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1、第十六周 巧妙求和（二）专题简析：某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。例 1：刘俊读一本长篇小说，他第一天读 30 页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多 3 页，第 11 天读了 60 页，正好读完。这本书共有多少页？分析与解答：根据条件“他每天读的页数都比前一天多 3 页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即 30、33、36、57、60。要求这本书共多少页也就
2、是求出这列数的和。这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11，因此可以很快得解：（30 60）11 2=495（页）想一想：如果把“第 11 天”改为“最后一天”该怎样解答？练习一 1，刘师傅做一批零件，第一天做了 30 个，以的每天都比前一天多做 2 个，第 15 天做了 48 个，正好做完。这批零件共有多少个？2，胡茜读一本故事书，她第一天读了 20 页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多 5 页。最后一天读了 50 页恰好读完，这本书共有多少页？3，丽丽学英语单词，第一天学会了 6 个，以后每天都比前一天多学 1 个，最后一天学会了 16 个。丽丽在这些天中学会了多少个英
3、语单词？考虑将题中的数适当分组并将每组中的数合理配对使问题得以顺利解决例刘俊读一本长篇小说他第一天读页从第二天 前一天多页可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数即要求这本书共多少页也就是求出这列数的和这列数是一 件第一天做了个以的每天都比前一天多做个第天做了个正好做完这批零件共有多少个胡茜读一本故事书她第一天读了例 2：30 把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？分析与解答：开第一把锁时，如果不凑巧，试了 29 把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试 29 次；同理，开第二把锁至多需试 28 次，开第三把锁至多需试 27 次等打开第 29
4、 把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。所以，至多需试 29 28 27 2 1=（29 1）29 2=435（次）。练习二 1，有 80 把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？2，有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试 28 次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。一共有几把锁的钥匙搞乱了？3，有 10 只盒子，44 只羽毛球。能不能把 44 只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球只数不相等？考虑将题中的数适当分组并将每组中的数合理配对使问题得以顺利解决例刘俊读一本长篇小说他第一天读页从第二天 前一天多页可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数即要求这本书共多少页也就
5、是求出这列数的和这列数是一 件第一天做了个以的每天都比前一天多做个第天做了个正好做完这批零件共有多少个胡茜读一本故事书她第一天读了例 3：某班有 51 个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。那么共握了多少次手？分析与解答：假设 51 个同学排成一排，第一个人依次和其他人握手，一共握了 50 次，第二个依次和剩下的人握手，共握了 49 次，第三个人握了 48 次。依次类推，第 50 个人和剩下的一人握了 1 次手，这样，他们握手的次数和为：50 49 48 2 1=（50 1）50 2=1275（次）练习三 1，学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有 21 人参加比赛
6、，一共要进行多少场比赛？2，在一次同学聚会中，一共到 43 位同学和 4 位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。那么一共握了多少次手？3，假期里有一些同学相约每人互通两次电话，他们一共打了78 次电话，问有多少位同学相约互通电话？考虑将题中的数适当分组并将每组中的数合理配对使问题得以顺利解决例刘俊读一本长篇小说他第一天读页从第二天 前一天多页可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数即要求这本书共多少页也就是求出这列数的和这列数是一 件第一天做了个以的每天都比前一天多做个第天做了个正好做完这批零件共有多少个胡茜读一本故事书她第一天读了例 4：求 1 99 这 99 个连续自然数的所有
7、数字之和。分析与解答：首先应该弄清楚这题是求 99 个连续自然数的数字之和，而不是求这 99 个数之和。为了能方便地解决问题，我们不妨把 0 算进来（它不影响我们计算数字之和）计算 099 这 100 个数的数字之和。这 100 个数头尾两配对后每两个数的数字之和都相等，是 9+9=18，一共有 100 2=50 对，所以，199 这 99 个连续自然数的所有数字之和是 18 50=900。练习四 1，求 1199 这 199 个连续自然数的所有数字之和。2，求 1999 这 999 个连续自然数的所有数字之和。3，求 13000 这 3000 个连续自然数的所有数字之和。考虑将题中的数适当分
8、组并将每组中的数合理配对使问题得以顺利解决例刘俊读一本长篇小说他第一天读页从第二天 前一天多页可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数即要求这本书共多少页也就是求出这列数的和这列数是一 件第一天做了个以的每天都比前一天多做个第天做了个正好做完这批零件共有多少个胡茜读一本故事书她第一天读了例 5：求 1209 这 209 个连续自然数的全部数字之和。分析与解答：不妨先求 0199 的所有数字之和，再求 200209 的所有数字之和，然后把它们合起来。0199 的所有数字之和为（1+9 2）（200 2）=1900，200209 的所有数字之和为 2 10+1+2+9=65。所以，1209 这 209 个连续自然数的全部数字之和为1900+65=1965。练习五 1，求 1308 连续自然数的全部数字之和。2，求 12009 连续自然数的全部数字之和。3，求连续自然数 20005000 的全部数字之和。考虑将题中的数适当分组并将每组中的数合理配对使问题得以顺利解决例刘俊读一本长篇小说他第一天读页从第二天 前一天多页可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数即要求这本书共多少页也就是求出这列数的和这列数是一 件第一天做了个以的每天都比前一天多做个第天做了个正好做完这批零件共有多少个胡茜读一本故事书她第一天读了