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1、反函数常见考点例析一、利用反函数的概念求函数值例 1 若1)12(xxf，则)2(1f=_解析：令21x， 则1xx=l，则112x，即2)1 (f， 因1)2(1f点评： 此题是否不必求反函数的解析式呢？由上解答看出是不必要的，充分利用反函数的性质abfbaf)()(1可解决此类问题二、求原函数与其反函数的交点例 2 若baxxf)(与)(1xf都过(1，2)点，则)(xf与)(1xf的图象交点的个数为 _解析： 解方程组,21,2baba，得7,3 ba，则73)(xxf.由)(xf与)(1xf的图象关于直线 y=x 对称知)(xf与)(1xf的均过 (2，1)点，又因为 2 条曲线与 y
2、=x 交点也是同一点，故共有3 个交点点评：函数)(xf与)(1xf的交点若为),(ba，则点),(ab也为它们的交点三、利用函数与其反函数的图象的对称性解决函数性质问题例 3 已知bxaxxf1)(，其反函数记为)(1xf(1)若)(1xf的图象关于点 P（1，-2）对称，求)(xf的单调区间；(2)若)(xf与)(1xf的图象重合，且在区间 (3，+)上是减函数，求 a，b 满足的条件 . 解析： （1）bxbaabxaxxf11)(，又)(1xf的图象关于点 P（1，-2）对称，)(xf的图象关于点（ -2，1）对称名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
3、 - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - , 1,2 ab即211)(xxf，易知（ -，-2）和(-2，+)为)(xf的单调增区间(2)(xf与)(1xf的图象重合，即)(xf图象关于 y=x 对称，由bxbaabxaxxf11)(, 即axaaxfab21)(,)(xf在),(a和),(a上是单调减函数，故3a综上所述，ba,满足的条件是3a，且ab. 点评：(1)函数)(xgfy，若)(xfy是递减的，则)(xgu的增区间就是)(xgfy的减区间，)(xgu的减区间就是)(xgfy的增区
4、间；(2)互为反函数的两个函数在对应的区间内的单调性相同（对应区间指原函数的定义域区间对应为反函数的值域区间）四、证明函数是否具有反函数例 42121)(xxxf(1)证明函数)(xf有反函数，并求出反函数(2)反函数的图象是否经过点 (0， 1)?反函数的图象与 y=x 有无交点？(3)设反函数为)(1xfy，求不等式0)(1xf的解集解析：(1)欲证函数有反函数， 需证函数在定义域范围内严格单调，显 然 ，)(xf的 定 义 域 为 正 实 数 集 令210 xx，0)11 ()()11()()(1221212121xxxxxxxxxfxf，所以)(xf在定义域上是增函数，则)(xf有反函
5、数，且0 x时，xx1， 即)(1xf的 定 义 域 为R， 由2121xxy解 得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - 22)4(41yyx，所以)()4(41)(221Rxxxxf；(2)易)(1xf经过点1 , 0;图象与xy无交点(3)解集为空集点评：判断函数有无反函数， 只需证明函数在定义域内是严格单调递增或严格单调递减即可. 五、反函数的存在性问题例 5 函数32)(2axxxf在区间 1，2上存在反函数的充要条件是( ) A.1 ,aB. ,2aC.2, 1aD., 21 ,a解 析 ： 由3)(32)(222aaxaxxxf,得)(xf的 对 称轴 为ax，而函数32)(2axxxf在区间1，2上存在反函数，则, 21 ,a故选 D 项点评： 函数有反函数的一个充要条件是函数在定义域内严格单调名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -