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1、 反 函 数 吉林省松原市实验高级中学 陈天鸿 教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）教学目标：1了解反函数的概念，弄清原函数与反函数的定义域和值域的关系 2会求一些简单函数的反函数 3在尝试、探索求反函数的过程中，深化对概念的认识，总结出求反函数的一般步骤，加深对函数与方程、数形结合以及由特殊到一般等数学思想方法的认识 4进一步完善学生思维的深刻性，培养学生的逆向思维能力，用辩证的观点分析问题，培养抽象、概括的能力 教学重点：求反函数的方法 教学难点：反函数的概念 教学过程：教学活动 设计意图 一、创设情境，引入新课 1复习提问 函数的概念 y=f(x)中各变量的意义
2、2同学们在物理课学过匀速直线运动的位移和时间的函数关系，即S=vt和t=vS（其中速度v是常量），在S=vt 中位移 S 是时间 t 的函数；在t=vS中，时间t是位移S的函数在这种情况下，我们说t=vS是函数S=vt的反函数什么是反函数，如何求反函数，就是本节课学习的内容 3板书课题 由实际问题引入新课，激发了学生学习兴趣，展示了教学目标这样既可以拨去“反函数”这一概念的神秘面纱，也可使学生知道学习这一概念的必要性 二、实例分析，组织探究 1问题组一：（用 投 影给 出函 数31xy 与3xy；21xy 与2xy（0 x）的图象）（1）这两组函数的图像有什么关系？这两组函数有什么关系？（生答
3、：31xy 与3xy 的图像关于直线 y=x 对称；21xy 与2xy（0 x）的图象也关于直线 y=x 对称3xy 是求一个数立方的运算，而31xy 是求一个数立方根的运算，它们互为逆运算同样，21xy 与2xy（0 x）也互为逆运算）（2）由3xy，已知 y 能否求 x？（3）31yx 是否是一个函数？它与31xy 有何关系？（4）31yx 与3xy 有何联系？2问题组二：（1）函数 y=2x+1(x 是自变量)与函数 x=2y+1(y 是自变量)是否是同一函数？（2）函数21xy(x 是自变量)与函数x=2y+1(y 是自变量)是否是同一函数？（3）函数1 xy（0 x）的定义域与函数2
4、)1(xy（1x）的值域有什么关系？3渗透反函数的概念（教师点明这样的函数即互为反函数，然后师生共同探究其特点）从学生熟知的函数出发，抽象出反函数的概念，符合学生的认知特点，有利于培养学生抽象、概括的能力 通过这两组问题，为反函数概念的引出做了铺垫，利用旧知，引出新识，在“最近发展区”设计问题，使学生对反函数有一个直观的粗略印象，为进一步抽象反函数的概念奠定基础 三、师生互动，归纳定义 1（根据上述实例，教师与学生共同归纳出反函数的定义）函数 y=f(x)(xA)中，设它的值域为 C 我们根据这个函数中 x,y 的关系，用 y 把 x 表示出来，得到 x=(y)如果对于 y 在 C中的任何一个
5、值，通过 x=(y)，x 在 A中都有唯一的值和它对应，那么,x=(y)就表示 y 是自变量，x 是自变量 y 的函数这样的函数 x=(y)(y C)叫做函数 深化对概念的认识总结出求反函数的一般步骤加深对函数与方程数形结合以及由特殊到一般等数学思想方法的认识进数的方法教学难点反函数的概念教学过程教学活动设计意一创设情境引入新课复习提问函数的概念中各变量的意义同位移的函数在这种情况下我们说数如何求反函数就是本节课学习的内容是函数的反函数什么是反函板书课题由实际问 y=f(x)(xA)的反函数.记作:)(1yfx考虑到“用 x表示自变量,y表示函数”的习惯，将)(1yfx中的 x 与 y 对调写
6、成)(1xfy 2引导分析：1）反函数也是函数；2）对应法则为互逆运算；3）定义中的“如果”意味着对于一个任意的函数y=f(x)来说不一定有反函数；4）函数 y=f(x)的定义域、值域分别是函数x=f1(y)的值域、定义域；5）函数 y=f(x)与 x=f1(y)互为反函数；6）要理解好符号 f1；7）交换变量 x、y 的原因 3两次转换 x、y 的对应关系 （原函数中的自变量 x 与反函数中的函数值 y 是等价的，原函数中的函数值 y 与反函数中的自变量 x 是等价的）4函数与其反函数的关系 函数 y=f(x)函数)(1xfy 定义域 A C 值 域 C A 四、应用解题，总结步骤 1（投影
7、例题）【例 1】求下列函数的反函数 在上述探究的基础上，揭示反函数的定义，学生有针对性地体会定义的特点，进而对定义有更深刻的认识，与自己的预设产生矛盾冲突，体会反函数在剖析定义的过程中，让学生体会函数与方程、一般到特殊的数学思想，并对数学的符号语言有更好的把握 通过动画演示，表格对照，使学生对反函数定义从感性认识上升到理性认识，从而消化理解 xfyyfxxfy11 深化对概念的认识总结出求反函数的一般步骤加深对函数与方程数形结合以及由特殊到一般等数学思想方法的认识进数的方法教学难点反函数的概念教学过程教学活动设计意一创设情境引入新课复习提问函数的概念中各变量的意义同位移的函数在这种情况下我们说
8、数如何求反函数就是本节课学习的内容是函数的反函数什么是反函板书课题由实际问（1）y=3x-1 (2)y=x3+1【例 2】求函数)0(1xxy的反函数（教师板书例题过程后，由学生总结求反函数步骤）2总结求函数反函数的步骤:1 由y=f(x)反解出 x=f1(y)2 把 x=f1(y)中 x与y互换得)(1xfy.3 写出反函数)(1xfy的定义域.（简记为：反解、互换、写出反函数的定义域）【例 3】（1）)(2Rxxy有没有反函数?（2）)0(2xxy的反函数是_（3）2xy(x0)的反函数是_ 通过对具体例题的讲解分析，在解题的步骤上和方法上为学生起示范作用，并及时归纳总结，培养学生分析、思
9、考的习惯，以及归纳总结的能力 题目的设计遵循了从了解到理解，从掌握到应用的不同层次要求，由浅入深，循序渐进并体现了对定义的反思理解学生思考练习，师生共同分析纠正 五、巩固强化，评价反馈 1 已知函数 y=f(x)存在反函数，求它的反函数 y=f1(x)（1）y=-2x+3(xR)（2）y=-x2(xR,且 x0)(3)y=53 xx(xR,且 x35)2已知函数 f(x)=156xx(xR,且 x1)存在反函数)(1xfy，求f1(7)的值 五、反思小结，再度设疑 本节课主要研究了反函数的定义，以及反函数的求解步骤互为反函数的两个函数的图象到底有什么特点呢？为什么具有这样的特点呢？我们将在下节
10、研究（让学生谈一下本节课的学习体会，教师适时点拨）进一步强化反函数的概念，并能正确求出反函数反馈学生对知识的掌握情况，评价学生对学习目标的落实程度具体实践中可采取同学板演、分组竞赛等多种形式调动学生的积极性 “问题是数学的心脏”学生带着问题走进课堂又带着新的问题走出课堂 深化对概念的认识总结出求反函数的一般步骤加深对函数与方程数形结合以及由特殊到一般等数学思想方法的认识进数的方法教学难点反函数的概念教学过程教学活动设计意一创设情境引入新课复习提问函数的概念中各变量的意义同位移的函数在这种情况下我们说数如何求反函数就是本节课学习的内容是函数的反函数什么是反函板书课题由实际问 六、作业 习题 2.
11、4 第 1 题，第 2 题 进一步巩固所学的知识 教学设计说明 “问题是数学的心脏”一个概念的形成是螺旋式上升的，一般要经过具体到抽象，感性到理性的过程本节教案通过一个物理学中的具体实例引入反函数，进而又通过若干函数的图象进一步加以诱导剖析，最终形成概念 反函数的概念是教学中的难点，原因是其本身较为抽象，经过两次代换，又采用了抽象的符号由于没有一一映射，逆映射等概念的支撑，使学生难以从本质上去把握反函数的概念 为此，我们大胆地使用教材，把互为反函数的两个函数的图象关系预先揭示，进而探究原因，寻找规律，程序是从问题出发，研究性质，进而得出概念，这正是数学研究的顺序，符合学生认知规律，有助于概念的
12、建立与形成另外，对概念的剖析以及习题的配备也很精当，通过不同层次的问题，满足学生多层次需要，起到评价反馈的作用通过对函数与方程的分析，互逆探索，动画演示，表格对照、学生讨论等多种形式的教学环节，充分调动了学生的探求欲，在探究与剖析的过程中，完善学生思维的深刻性，培养学生的逆向思维使学生自然成为学习的主人 深化对概念的认识总结出求反函数的一般步骤加深对函数与方程数形结合以及由特殊到一般等数学思想方法的认识进数的方法教学难点反函数的概念教学过程教学活动设计意一创设情境引入新课复习提问函数的概念中各变量的意义同位移的函数在这种情况下我们说数如何求反函数就是本节课学习的内容是函数的反函数什么是反函板书课题由实际问