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1、专题六数列一、单选题1.北宋时期的科学家沈括在他的著作 梦溪笔谈一书中提出一个有趣的问题，大意是：酒店把酒坛层层堆积，底层摆成长方形，以后每上一层，长和宽两边的坛子各少一个，堆成一个棱台的形状(如图1),那么总共堆放了多少个酒坛？沈括给出了一个计算酒坛数量的方法一一隙积术，设底层长和宽两边分别摆放6个坛子，一共堆了“层，则酒坛的总数S =H+(a-l)(b-l)+(a-2)0-2)+(a-+1)(6-+1)现在将长方形垛改为三角形垛,即底层摆成一个等边三角形，向上逐层等边三角形的每边少1个酒坛(如图2),若底层等边三角形的边上摆放1 0个酒坛，顶层摆放1个酒坛，那么酒坛的总数为()C根据题目中
2、己给模型类比和联想，得出第一层、第二层、第三层、第十层的酒坛数，然后即可求解.【详解】每一层酒坛按照正三角形排列，从上往下数，最上面一层的酒坛数为1,第二层的酒坛数为1+2,第三层的酒坛数为1 +2 +3,第四层的酒坛数为1 +2 +3 +4,，由此规律，最下面一层的酒坛数为1 +2 +3 +1 0,所以酒坛的总数为 v 7 v 7 v 7.故选：C.2.斐波那契数列是意大利数学家斐波那契在撰写 算盘全书。必er a cc?）一书中研究的一个著名数列1,1,2,3,5,8,1 3,2 1,3 4,，该数列是数学史中非常重要的一个数列.它与生活中许多现象息息相关，如松果、凤梨、树叶的排列符合该数
3、列的规律，与杨辉三角，黄金分割比等知识的关系也相当密切.已知该数列满足如下规律，即从第三项开始，每一项都等于前两项的和，根据这个递推关系，令该数列为%,其前项和为%=出=1,%=2,若 S 2 0 2 1 =则。2 0 2 3 =（）A.1 B.+1 C.2t D.f+1D利用递推关系%+2 =4川+%,结合累加法求解.【详解】由递推关系得：%=出+4,%=%+a2%=%+%,+i =3+,a“+2=a“+i+a“9累加可得%=5“+生，所以 2 0 2 3 =,2 0 2 1 +生=,+1 ,故选：D.3.数列中，1=2,若。+。#+2 W+i o=2厅一25,则左=（）A.2 B.3 C.
4、4 D.5C取帆=1,可得出数列 是等比数列，求得数列 4 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于%的等式，由左eN*可求得左的值.【详 解】2在 等 式4”+”=a”中，令m =1,可 得/+i =2 6,，可所 以，数 列k 是 以2为首项，以2为公比的等比数列，则a，=2 x 2 T=2 ,%+%+-。=-丁。)=(2,0-1 25(2 -1).2 7=2 5,贝 凶 +1 =5,解得左=4.故选：C.&4.记S,为等比数列 a 的 前 项 和.若a s-匈=1 2,a6-a4=2 4,则4 =()A.2 -1 B.2-21-n C.2-2 T D.2-1B根据等比数列的通项公式，可
5、以得到方程组，解方程组求出首项和公比，最后利用等比数列的通项公式和前“项和公式进行求解即可.【详 解】设等比数列的公比为夕,由,a.5 -a.3 =1 2,a6.-a4A =2 4可r得,口:4 2 1 G%q-4 q=1 2=0时,%4d,.3d-2q=d+2（d-aJ0即 其 _ 她 0；当 时，4之 ，.3-26=d+2（d-q）0,所 以 公 一 她 ,）不正确.故选：D.9.在等差数列血 中，囚=-9,%=T.记 =4 q,（=i，2,“.），则数列（，（）.A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项B首先求得数列的通项公式，然后结合
6、数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.【详解】由题意可知，等差数列的公差 5-1笄2则其通项公式为：4=q+(TW =-9+(-l)x 2 =2 -11注意到 4 的 4 4%=1 所以S，.4,故 C 正确；对于D-=*=2(2 f s2(4 T),42(1 61),S24T 1所以S*,1 4 +1 不为常数，故口错误；故选：BC.13.(多选题)设等比数列%的公比为g,其前 项和为S ，前 项积为1,并满足条件.2019 1 v 06 1，4201汹2020 1 ,a2 0 2 0 -l，下列结论正确 的 是()A.$0 1 9 巅2。B.4。19a2。2 1
7、T C.a 02 0是数列g 中的最大值 D.数列 1 无最大值AB_ 2 2 0 1 9-10当 4 0 时，Q2019a2020=a 2019 g 1 ,2020-1 不成立；故夕 1,且，进而可得结果.【详解】当夕 0 时，Q2019a2020=。2019 0,不成立；.2019 7 1,a2020 不成立；故 0 1 ,且%019L 0 。2 02 0 2 019,A 正确；20192021-I =。2020-l V。，故 正确；是数列 Z，中的最大值，8 错误；故选：A B14.如图，已知点E是平行四边形4 8 C。的 边 的 中 点，F（*）为边B C上的一列点，连接阳 交B D于
8、 G,点G,（eN*）满足G D =an+l-G A-2（2 an+3）G,E ,其中数列也.是首项为1 的正项数列，5 是数列%的前项和，则下列结论正确的是（）A E BA.%=1 3 B,数列。a“=4”3 D.S“=2 M-A Ban+-X由平面向量线性运算和向量共线可得到卜2（2 6，+3）=2”,”是等比数列n 2由此可确定递推关系式，得到 川+3 =2（%+3）,由此确定B正确：利用等比数列通项公式求得怎+3,进而得到,可确定A C 正误；利用分组求和法，结合等比数列求和公式可求得S ,知D错误.【详解】E为 中 点，2/=帝+存，即 帝=一 彳+2中，.D,G,5三 点 共 线,
9、GIJD-+2九GqE,又 循=彳2（2%+3）章，-2（2an+3）=24,化简得：%+I=2%+3,.a“+i+3=2（%+3）,+3 是以6+3=4为首项，2为公比的等比数列，B正确；.为+3=4 2-=2 错误；则%=24-3=1 3,人正确；:.S=V（22+23+-+2n+l）3=2 I=）3=2n+2-4-3/?7 1-2,D 错误.故选：A B.三、填空题15.我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列1 21就是二阶等差数f（+1）列，数列1 2 J（eN*）的前3项和是.10根据通项公式可求出数列 可 的前三项，即可求出.【详解】a（+1）因 为 2,
10、所以G=1，4 =3,%=6.即邑=6+。2 +。3 =1 +3+6=10故答案为1 1 6.记S”为等差数列包，的前项和.若q=-2,%+4=2,则工。=.2 5因为 4是等差数列，根据已知条件%+%=2,求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案.【详解】4是等差数列，且q =-2 ,%+4=2设 包 等差数列的公差”根据等差数列通项公式：%=q+(一1”可得 q +d +%+5d =2即-2 +d +(-2)+5 d=2整理可得：6d=6解得：d=lc,n(n-l).Sn=na.-d,e N 根据等差数列前项和公式：25I O 1 0(-2)+10 x(1-1)-2 0 +4 5 2 5
11、可得：2.51 0=2 5.故答案为2 51 7.在数列出 满足+1=2 4+1,&=3,数 列 但 的前项和Z,满 足 乙=2向-2,数列 +1 是等比数列，4=7,4 =63这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答.问题：已知数列 的首项为2,%+%=，求数列 丐 的前 项和S .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.S=2|-匚 -2选择见解析；“2若选，先构造等比数列求出数列 a J的通项公式，再 用 累 加 法 求 的 通 项 公 式，然后再求和；若选，根据【一 求出数列也J的通项公式，之后就同；若选，根据数列物+1 是等比数列求出数列 4的通项公式，之后就同.【
12、详解】选由4+1=2 6+1,可得+1+1 =2色+1）,所以数列 +1 是以2为公比的等比数列，所以4+1 =221=2,即=2-1.即 4+1-4 =2?，-1,所以当2 2 时，%=（%一。-1）+（。-1 一。一2）+（%-）+%=2n-+2n-2+-+22+2-(n-l)+2=-+3-n=2n-n +l当=1时，=2满足上式，所 以%=2 -+1.2(1-2 )(_ )/_ 故,一 r 2 r-?.选因为 7 2J 2,当=1 时，4=4=1,当 心2时，。乜 一 加=(2日一一2卜(2。-1)=2 7,又=1满足所以d=2 -1,即 4+1 -an=2 -1 ,所以当 2 2 时，
13、。=(%-I )+(-1 。-2 )1 h(a2 a)+ai=2,-1+2,-2+-+22+2-(M-1)+2=2-2-+3 =2 +11-2当=1时，4=2满足上式，所以2(1-2)(n-l)n n2-n=-=乙-2故 1-2 2 2选二84+1=8,4+1=6 4,则 4+1 ,所以等比数列的+1的公比为2,.所以a+1=8.22 ,则，即%所以当 2 2时，4=(%一 I)+(4,-1 一%-2)+(%-q)+a?=2,-+2,-2+-+22+2-(-1)+2=Y-+3-=2,-M+1当=时，=2满足上式，所以%=2_+1.2(1-2)(w-l)rt,+1 2_D =-=Z-Z故 1-2
14、 2 218.设 a.是公差为d的等差数列，是公比为0的等比数列.已知数列匕+小 的前项和S“=2 _ +2-1(e N+),则则的值是.4结合等差数列和等比数列前项和公式的特点，分别求得 4 的公差和公比，由此求得+4.【详解】设等差数列包 的公差为，等比数列也 的公比为q,根据题意“Ri.等差数列 4 的前及项和公式为p“=叫+Q（1_”4.b等比数列也 的前项和公式为 1-q i-q q,_ n2依题意S=+Q,即-n +2-=n2+(a-2b.b.n-q+-q -q通过对比系数可知3a q=4-=-i22i-qd=2q=0q=2.4=1,故 d+q=4故41 9.将 数 列 数 1 与
15、 3/7-2 的公共项从小到大排列得到数列公 ,则%的前项和为.32-2n首先判断出数列 I 与 3-2 项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差,利用等差数列的求和公式求得结果.【详解】因为数列 2一1 是 以 1为首项，以 2 为公差的等差数列，数列 3一2 是 以 1首项，以 3 为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列 是 以 1为首项，以 6 为公差的等差数列，1 拉（一I）,c 2 C,-6=3-2n所 以 的 前 项 和 为 2,故答案为3/-22 0.数 列 满足“+2+（-1）%=3一1,前 16 项和为 54 0,则q=.7对为奇偶数分类讨
16、论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用外表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立方程，求解即可得出结论.【详解】a“+2+(T)a“=3 T当“为奇数时，a，+2=%+3 _ l；当“为偶数时，4+2+4 =3 设数列%的前项和为s“，S|6 =%+。2+%+&4+。16=%+3+。5 ,+%5+(2+。4)+。16)=q +(q+2)+(6 f 1 +1 0)+(6 7)+2 4)+(2 1 +4 4)+(4 +7 0)+(4 +1 0 2)+1 4 0)+(5 +1 7 +2 9 +4 1)=8%+3 9 2 +9 2 =8%+4 8 4 =5 4 06 Z 1
17、 -7故答案为72 1.等差数列S 的前项和为S，2 +1 1Y%=3,84=10,则*=i S*q +2d=3设等差数列的首项为q,公差为d,由题意有4 x34q+-=1 02q =1解得I =1S,数列的前项和n(n-,n(n-l n(n+lna.+d=nx+L x 1 =I2 2 21 _ 2裂项可得sk k(k+1)=哈占)J =2 (1-；)+(-：*+(,-)=2(1-=所以太=k 2 23+l +l /?+1四、双空题2 2.已知J为等差数列，0 为其前项和，若 =6,邑=2%,则公差=,S 的最大值为.-21 2根据已知条件可求得”的值，求出S，的表达式，利用二次函数的基本性质
18、可求得S”的最大值.【详解】$3=3%+3 d =2q,即 1 8 +3 1 =1 2,解得d =-2,2 r （7 丫 4 9所以，Sn=nax 4-2-=on-n n-1）=-n+7 =-In 2 J +4 ,当=3或4时，$“取得最大值1 2.故-2；1 2 .五、解答题2 3.已知有限数列%共有3 0 项，其中前2 0 项成公差为的等差数列，后 1 1 项成公比为夕的等比数列,记数列的前项和为S，.从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，求：（D-应的值;（2）数列 6J中的最大项.条件：%=4,$5=3 0,a2l=2 0 ；条件：S =0,%。=-3 6,%=-9.条 件
19、:S=S%=2 0,4 4 =1 6 0 .答案见解析.（1）分别选择一个条件，利用等差、等比数列的通项公式以及前项和公式计算即可.（2）根 据（1）所得到的数据，然后根据数列等差部分、等比部分的单调性简单判断即可.【详解】选择条件：%=4,凡=3 0,=2 0解：（1）因为 4 的前2 0 项成等差数列，0 2=4,5 5=3 0,q +d=4,5x45a+-d=30,所 以 1 2q =2,解得 =2.所以“20=2+19x2=40因为数列S“后 11项成公比为的等比数列，,21 _ 1q1-T所以.2.d=2,q=综上，2.（2）S 的前20项成等差数列，.所以前20项为递增数列.即：前
20、 20项的最大项为生。=40数列 4 的 后 11项成等比数列，-a,所以后11项是递减数列.即：后 11项的最大项为由。=皿综上，数列%的最大项为第20项，其值为40.选择条件：3 =，勺。=-3 6,出2 =-9解：（1）因为 q J 的前20项成等差数列，凡=0,/。=-36,3%+3d=0,所 以 +19d=-36,q =2,所 以 1=-2 .因为数列缶 后 11项成公比为夕的等比数列，=-3 6,又因为 =-9,1q=所以 2.d=-2,q=综上，2.(2)凡 的前2 0 项成等差数列，d .所以前2 0 项为递减数列.前 2 0 项的最大项为q =2.(1 V 2 07 =-,=
21、-3 6-I (2 0 W W K 3 0 e N )1.当 2时，所以当2 0。4 3 0 时，氏.此时，数列%的最大项为第1 项，其值为2；q=-。“=一 36(-1 (2 0 W W B 3 0 n e N,)ii.当 2 时，2),后 1 1 项的最大项为句句8此时，数列SC的最大项为第2 1 项，其值为1 8综上，当 5时，数列 4 的最大项为第1 项，其值为2；当 5时，数列 的最大项为第2 1 项，其值为1 8.选择条件：5=4 8 此 1=2 0,。2 4 =1 6 0解：(1)因为数列%后 1 1 项成公比为4的等比数列，%=2 0,%=1 6 0,所以 叫解得9 =2.20
22、=10所以 q又因为S 的前20项成等差数列，工=4 =48,d=4。一。_ _2所以20-1.综上，=-2,4=2.（2）4 的前20项成等差数列，d 小3川（1）利用等差数列的通项公式以及前项和公式即可求解.（2）利用错位相减法即可求解.【详解】(1)a2=5 ,/ax+2 a5 =a；9(%d)+2(g+3 d)=a；,4=3 d=2an=2 +1(2)令c“=%也=(2 +l 3 ,7；=3 x3 1+5 x 3 2 +7 x 3 3+(2 +l)x3”3 T =3 x32+5 x33+7 x344-+(2 n +l)x3f l+1 今一得：*=9 +2 *+3 3 +3)(2 +1)
23、3-3 2=9 +2 x(2 +l)3n+,=3+-(2 n+1)3,+|=2 -3,+|：.Tn=n-3n+l25.已知公比大于1的等比数列%满足g +4 =20,%=8 .(1)求 的 通 项 公 式；(2)求。口2一。2a 3+8(1产a-2 _(T)-(1)“一；(2)5 5(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式;(2)首先求得数列T)%”向 的通项公式，然后结合等比数列前项和公式求解其前项和即可.【详解】%+。4 =%q+a/=20 l),则 用=。/=8 ,整理可得：2g 2-5 g+2=0,丁 ql,q =2,q =2数列的通项
24、公式为为=2 N,i =2由于：(T V 4%=x 2x 2*2.2 -2/+(_I)”a,=23-25+27-29+.+(-1)-.22,1+I2 6.已知数列 的前项和为S“,且满足2%=S“+(“N)(1)求证：数列 1是等比数列；c=_!_ 3记log2(an+l)log,(a+2+l)(求证：数列%的前项和北，(1)证明见解析；(2)证明见解析.%+1=2 由2a“=S,+得2%=S i+-1(2 2),作差得,=2%+1,进 而 得%+1 ，故数列g+1 是等比数列;c=_ 1 _ 1 =1 2 ，得%=2-1因为噢 2(%+1 噢_2_(。_+2 _+=in_ o1)(+2)2
25、n n+2)所以211 3 2 4 -1 n+1 n n+2-2因为所以112/7 +4-1-2 +2 2/7 +41 1-1-+2 2/7 +413 43 42 7.已知公比大于1 的等比数列 的前6 项和为126,且4%，3 a 3,2%成等差数列.(I )求数列%的通项公式为；(I I)若数列也 满足b=%+噫%(2 2 旦 e N),且4 =1,证明：数列R j 的前“项和北 D,前项和为s“贝 ij 6%=4%+2%,整理得夕23 q +2=0,解得：4=1 (舍)或 4 =2,q(26-1)S s=4-6 3 a.=126由 2-1解得2/.a“=2 G e N*)(j)“N 2
26、时，b“=b“_+l o g,an即 包 一 如=，bn-x-b_2=n-bb=2(+2)(-l)n2+n-2bn-b.=-=-累加得：2 2,n2+nj _ i hfj=-经检验，当=1时，5=1符合上式，2.1 :2.1 1 bn n(n+1)n/?+1J ，T /1 1 1 1 1 1 2 cTn=2 1-7+丁 三 +-=-72则 I 2 2 3 +l印证.28.己知等差 数 列 中，%4=1且,%,劭成等比数列.(1)求数列S 的通项公式；b _ 若 数 列 应 的前项和S ,数 列 也 满 足“S”,求 数 列 也 的前项和2n(1)an=f l.T=+1 .(1)设等差数列%的公
27、差为d,根 据%一%=1求得，再由外,“3,为成等比数列求得%,写出通项公式;(2)根 据(1)得 到“S,(+1)【+”,利用裂项相消法求解.【详解】(1)设等差数列“的公差为因为等差数列S 中，一%=1,所 以 公 差 为-4=1,因为q，a3,%成等比数列，所以 得(“1+2)=%(4|+8(7)即 3+2)2=q (q+8),解得勾=1,所以通项公式为%=1+(T)=.s =(q+%)=(+i)(2)由(1)可得，数列%的前项和“2 2,b 一 1 =2 J i _则 S“n(n +l)U 7 7 +1J1 1 1 1 1、/1 1 2/)T“=2 1-+T-T+-+-=2 1-=所以
28、数列的前项和 1 2 2 3 n n+)1 n+)n+方法点睛：求数列的前项和的方法(%+%)J(T)/Sn=-=na,+-d(1)公式法：等差数列的前项和公式，2 2 等比数列的前项和公n%,q=1s.=q(i W)7-,+2严 2S,=1 x(-2)+2 x(2)2+3 x(-2)3+(一 l)(_2)i+(一2),一得,3s.=1+(-2)+(-2)2+(-2严 -(-2)=I P)_/2)=(1 +3)(-2)”1-(-2)3,s J-(l +3 )(-2)93 0.设等比数列 a 满足4+4 =4,%q=8.(1)求&,的通项公式；(2)记S”为数歹I l o g 3 a力的前项和.
29、若S”+鼠+1=S,“+3,求m.(1)%=3 T；(2)m=6.(1)设等比数列 的公比为夕，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；(2)由(1)求出 I g 3 4 的通项公式，利用等差数列求和公式求得S”，根据已知列出关于阳的等量关系式，求得结果.【详解】(1)设等比数列 的公比为“，q+a闻=4 1 q=11 2 根 据 题 意,有 心。一4=8,解 得 匕=3,所 以%=3，(2)令 瓦=log3%=log33T=-l,小 (0+典一1)n(n-l)3 =-=-所 以“2 2 .m(m-1)+1)_(m+2)(加 +3)根据 S +S +1 =S“+3,可得 2 2
30、 2整理得一一5“一6 =,因为z 0,所以z =6,3 1.已知公比大于1的等比数列S 满 足%+%=2 0吗=8 .(1)求 的 通 项 公 式；(2)记 粼 为%在区间(，河 丽 仁N*)中的项的个数,求数列也“的前1 0。项和5i o o .，=2 .(2)B o o =48 0(1)利用基本元的思想，将己知条件转化为应的形式，求解出应，由此求得数列 的通项公式.(2)通过分析数列也 的规律，由此求得数列 2J的前1 0。项和岳。.【详解】q g+q g 3 =2 0 0,求数列匕 的通项公式：（3）对于给定的X,是否存在三个不同的数列%为“入、3”数列，且为2 0?若存在，求X的取值
31、范围；若不存在，说明理由，(1)1=1a=1 3.4 .2 2(3)/0 s“+i ss+15 s j o -s j-s）=（sn+i-sj j-s j）2 =；（S,j s i）j+s；）I 2 i 1 1 1 1-=5（S,+F +S）;.S ）=2 S J.S|=4S：况=4T-S,=,=l S,=4T/.an=4T-42=3.4/2=1l3-4n-2,n 2(3)假设存在三个不同的数列S为 几一3数列.!1 1 1 S j =A a J)3=才(5+1-S,)J1 1 1 2 2|S，/=S/或(s 一 s)2=分(s +s+S“/S)2 2 J J 3 S,或(万g j +(A3-1
32、)5/+(万+2)s“j s j =0.对于给定的力,存在三个不同的数列 为 几一3数列，且.=L=2 2 I _.一10,2 2或/7)s,j+(41)S+5+2)S,/S)=。(九*1)有两个不等的正根2 2 _U3-1)V+(犷-1)S/+/+2)S./S/=0(2 丰 1)可转化为芈一1)+(才+乎/=0(八 )=0)，不妨设1乙(23-l)x2+(23+2)x+(23-1)=0(2 h 1)有两个不等正根,设/(X)=(23-1)X2+(23+2)X+(23-1)=0(A 1)当几 0=0万 4,即0 /1,此时/(0)=万一11 时，A=(/t3+2)2-4(A3-l)20=023
33、 4)即 1丸 0,彻=_竺_02(分一 1),此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.综上，2 ,且4+&=6&,求g与aj的通项公式；._ G +。2 +,+C”,证明：-1.()1 4-+2q=，a“=-.(I)2 3 ；(I I)证明见解析.(I)根据4 +8 =6%,求得q,进而求得数列匕 的通项公式，利用累加法求得数列%的通项公式.(I D利用累乘法求得数列%的表达式，结合裂项求和法证得不等式成立.【详解】(I)依题意4=1也=4也=4;而4+&=6牝 即1 +4 =6/,由于q 0,所 以 解 得2,所以b=工，2 T1所 以*2 2+,故 2n+1,所以数列/是首项为1,公比为4
34、的等比数列，所以所以 川一可=c“=4 i(N2,e N*).,/g 4 -+2a,=q+1 +4 +-+4 =-_ .所以3 ,又=1,符合,4 I +2故33 .c,向b“(H)依题意设=1 +(-1)“=加+1一”,由 于 0,*2,%b,2 h,b2 b.-c-%-2 。2 C +1+d(1 1 1 八 1)-=1+b.%社1所以故(2 1)H-+1c,+c2+-+c=l 1 +-b?)bn b”+J1 +4 1 db.+J由于do,4=l,所以所以“51-1-1 dc,+c2+.+c 1 +-即d ,n e N”3 4.已知J为等差数列,也 为等比数列,%=4 =1,%=5 (%-%
35、)也=4 色-4)(I)求 包 和 也 的通项公式;(I I)记 也 的前项和为S,求证：S“S.+2 前项和，然后利用作差法证明即可；(I I I)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算日 一 和 一 的 值，据此进一步计算数列任，的前2 项和即可.【详解】(I)设等差数列%的公差为d ,等比数列的 的公比为小由6=1,%=5(%-。3),可得添 1.从而 的通项公式为%=.由4=1也=4色-4),又 户0,可得/一 的+4 =0,解得干2,从而 的通项公式为 二21c”(+l)o =-(H)证明：由(I)可 得“2 ,I 1 9 9S,S+2
36、=-(+1)(+2)(+3)S 3 =：(+1)一(+2)一故 4 ,4S“S”+S；M=T(+1)(+2)0从而 2所以 S.S.+2 s(3%2)d _ (3 2)2 T _ 2 i 2 T(I I I)当，为奇数时，,一%+2 “(+2)-+2 Cn-当为偶数时，b+2,对任意的正整数，有 ISC2*-1 =Z2%+1 2 k-ic2k=i和 =1 k=2 k-l4k1 3 5 +4 42 432/7-3 2/?-l-i-1-4T 4 2 +11 S 1 3 5 2 3 2/7-1由得4 I 4 4 4 4 4 3 _ 1 2 2 2 -1 _ 42(m4 J 1 2 n-l4hC 2 k 不*+不一而=-一1 由得 44(4)1 2 -1 _ 2 2 1 1 2M-1 1 _ 5 6M+51 4 3 3 4 4 4 4 1 2 3 x4,+11-由于4 _ 5 6 +5从 而 得 乂 9 9x4 Z q =C2k因此，A T k=4 6 +5 42/7 +l-9x4H-94 6/1+5 4所以，数列%的前2 项和为2 +l 9x4 9.