 中，AO AB 2 BO2 1，A(1,0,0)，Rt AA1O 中，A1 O AA 2 1 AO2 2，A1(0,0,2)，AA 1(1,0,2)，A1C(0，2，2)，A 1B 1 AB(1,2,0)，设平面 A1B1C 的法向量是 n(x，y，z)，由 Error!得 Error!即 Error!可取 n(2,1，1)，设直线 AA1 与平面 A1B1C 所成角为，则 0，2|AA 1 n|4 2 30 sin|cosAA 1，n|5 6 15|AA 1|n|105 0，2，cos 1sin2，15 10
28、5 即直线 AA1 与平面 A1B1C 所成角的余弦值为.15 平面由已知可得以为坐标原点的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系则晨鸟教育设为平面的法向量则所以 上且二面角为求与平面所成角的正弦值解证明因为为的中点所以且连接因为所以为等腰直角三角形且由知由得平面如 量为由得可取所以由已知可得所以解得舍去或所以又所以所以与平面所成角的正弦值为全国卷图是由矩形和菱形组成 2 如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，AD BC，AD 2 BC 4，ABC 120，E 为 AD 的中点现分别沿 BE，EC 将 ABE 和 ECD 折起，点 A 折至点 A1，点 D 折至点 D1，使得平面 A1BE
29、平面 BCE，平面 ECD1 平面 BCE，连接 A1D1，如图 2.Earlybird平面由已知可得以为坐标原点的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系则晨鸟教育设为平面的法向量则所以 上且二面角为求与平面所成角的正弦值解证明因为为的中点所以且连接因为所以为等腰直角三角形且由知由得平面如 量为由得可取所以由已知可得所以解得舍去或所以又所以所以与平面所成角的正弦值为全国卷图是由矩形和菱形组成 晨鸟教育 图 1 图 2(1)若平面 BCE 内的动点 G 满足 GD1 平面 A1BE，作出点 G 的轨迹并证明；(2)求平面 A1D1E 与平面 BCE 所成锐二面角的余弦值 解(1)如图，取 B
30、C 和 CE 的中点 N 和 M，则点 G 的轨迹是直线 MN.证明如下：连接 D1M，MN，ND1，则 MN BE，又 MN 平面 BEA1，BE 平面 BEA1，MN 平面 BEA1.依题意知，A1BE，BCE，ECD1为正三角形，MD1 CE.又 平面 ECD1 平面 BCE，平面 ECD1 平面 BCE CE，MD1 平面 ECD1，MD1 平面 BCE，又 平面 A1BE 平面 BCE，MD1 平面 BEA1，MD1 平面 EBA1，MD1 NM M，NM 平面 MND1，MD1 平面 MND1，平面 MND1 平面 BEA1，当 GD1 平面 MND1 时，GD1 平面 A1BE.
31、点 G 的轨迹是直线 MN.(2)以 M 为原点，MB，MC，MD1 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立如图所示 的空间直角坐标系 M-xyz.则平面 BCE 的一个法向量为 m(0,0,1)，3 1 E(0，1,0)，D1(0,0，3)，A1(，3)，2 2 3 1 EA1，(0,1，)，(，3)ED 1，3 2 2 设平面 A1ED1 的一个法向量为 n(x，y，z)，平面由已知可得以为坐标原点的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系则晨鸟教育设为平面的法向量则所以 上且二面角为求与平面所成角的正弦值解证明因为为的中点所以且连接因为所以为等腰直角三角形且由知由得平面如 量为由得可取所
32、以由已知可得所以解得舍去或所以又所以所以与平面所成角的正弦值为全国卷图是由矩形和菱形组成 Earlybird平面由已知可得以为坐标原点的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系则晨鸟教育设为平面的法向量则所以 上且二面角为求与平面所成角的正弦值解证明因为为的中点所以且连接因为所以为等腰直角三角形且由知由得平面如 量为由得可取所以由已知可得所以解得舍去或所以又所以所以与平面所成角的正弦值为全国卷图是由矩形和菱形组成 晨鸟教育 则 Error!令 z 1，得 y 3，x 1，n(1，3，1)，|m n|1 5 设所求二面角为，则 cos.|m|n|5 5 3.如图，圆柱的轴截面 ABCD 是边长
33、为 2 的正方形，点 P 是圆弧 CD 上的一动 点(不与 C，D 重合)，点 Q 是圆弧 AB 的中点，且点 P，Q 在平面 ABCD 的两 侧(1)证明：平面 PAD 平面 PBC；(2)设点 P 在平面 ABQ 上的射影为点 O，点 E，F 分别是 PQB 和 POA 的重 心，当三棱锥 P-ABC 体积最大时，回答下列问题 证明：EF 平面 PAQ；求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的正弦值 解(1)因为 ABCD 是轴截面，所以 AD 平面 PCD，所以 AD PC 又点 P 是圆弧 CD 上的一动点(不与 C，D 重合)，且 CD 为直径，所以 PC PD，又 AD PD
34、D，PD 平面 PAD，AD 平面 PAD，所以 PC 平面 PAD，而 PC 平面 PBC，故平面 PAD 平面 PBC(2)当三棱锥 P-ABC 体积最大时，点 P 为圆弧 CD 的中点，所以点 O 为圆弧 AB 的中点，所以四边形 AQBO 为正方形，且 PO 平面 ABO.连接 PE 并延长交 BQ 于点 M，连 接 PF 并延长交 OA 于点 N，连接 MN，则 MN AQ，因为 E，F 分别为两个三角形的重心，平面由已知可得以为坐标原点的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系则晨鸟教育设为平面的法向量则所以 上且二面角为求与平面所成角的正弦值解证明因为为的中点所以且连接因为所以
35、为等腰直角三角形且由知由得平面如 量为由得可取所以由已知可得所以解得舍去或所以又所以所以与平面所成角的正弦值为全国卷图是由矩形和菱形组成 Earlybird平面由已知可得以为坐标原点的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系则晨鸟教育设为平面的法向量则所以 上且二面角为求与平面所成角的正弦值解证明因为为的中点所以且连接因为所以为等腰直角三角形且由知由得平面如 量为由得可取所以由已知可得所以解得舍去或所以又所以所以与平面所成角的正弦值为全国卷图是由矩形和菱形组成 晨鸟教育 PE PF 2，EF MN，PM PN 3 所以 EF AQ，又 AQ 平面 PAQ，EF 平面 PAQ，所以 EF 平面
36、 PAQ.PO 平面 ABO，AO 垂直 BO，所以以 O 为坐 标原点，OA，OB，OP 所在直线为 x，y，z 轴建立空 间直角坐标系，如图所示，则 P(0,0,2)，A(2，0,0)，B(0，2，0)，PA(2，0，2)，AB(2，2，0)设平面 PAB 的法向量 n(x，y，z)，则 Error!即 Error!可取 n(2，2，1)，又平面 PCD 的法向量 m(0,0,1)，n m 1 5 所以 cos n，m，|n|m|5 5 2 5 所以 sin n，m.5 2 5 所以平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的正弦值为.5 平面由已知可得以为坐标原点的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系则晨鸟教育设为平面的法向量则所以 上且二面角为求与平面所成角的正弦值解证明因为为的中点所以且连接因为所以为等腰直角三角形且由知由得平面如 量为由得可取所以由已知可得所以解得舍去或所以又所以所以与平面所成角的正弦值为全国卷图是由矩形和菱形组成 Earlybird 平面由已知可得以为坐标原点的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系则晨鸟教育设为平面的法向量则所以 上且二面角为求与平面所成角的正弦值解证明因为为的中点所以且连接因为所以为等腰直角三角形且由知由得平面如 量为由得可取所以由已知可得所以解得舍去或所以又所以所以与平面所成角的正弦值为全国卷图是由矩形和菱形组成