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1、反函数一些结论:1定义域上的单调函数必有反函数；2奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数；3定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数.4周期函数在整个定义域内不存在反函数.（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性考点一。反函数图象1.已知函数的反函数是，则的图象是（）解：由题意知则所以的图象可由的图象向右平移1 个单位而得到。故选（C）。考点二。求反函数定义域，值域2.（1）若为函数的反函数，则的值域为 _。解：利用反函数的值域就是原函数的定义域，立即得的值域为。（2）已知 p 为xe2y上一点，Q为2lnlnyx上一点，求PQ最小值。解：由题，两函数互为反函数，当PQ与 y=x 垂直，且
2、P,Q 分别为两曲线切点时，PQ最小。2lnlnyx，则1x1y，即 x=1,切点为（1，-ln2),故22ln1d。由对称性，PQ最小值=)2ln12（。（3）已知 y=a 与 y=2(x+1),y=x+lnx交于 A，B两点,求AB最小值。解：0 x11y，单调递增，y=2(x+1)单增且 k=2,画图像得:要使AB最小，只需B 到 y=2(x+1)距离 d 最小名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 4 页 -又5535212d，故ABmin=d25=23。考点三。求反函数3.（1）函数的反函数是（）A.B.C.D.解：由可得，故从解得因所以即其反函数是故选（B）。
3、（2）求下列函数的反函数：（1）2()(1)f xxx x；（2）221(01)()(10)xxf xxx.解：（1）由2(1)yxx x得2211()(1)24yxx，211(0)24xyy，所求函数的反函数为211(0)24yxx（2）当01x时，得1(10)xyy，当10 x时，得(01)xyy，所求函数的反函数为1(10)(01)xxyxx（3）f(x)图像与 g(x)图像关于直线x+y=0 对称，则 f(x)反函数为（)A.y=g(x)B.y=g(-x)C.y=-g(x)D.y=-g(-x)解：f(x)图像与 g(x)图像关于直线x+y=0 对称，-x=f(-y),即-y=)(f1x
4、,则 y=-)(f1x,)()(f1xgx,故)(-g(f1xx），选 D.考点四。反函数与方程4.已知函数，则方程的解 x=_。解：当函数存在反函数时，若，则。所以只需求出的值即为中的 x的值。易知，所以即为所求的值。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 4 页 -考点五。反函数求参数5.(1)y=f(x)是xay的反函数，且过点),a2a（，求 a 的值。解：由题y=f(x)=xalog，将),a2a（代入得：a=2.（2）函数11(,)1axyxxRaxa的图象关于yx对称，求a的值解：由11(,)1axyxxRaxa得1(1)(1)yxya y，11()(1)(
5、1)xfxxa x，由题知：1()()f xfx，11(1)1xaxa xax，1a（3）若(2,1)既在()f xmxn的图象上，又在它反函数图象上，求,m n的值解：(2,1)既在()f xmxn的图象上，又在它反函数图象上，(1)2(2)1ff，221mnmn，37mn(4)已知 y=f(x)与ax2y关于 y=-x 对称，且 f(-2)+f(-4）=1，求 a 的值。解：设y=f(x)上点M),x00y（,关于y=-x对称点为N),y-00 x（，代入ax2y中，则ay02x-0，即ayx002)(log，)(logy2xa=f(x),又 f(-2)+f(-4）=a-1+a-2=2a-
6、3=1,故 a=2.考点六。反函数的奇偶性，单调性6.函数的反函数是（）A.奇函数，在（）上是减函数B.偶函数，在（）上是减函数C.奇函数，在（）上是增函数D.偶函数，在（）上是增函数解：函数与具有相同的单调性，奇函数的反函数也为奇函数这两条性质，立即选（C）。考点七。反函数求值7.（1）设函数的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数，则_。解：由，可知函数的图象过点（4，0）。而点（4，0）关于点（1，2）的对称点为（-2，4）。由题意知点（-2，4）也在函数的图象上，即有，所以。评注：当函数存在反函数时，若，则。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 4 页 -（2）设函数xxxf121)(，又函数)(xg与1(1)yfx的图象关于yx对称，求)2(g的值解：由1(1)yfx得()1xfy，()()1g xf x，(2)(2)12gf考点八。反函数与不等式8.（1）设是函数的反函数，则成立时 x 的取值范围是（）A.B.C.D.解：由，知函数在 R上为增函数，所以在 R上也为增函数。故由，有而可得故选（A）。（2）设是函数的反函数，则下列不等式中恒成立的是（）A.B.C.D.解：依题意知。画出略图，故选（A）。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 4 页 -