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1、2022年福建省龙岩市高考第一次模拟数学试卷一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5 分）己知集合4 =刈0 8 4 0恒成1立，设 a=/（i）,=/（3）,c=/（4）,则 mb,c的大小关系为（）A.b a c B.c b a C.b c a D.a b 0,且/=,则不等式/（x）灰|焉 的 解 集 为（）A.（-1,1）B.（-,-1）U（1,+8）C.（-1）D.（1,+8）8.（5分）在湖南省湘江上游的永州市祁阳县境内的涪溪碑林，是稀有的书法石刻宝库，保留至今的有5 0 5 方摩崖石刻，最引人称颂的是公元7
2、71年摹刻的 大唐中兴颂，因元结的“文绝”，颜真卿的“字绝”，摩崖石刻的“石绝”，誉 称“摩崖三绝”.该 碑 高 3米，宽 3.2 米，碑身离地有3.7米（如图所示），有一身高为180 a”的游客从正面观赏它（该游客头顶7到眼睛C的距离为I O C?）,设该游客离墙距离为x米，视角为。.为使观赏视角最大，x应 为（）A.V1 0 B.3 C.2 /2 D.V6二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得（）分.9.（5分）下列结论正确的有（）A.若 a b 0,则 ac2 Z c2B.命题“Vx 0
3、,的否定是勺 x 0,2、?第2页 共1 9页C.x 丁/二2 v/c 1C.Sn 0,b0,3a+b=2ab,则“+/?的最小值为.1 5.（5分）在等腰梯形4BCD中，AB/DC,A B=2 B C=2 C D=2,P是腰4。上的动点，则|2 藁-而|的最小值为.1 6.（5分）已知数列“”满 足 的 0,-n+1,=-J-（n G N*）,则 m a2=,若数列an an+n-l 4 的前项和为 S”，则 5 2 0 2 0 4 2 0 2 1 =.第3页 共1 9页四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.(1 0分)设数列“”的前”项和酬
4、满足6 5+1=9。(n G N*).(1)求数列”的通项公式；(2)若数列 加 满 足%=总 求数列 加 前附项和加1 8.(1 2 分)已知2 =(2 s i n 3 X,V3),b=(1,c os(o)x +勃，其中 0,f(x =a-b,且函数/(x)的最小正周期为n.(I)求函数/G)的解析式；7 T(I I)若将/(x)的图象上的所有点向右平移，个单位，得到函数y=g (x)的图象，求函数y=g (x)的单调递增区间.1 9.(1 2分)已知函数/G)=(ox-1)的图象在点(1,/(I)处的切线方程为y=4x+b.(1)求a,b的值.(2)当时，证明：/(x)k(x -1)对 尤
5、(1,+8)恒成立.2 0.(1 2分)在Sn=tn+1-2(t*0),=2域，S 3=2 a3 -2这三个条件中任选一个，补充在横线上，并解答问题.已知正项等比数列“”的前 项和为S”，小=2,且满足.(1)求数列 曲 的通项公式；(2)记b=沙一 二,数 列 为 的前n项和为Tn,求证：-1 7；0 恒成1立，设=/(),b=f(3),c=f(4),则 小 b,c 的大小关系为()A.hac B.cha C.hca D.abc第 5 页 共 19页【解答】解：函数/(x+2)是偶函数，：.f(x+2)=f(-x+2),即 函 数 关 于 x=2 对称，,当 2 V x i 0 恒成立,.当
6、尤(2,+8)时，/(x)单调递增，,1 7则 a=f(5)=/)7，：3=4,7：.f(3)f(-)f(4),即 ha0时，g(x)=/(-M)=/(-x),所以函数的图象与已知条件左侧图象关于y轴对称，所以A不正确；故选：B.6.(5分)2 0 2 1年小林大学毕业后，9月1日开始工作，他决定给自己开一张储蓄银行卡，每月的1 0号存钱至该银行卡(假设当天存钱次日到账).2 0 2 1年9月1 0日他给卡上存入1元，以后每月存的钱数比上个月多一倍，则他这张银行卡账上存钱总额(不含银行利息)第 6 页 共 1 9 页首次达到1 万元的时 间 为()A.2 0 2 2 年 1 2 月 1 1 日
7、 B.2 0 2 2 年 1 1 月 1 1 日C.2 0 2 2 年 1 0 月 1 1 日 D.2 0 2 2 年 9 月 1 1 日【解答】解：2 0 2 1 年 9 月 1 0 日是第一个月存入1 元，依题意第个月存入金额为2”“元，那么前个月存入的总金额为-6 一2”),1-2lx(l-2n)-10000,1-2即 2 30 0 0 1,V 2I 3=8 1 92,2|4=1 6 38 4,当 为1 4时存款总额首次超过1 0 0 0 0 元，可得2 0 2 2 年 1 0 月 1 1 日存款总额超过1 0 0 0 0 元，故选：C.7.(5 分)已知/(x)是定义在R 上的函数，f
8、(x)是f (x)的导函数，满足：切(x)+S+1)/(x)0,且/=热 则不等式/2(制1)的解集为()A.(-I,1 )B.(-1)U (1,+oo)C.(-8,-1 )D.(1 ,+8)【解答】解：令 g (x)=(，+D f(x),：ef(x)+(/+1)f(%)0,：.g(x)=exf(x)+S+l)f(x)0,：.g(x)在 R 上单调递增.,/(1)=|,:.g=(A i)/(i)=1(Ai),(ev+l)f(x)(?+l),即 g (x)g(1),A x 1,即不等式/Q)点 片 的 解 集 为(1,+8),故选：D.8.(5 分)在湖南省湘江上游的永州市祁阳县境内的涪溪碑林，
9、是稀有的书法石刻宝库，保留至今的有5 0 5 方摩崖石刻，最引人称颂的是公元7 7 1 年摹刻的 大唐中兴颂，因元结的“文绝”，颜真卿的“字绝”，摩崖石刻的“石绝”，誉 称“摩崖三绝”.该 碑 高 3 米,第 7页 共 1 9 页宽 3.2 米，碑身离地有3.7 米（如图所示），有一身高为1 8 0。”的游客从正面观赏它（该游客头顶T到眼睛C 的距离为1 0。），设该游客离墙距离为x 米，视角为色 为使观赏视角最大，x 应 为（）A.V1 0 B.3 C.2 V2 D.V6【解答】解：设NB C O=a,则 ta na=H#=|,/八 3+2 5t an （0+a）=-=一,x x5 2 _匚
10、 匚 i、i,八 tan（G+a）tana z 3%3,3 37 1 0所以t an 0=胃=西 布=不卫士 Q=2,XX X y/x x 当且仅当x=，即X=J 1 U 米时取等号.所以该游客离墙距离 为 同 米时，观赏视角最大.故选：A.二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.9.（5分）下列结论正确的有（）A.若 a b 0,则 改2 庆2B.命 题aV x 0,乃 泊”的否定是a3x0,2?wC.x 0,故z对应的点在第一象限或第三象限，故选项。正确.故选：AB D.1
11、1.(5分)数列5 依次为:1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11，一，一，,3 3 3 5 5 5 5 5 7 7 7 7 7 7 7 9 91 1 1中第一项为接下来三项均为3再接下来五项均为J依此类推.记 板 的前项和为Sn,则()Ac _ 1A.a100 西B.存在正整数左，使得以 鲁 二2,k1第9页 共1 9页C.Sn VnD.数列*是递减数列【解答】解：由题意知，当 0 W l时，加=1,1当 1 VW 4时，an=寸1当 4VW9 时,=宁.，当(&+1)2 时，a=(髭N)V 100=102,.*.nioo=9VQ,1 故 A 正确;对任意正整数
12、亿 不妨设/n2V收(/H+1)2,则ak=2 J+1，1,以为定值，h 右二随着攵变大而变小，27 k T/1、_ 1 1,E，五+1)2.1二由故以w；7A恒成立，故 B 错误；2vfc-lC：若必W V (k+1)2,k,6N*,则%=Sk2+m=k+2号 j,0 m 2k+1,而k+辞？-布乙 Z t十X若 n=/,则机=0,故 k+yr-7-3 y/n=k y/n=0,Z/v T 1若(k+1)2,k,6N*,则 0m 0,yjk2 4-m 0,1 KI 1故k+5x7 孤 2+m,/K十 J L即 Sn-S iV O,第1 0页 共1 9页即无 V n,综上，Sn V n,故 C正
13、确；D：因为 F w (R I)2,k,/?G N*,则Sn=5 上 2+血=k,0 m 中的单调可知，不存在实数a,b 使得g(x)为奇函数,综上所述，若存在实数a,b,使得g(x)=/(x+a)+%为奇函数，则 k=-l,故选项C 正确.函数 均=氤 检，则/(X)=-ex(e 2 x+2 e j)(e2x+k)2当=0 或女=1时，由选项A 8可知，函数/(x)不存在两个极值点;1 1当 A 0时，f(x)=一/(靖+1+甲此时函数7 a)只有一个极值点；(e2x+/c)z综上所述，函数/(x)最多只有一个极值点，故选项。正确.故选：B CD.三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共
14、 20分.y T T T T 27r13.(5 分)已知=3,网=2,若ab=-3,则a 与b夹角的大小为一 _.【解答】解：设展与 1夹角的大小为 0,060,IT,Va-b=|a|-|6|-cose=3-2-cos0=-3,.*.cos0=e=冬,故答案为：知.14.(5 分)已知 0,b0,3a+b=2ab,贝 U Q+力的最小值为_ 2 +遮 _.3 1【解答】解：根据题意，3a+b=2ab=+=1,2b 2a则 2=嗫+或)()=2+ff+/+2 楞 X、=2+k，当且仅当6=时等号成立；则a+b的最小值为2+V3；故答案为：2+W.第1 2页 共1 9页15.（5分）在等腰梯形4
15、5 C Q中，AB/DC,AB=2BC=2C D=2,P是腰A O上的动点，T T 33则I2PB P Q的最小值为【解答】解：根据题意，以A为原点，射线A 3为x轴正半轴建立直角坐标系，如图所不，则 8(2,0),C(-,),设 尸(，偏),其中 044；2 2 2 r-、3 y/3 r-PB=(2-。，y/3ci),PC=(-a,V3tz),则 2而 而=(-a,-乌-W a),2 乙故|2而 一 而|2=4。2 _ 2。+7=4(a-l)2+年,则 当 时，|2而 一 而F取得最小值孑，则|2而-鼠|的最小值言;16.（5分）已知数列“满足如 0,胃=潟才.），则若数列 ”的前项和为 S
16、 n,则 5202002021-2020.【解答】解：由皿=(尤N*),可得3=空 出 二=I+an C Ln+TLl Qn+1 0n an n n1 Cln-an+l an.+“2+工-&+Za2 al a31 3_ 2_+ri _ nl _ na2 a4 a3 an+l an an+lSn*Cln+1 =，贝!J 41 42=1 ,S202042021 =2020.故答案为：1,2020.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）设数列 的 的前九项和S满足6s+1=9所（尤N*）.（1）求数列 的通项公式;第1 3页 共1 9页(2)若数
17、列 m 满足既=求数列 d 前 项 和Tn.【解答】解：(1)由 6%+1=9 而，得 6S +i+l=9 a“+i,两式相减得6即+1=9。+1-9 a”，即 an+=3aru又当=1 时，6S i+l=9 tz i,即 6a i +l=9 a i,解得所以 ”是以1 为首项，3为公比的等比数列，所以 a”=g x 3 =3 -2；11 1(2)由(1)可知 2?=f=3几-2,则加=3，bn+-bn y所以 为 是以3为首项，1 为公比的等比数列，所以用喏斗算).1 8.(1 2 分)已知a =(2 si n 0.f(x)=a-b,且函数f(x)的最小正周期为7 1.(I )求函数/(x)
18、的解析式；7T(I I)若将/(x)的图象上的所有点向右平移,个单位，得到函数y=g (x)的图象，求函数y=g (x)的单调递增区间.【解答】解：(I )/(%)=a-b=2 si n a)x+V 3 co s(a)x+)=2 si n a)x+y co sa)x|si n a)x=1 S i.n 3 x+,4-3 co sa)x=si.n (a)x+7T)、，因为函数f (x)的最小正周期为m27r所以一=n,即 3=2,0)所以函数F(X)的解析式为/(x)=si n (2 x+p(I I )由题意知，y 8(X)=si n 2 (x 可)+si n (2 x 一4)，令 2 苫 一 可
19、 2e于 2ATT+引，&6 Z,则 伙TT-X:TT+kWZ,所以函数)，=g (x)的单调递增区间为伙豆一需，内 t+瑞,髭Z.19.(12分)已知函数/(x)=ln(a x-1)+a/nx的图象在点(1,/(I)处的切线方程为y=4 x+/?.第1 4页 共1 9页(1)求，b的值.(2)当上2 4时，证明：/(x)V&(工-1)对 xw(1,+8)恒成立.【解答】(1)解：因为/(%)=后+E，所以 f (l)=S+a =4，解得4 =2,则/=0=4+6,解得 b=-4,:a=2,b=-4；(2)证明：因为Z 2 4,所以要证/(x)V Z(X-1)对 烬(1,+8)恒成立，只需证f
20、 (x)l),则g(x)=喜+4=-2(行当-1).因为x l,所以g，(x)0,所以g(X)在(1,+)上单调递减，从而 g(x)g (1)=0,则f(x)4 (x-1)对 xe (1,+8)恒成立，故当N 4 时，f(x)A:(x-1)对 xe (1,+8)恒成立.20.(12分)在S n=tn+1-2(t*0),a s =2境，S 3=23-2 这三个条件中任选一个,补充在横线上，并解答问题.已知正项等比数列 ”的前项和为S”a i=2,且满足.(1)求数列 板 的通项公式；(2)记 耳=小。花 小 一 二,数 列 为 的前n项和为T,求证：一1 n 22-l 21-1 23-l 22-
21、l 2n+1-l 2n-l 2n+1-l由于b(1一 九)Qn l(即-1)(5+11)0,所以数列 加 的前项和力,单调递减,所以7；W T 1=弋，1故-1F 一手21.(12 分)A B C 中，角 A,B,C满足 C O S 24 -co s 2B=2s i nC (s i nB -s i nC),且 B C=3.(1)在 4c边上有一点。，S.A B=A D,若 BD=2,求 s i n/A C B；1 1(2)求-4-的最小值.tanB tanC【解答】解：(1)由已知有 co s 2A -co s 23=2s i nC (s i nB -s i nC),化简可得 s i n2B+
22、s i n2C -s i n2A =s i nB s i nC,由正弦定理可得庐+。2-2=儿，日n 4 _ 庐+。2_Q2 _ 1co s A=2匕c=，又因为A W (0,I T),所以4=泉又因为A 8=A D,所以 A B O是正三角形,所以N B O C =手,由正弦定理B CsinZ.B DCB Dsin 乙 AC B第1 6页 共1 9页得sin乙ACB =苧，1 1 cosB cosC sin A(2)-+-=-：+：=：-：tanB tanC smB sinC sinB sinC消去角C可得，sinA y/3sinB sinC V3sinB cosB+sin2B2/3=2s
23、i n(2B d)+l 2n又因为B E(0,),所以1 l 时，x-10,ex -10,则/(x)0,当 xV l 时，%-1 0,-10,当x=l 时，/(1)=0,所以当xe R时，f(x)20,/(x)在R上是增函数；(2)函 数/(x)的定义域为(-1,+8),由(1)得函数/(x)在R上单调递增，/(1)=0,当 x 1 时，/(x)0,又 F(x)=mwcf(x),g(x)所以当x l时，F(x)0恒成立，即x l时，F(x)=0无零点，当-1 X1时，f(x)0恒成立，第 1 7 页 共 1 9 页所以尸(x)的零点即为函数g(X)的零点，下面讨论函数g(x)在-I V xV
24、l的零点个数：g(x)=2 ax 1 4asinx+所以 g (x)=2a 4acosx-(-x-+-1)7 2(-1 x 0 时，因为co s xG (co s l,1,7 1又y=co s x在 区 间(0,)单调递减，一 n 1所以 co s 1 co s-=一，3 2即当-1 x 1 时，1 -2co s x 0,1g (x)=2a 4acosx-Q 0,g(x)单调递增，当0 4V1时，g(x)0,有 g =a-l+4 cosl+Zn2,/(1)=0,当g(1)0=a U拱1T时，函数尸(x)有1个零点，-L I T,l X当g 0=a-七缁彳 时,函 数F(x)有2个零点，当g(1
25、)V0=0VaV击绥y时,函 数F(x)有3个零点,-L I*1*1 Cz *3 X当=0 时，g(x)I n(x+1)-x,由得当-I V V O时，g(x)0,g(x)单调递增，当 O VxVl 时，g(x)0,g(x)单调递减，所以 g(X)max=g(0)=0,g(1)=ln2-l 0,所以当。=0时;函 数/(x)有两个零点，当 a0 时，g(x)=a(/+4 cosx)-x+ln(x+1),第1 8页 共1 9页a(x-+4cosx)0,-x+In(x+1)WO,即g(x)0成立，由/=0,所以当a 0时，函数F(x)有1个零点，综上所述，当忐空r或a 0时，函数F(x)有1个零点;J L 十 4cos J L当“=彳J L I二 1 C”-U O 1或a=0时,函 数F(x)有2个零点；J L当0a V击 盥I时，函数F(X)有3个零点.第1 9页 共1 9页