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1、晨鸟教育 大题规范练(三)1(2020 天津模拟)ABC 中的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，设 b b cos A 3 asin B.(1)求 A；(2)若 b c 2 a，ABC 的外接圆半径为 2，求 ABC 的面积 解：(1)因为 b b cos A 3 asin B，所以由正弦定理可得 sin B sin B cos A 3sin A sin B，因为 0 B，所以 sin B 0，所以 3sin A cos A 1，所以 2sin(A 6)1，5 因为 0 A，所以 A，所以 A，所以 A 6(6)，6 6 6.3(2)设 ABC 的外接圆半径为 R，则 R 2，所以
2、由正弦定理得 a 2 R sin A 2 3，所以 b c 2 6，由余弦定理得 a2 b2 c2 2 bc cos A(b c)2 2 bc 2 bc cos(b 3 c)2 3 bc，所以 12 24 3 bc，得 bc 4.1 1 3 所以 ABC 的面积为 S bc sin A 4 3.2 2 2 1 2(2020 惠州模拟)在 3 Sn 1 Sn 1；a2；2 Sn 1 3 an 1 9 这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，满足 _，_；又知正项等差数 bn列 Earlybird晨鸟教育 满足 b1 2，且 b1，b2 1，b3
3、成等比数列(1)求 an和 bn的通项公式；3(2)证明：ab1 ab2 abn.26(1)解：法一 选择 当 n 2 时，由 3 Sn 1 Sn 1 得 3 Sn Sn 1 1，a n 1 1 两式相减，得 3 an 1 an，即(n 2)，a n 3 由 得 3 S2 S1 1，即 3(a1 a2)a1 1，1 2 1 所以 2 a1 1 3 a2 1，得 a1，3 3 3 a2 1 1 1 所以，所以 an为 a1，公比为 的等比数列，a1 3 3 3 1 1 n 1 1 n 所以 an.3(3)(3)设等差数列 bn的公差为 d，d 0，且 b1，b2 1，b3 成等比数 列 b1b3
4、(b2 1)2，即 2(2 2 d)(1 d)2，解得 d 3，d 1(舍去)，所以 bn 2(n 1)3 3 n 1 法二 选择 当 n 2 时，由 2 Sn 1 3 an 1，得 2 Sn 1 1 3 an，a n 1 1 两式相减，得 2 an 3 an 3 an 1，所以(n 2)，a n 3 1 a 2 1 1 又 2 S1 1 3 a2，得 a1，所以，所以 an为 a1，公比为 3 a 1 3 3 1 的等比数列，3 1 1 n 1 1 n 所以 an a1q n 1 3(3)(3).Earlybird晨鸟教育(以下同法一)1 3 n 1(2)证明：由(1)得 abn a3 n
5、1(3).1 2 1 5 1 3 n 1 则 ab1 ab2 abn(3)(3)(3)1 2 1 3 n(3)1(3)3 1 3 n 3 3).261(1 3 26 1(3)3.(2020 杭州模拟)如图，在四棱锥-PABCD 中，AB CD，且 BAP CDP 90.(1)证明：平面 PAB 平面 PAD；(2)若 PA PD AB DC，APD 90，求二面角 APBC 的余弦 值(1)证明：因为 BAP CDP 90，所以 PA AB，PD CD，又因为 AB CD，所以 PD AB，又因为 PD PA P，PD，PA 平面 PAD，所以 AB 平面 PAD，又 AB 平面 PAB，所以
6、平面 PAB 平面 PAD.(2)解：在平面 PAD 内作 PO AD，垂足为点 O.由(1)可知，AB 平面 PAD，故 AB PO，又 AB AD A，可得 PO 平面 ABCD.以 O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz，设 PA 2，所以 D(2，0，0)，Earlybird晨鸟教育 B(2，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，所以 PD(2，0，2)，PB(2，2，2)，BC(2 2，0，0)，设 n(x，y，z)为平面 PBC 的一个法向量，n PB 0，2 x 2 y 2 z 0，由 0，)得 2 2 x 0.)n BC 令 y 1，则 z 2，x 0
7、，可得平面 PBC 的一个法向量 n(0，1，2)，因为 APD 90，所以 PD PA，又知 AB 平面 PAD，PD 平面 PAD，所以 PD AB，又 PA AB A，PA，AB 平面 PAB，所以 PD 平面 PAB，即 PD 是平面 PAB 的一个法向量，PD n 2 3 所以 cos PD，n，3|PD|n|2 3 由图知二面角 APBC 为钝角，3 所以它的余弦值为.3 4(2020 郑州模拟)某市居民用天然气实行阶梯价格制度，具体见 下表：Earlybird晨鸟教育 阶梯 年用气量/立方米 价格/(元/立方米)第一阶梯 不超过 228 的部分 3.25 第二阶梯 超 过 228
8、 而不超过 348 的部分 3.83 第三阶梯 超过 348 的部分 4.70 从该市随机抽取 10 户(一套住宅为一户)同一年的天然气使用情况，得到统计表如下：居民用 气编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 年用气 量/立方 95 106 112 161 210 227 256 313 325 457 米(1)求一户居民年用气费 y(元)关于年用气量 x(立方米)的函数关系 式；(2)现要在这 10 户家庭中任意抽取 3 户，求抽到的年用气量超过 228 立方米而不超过 348 立方米的用户数的分布列与数学期望；(3)若以表中抽到的 10 户作为样本估计全市居民的年用气情况，现 从
9、全市中依次抽取 10 户，其中恰有 k 户年用气量不超过 228 立方米的 概率为 P(k)，求 P(k)取最大值时 k 的值 解：(1)由题意，当 x(0，228 时，y 3.25 x；当 x(228，348 时，y 3.83 x 132.24；当 x(348，)时，y 4.7 x 435，所以年用气费 y 关于年用气量 x 的函数关系式为 Earlybird晨鸟教育 3.25 x，x（0，228，y4.7 x 435，x（348，）.)3.83 x 132.24，x（228，348，(2)由题知 10 户 家庭中年用气量超过 228 立 方米而不超过 348 立 方 米的用户有 3 户，设
10、取到年用气量超过 228 立方米而不超过 348 立方米的用户数为，则 可取 0，1，2，3，C 7 CC 21 则 P(0)，P(1)，C 24 C 40 CC 7 C 1 P(2)，P(3)，C 40 C 120 故随机变量 的分布列为：0 1 2 3 P 7 24 2 1 40 7 40 1 120 7 21 7 1 9 所以 E()0 1 2 3.24 40 40 120 10 3 k 2 10 k(3)由题意知 P(k)C1 k 0(5)(5)(k 0，1，2，3，10)，3 k 2 10 k 3 k 1 2 10 k 1 C(5)(5)C(5)(5)，由，)解 得 3 k 2 10
11、 k 3 k 1 2 10 k 1 C(5)(5)C(5)(5)28 5 33 k，k N*，5 所以当 k 6 时，概率 P(k)最大，所以 k 6.5(2020 黑龙江模拟)已知函数 f(x)ae xln x(其中 e 2.718 28 是 自然对数的底数)，g(x)x2 xln a，a0.(1)讨论函数 f(x)的单调性；Earlybird晨鸟教育(2)设函数 h(x)g(x)f(x)，若 h(x)0 对任意的 x(0，1)恒成立，求实数 a 的取值范围 1 解：(1)因为 f(x)a ex ln x，所以 f(x)a e x(ln x)，x(0，x)1 x 1 令 k(x)ln x，则
12、 k(x)，x x 2 当 x(0，1)时，k(x)0，函数 k(x)单调递增 所以 k(x)k(1)10，又因为 a0，ex0，所以 f(x)0，f(x)在定义域(0，)上单调递增(2)由 h(x)0 得 g(x)f(x)0，即 aexln x x 2 xln a，ln x x ln a ln（ae x）ln（aex）ln x 所以 对任意 x(0，1)x aex ae x ae x x 恒成立，ln x 1 ln x 设 H(x)，则 H(x).x x 2 所以，当 x(0，1)时，H(x)0，函数 H(x)单调递增，且当 x(1)时，H(x)0，当 x(0，1)时，H(x)x，则 H(a
13、ex)0 H(x)，若 0 aex H(x)，且 H(x)在(0，1)上单调递增，所 以 aex x，综上可知，aex x 对任意 x(0，1)恒成立，x 即 a 对任意 x(0，1)恒成立 e x x 1 x 设 G(x)，x(0，1)，则 G(x)0，所以 G(x)在(0，1)单 e x e x Earlybird晨鸟教育 调递增，1 1 所以 G(x)0)，t 则曲线 C 在点 T 的切线 l 的斜率 k f(t)，2 由题意，直线 l 与圆 W 相切于 T 点，设圆 W 的标准方程为(x a)2 y2 2(a0)，则圆 W 的的圆心为(a，Earlybird晨鸟教育 0)，t2 4 t
14、 2 则直线 WT 的斜率 kWT，t a 4（t a）t t2 因为 l WT，所以 1，即 t3 8(t a)0，2 4（t a）t2 2 t 3 2 t 2 2 又因为(t a)2(4)2，所 以(8)(4)2，所 以 t6 4 t4 128 0.令 t2，则 3 4 2 128 0，所以(3 4 2)(8 2 128)0，即(4)(2 8 32)0，所以 4，所以 t 2，a 3，从而圆 W 的标准方程为(x 3)2 y2 2.()设 E(x1，y1)，F(x2，y2)，直线 l2：y x m，y x m，由x2 4 y，)得 x2 4 x 4 m 0，所以 x1 x2 4，x1x2
15、4 m，所以|EF|2（x1 x2）2 4 x1x2 4 2（1 m），|m 3|又因为圆 W 的圆心(3，0)到直线 PQ 的距离为，2|m 3|2 所以|PQ|2 2(2)，2 m2 12 m 10|EF|4 2（1 m）1 m 所以 4，|PQ|2 m 2 12 m 10 m2 6 m 5 由 于 l2 与 曲 线 C、圆 W 均 有 两 个 不 同 的 交 点，所 以 16 16 m 0，2，)|m 3|解得 1 m 5，2 令 1 m u(2，6)，则 m u 1，Earlybird晨鸟教育|EF|u 则 4|PQ|（u 1）2 6（u 1）5 1 1 4 12 4 12 2 6，(u u)8 2 u 8 u 12 当且仅当 u，即 u 2 3，亦 m 2 3 1 时取等号，u|EF|所以当 m 2 3 1 时，的最小值为 2 6，|PQ|此时直线 l2 的方程为 y x 2 3 1.Earlybird