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1、第八周 巧妙求和（一）专题简析：若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。通项公式：第 n 项=首项+（项数1）公差 项数公式：项数=（末项首项）公差1 例 1：有一个数列：4，10，16，22，52，这个数列共有多少项？分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为 6，首项是4，末项是 52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。项数=（524）61=9，即这个数列共有 9
2、项。练 习 一 1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？2，有一个等差数列：2，5，8，11，101，这个等差数列共有多少项？3，已知等差数列 11，16，21，26，1001，这个等差数列共有多少项？差称为公差在这一章要用到两个非常重要的公式通项公式和项数公式通项公式第项首项项数公差项数公式项数末项首直接带入项数公式进行计算项数即这个数列共有项练习一等差数列中首项末项公差这个等差数列共有多少项有一个等少分析与解答这个等差数列的首项是公差是项数是要求第项可根据末项首项公差项数进行计算第项练习二一等差数列例 2：有一等差数列：3，7，11，15，这个等差数列的第
3、100项是多少？分析与解答：这个等差数列的首项是 3，公差是 4，项数是 100。要求第 100 项，可根据“末项=首项+公差（项数1）”进行计算。第 100 项=3+4（1001）=399 练 习 二 1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？2，求 1，4，7，10这个等差数列的第 30 项。3，求等差数列 2，6，10，14的第 100 项。差称为公差在这一章要用到两个非常重要的公式通项公式和项数公式通项公式第项首项项数公差项数公式项数末项首直接带入项数公式进行计算项数即这个数列共有项练习一等差数列中首项末项公差这个等差数列共有多少项有一个等少分析与解答这个等差数列
4、的首项是公差是项数是要求第项可根据末项首项公差项数进行计算第项练习二一等差数列例 3：有这样一个数列：1，2，3，4，99，100。请求出这个数列所有项的和。分析与解答：如果我们把 1，2，3，4，99，100 与列 100，99，3，2，1 相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是 101，一共有 100 个 101 相加，所得的和就是所求数列的和的 2 倍，再除以 2，就是所求数列的和。1+2+3+99+100=（1+100）1002=5050 上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公
5、式求和：等差数列总和=（首项+末项）项数2 这个公式也叫做等差数列求和公式。练 习 三 计算下面各题。（1）1+2+3+49+50（2）6+7+8+74+75（3）100+99+98+61+60 差称为公差在这一章要用到两个非常重要的公式通项公式和项数公式通项公式第项首项项数公差项数公式项数末项首直接带入项数公式进行计算项数即这个数列共有项练习一等差数列中首项末项公差这个等差数列共有多少项有一个等少分析与解答这个等差数列的首项是公差是项数是要求第项可根据末项首项公差项数进行计算第项练习二一等差数列例 4：求等差数列 2，4，6，48，50 的和。分析与解答：这个数列是等差数列，我们可以用公式计
6、算。要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：项数=（末项首项）公差+1=（502）2+1=25 首项=2，末项=50，项数=25 等差数列的和=（2+50）252=650 练 习 四 计算下面各题。（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+195+200（3）9+18+27+36+261+270 差称为公差在这一章要用到两个非常重要的公式通项公式和项数公式通项公式第项首项项数公差项数公式项数末项首直接带入项数公式进行计算项数即这个数列共有项练习一等差数列中首项末项公差这个等差数列共有多少项有一个等少分析与解答这个等差数列的首项是公差是项数是要求第项可根据末项首项公差项数进
7、行计算第项练习二一等差数列例 5：计算（2+4+6+100）（1+3+5+99）分析与解答：容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把 1 100 这 100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有 50 个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50 个差，再求出所有差的和。（2+4+6+100）（1+3+5+99）=（21）+（43）+（65）+（10099）=1+1+1+1=50 练 习 五 用简便方法计算下面各题。（1）（2001+1999+1997+1995）（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+2000）（1+3+5+1999）（3）（1+3+5+1999）（2+4+6+1998）差称为公差在这一章要用到两个非常重要的公式通项公式和项数公式通项公式第项首项项数公差项数公式项数末项首直接带入项数公式进行计算项数即这个数列共有项练习一等差数列中首项末项公差这个等差数列共有多少项有一个等少分析与解答这个等差数列的首项是公差是项数是要求第项可根据末项首项公差项数进行计算第项练习二一等差数列