2022年福建省龙岩市高考数学第一次质检试卷及答案解析.pdf-淘文阁

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1、2022年福建省龙岩市高考数学第一次质检试卷一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5 分）已知集合/=x|x|3,5=x|x+l 0,则 Z fl（C RB）=（）A.x-2 x 3 B.x-l x 3 C.x|-l x 0,b 0）的左、右焦点分别为 Q,尸 2,点 M 是双曲线右支上一点，且 0m用为等边三角形，则双曲线 C 的离心率为（）L V3 L、V3+1

2、A.V 3+1 B.+C.2（V 3-1）D.y-6.（5 分）国外新冠肺炎疫情形势严峻，国内疫情传播风险加大，为了更好地抗击疫情，国内进一步加大新冠疫苗的接种力度.某制药企业对某种新冠疫苗开展临床接种试验，若使用该疫苗后的抗体呈阳性，则认为该新冠疫苗有效.该企业对参与试验的 1000名受试者的年龄和抗体情况进行统计，结果如图表所示：年龄频率 20,30)0.2030

3、,40)0.3040,50)0.1050,60)0.2060,70)0.1070,80 0.10第 1 页共 2 1 页则下列结论正确的是（)A.在受试者中，50岁以下的人数为 700B.在受试者中，抗体呈阳性的人数为 800C.受试者的平均年龄为 45岁 D.受试者的疫苗有效率为 80%7.（5 分）已知函数/（x）=$3+4*,记等差数列“”的前项和为 S，若/（m+2）=100,f（4 2 0 2 2+2）=-100,则 S2022=（）A.-4044 B.-2022 C

4、.2022 D.40448.（5 分）已知函数/（x）=2sin（3x-第+b（3 0）,若存在实数 a,对任意的实数 x 都 3有/（a+x）+f（a-x=2,且/（x）在区间 0,I 上有且仅有 3 个零点，则/）的取值范围是（）A.-1,一冬 B.-1,V3）C.-1,V3+1）D.0,V3+1）二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。（多

5、选）9.（5 分）已知二项式（依-上）”的展开式中各项系数之和是士，则下列说法乙 x IZo正确的有（）A.展开式共有 7 项 B.二项式系数最大的项是第 4 项 C.所有二项式系数和为 128D.展开式的有理项共有 4 项（多选）10.（5 分）在/BC 中，已知 8 C=6,且访=DE=EC,ADAE=S,则（）第 2 页共 2 1 页A.AD=AB+AE B.AE=AB+ACC.AB2+AC2=36 D.AB1.AC（多选）11.（5 分）已知点 P（xo，_yo）

6、是直线/：声 7=4 上的一点，过点尸作圆。：x2+y2=2 的两条切线，切点分别为 B,连接。I,O B,贝 U（）A.当四边形 W P 8 为正方形时，点 P 的坐标为（2,2）B.|我|的取值范围为遍，+8）C.当 R1B为等边三角形时，点尸的坐标为（1,3）D.直线 4 8 过定点弓，1）（多选）12.（5 分）已知数列端的前项和为 S“m=l,“”+i=册+（-，）“，:为奇数,1期+2+1,n 为偶数则下列选项正确的是（）A.数列”的奇

7、数项构成的数列是等差数列 B.数列斯的偶数项构成的数列是等比数列 C.ai3=8191D.Sio=671三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分。13.（5 分）抛物线上一点 4（2V2,2）到焦点的距离为.14.（5 分）函数/（x）=/+/内在点（1,/（I）处的切线/与两坐标轴围成的三角形面积为.15.（5 分）已知 N8C是等腰直角三角形，点尸在平面 4 8 C 的同一侧运动，尸到平面 Z8C的距离

8、为 6,三棱锥 P 7 B C 的体积为 18且其外接球的半径为 5,则满足上述条件的点 P的轨迹长度为.16.（5 分）已知函数/（x）=9X-m-y+m+6,若方程/（-x）+f（x）=0 有解，则实数加的取值范围是.四、解答题：本题共 6 小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）己知数列如是等比数列,公比 4 0,且一是 2a1,3a2的等差中项,as=32.（1）求数列斯的通项公式

9、；（2）若 b”=（2n+l）an,求数列瓦的前项和北.18.（12分）如图，在四棱锥 P-/8 c o 中，底面 N 8 C D 为直角梯形，AD/BC,ADVDC,第 3 页共 21页1PA=PD=PB,B C=D C=D=2,E 为/的中点，且 PE=4.（1）求证：尸 E_L平面 N8CZ）；（2）记 P E 的中点为 M 若 M 在线段 8 c 上，且直线与平面以 8 所成角的正弦值为二,求线段 8 M 的长.919.（12分）近年来，我国大学生毕业人数呈逐年上升趋

10、势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业.某市统计了该市其中四所大学 2021年的毕业生人数及自主创业人数（单位：千人），得到如下表格:/大学 8 大学 C 大学。大学当年毕业人数 X（千人）3 4 5 6自主创业人数 N（千人）0.1 0.2 0.4 0.5（1）已知 y 与 x 具有较强的线性相关关系，求 y 关于 x 的线性回归方程丫=a+6x；（2）假设该市政府对选

11、择自主创业的大学生每人发放 1万元的创业补贴.（i）若该市 E 大学 2021年毕业生人数为 7 千人，根据（1）的结论估计该市政府要给 E 大学选择自主创业的毕业生创业补贴的总金额;（ii）若 4 大学的毕业生中小明、小红选择自主创业的概率分别为 p,2p-1该市政府对小明、小红两人的自主创业的补贴总金额的期望不超过 1.4万元，求 p 的取值范围.参考公式：回归方

12、程丫=a+b x 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 6=2,L t y U A,.E i=i x-n x第 4 页共 2 1 页20.(12分)记 Z8C的内角力、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a、b、c 是三个连续的正整数，且 a 6 0)经过点 E(V2,),左顶点为。，右 aL 匕 2焦点为凡已知点尸(0,V2),且。，P,E 三点共线.(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知经过点尸的直线/与椭圆 C 交于 4,8 两点，过点 8 作

13、直线 y=32 的垂线，垂足为 G,求证：直线 Z G 过定点.22.(12 分)已知函数 f(x)axlnx+g(x)=(a-2)x2-3+2xlnx+,aGR.(1)当 a=3 时，判断函数/(x)的零点个数；(2)若/(x)(x)恒成立，求实数。的取值范围.第 5 页共 2 1 页2022年福建省龙岩市高考数学第一次质检试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

15、复数 2在复平面内对应的点（2,-1）,位于第四象限.故选：D.3.（5 分）若“和 6 是异面直线，6 和 c 是异面直线，则 a 和 c 的位置关系是（）A.异面或平行 B.异面或相交 C.异面 D.相交、平行或异面【解答】解：在长方体中，若直线 N小记为直线“，直线 B C记为直线 b,直线囱小记为直线 c,则满足。和 6 是异面直线，6 和 c 是异面直线，而。和 c 相交：若直线/小记为直线 a,直线 8 c 记为直

16、线 b,直线。记为直线 c,此时 a 和 c 平行；若直线 4 4 1记为直线。，直线 8 c 记为直线从直线记为直线 c,此时 a 和 c 异面：故选：D.第 6 页共 2 1 页D.12【解答】解：因为幽苧=*=tanO=T1所以 tan0=2，1m贝”l tan2a0=m2t两 an0国=匚 2X芬 2=43-故选：B._ x2 y2、5.（5 分）在平面直角坐标系 xQy中，双曲线 C：一 J一记=1（0，b 0）的左、右焦点分别为尸 1，尸 2,点是双曲线右支上一点，且

17、 0MF2为等边三角形，则双曲线。的离心率为（）4 V3A.V 3+1 B.+12【解答】解：如图，C.2(V3-1)V3+1D.-2c V3,。四尸 2为等边三角形，：.M c）,c?3 c2代入双曲线方程，可得在-4 c2_4 a2=1，S P e4-8e2+4=0,解得 e=遮+1(e l).故选：A.第 7 页共 2 1 页6.(5 分)国外新冠肺炎疫情形势严峻，国内疫情传播风险加大，为了更好地抗击疫情，国内进一步加大新冠疫苗的接种力度.某

18、制药企业对某种新冠疫苗开展临床接种试验，若使用该疫苗后的抗体呈阳性，则认为该新冠疫苗有效.该企业对参与试验的 1000名受试者的年龄和抗体情况进行统计，结果如图表所示：年龄频率 20,30)0.2030,40)0.3040,50)0.1050,60)0.2060,70)0.1070,80 0.10于 50岁低于 50岁 A.在受试者中，5 0岁以下的人数为 700B.在受试者中，抗体呈阳性的人数为 800

19、C.受试者的平均年龄为 4 5岁 D.受试者的疫苗有效率为 80%【解答】解：在受试者中，5 0岁以下的人数为 1000X(0.2+0.3+0.1)=6 0 0,故选项/错误；在受试者中，抗体呈阳性的人数为 600X0.9+400X0.85=8 8 0,故选项 8 错误；受试者的平均年龄为 25 X 0.2+35 X 0.3+45 X 0.1+55 X 0.2+65 X 0.1+75 X 0.1=4 5,故选项 C正确；OOQ受试者的疫苗有效率为 777京=8 8

20、%,故选项。错误：1000第 8 页共 2 1 页故选：c.7.(5 分)已知函数/(x)=1X3+4X,记等差数列检的前项和为 S，若/(a i+2)=100,/(02022+2)=7 0 0,贝|JS2O22=()A.-4044 B.-2022 C.2022 D.4044【解答】解：因为/(一为=4 炉一 4%=f(x),./(x)是奇函数，因为/(0+2)=100,/(“2022+2)=-1 0 0,所以/(m+2)=-/2 0 2 2+2),所以“1+2+42022+2=0,所以。1+。2022=-4,所以 52022=-2&

21、+。2022)=-4044.故选：A.8.(5 分)已知函数/(x)=2sin(co x-看)+b(a)0),若存在实数，对任意的实数 x 都 3有/(+x)=2,且/(x)在区间 0,1上有且仅有 3 个零点，则/(J 的取值范围是()A.-1,-器)B.-1,V3)C.-1,V 3+1)D.0,V 3+1)【解答】解：因为/(a+x)+fC a-x)=2,所以/(x)的图象关于(。，1)对称，所以 b=1,所以/(x)=2sin(air看)+1(3 0),令 f(x)=0,则 2sin(co x-看)+1=0,即 si

22、n(cox看)=4，因为 xW0,1,所以 0)%一看一 3 看,因为/G)在区间 0,1上有且仅有 3 个零点，”,117r 7 T 197r,107r所以二一 co-7 V 则 2T T W 3 不一，6 6 6 D.4T T 37r 7 1 7 7 r,3n n所以 T7 W 二一二 V T，贝!J-1 Wsin(二一二)V 亍，3 4 6 3 4 6/-3兀 7 T 所以-1 W2sin()+1 V3+1,4 6第 9 页共 2 1 页3 L即-I W f（Z）V3+1.故选：C.二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5

23、分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。（多选）9.（5 分）已知二项式（式-上）”的展开式中各项系数之和是士，则下列说法正确的有（）A.展开式共有 7 项 B.二项式系数最大的项是第 4 项 C.所有二项式系数和为 128D.展开式的有理项共有 4 项【解答】解：令 X=1 可得：（*尸=鼻，解得=7,故该二项式为（夜人）7

24、,乙 JL乙。乙人故展开式中共 7+1=8 项，故/错误；二项式系数最大的项为中间的第 4、5 项，故 8 错误；所有二项式系数之和为 27=128,故 C 正确；-I 7-3 k展开式的通项为 7+i=（-之）（1,妗 k=0,1,2,.,7,当=1,3,5,7时，为有理项，故。正确.故选：CD.（多选）10.（5 分）在 ZBC 中，已知 B C=6,且访=DE=EC,ADAE=S,则（）A.AD=1 AB-1 AE B.ATE=2ATB 1A.TCC.AB2+AC2=36 D.ABAC【解答】解

25、：在 48C中，已知 8 C=6,且薪=茄=应?，可知。，E 是 8 C 的三等分点，T 1 T 1 T所以。是 8 E 的中点，所以 4。=打 8+今犯所以/正确：T 1 T 7 TAE=AB+A C,所以 5 不正确；A D=AB+BC,A E=AB+BC,所以几）族=8=AB2+AB-BC+BC2,第 1 0 页共 2 1 页可得+g B C=O,即 e(4B+BC)=0,AB-A C=0,所以。正确,同时满足+扇 2=36,所以 c 正确.故选：ACD.（多选）11.（5 分）已知点尸（xo，州）是直线/：xtr=

26、4上的一点，过点 P 作圆 O：f+jJ=2 的两条切线，切点分别为 4,B,连接 0 4 O B,则（）A.当四边形。力尸 8 为正方形时，点尸的坐标为（2,2）B.|我|的取值范围为括，+8）C.当必 8 为等边三角形时，点 P 的坐标为（1,3）D.直线 4 8 过定点弓，1）【解答】解：.,.|P0|=J(V2)2+(V2)2=2,又点尸(xo/)是直线/：x+y=4上的一点,设 P(xo，4-xo)P0 d(&-0)2+(4 Xo 0)2，2xo2 8x0+16=2,即沏

27、2 4%0+6=0,该方程(),xo无解，故不存在点 P 使得 OAPB为正方形，A 错误；对于 8 选项：由/知，|PA|=J|P0|2 一|0川 2=，仍。|2 一 2,：.PO=君+(4 沏)2=2&)2-8沏+16=2(尤 0 2)2+8 2 8,第 1 1 页共 2 1 页：.P02-226,则 PA V6,即 PA 的取值范围是遍，+00),故 8 正确；对于选项 C：若三角形以 8 为等边三角形为等边三角形，易知乙 4尸 8=60,又 0 P 平分/APB,：.ZAPO=ZBPO=30Q,在 R

28、tZVM。中，由于|。川=夜，：.sin300=假=0P=2V2,又尸点坐标为：Go,4-xo),.,.XQ+(4 x0)2 8,即 2x0 2-8x0+8=0=(x0 2)2 0,xo-2,yo2,故 C 错误；对于选项。：尸(xo,4-xo),P0=Xp+(4 x0)2=2x0 2 8x0+16,记 O P 中点为 D(乎空)，P0则以。为圆心，1yL为半径的圆与圆 0 的公共弦为 45,圆 D 方程为(苗/+(y-(2%o 2-8%Q+16),整理得 f+f-X0X-(4 7 0)y=0,联立 F；+一一“一&)y=,化简

29、得如什 a)、=2,即得直线方程为 xox+(4-xo)y-2=0,将 x=y=*代入方程恒成立；故直线 A B 过定点(去，i),。正确.故选：BD.(多选)12.(5分)已知数列斯的前“项和为 S”，m=l,(即+(2尸，n 为奇数 U+2n+b n 为偶数则下列选项正确的是()A.数列”的奇数项构成的数列是等差数列 B.数列)的偶数项构成的数列是等比数列 C.013=8191D.Sio=671第 1 2 页共 2 1 页【解答】解：因为=1,

30、即+1=%+(-2)，n 为奇数.斯+2计 1，xi为偶数所以匆=1+(-21=1/Q3=-1+2医。4=-1+2?+(2=-1,Q5=-1+2，即=+(2)5=1,a7=1 4-27,C L Q=-1,Q9=-1+2“，。10=1/an=-1+211,a12=-1，Q13=-1+213=8191,可以看出：偶数项为常数列，可看作是以 1为公比的等比数列，奇数项不是等差数列,Si 0=。1+。2+。3+。4+。5+。6+。7+。8+9+。10=1+(-1)+(-1+23)+(-1)+(-1+25)+(-1)+(-1+27)+

31、(-1)+(-1+29)+(-1)=1+9X(-1)+(23+25+27+29)=-8+23匕 14)=672,故选：BC.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分。13.(5分)抛物线 F=4 y 上一点/(2V2,2)到焦点的距离为 3.【解答】解：抛物线/=4 y 上一点 N(2V2,2)到焦点的距离就是 N 到准线的距离，准线方程为：y=-1，所以抛物线 f=4 y 上一点/(2V2,2)到焦点的距离为 2+1=3.故答案为：3.14.(5分)函数/(X)=x3

32、+/x在点处的切线/与两坐标轴围成的三角形面积为-.一 8一【解答】解：由/(x)x3+lnx,得，(x)=3f+1,：.f(1)=4,又/=1,二函数/(x)=x3+/x 在点(1,/(I)处的切线/为 y-1=4(x-1),Q取 x=0,得 y=-3,取歹=0,得 x=.切线/与两坐标轴围成的三角形面积为 5=次 3=Z 4,O第 1 3 页共 2 1 页9故答案为：O15.(5分)已知 Z8C是等腰直角三角形，点尸在平面 Z8C的同一侧运动，尸到平面 Z8C的

33、距离为 6,三棱锥 P-A B C 的体积为 18且其外接球的半径为 5,则满足上述条件的点 P的轨迹长度为【解答】解：如图所示，由 48C是等腰直角三角形，可得力 8=8C=x,又由尸到平面 Z8C的距离为 6,三棱锥 P-A B C 的体积为 18,可得=解得 x=3四，所以 4C=6,因为其外接球的半径 R=5,可得 52=4。：+。；=32+。；，解得 001=4,即圆心 0 到平面 A B C 的距离为 4,又因为点 P 到平面

34、 A B C 的距离为 6,所以球心 0 到点 P 轨迹所在圆的距离为 2,设点 P 的轨迹所在圆的半径为厂，可得=后二=所以点 P 的轨迹长度为 2nr2=2兀 x(VH)2=2低兀.故答案为：2 m16.(5分)已知函数/(x)=9X-m-3x+m+6,若方程/(-x)4/(x)=0 有解，则实数?的取值范围是 _2V14+4,+8).【解答】解：函数/(x)=夕-机 3+什 6,-x)+fCx)=0 即 9r-nf3x+m+6+9 x-m?x+m+6=0,可得：(3*+3r)2-

35、(33、)+2加+10=0,令 3+3,则 f 2,可得 P-加什 2加+10=0,即 w(f-2)=内 10有解，显然 f=2无意义，故 t2,m=学罗=(A邛号阳+”=2+丹+4 2旧+4.当且仅当仁 V14+2C-/C-Z L-L第 1 4 页共 2 1 页时等号成立，故答案为：2旧+4,+8).四、解答题：本题共 6 小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1 0分)已知数列&是等比数列，公比 4 0,且是 2。|,3a2的等差中项，“5=32.(1)

36、求数列斯的通项公式；(2)若加=+1)a,求数列瓦的前“项和 7”.【解答】解：(1)依题意得：2。遇 2=2a i+3aiq,，2q2-3q-2=0,g 0,.g=2,又 as=a1q4=32.解得 a i=2,/.O n=2 X 2n-1=2n.(2)bn=(2 n+l)2n,T,=3-21+5-22+7 23+-4-(2n-1)-2n-x+(2n+1)-2 32Tn=3-22+5 23+7 24+-+(2n-1)-2n+(2n+1)-2n+1,相减得:-7n=6+2 0 2+23+2n)-(2n+1)-2n+1,-G=6+2.4 a渭 T)一(

37、2n+1).2n+1,整理得：Tn=2+(2 n-1)-2n+1.18.(1 2分)如图，在四棱锥 P-/B C D 中，底面 N 8C D为直角梯形，A D/B C,AD VD C,PA=PD=PB,BC=DC=A D=2,E 为/。的中点，且 P E=4.(1)求证：/_1_平面/8 8；(2)记尸 E 的中点为 N,若/在线段 8 C 上，且直线与平面 R I 8所成角的正弦值为 V3,求线段 8 的长.A第 1 5页共 2 1页【解答】解：(1)证明：连接 8,1：BC=AD=DE=2,AD/BC,:.BC

38、=DE,BC/DE,四边形 3 8 E 为平行四边形，.8E=CO=2,：P A=P D,且 E 为/。的中点，：.PELAD,：.PD=y/PE2+DE2=V16+4=2麻，二 PB=PD=2有，：.PE1+BE1=PB1,即 PE工 BE,又 ADCBE=E,ABCD.(2)以 E 为原点，以为 x 轴，E 8为 y 轴，EP为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则力(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,2,0),P(0,0,4),：.A B=(-2,2,0),PB=(0,2,-4),设平面刃 8 的法向量为骨=

39、(x,“z),则&2 x+2 y=0,取 z=,得建 2,1),(.n PB=2y-4z=0设 5M=1(怎 0,2),贝 2,0),V y(0,0,2),：.M N=(3-2,2),.平面以 8 的法向量为=(2,2,1),设直线 N 与平面以 8 所成的角为 0,则 sind=cos(MN,n)=I温工 2川=V-化简得 llz2-24什 4=0,解得 f=2 或仁云，满足生 0,2,第 1 6 页共 2 1 页故线段 8 M 的长度为 2 或 19.（12分）近年来，我国大学生毕业人数呈逐年上升趋

40、势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业.某市统计了该市其中四所大学 2021年的毕业生人数及自主创业人数（单位：千人），得到如下表格：（1）已知 y 与 x 具有较强的线性相关关系，求 y 关于 x 的线性回归方程丫=a+bx；/大学 8 大学 C 大学。大学当年毕业人数 X（千人）3 4 5 6自主创业人数 y（千人）0.1 0.2 0.4 0.5（2）假设该市政府对选

41、择自主创业的大学生每人发放 1万元的创业补贴.（i）若该市 E 大学 2021年毕业生人数为 7 千人，根据（1）的结论估计该市政府要给 E 大学选择自主创业的毕业生创业补贴的总金额；（i i）若 4 大学的毕业生中小明、小红选择自主创业的概率分别为 p,2 p-1 p）,该市政府对小明、小红两人的自主创业的补贴总金额的期望不超过 1.4万元，求 p 的取值范围.参考公式

42、：回归方程丫=a+b x 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为匕=%一呵 Zi=i xt2-n x2，a=y-bx.【解答】解:（1）由题意得彳=3+勺 5把=4 5,5=0.1+0.2+0.4+0.5=0.3,42：=1 xiVi=6.1，：=1#=8 6,b=勺乃一 4取 _ 6.1 4x4.5x0.3/1 xj-4x2 86-81=0.14,所以 a=7 一 bx=0.3 0.14 X 4.5=-0.33,故得 y 关于 x 的线性回归方程为 y=0.1 4 x-0.33；（2）（/）将 x=7 代入，

43、y=0A4x-0.33=0.14X7-0.33=0.65,所以估计该市政府需要给 E 大学毕业生选择自主创业的人员发放补贴金总额为 0.65X第 1 7 页共 2 1 页1000X 1=650(万元);(n)设小明、小红两人中选择自主创业的人数为 X,则 X 的所有可能值为 0,1,2,P(%=0)=(1-p)(2-20)=2p2-4P+2,P(X=l)=(1-p)(2p-1)+p(2-2p)=-4p2+5p-1,P(X=2)=p(2p-1)=2p2-p,：.E(X)=0 X(2p2-

44、4P+2)+(-4p2+5p-1)X 1+(2/?2-p)X2=3p-1,4E(1 x X)=1 x(3p-l)pJ,1V-P 1，1 42 y 5故 p 的取值范围为 G,红 20.(12分)记力 8 C 的内角 4、B、C 的对边分别为、b、c,已知 a、b、c 是三个连续的正整数，且 aV6 c,C=2A.(1)求 a；(2)将线段 A B 绕点 A 顺时针旋转三到 A D,求 4CD的面积.【解答】解：(1)且 a、b、c 是三个连续的正整数,可得 a=b-l,c=b+l,b 1 b+1由正弦定

45、理得面=嬴 b+1 b+lsin2A 2sinAcosAfcosA b+1又由余弦定理得皿人=小啜=患方，b+1(I)=b+42(b+l)，解得 b 5,.a=4.(2)由(1)知。=4,b=5,c=6,/DAr 52+62 42 3sin XBAC=y/1 cos2Z-BAC=0=H It将线段 A B 绕点 A 顺时针旋转到 A D 时，分两种情况如下:(i)如图 1：=2 T+TX4=-8-第 1 8 页共 2 1 页c 1 v 八+3 e 45+1577SACD=2 x 5 x 6 x-g-=-g-；()如图 2：cosCA

46、B=,Gz.CAB 6 0)经过点 E(或，),左顶点为。，右焦点为 E 已知点尸(0,V2),且。，P,E 三点共线.(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知经过点 P 的直线，与椭圆 C 交于 4 8 两点，过点 8 作直线 y=3a 的垂线,垂足为 G,求证：直线/G 过定点.9【解答】解：依题意，马+登=1,ar b又 P(0,V 2)是夕轴上一点，且尸，D,E 三点共线，广 3-9所以 c/、-2r-解得 a=2V2,代入马+卷=1，得 P=6,0-(-a)V2-0 ar b 乙

47、/y2所以，椭圆。的方程为 7 十=1.8 6第 19页共 21页(2)证明：当力(-2V2,0),B(V2,孥)时，G(V2,3夜)，直线 4 G 的方程为 y=x+2VL，当 Z(0,-V6),B(0,V6)时，G(0,3V2),直线/G 的方程为 x=0.联立得：y=x+2夜与 x=0 交于点(0,2夜)，下面证明直线/G 经过 y 轴上定点(0,2V2).y=kx 4-V2联立%2 y2 _,消 y 整理，得(4乒+3)f+8夜以-16=0,值+豆=1设 4(xi，yi),B(X2，玖)则%】+不=4；贯%-1X2=的;

48、3,G(42，3V2).所以直线 N G 的方程：y-3 V 2=(x-x2).X1 x2令 x=0,得产 X 2%+3 g 2+3 夜=3 缶 i f%xlx2 xlx2_ 3y/2x1 x2(kx1+/2)_ 372%1/2x2 kx1X2Xi-%2-xl-x2 因为 iriX2=岁卷*=&(X|+X2)，所以 3疗巧一依 4+/2)_ 2&巧-2丘%2=2鱼所以直线 Z G 过定点(0,2V2).22.(12 分)已知函数/(%)=axlnx+,g(x)=(a-2)f-3/2+2工历 x+1,aER.(1)当=3 时，判断函数/(x)的

49、零点个数；(2)若/(x)2g(x)恒成立，求实数。的取值范围.【解答】解：(1)法 1：当 a=3 时，/(x)=3xlnx+l,f(x)=3(阮什 1),由/(x)0 得*；由/(x)0 得 0 0:9，.(1 分)，/(x)在(0,)上是减函数，在(9，+8)上是增函数，1 p 2VWmin=/(i)=V。，/=10，/)尼)VO,f(/(l)V0,(3 分)1 1./,(X)在(0,-)和(一，+8)上各有一个零点，e e所以函数/(x)有 2 个零点.(4分)第 2 0 页共 2 1 页法 2：当。=3 时;f(x)=

50、3xlnx+f由/(x)=0,可得 3%+1=0,xlnx=-记(p(x)=xlnx,。(x)=lnx+,.(1 分)1 1由 G)0 得：X p 由 8(x)V0 得：0 4 V 右.(2 分).-.(p(x)在(0，；)上是减函数，在弓，+8)上是增函数，当 0 xl 时 p(x)1 时 0,1 1 1，0(X)min=0(工)=一工 V-可，.(3 分).刎)=一 4有 2 个解，即函数/(X)有 2 个零点.(4分)(2)axlnx(a-2)x2-3炉 2+2xlnx(x0),、/c、eX2，/I、,n eX2.c，A alnx(a-2)x 3 I-2l

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