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1、专题9.4 一元一次不等式（组）的实际应用（知识解读）【老可目标】1、能够用一元一次不等式解决一些简单的实际问题2、熟能能够用一元一次不等式组解决实际问题【笈钠堂梳理】知识点一：根据实际问题列出一元一次不等式；知识点二：积分、分配和行程问题1 .积分问题2 .分类问题3 .行程问题，常用等量关系：路程=速度X时间知识点三：经济与方案问题1 .经济问题：常见等量关系：利润:售价-成本.利润率=（售价-成本）/成本XI00%.售价=成本X （1+利润率）2 .方案问题【典例今析】【考点1：根据实际问题列一元一次不等式】【典例1】（2023春西安月考）“的3倍与2的差是正数”用不等式可以表 示为（）
2、A. 3x-20B. （3+2） x0C. 3%-210D. 3x+20.故选：A.【变式1-1（2023春定远县校级月考）根据“x的2倍与5的和小于3”列出 的不等式是（）A. 2x+523B. 2x+5W3c. 2x+53D. 2x+53【答案】D【解答】解：根据题意可得：2x+53.故选：20元体；（2）至少购买甲种笔记本20本.【解答】解：（1）设甲种笔记本的购买单价为了元/本，乙种笔记本的购买单 价为y元/本，根据题意得：（15x+20y=64, l30x+25y=980解得：卜口6.ly=20答：甲种笔记本的购买单价为16元/本，乙种笔记本的购买单价为20元/本;（2）设购买甲种笔
3、记本根本，则购买乙种笔记本（50-m）本，根据题意得：16加+20 （50 -m） W920,解得：加220,厂.根的最小值为20.答：至少购买甲种笔记本20本.【变式6-2（2023蜀山区校级模拟）某超市现有甲、乙两种商品，已知一个甲 商品比一个乙商品贵20元，购买甲、乙两种型号各10个共需1760元.（1） 求甲、乙两种商品的单价各是多少元？（2）为吸引顾客，该超市准备对甲商品进行打折促销活动.已知甲商品的进 价为49元/个，为保证打折后利润率不低于20%,至多可打几折.【答案】（1）甲种商品的单价是98元，乙种商品的单价是78元；（2）至多可打6折.【解答】解：（1）设乙种商品的单价是元
4、，则甲种商品的单价是（%+20） 元，由题意得：10 （x+20） +10%= 1760,解得:%=78,.%+20=78+20=98,答：甲种商品的单价是98元，乙种商品的单价是78元；（2）设甲商品可打。折，由题意得：98X0-49249X20%, 解得：答：至多可打6折【考点6：方案问题】【典例7】（2023 林州市模拟）某初级中学为了提高教职工的身体素质，举办 了 “坚持锻炼，活力无限”的健身活动，并准备购买一些体育器材为活动做 准备.已知购买2副乒乓球拍和4副羽毛球拍共需要350元，购买6副乒乓 球拍和3副羽毛球拍共需要420元.（1）购买一副乒乓球拍和一副羽毛球拍各需多少元？（2）
5、已知该中学需要购买两种球拍共80副，羽毛球拍的数量不超过40副.现 商店推出两种购买方案，方案A：购买一副羽毛球拍赠送一副乒乓球拍；方案 B：按总价的八折付款.试说明选择哪种购买方案更实惠.【答案】（1）购买一副乒乓球拍需35元，一副羽毛球需70元；（2）当购买羽毛球拍的数量少于20副时，选项方案8更实惠；当当购买羽 毛球拍的数量等于20副时，选项两种购买方案所需总费用相同；当购买羽毛 球拍的数量大于20副且不超过40副时，选项方案A更实惠.【解答】解：（1）设购买一副乒乓球拍需元，一副羽毛球需y元，依题意得：（2x+4y=35,l6x+3y=420解得：卜时ly=70答：购买一副乒乓球拍需3
6、5元，一副羽毛球需70元.（2）设购买机（028/71+2240 时，m0,.,.0m20；当 2800=28+2240 时一，加=20；当 2800m+316时，解得：%450,.当相450时，选择方案5更划算.答：当购买的宣纸数量超过200张不足450张时，选择方案A更划算；当购 买的宣纸数量等于450张时，选择两方案所需费用相同；当购买的宣纸数量 超过450张时，选择方案3更划算.【典例8】（2023春新城区校级月考）学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若 干张.若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费17000元，购 买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费1000元.（1）
7、求甲、乙两种办公桌每张各多少元；（2）若学校购买甲、乙两种办公桌共40张，甲种办公桌数量不多于乙种办 公桌数量的3倍，且总费用不超过18400元，那么有几种购买方案？【答案】（1）甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元；（2） 3种方案.【解答】解：（1）设甲种办公桌每张元，乙种办公桌每张y元，由题意可得伊乂+麻17000,|10x-5y=1000解得卜=400, y=600 甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元；（2）设购买甲种办公桌加张，由题意可得扃3（40-m）,1400m+600 （40-m） 18400解得28W%W30, .加取整数， /力的取值为28或29或30
8、, 共有3种方案.【变式8-1】 （2023春长沙月考）某商店从批发商处购进甲、乙两种产品，购 进5件甲产品和8件乙产品需要成本170元，购进2件甲产品和4件乙产品 需要成本80元.销售时，每件甲产品售价为20元，每件乙产品售价为35元.（1）求每件甲产品和每件乙产品的成本价；(2)若商店从批发商处购进甲、乙两种产品共100件，购进时总成本不超过 1300元，且全部销售完以后利润不低于1580元，请问有几种购进方案？【答案】(1)每件甲产品的成本价为10元，每件乙产品的成本价为15元;(2)有3种购进方案.【解答】解：(1)设每件甲产品的成本价为元，每件乙产品的成本价为y元，r5x+8y=17
9、0I2x+4y=80解之得：卜=1,ly=15答：每件甲产品的成本价为10元，每件乙产品的成本价为15元；(2)设商店从批发商处购进甲产品。件，则购进乙产品(100-6/)件，(10a+15 (100-a)1580,解之得：40WaW42,：。为整数,.a=40, 41, 42,答：有3种购进方案.【变式8-2(2022秋长沙期中)我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A, 5两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，3种树苗2 棵，需要900元；购买4种树苗5棵，8种树苗4棵，需要700元.(1)求购买A, B两种树苗每棵各需多少元？(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗
10、不能少于32棵，且用于购 买这两种树苗的资金不能超过5750元，若购进这两种树苗共80棵，则有哪 几种购买方案？【解答】解：(1)设购买A种树苗每棵需元，购买5种树苗每棵需y元, 根据题意得：俨+2y=900,5x+4y=700解得卜=100.ly=50答:购买A种树苗每棵需100元，购买3种树苗每棵需50元；(2)设购买A种树苗加棵，则购买B种树苗(80-加)棵，:购进A种树苗不能少于32棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过5750兀， fm32ell00m+50（80-m）5750,解得 32WW35, m是正整数，机可取 32, 33, 34, 35,有4种购买方案：购买A种树苗32棵
11、，购买8种树苗48棵, 购买A种树苗33棵，购买8种树苗47棵, 购买A种树苗34棵，购买3种树苗46棵, 购买A种树苗35棵，购买B种树苗45棵.【变式1-2 （2023邯山区校级一模）语句“x的工与x的差不超过3”可以表5示为（）A卷一乂3。 二x=3OOX-OO【答案】B【解答】解：x的2与x的差不超过3，用不等式表示为L-xW3.故选：B.【变式1-3 （2023春桐柏县校级月考）的2倍与8的和不大于2与m的差”用不等式表示为.【答案】2m+82+m.【解答】解：由题意可列不等式为：2m+82+m.故答案为：2m+82+m.【考点2：积分问题】【典例2 （2022秋洪江市期末）我校举行
12、数学竞赛，一共有25道题，满分100分，每答对一题得4分，答错扣一分，不答记0分.（1）某同学只有一道题未作答，最后满分86分，则该生一共答对多少题？（2）若规定参赛者每题必须作答，得分大于或等于90分，才可以评为一等奖，则参赛者至少答对多少题才能获评一等奖？【答案】（1）该生一共答对了 22道题；（2）参赛者至少需答对23道题才能获评一等奖.【解答】解：（1）设该生一共答对了道题，则答错了 25 7-1= （24-x）道题，由题意可得：4x- （24 -x） Xl=86,解得=22,答：该生一共答对了 22道题；（2）设参赛者需答对。道题才能获评一等奖，由题意可得：4a - （25 - a）
13、390,解得“223,答：参赛者至少需答对23道题才能获评一等奖.【变式2-1 (2023春定远县校级月考)某大学举办“学习强国”知识竞赛， 规定答对一题得20分，答错一题扣10分，在8道必答题中，得分不低于100 分即可进入下一轮，冉冉进入了下一轮，则冉冉答错题数最多为2道. 【答案】2道.【解答】解：设冉冉答错了 1道题，则答对了 (8-x)道题， 根据题意得：20 (8 -x) -10x2100,解得：%W2,*.x的最大值为2,，冉冉答错题数最多为2道.故答案为：2道.【变式2-2(2022春唐河县期中)为了庆祝中国共产党的生日，增进广大师 生对中国共产党发展历程的了解，加强同学们爱国
14、爱党的意识，某校开展了 题为“学党史，庆党生，铭党恩，跟党走”的知识竞赛，本次知识竞赛共25 题，答对一题得10分，答错一题或不答题扣5分，设小凌同学在这次竞赛中 答对了九道题.(1)根据所给的条件，补全表格：P 答题情况题数(题)每题得分(分) 得分(分)答对x1010%答错或不答(25 - %)- 5- 5 (25 - %)(2)若小凌同学的竞赛成绩不低于150分，则小凌至少要答对几道题？ 【答案】(1)10%, (25 -x) , - 5, - 5 (25 -x)；(2)小凌至少要答对19道题.【解答】解：(1)本次知识竞赛共25题，且小凌同学在这次竞赛中答对 了道题，答错或不答(25-
15、x)道题；乂,答对一题得10分，答错一题或不答题扣5分，答对题目的得分为10%分，答错或不答题目的得分为-5 (25-%)分.故答案为：10%, (25 -x) , - 5, - 5 (25 -x)；(2)根据题意得：10%-5 (25 - %) 2150,解得：e星，3又丁工为整数，x的最小值为19.答：小凌至少要答对19道题.【变式2-3 （2022秋雨花区期中）为了庆祝中共二十大胜利召开，雅礼某初 中举行了以“二十大知多少”为主题的知识竞赛，一共有25道题，满分100 分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分.（1）若某参赛同学有2道题没有作答，最后他的总得分为82分，则该参赛 同学
16、一共答对了多少道题？（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于92分才可以被评 为“二十大知识小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“二十 大知识小达人”？【答案】（1） 21道；（2） 24 道.【解答】解：（1）设该参赛同学一共答对了道题，则答错了（25-2-%） 道题，依题意得：4x- （25 - 2 - x） =82,解得：x=21.答：该参赛同学一共答对了 21道题.（2）设参赛者需答对y道题才能被评为“二十大知识小达人”，则答错了（25-y）道题，依题意得：4y-（25-y） N92,解得：怜生，5又为正整数，）的最小值为24.答：参赛者至少需答对24道题才能被评
17、为“二十大知识小达人”.【考点3：分配问题】【典例3】（2022春番禺区期末）把一部分书分给几名同学，如果每人分3本，则余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本(包含 分不到书的情况)，这些书有多少本？共有多少人？【答案】这些书有26本，共有6人.【解答】解：设共有工人，则这些书有(3x+8)本，依题意得:伊+8)5-1),3x+85(x-l)+3解得：5V%W至.2又为正整数， %6,A 3x+8 = 3X 6+8 = 26.答：这些书有26本，共有6人.【变式3-11 (2021春高明区校级期末)现在有住宿生若干名，分住若干间宿 舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若
18、每间住6人，则有一间宿舍不 空也不满.若设宿舍间数为九，则可以列得不等式组为.发案(4x+19)-6 (x-1)“水 I (4x+19)-6(x-l)5【解答】解：若每间住4人，则还有19人无宿舍住， 学生总人数为(4%+19)人， 一间宿舍不空也不满， 学生总人数-(-1)间宿舍的人数在1和5之间，列的不等式组为：(4x+19)-6(x-1)1,I (4x+19)-6(x-l)5故答案为：(4x+19)-6(x-1)1.I (4x+19)-6(x-l)5【变式3-2 (2022春嘉定区校级期中)某校学生志愿服务小组在“学雷锋” 活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人.如果分给每位老人4盒牛奶，
19、那 么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛 奶不足4盒，但至少1盒.问该敬老院的老人至少有多少人？ 【答案】30人.【解答】解：设该敬老院的老人有了人， 依题意，得：产+2815(：-1)+1,|4x+285(x-l)+4解得：29V%W32, 又”为正整数， X可以取的最小值为30. 答：该敬老院的老人至少有30人.【变式3-3（2020春崇川区校级期中）启秀中学初一年级组计划将加本书奖 励给本次期中考试取得优异成绩的名同学，如果每人分4本，那么还剩下 78本；如果每人分8本，那么最后一人分得的书不足8本，但不少于4本， 最终，年级组经讨论后决定，给这名同学每人
20、发6本书，那么将剩余多少 本书？【答案】38本.【解答】解：依题意，得：（3+7818（11-1）+4, 4n+788n解得：39n20,解得：v15,答：骑车的平均速度大于15hnlh【变式4-1（2020春嘉祥县期末）某人要完成千米的路程，并要在18分钟内 到达，已知他每分钟走90米.若跑步每分钟可跑210米，问这人完成这段路 程，至少要跑（）A. 3分钟B. 4分钟C.分钟D. 5分钟【答案】B【解答】解：设这人跑了分钟，则走了（18-%）分钟，根据题意得：210X+90 （18 -%） 22100,解得：答：这人完成这段路程，至少要跑4分钟.故选：B.【变式4-2（2021春市南区校级
21、期中）甲、乙两地相距45协1,小李要从甲地 到乙地办事，若他以7切1/2的速度可按时到达，现在小李走了 4丸后因有事停 留了人为了不迟到，小李后来的速度至少是多少？【解答】解：设小李后来的速度为切i/z,由题意得：4X7+ （里-4-）B45,7解得:1三8骂,27答：为了不迟到，小李后来的速度至少是8丝切2/227【考点5：经济问题】【典例5】（2022秋碑林区校级期末）新年到来之际，百货商场进行促销活动， 某种商品进价1000元，出售时标价为1400元，本次打折销售要保证利润不 低于5%,则最多可打（）A.六折B.七折C.七五折D.八折【答案】C【解答】解：设该商品打九折销售,依题意得：1
22、400X- 10001000X5%,10 解得：工，该商品最多可打七五折.故选：C.【变式5-1121. （2022牡丹江一模）某种商品每件的进价为120元，商场按进 价提高50%标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于5%, 则至多可以打 折（）A. 7B.C.8D.【答案】A【解答】解：设打工折，由题意可得：120 （1+50%） X2- 120N120X5%,10解得27, 即至多打7折， 故选：A.【变式5-2（2022春上蔡县期中）某种商品进价为20元，标价为30元出售， 商场规定可以打折销售，但其利润率不能少于5%这种商品最多可以按几折销 售？设这种商品打工折销售，则下
23、列符合题意的不等式是（）A. 30% - 2020X5%B. 30x- 2020X5%C. 30X2 一 20220X5%D. 30X2 一 20W20X5% 1010【答案】C【解答】解：设这种商品可以按x折销售，则售价为30X工，那么利润为:10 30X2-20, 10根据题意可得：30X.A-2020X5%,10 故选：C.【典例6 （2023大连模拟）学校为了奖励在“诗词大赛”中获奖同学，准备 购买甲、乙两种奖品，已知购买1件甲奖品、4件乙奖品，共需240元；购买2件甲奖品、1件乙奖品，共需165元.(1)求每件甲奖品和每件乙奖品各多少元?(2)如果学校准备购买甲、乙两种奖品共40件，
24、总费用不超过2140元，那么至少购买多少件乙奖品？【答案】(1)每件甲奖品的价格是60元，每件乙奖品的价格是45元；(2)至少购买18件乙奖品.【解答】解：(1)设每件甲奖品的价格是x元，每件乙奖品的价格是y元,根据题意得4y=240,12x=165解得：卜=60.y=45答：每件甲奖品的价格是60元，每件乙奖品的价格是45元；(2)设购买加件乙奖品，则购买(40-机)件甲奖品，根据题意得：60 (40 -+45m2140,解得：加，丝，3又加为正整数，根的最小值为18.答：至少购买18件乙奖品.【变式6-1(2023高新区模拟)某文具店经销甲、乙两种笔记本，每次购买同一种笔记本的单价相同，购进笔记本的具体信息如表:进货批次甲种笔乙种笔购买总记本数记本数费用(单量(单量(单位：元)位：本)位：本)第一次1520640第二次3025980(1)求甲、乙两种笔记本的购买单价;(2)若第三次计划用不超过920元购买甲、乙两种笔记本共50本，求至少购买甲种笔记本多少本？【答案】(1)甲种笔记本的购买单价为16元/本，乙种笔记本的购买单价为