2021年高考数学真题和模拟题分类汇编08数列【含答案】.pdf

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1、专题0 8数列一、选择题部分1.(20 21高考全国甲卷理T 7)等比数列%的公比为g,前项和为，设甲：乡 ,乙：sJ是递增数列，则()A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件B.当q 时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当代 是递增数列时，必有为 0 成立即可说明4 成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案.由题，当数列为一z，-4，/时，满足但是 sJ不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件.若 ,J是递增数列，则必有句 成立，若夕 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则4 成立，所以甲是乙的必要条

2、件.故选B.2.(20 21 浙江卷叮已知数列项和为s ，则()T i o o J 7 V 4A 2 B.J i o o tA.因为 如%二册=1 J 1由 1+J根据累加法可得，出 一q=l,a“M=，-G?GN)满足 丑.记数列Mi的前9 94 Eo o 不 5,10 0 5C.2 D.2所以3。,3.(1 1Y 141 1 1 1 1-1 T,-,-r(+l)2.a _ a“an _ H +l-%+l -：7=-厂-an1 +M 1+2 M+3 +l.an+l一-3-an +36at t -由累乘法可得(+D(+2),当且仅当=1 时取等号,由裂项求和法得：0100所以 3即Q Eo o

3、 l,由等比数列的性质可得：加=8,=4,.m+n=12.7.(2021重庆名校联盟三模T 6.)在我国古代著名的数学专著 九章算术里有一段叙述:今有良马与鸳马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；鸳马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎鸳马，二马相逢.问：几日相逢？()A.8 H B.9 H C.12 S D.16 日B.由题可知，良马每日行程a.构成一个首项为1 0 3,公 差 13的等差数列，弩马每日行程儿构成一个首项为9 7,公差为-0.5 的等差数列，则103+13(n-1)=13+90,Z=97-0.5(n-1)=97.5-0.5”,则数

4、列 为 与数列出“的前n项和为1125X2=2250,n n又；数列 四 的前项和为 2 X(103+13n+90)=2 X(193+13),n n 1数列，,的前 项和为 2 X(9 7+9 7.5 -0.5 n)=2x (1 9 4.5 -2”),n n 1/.2 x(1 9 3+1 3)+2 X(1 9 4.5 -2”)=2 2 5 0,整理得：2 5 M+7 7 5”-9 0 0 0=0,即“2+3 1“-3 6 0=0,解得：=9 或=-4 0 (舍)，即九日相逢.8.(2 0 2 1 安徽蚌埠三模文T 4.)己知等差数列 为 的前项和为S“，5 尸 1,1=25,则S33 =()A

5、.3 B.6 C.9 D.1 2A.因为等差数列 “中，0=&=1,所以 S5 =5+1 0 d=2 5,3所以 d2,则 3 =a|+d=3.9.(2 0 2 1 贵州毕节三模文T 9.)如图，有甲、乙、丙三个盘子和放在甲盘子中的四块大小不相同的饼，按下列规则把饼从甲盘全部移到乙盘中：每次只能移动一块饼；较大的饼不能放在较小的饼上面，则最少需要移动的次数为()告甲 乙 丙A.7 B.8 C.1 5 D.1 6C.假设中盘中有n 块饼，从甲盘移动到乙盘至少需要为次，则 田=1,当时，可先将较大的饼不动，将剩余的n-1块饼先移动到丙盘中，至少需要移动MT次，再将最大的饼移动到乙盘，需要移动1 次

6、，最后将丙盘中所有的丙移动到乙盘中，至少需要移动为一1 次，由上可知，an=2an.1+l,且。1=1,所以。2=2。1+1=3,a32a2+l 7,a4=2 a3+l =1 5,则最少需要移动的次数为1 5 次.1 0.(2 0 2 1 贵州毕节三模文T 5.)“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、癸未，甲申、乙酉、丙戌、

7、癸巳，共得到6 0个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2021年 是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2015年 是“干支纪年法”中 的（）A.甲辰年 B.乙巳年 C.丙午年 D.乙未年D.由题意可知，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”，2021年 是“干支纪年法”中的辛丑年，则2020年为庚子，2019年为己亥，2018年为戊戌，2017年为丁酉，2016年为丙申，2015年为乙未.11.（2021辽宁朝阳三模T 4.）跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，

8、养成易瘦体质.小林最近给自己制定了一个200千米的跑步健身计划，他第一天跑了 8千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要（）A.16 天 B.17 天 C.18 天 D.19 天B.设需要天完成计划，由题意易知每天跑步的里程为，以8为首项，0.5为公差的等差数列，.*丐立 2。，：.n2+3n-8 0 0 0,当=1 6 时，162+31 X 16-800 0.12.（2021河南济源平顶山许昌三模文T 4.）“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、西、戌、亥叫做“十二地支”.“

9、天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、癸酉；甲戌、乙亥、丙子、癸未；甲申、乙酉、丙戌、癸巳;，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2021年 是“干支纪年法”中的辛丑年，那么2121年 是“干支纪年法”中 的（）A.庚午年 B.辛未年 C.庚辰年 D.辛巳年D.天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥，天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，2021年 是“干支纪年法”中的辛丑年，则2121的天干为辛，地支为巳.13.（2021

10、安徽宿州三模理T 8.）各项均为正数的等比数列%的前n项和为，且。1。7 =3。4，。2 与。3 的等差中项为18，则$5=（）A.10 8 B.117 C.12 0 D.12 1D.设等比数列 4 的公比为q,q 0,由。管7=0 4 2=3 0 4,可得。4=3,即有由q 3 =3,由 外J.与。3 的等差中项为18，可得。2+的=3 6,即为G i q+G i q 2 =3 6,解得=8 1,q=2 ,8 1X（1-z-）351-则$5=3 =12 1.14.（2 0 2 1安徽宿州三模文T 5.）已知%为等差数列且%=1,+0 9=2 4,5”为其前项的和，则 S i 2=（）A.14

11、 2 B.14 3 C.14 4 D.14 5C.解法一、等差数列%中，设公差为d,由 0 1=1,。4+。9 =2 4,得（s+3 d）+3+8。）=2 a1+l l d=2+1 l d=2 4,解得d=2,2所以 S 12=12。1+2 X12 X 1 1 X 2 =12 X 1+13 2 =14 4.解法二、等差数列 分 中，0 1=1,。4+。9 =2 4,12 （a +a 12）所以前“项的和SK=2 =6 （内+的）=6 X 2 4 =14 4.15.（2 0 2 1河南开封三模文T 7.）设数列%满 足 勾=1,an+l=V 2 an）若ala2a3,an=1 28V2 贝|j“

12、=（）A.4 B.5 C.6 D.7C.根据题意，数列 斯 满足田=1,an+l =V 2 an）则数列 斯 是首项0=1,公比为U 2 的等比数列，n（n T）若 a a 2 a 3 an 1 28V即 可（a q）（。4）.（夕 7）=（i）HX Q=n（n T）&2=叱,解可得：=6 或-5 （舍）.16.（2 0 2 1四川泸州三模理T 6.）已知S i 为等差数列 斯 的前项和，若2=15,5 =6 5,则 4 +。4=()A.24B.26C.28D.30C.由题意$5=5。3 =65,“3=1 3,所以 1+4 4 =。2+。3 =28.17.(2021江苏常数三模T 1 2.)斐

13、波那契，公元13世纪意大利数学家.他在自己的著作 算盘书中记载着这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,3 4,，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是著名的斐波那契数列.斐波那契数列与代数和几何都有着不可分割的联系.现有一段长为。米的铁丝，需要截成n(n 2)段，每段的长度不小于1 m,且其中任意三段都不能构成三角形，若的最大值为1 0,则 a 的值可能是()A.100 B.143 C.200 D.256BC.由题意，一段长为。米的铁丝，截成”段，且其中任意三段都不能构成三角形，当 n 取最大值时，每段长度从小到大排列正好为斐波那契数列，而数列的前 10 项和为：

14、1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=143,前 11 项和为：1+1+2+3+5+8+13+21+34+55+89=232,只 需 143Wa 0；若 为 是等差数列，且田+。2+为#0，则G()0 对 N*恒成立.关于上述两个命题，以下说法正确的是()A.均正确 B.均错误 C.对，错 D.错，对A.71 71/(x)=sinx在-万 上为奇函数且单调递增，：3-1+侬 0(AeN*)可得。2 ，则/(。2*-1)(-。2 )f(侬)，所以/(3一1)4/所以 00,则。|+。2.+。2 0 0。0,/3)+f(a2).V (a2ooo)+V2000)0,正确，：小 为等差数列，

15、当田+敢+.+即 0 时，1 +an-a 2+an-l-.-an_+an_+.若为偶数，a 万 万 0,例 -a“可得/()/(-a,)=-/(%),则f(a i)+/(的)0,+1同理可得：0,./（t/2）-t y（a 2 ）0 所以 G（）0 n+若 H 为奇数，+（7“=（7 2+。-1 =2a 2 0,n+1f（a,）+f Can）0,f（a2）0.f（a ）0,所以 G （）0,当。|+。2+“+斯 0,正确.19.（2 0 2 1 湖南三模T 5.）周髀算经是我国古代的天文学和数学著作，其中有一个问题大意如下：一年有二十四个节气，每个节气唇长损益相同（即太阳照射物体的影子长度增加

16、和减少的大小相同）.二十四个节气及号长变化如图所示，若冬至号长一丈三尺五寸，夏至唇长一尺 五 寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），则立秋唇长为（）密长逐渐变小咎长逐渐变大A.五寸 B.二尺五寸 C.三尺五寸 D.四尺五寸D.设从夏至到冬至，每个节气号长为品，则 勾=15,冬至唇长苗3=135,a 3-a 由题意得 a a 为等差数列，则=12=1 0,故 4=。1+3=15+30=45.2 0.（2 02 1 江西南昌三模理T 5.）已知公差不为0 的等差数列 四 满 足 点+如=疗+*,贝 1 1 （）A.。6=0 B.劭=0 C.S 2=D.S 3=0c.因为公差不为0 的等差数列 斯

17、满足恁2+劭2 =7 2+8 2，所以。8?-的斗”-6?62 =0,所 以（念-为）（恁+。5）+（。7 一。6）（劭+。6）=0，即 3d（禽+。5）+d（即+恁）=0,因为d芋0,所以 3（恁+。5）+（。7+。6）=0,由等差数列的性质得4（1+。12）=0，即。1+。1 2 =0，所以$2=0.2L（2021江西上饶三模理T12.）数列 是以。为首项，q 为公比的等比数列，数列 瓦满足=1+。1+。2+册（n=l,2,）,数列*满足cn=2+bi+b2+-+bn（n=l,2,）.若 g 为等比数列,则。+q=（）A.V2 B.3 C.V5 D.6数列 为 是以。为首项，q 为公比的等

18、比数列，an=aqn lfa(l-q)a aqn贝 ij 瓦=1+%+。2+四=1+i-q =i+i-q-l-q,a a q(l-qn)aq 1-q+a贝！J 品=2+必+62+儿=2+(1+1 q)n-卜口 X=2-(1-q)+1-Q n+（l-q）,要使a 为等比数列，则 I l-Q ,解得：la=l,：.a+q=3.22.（2021安徽马鞍山三模理T10.）国际数学教育大会3 C M E）是由国际数学教育委员会主办的国际数学界最重要的会议，每四年举办一次，至今共举办了十三届，第十四届国际数学教育大会于2021年上海举行，华东师大向全世界发出了数学教育理论发展与实践经验分享的邀约，如图甲是

19、第七届国际数学家大会（简称/CM E-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.1CME-7其中已知：OA Ai A2A2.i 43A A4A4A A A（i j4（AT AyAg 1,A 4、,为直角顶点，设这些直角三角形的周长和面积依次从小到大组成的数列分别为/,则关于此两个数列叙述错误的是（）A.6,2 是等差数列B.ln =l+Z n+lC ln-ln-广47 n-l(n 1,n t N)D.ln-1 =2 S+2 S+iC.由 OA AA2=A2A2=Ay44=A4A=AAA(tA-f=AyA=1,得 O 5&,0 A3=V 3,故 A n-4，ln=OA+

20、AAn+i+OAn+1=Vn+Vn+1+1,An AnA/S=2=2,n对于Z,S“2=4,二&2 是等差数列，所以z正确；对于8,由可知，8正确；对于 C,/-V n+V n+1+l-(V n-l+V n+1)=V n+l-V n-1,所以 C 错误；对于。，/-l=V n+V n+l,2 5+2 S+i =V n +V n+l=/-1,所以。正确.2 3.(2 02 1安徽马鞍山三模文T 8.)在天然气和煤气还未普及时，农民通常会用水稻秸秆作为生火做饭的材料.每年水稻收割结束之后，农民们都会把水稻秸秆收集起来，然后堆成如图的草堆，供生火做饭使用.通常他们堆草堆的时候都是先把秸秆先捆成一捆一

21、捆的，然后堆成下面近似成一个圆柱体，上面近似成一个圆锥体的形状.假设圆柱体堆了 7 层，每层所用的小捆草数量相同，上面收小时，每层小捆草数量是下一层的工5倍.若 共 用 2 5 5 捆，最上一层只有一捆，则草堆自上往下共有几层()3A.10aB2B.设圆锥体有 层，由题意可知最上面一层只有一捆，IX(b 2 )所以第层有1 X 2 T 捆，圆锥体的总捆数为 1-2=2 -1,圆柱体堆了 7 层，总捆数为7 X2-1,草堆的总捆数为7 X2 +2 -1 -2 =2 5 5,解得=6,所以自下往上共有6+7 -1 =1 2 层.2 4.(2 0 2 1 安徽马鞍山三模理T 4.)已知等差数列 斯

22、中,*1 4=1 8,a2=3,则&)=()A.10 B.11 C.12 D.13B.在等差数列%中，由。2+。14=18,得 2。8=2+。14=18,则。8=9，d-又。2=3,a8-a2 9-38-2 6=1 o=8+2d=9+2*1 =11.25.（2021 江西九江二模理T 9.）古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本源，因此极为重视数的理论研究，他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并将它们排列成各种形状进行研究.形数就是指平面上各种规则点阵所对应的点数，是毕哥拉斯学派最早研究的重要内容之一.如图是三角形数和四边形数的前四个数，若三角形数组成数列 对,四边形1数组成数列他,n+1,则

23、数列 Cn 的 前 10项 和 为（A.9io10B.H9C.520D.I ID.由题意可得,c c n(n+l)a/1+2+3+n=-bn=1+3+5,+(2n-l)=n2n b1 rH-a1TH(n+l)所以2(n+1)(n+2)n(n+l)=2(1 Tn n+l1122c1 1 1 1 1、2nS=9（1 -p-H-4-）=-设数列 Cn 的前 项和为当,所 以 n 2 2 3 n n+l，n+l,所以s-2026.（2021江西九江二模理T 3.）已知等差数列%的前项和为S,，且满足的=7,So=2O,贝 恁=（）A.-5B.-3C.3D.5B.设等差数列 斯 的公差为d,2020-2

24、019=2 0 1 9 -2 0 2 0=-1,则。2 0 1 7=1，所以。2018+。2019=2 0 2 0 -1=2 0 1 9，因为“2018 =42017+。2019=1+。2019，所以。2019=1 0 0 9,。2018=101，因为。2021=。2018=-1 0 1 0,所以$2021=S2O2o+2O21=2 0 1 9 -1 0 以=1 0 0 9.28.（2 0 2 1江西上饶二模理T 3.）等比数列 小 中，的=4,42a6=64,则5=（）A.2 V 2 B.8 C.1 6 D.3 2C.等比数列 斯 中,的=4,做%=6 4,2:a2ci s=*4 =6 4,

25、解得。4=8，a4:.q=a3 =2,2.5=叼 q=4 X4=1 6.2 9.（2 0 2 1 河北秦皇岛二模理T 3.）南宋数学家杨辉 详解九章算法和 算法通变本末中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前6项分别1,6,13,24,4 1,6 6,则该数列的第7 项 为（）A.9 1 B.9 9 C.101 D.113C.由题意得1,6,13,24,4 1,6 6 的差组成数列：5,7,11,17,25，这些数的差组成数列：2,4,6,8,10，故该数列的第

26、7项 为 10+25+6 6=101.30.（2021江西鹰潭二模理T 3.）记 为等差数列 为 的 前 项 和.已 知$4=0,恁=5，则（）2A.an=2n-5 B.a=3n-10 C.S=2n2-8H D.S=2n2-2nA.设等差数列%的公差为d,由$4=0,%=5,得，4al+6 d=0 fa i=-3sJ 1 2a11+4 d=5 ，.ju-nZ ,.a c 2 n-u5,S 6n=n-4 n.31.（2021北京门头沟二模理T 5）中国古代数学著作 算法统宗中有这样一个问题：三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.其大意为：

27、有一个人走378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6天后到达目的地.”则该人第五天走的路程为（）A.4 8 里 B.24 里 C.12 里 D.6 里C.本题考查等比数列的通项公式的运用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用.由题意可知，每天走的路程里数构成以:为公比的等比数列，由$6 =378 求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人第五天走的路程.解：记每天走的路程里数为%,由题意知%是公比;的等比数列，由$6 =378,得$6 一 工 厂 3 78,解得：%=1 9 2,、二2（里）故 选:仁32.（2021广东潮州二模T 12.

28、）已知数列 为 满足（6 N*,0 Yl）,下列命题正确 的 有（）A.当左=2 时，数列 斯 为递减数列B.当左=5时，数列 斯 一定有最大项2C.当 0%5时，数 列 为 递 减 数 列kD.当工至为正整数时，数列必有两项相等的最大项BCD.n-3V (w+1)*k,+ln (+l)n ：依+i (n+1)ko l-k1 1 .（工）2工对于Z,因为左=2,所以m=2,。2=2 7 2，=2,于 是 卬=。2,所以“错;_ 4 上对于8,因为左=后，所以不至=4,于是当4时，“递减，所以数列“一定有最大项，所以8对；_k_ 1 _ _k_对 于C,因为当0 无 2时，l-k 1 2 1-k

29、时，数列 斯 为递减数列，所以C对;k对于。，设1-k=机，当m,即“，加+1时数歹l j a”为递减，当 s-2-1.2 时，a=sn-s“-1=2-2 7 =2 7,当N=1时，i=s i=2i-1 =1 也适合上式，数列 为 的通项公式为a“=2 7；3 9.（2021 河南郑州三模理 T1 6）1 9 67 年，法国数学家蒙德尔布罗的文章 英国的海岸线有多长？标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1 9 7 7 年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支一一分形几何，分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现

30、象的工具.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1,线段A 8 的长度为。，在线段A 8 上1取两个点C,D,使得A C=D 8=3 A 8,C D 为一边在线段A 8 的上方做一个正三角形，然后去掉线段C D,得到图2 中的图形：对图2 中的线段EC、E。作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推,我们就得到了以下一系列图形:记第n个 图 形(图 1 为第1个图形)中的所有线段长的和为S”，若存在最大的正整数a,使得对任意的正整数“，都有S.V2021,则。=.1 01 0.a _ 1当 0=2 时，则 5i=a,s2=Si+3 X a X 2 -3=(1+3 )a,当 0=3 时，则 S

31、3=$2+2(3 X a X 3 )X 2 -3 =(1+3 )_ 1 _ 1 Aa 3 X 3 X 2 X a=(1+3 +3 )o,1 2 4 2 3同理得当=4 时，则 54=(1+3 +3 +3 )a,t9 x(12-nT3)；$=(i+3 +32+.+3n 1)Q=1+2X 3 a=2-A 2 a 2 0 2 1,，a的最大整数值为1 01 0.40.(2021 河南开封三模文理T1 3)已知 斯 为等差数列，且 35=2 的，0.设等差数列 4?的公差为d,由 3白 5=2。7，得 2 的+。5=2 (5+2 d)，则。5=4 ;又。5=田+4，所 以 田=0.故 0.2 n-1

32、a 2021=81+(b 2+、3)+(-4+、5)+(202。+。2021)=2+3+3+.+3=2+3X 1010=3032.43.(2021安徽马鞍山三模文T 1 5.)已知数列%满足o+202+3的 廿+叫=2,若b _ anan-*-ln-2 ,设数列步“的前项和为G，则7202产 一.2 0 2 11 0 1 1 .由 1+242+3的+=2，可得=1 时，i=2,.2 2 时,i+2a2+3的+(-1)斯i=2 (-1),又。+2。2+3。3+。”=2，2两式相减可得%=2,即 有%=n,对=1也成立.b anan 4-l 2 _ 1 可得 n 2 =n(n+l)=2 (n -n

33、+1 ),1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 2 1贝ij 71 2 0 2 1=2 (1 -2 +2 -3+3-4+.+2 0 2 1 -2 0 2 2)=2 (1 -2 0 2 2 )=1 0 1 1 .44.(2021 河南焦作三模理T)1 5.已知S为等差数列 斯 的前项和，56=0,的=7,若am+2为数列 斯 中的项，则加=.2.等差数列 斯 中，S6=6i+1 5 d=0,劭=。1+6=7,解得 d=2,a=-5,故 atl=2n-7,设 f=2 加-3,(f 2 -1 且 f 为 奇 数)，a m a/l (2 n r 7)(2 m-5)(t-4)(t-2)_ 81+2 =

34、2 m-3=t =f+1 -6 为数列中的项，贝！I f 能被8 整除,8,则 f=l 时，加=2,r+t -6=3,符合题意：8,当 f=-1 时，加=1,f+t -6=-1 5不符合题意，故机=2.45.（2 0 2 1 河北张家口三模T在等差数列 为 中，%】=2。8+6,则。,+垢+。尸 -1 8 .-1 8.设等差数列 为 的公差为d,由。1 1=2。8+8,得 2a8-On=-8 即 as-3d=as-6,所以。2+。3+。7=3。5=-1 8.46.（2 0 2 1 山东聊城三模T1 3.）数列1,1,2,3,5,8,1 3,2 1,3 4,.称为斐波那契数列,是意大利著名数学家

35、斐波那契于1 2 0 2 年在他写的 算盘全书提出的，该数列的特点是：从第三起，每一项都等于它前面两项的和.在该数列的前2 0 2 1 项中，奇数的个数为1 3 4 8.【考点】进行简单的合情推理2021由斐波那契数列的特点知：从第一项起，每 3 个数中前两个为奇数后一个偶数，.丁的整数部分为673,余数为2,该数列的前2 0 2 1 项中共有673个偶数，奇数的个数为2 0 2 1 673=1 348 .故 1 348【分析】由斐波那契数列的特点经过推理即可求得。247.（2 0 2 1 安徽蚌埠三模文 T1 6.）已知数列 斯 满足：a,=L a2=3,bl bn bn+1 bn-f-T-

36、=-+6-al a2 an an-l （2且 N+）,等比数列 小 公比q=2,则数列 22的前项和S“=.（2 n -3）2+1+6.1刍_上+&1+6因为。1=1,。2=3,al a2 an an-l 且，沱 N+）,b b2 b3当”=2 时 ;al+a2=al+6,即历+3必=+6,由等比数列的 6 的公比为g=2,即从+6仇=4历+6,解得仇=2,所 以 乩=2,bj_ bg_ _8_ 当”=3 时，al+a2+a3=a2+6,B P 2+3X4+a3=3 X 1 6+6,解得的=5,bl b2 bn-l bn又 a i+a2+.+an_i=an_2+6(田,且。+),bn%+L-可

37、得，an=an-l-an-2,g|J an=an-l-an-2,化为 an+an-2=an-l,1 1 2Xal+a3=6=a2,1 1 1所以 a n 为等差数列，且公差d=a 2 -al=2,1 1则 an=a】+2(n _ p =2-1,所以2 n=(2n-1)*2n,S“=l 2+322+523+(2-1)2,2s,=l 22+323+5*4+(2 n-l)2n+,上面两式相减可得-S,=2+2(22+23+2)-(2M-1)2n+l4(1-2叫=2+2，1-2-1)2+i,所以 S“=(2-以 2n+1+6.48.(2021上海嘉定三模T 1 2.)已知数列1,1,2,1,2,4,1

38、,2,4,8,1,2,4,8,1 6,，其中第一项是 2。，接下来的两项是2。，2，再接下来的三项是2。，2，2 2,依此类推.若该数列的前n 项和为2 的整数 幕，如 Sl=2,S2=2 S3=22,则称5/2 匕 k N,nC N*中 的(小 心 为“一对佳数“，当 100时，首次出现的“一对佳数”是.(441,29).n根据题意，所以前n 组共有1+2+3+=2个数,s则 有 F-=lX-=+l X-+lX-+-+lX 2Lzl1+3+7.+2n_1=2 X 2 1 _n=2 n H_2_n2 52 m 1 0 0=n 1 4,令2(当n=14时有105个 数)，由题意可知：若5.=2

39、i-2-c为2的整数累，验证可得：(I则 1+2+(-2-)=0时，解得n=l,总共有 2 项，不满足nNlOO：(1+5)X5+1+2+4+(-2-n)=0时，解得n=5,总共有 2 项，不满足n100；(1+13)X13+4=951+2+4+8+(-2-c)=0时，解得=1 3,总共有 2 项，不满足nlO O；1+2+4+8+16+(-2-n)=0 时，解得 c=29(1+29)X 29 c总共有-z2-+5=440v项，满足n2100；二 的最小值为441所以首次出现的“一对佳数”是(441,2 9)；49.(2021 江西上饶三模理T 1 4.)设等差数列 d 的前n项和为5n,若。

40、5+。6=吁5，贝U517=85.由。是等差数列，得。5+。6=。2+。9，乂。5+。6=。2+5,所以 O g=5,17所以 S”=2(ai+ai?)=17a9=17X 5=85.5 0,(2021贵州毕节三模文T 1 4.)已知数列 仇 的前项和满足S i=3S n+2,且6=2,则。6的 值 为.486.Sn+i=3Sn+2,Sn 350-1+2(C 2)9两式相减得4+1=3为(心2),Si=2,Sn+1=3Sn+2,a2 二。1+。2=3(71+2 即。2=6,贝I *1=3,an+an=3(n 2 l),数列 4 是首项为2,公比为3 的等比数列，；.册=20,若 42%=9,则

41、43=4 9=3，a3+a4若 2s2=的+。4，即 2 Cai+a2)=的+即 则 2=a i+a 2=2,则 a7aiq4=3X221 2.53.(2021江西南昌三模理T 1 4.)等比数列%的前项和为S“，若 S6=9S.3,S3=Xa3,则入=.7_I.根据题意，设等比数列。“的公比为4，a (1-q6)a (1-q3)若 S6=9$3，则 gW l，则有1-q=9X1-q,变形可得l+q3=9,解可得4=2,a 1（1-q3）则 S j 1 q i u。3=4。,s37_若$3=7 3，则入=3=4.54.（2021江西鹰潭二模理T 1 5.）设数列%中=2,若等比数列仍“满 足%

42、+i=兄瓦，且6 010=1 208 X 62017 X.b l，而数列/为等比数列，则方2 0 1 9/-2018 义（2017 X.b =出010）2 0 1 9=,a202。则 有3 1 =1,又 由 幻=2,则02020=2.55.（2021山东潍坊二模-T 1 4.）数学史上著名的“冰雹猜想”指的是：任取一个正整数m,若m是奇数，就将该数乘3再加上1；若m是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1-4 f 2f l.按照上述猜想可得到一个以m为首项的无穷数列记作。册 满足的递推关系为。i=m,an“=/，a/偶数，3 an+1,奇 数 如 取 团=

43、6,根据上述运算法则得出的=1，/o=4,，若a7=l,则满足条件的一个m的值为一.1或8或10或64（只需填一个）.若=则。6=2,。5=4,。4=8 或 1,当。4=8 时，。3=1 6,。2=32 或 5,i 1。2=3 2,则。1=64；若。2=5,则。1=10,若。4=1 时，。3=2,。2=4，。1=8 或 1,综上所述，m的值为1或8或10或64.工56.（2021安徽淮北二模文T 1 3.）若数列 斯 的前项和为&=2层+，则=.n数 列 的 前n项和为S“=2 n2+n,11则 a=Sn-S-=2 n2+n-2 (-1)2-n+1 =n1 1 357.（2 0 2 1 吉林长

44、春一模文T 1 6.）已知S”是数歹U%的 前 项 和,满 足 十 ，则a=；数列 一 的前n项和7；=.4 7 1 14=+1，Tn=-2 +2q=2,a =Sn-S _ =+1,所以11 1(拉 +1)(+2)+1 +2，故 !的前项和7；a 0）,则S“=（a +b）当 =1 时，=（4+6）2：当 N 2 时，为=S“-S i =（a +b）2-（an-a+b y=a（2an-a+2b）因为4 =3%,所以a（3 a +2 6）=3（a+6）,解得b =0或 3 .当6 =0时，囚=2a=（2一1）,当 心2时，M L 2/满足等差数列的定义,此时 4 为等差数列；b =-J s=an

45、+b=an-a J s=-0当 3时，3 ,3 不合题意，舍去.综上可知 为等差数列.6 1.（2 0 2 1高考全国乙卷文T 1 9）设 同 是首项为1的等比数列，数列也 满h=旦足3.已知外,3 2,9%成等差数列.（1）求%和 也 的通项公式；s（2）记S 和9分别为W和 2 的前项和.证明：*2 .因为%是首项为1的等比数列且苗，3 a 2,9%成等差数列，所以6%=6+9%,所以6 a M =+9%/,即 时-6 q+i=。，解得”3,所以“畤）b =旦=上所 以 3 3 .(2)证明：由(1)可得 3_ 1 2 n-nT =1 +d-H-3 32 3T 3 ,1 1 2 n n-T

46、=-T-1-1-r3 ”32 33 3 3n+,3、3 ，Ji )2 i i i i n i 3-i 2 3 3向-1=-十.十-十 十-.1-一得3 3 3 2 3 3 3 3田 3T=-(1-)-所以 4、3 ，23,=)-(1-)=-所 以 2 4 3 2-3 4 3 2-3 T“六所以 2 ._ _ 96 2.（2 0 2 1 浙江卷T 2 0）已知数列包,的前项和为4,且4s中=3 5,-9（1）求数列 的通项；设 数 列 也 满 足 地+（一4）%=0（”记 也 的前项和为九若 对 任意 e N*恒成立，求实数之的取值范围.(1)当=时，4(q+4)=3 4 9 ,(9 c 2 7

47、 2 74%=9 =-,a)=-2 4 4 2 1 6 ,当上2时，由4s向=3 S“-9，得 4S“=3 S”_|一 9 ，一得 4an+l=3a%=一 乌 彳0,二 an H0,.1 6a 4生=3,./_ 2 2又为 4”是 首 项 为 4,公比为的等比数列,一 4 3(2)由 沌+(4以=0,得=一丁,3T=-3 x 2 x所以 4 图+0 x(|+(-4)(引图两式相减得国+(-5).图 +(-4).图图+图+!-(1)傍T Ah-4/7-(V A(-4)-A 由兄母得 4 4恒成立，B|J 一令+3 2 恒成立，=4时不等式恒成立；“3 一 1 2A S-=15-=-3-4 时，一

48、4 一4,得力2 3；所以_34彳4 1.63.(2 02 1 江苏盐城三模叮1 8)请在；这3个条件中选择1 个条件，补全下面的命题使其成为真命题，并证明这个命题(选择多个条件并分别证明的按前1 个评分).已知数列网,满足斯+尸小2,若，则当2时，斯2 恒成立.【考点】数列的通项公式求解与不等式的证明选.证明：由%+i=%2,且，所 以%0,所以 l g a“+i=l g a“，l g a”=2 1 g 2,an=2,.5 分当 22时，只需证明2 ,令 b*=,则 b +i b“=0,.1 0 分所以小W b 2=l，所以2 2 成立.综上所述，当。1=2 且”22时,成立.1 2 分注：

49、选为假命题，不得分，选参照给分.64.(2 02 1 河南开封三模理T 1 7)6 知数列%满足a i=-2,%|=2 斯+4.(1 )求。2，。3，。4；(2)猜想他“的通项公式并加以证明；(3)求数列|斯|的前项和S”.(1 )由已知，易得。2 =。，。3=4,“4=1 2.(2)猜想 a n =2 n-a.l +4 =公因为。+1=2 斯+4,所以的+付4=2 (即+4),an+4,则%+4 是以2为首项，以2为公比的等比数列，K F；I I an +4=2n K I&n二2“-4所 以 n ,所以=n .(3)当=1 时，ai=-2 l.(1)求数列 即,出/的通项公式；(2)数列%和

50、 或 的所有项分别构成集合A,B,将4 U B 的元素按从小到大依次排列构成一个新数列%,求780=C l +C 2 +。3 +C8 0.(I)解：选 ，：册 是公差不为0 的等差数列，设公差为d,由力,a3,。2 1 成等比数列，可得(%+2 d)2 =%(%+2 06),又d#0,.4%=%又&2 =5,即%+d =5,解得=1,d =4,an=1 -F (n -1)X 4 =4 n -3选 ，由54 =2 8,。2 =5,有4%+6d =2 8,%+d =5,可得%=1,d=4,4=1 +(n -1)X 4 =4 n -3选 ，由S n +i =S“+%+4,可得4+1 -%=d =4,