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1、晨鸟教育 大题规范练(一)1(2020广州模拟)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，3 b，c，且 a2，cos B.5(1)若 b4，求 sin A 的值；(2)若ABC 的面积 SABC4，求 b，c 的值 3 4 解：(1)因为 cos B 0，且 0 B0)的焦点为 F，A 为抛物线上异于原点的任意一点，以 AO 为 直径作圆，当直线 OA 的斜率为 1 时，|OA|4 2.(1)求抛物线 C 的标准方程；(2)过焦点 F 作 OA 的垂线 l 与圆 的一个交点为 M，l 交抛物线 3 于 P，Q(点 M 在点 P，Q 之间)，记OAM 的面积为 S，求 S2|PQ|2 的
2、最小值 解：(1)当直线 OA 的斜率为 1 时，可得直线 OA 的方程为 yx，联立抛物线方程 y22px，解得 x2p，即 A(2 p，2p)，|OA|2 2p4 2，即 p2，抛物线的方程为 y24x.Earlybird晨鸟教育(2)由(1)可得 F(1，0)，设 A(x1，y1)，M(x0，y0)，P(x2，y2)，Q(x3，y3)，且 y2 14x1，由题意可得 OA 0，即 x1x0y1y0 x10，FM 又 OM 0，即 x x1x0y y1y00，AM 2 整理可得 x2 0y2 0 x1，又|AM|2|OA|2|OM|2x2 1y2 1(x2 0y2 0)x2 13x1，1
3、1 1 则 S|AM|OM|，即 S2 x1(x 3x1)，x3x1 xy 2 1 2 2 4 又 PQ 的斜率存在且不为 0，PQ：xky 1，联立抛物线方程可 得 y24ky 40，可得 y2y34k，y2y34，则|PQ|1k2（y2y3）24y2y3 1k2 16 k216 4(1 k2)，x1 y1 y 由 PQ OA，可得 kPQ，即 k，可得|PQ|4 4 x1(1x)y1 4(1x1)，3 1 4 则 S2|PQ|x1(x 3x1)6，2 x1)2 4 1 4 3 x42x332 可令 f(x)4x(x23x)6(1x)，f(x)，4 x2 显然 g(x)x42x332 在 x
4、0 时递增，且 g(2)0，当 0 x2 时，g(x)2 时，g(x)0，可得 f(x)在(0，2)递减，在(2，)递增，可得 x2 时，f(x)取得最小值 23.3 即求 S2|PQ|的最小值为 23.2 Earlybird晨鸟教育 5为了提高某生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技 术改造为了对比技术改造前后的效果，采集了该生产线的技术改造 前后各 20 次连续正常运行的时间长度(单位：天)数据，并绘制了如下 茎叶图：项目 超过 m 不超过 m 改造前 a b 改造后 c d(1)设所采集的 40 个连续正常运行时间的中位数为 m，并将连续正 常运行时间超过 m 和不超过 m 的次数
5、填入上面的列联表，试写出 a，b，c，d 的值；根据列联表，能否有 95%的把握认为生产线技术改造 与连续正常运行时间的中位数有关；(2)工厂的一个生产周期为 60 天，生产线的运行需要进行维护一 个生产周期需设置几个维护周期，每个维护周期相互独立工厂对生 产线的生产维护费用包括正常维护费和保障维护费两种，对生产线设 定维护周期为 20 天，即从开工运行到第 20 天(kN*)进行正常维护，正常维护费为 2 千元/周期；在每个维护周期内，若生产线能连续运行，则不收取保障维护费；若生产线不能连续运行，则收取保障维护费，保障维护费在一个维护周期内只收费一次，第一个需保障维护的周期 收费为 1 千元
6、，在后面的维护周期中，如出现保障维护，收取的保障 维护费在上次收取的保障维护费的基础上增加 1 千元以生产线在技 术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生 产周期内生产维护费 X 的分布列及其期望 Earlybird晨鸟教育 P(K2k)0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 n（ad bc）2 附：K2（ab）（cd）（ac）（bd）21 22 解：(1)由茎叶图知 m 21.5，根据茎叶图可得：a6，b 2 14，c14，d6.40（6 614 14）2 由于 K2 6.43.841，所以有 95%的把 20 20 20 20 握认
7、为生产线技术改造与连续正常运行时间的中位数有关(2)当一个维护周期为 20 天时，生产周期内有 3 个维护周期，一个 1 维护周期内，生产线需保障维护的概率为 P.设一个生产周期内需保 4 障维护的次数为 次，则正常维护费为 236 千元，保障维护费为 1 （1）1 2 (2)千元 2 2 1 故一个生产周期内需保障维护 次时的生产维护费为 X (2 2)6 千元 1 由于 B(3，4)，设一个生产周期内的生产维护费为 X 千元，则 X 的可能取值为 6，7，9，12 3 3 27 31 3 2 27 P(X 6)C0 3(，P(X 7)C ，P(X 9)C 4)14(4)64 64 2 1
8、23 9 4)，4 64 1 3 1 P(X 12)C3(4).64 则分布列为 Earlybird晨鸟教育 X 6 7 9 12 P 27 64 27 64 9 64 1 64 27 27 9 1 111 故 E(X)6 7 9 12 .64 64 64 64 16 ax21 6已知函数 f(x)(b0)bx(1)求 f(x)的单调区间；（1xxln x）ln（x1）(2)设 g(x)f(x)，x(0，)都有 （x21）f(x)f(1)2 成立，证明：x(0，)，都有 g(x)1 e2.ax21(1)解：函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)，f(x).bx2 ax21 当 a0 时，f(
9、x)0 时，f(x)，bx2 bx2 a a 令 f(x)0，得 x，a a a a 令 f(x)0，得 x0 或 0 x0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(，a)，)，a a a 单调递减区间为，0)，(0，a；a 当 a0 时，函数 f(x)的单调递减区间为(，0)，(0，)，无 单调递增区间 a1(2)证明：对任意的 x0，都有 f(x)f(1)2 成立，即有 b，2 由(1)知，若 a0，则 f(x)对 x(0，)不存在最小值 2，必有 a0，1 1 2 a 2 a 由 f(x)b(axx)，即 2，所以 a12 a，即(a1)2 b b 0，1 解得 a1，b1.所以 f(x)x.x （1xxln x）ln（x1）g(x)f(x)（x21）（1xxln x）ln（x1），x0.x x（1e2）对任意 x0，g(x)1 e2 等价于 1xxln x0)，则 F(x)ln x2，令 F(x)ln x20 得 xe2，所以当 x(0，e2)时，F(x)0，F(x)单调递增；当 x(e2，)时，F(x)0，x1 Earlybird晨鸟教育 所以当 x(0，)时，G(x)单调递增，G(x)G(0)0，故当 x(0，)时，x G(x)xln(x1)0，即 1，ln（x1）x（1e2）所以 1xxln x1e20，都有 g(x)1 e2.Earlybird