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1、冲刺中考数学压轴题必刷专题-二次函数综合问题总分：60分 建议用时：90分钟1.（12分）二次函数yax2bx4(a0)的图象经过点A(4，0)，B(1，0)，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP，AC，交于点Q，过点P作PDx轴于点D.(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC，当DPB2BCO时，求直线BP的表达式；(3)请判断：是否有最大值，如果有，请求出有最大值时点P的坐标；若没有请说明理由2.（12分） 如图1，经过原点O的抛物线yax2bx(a0)与x轴交于另一点A(，0)，在第一象限内与直线yx交于点B(2，t)(1)求这条抛物线的表达式；(2)在第四象限内的抛物
2、线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；(3)如图2，若点M在这条抛物线上，且MBOABO，在(2)的条件下，是否存在点P，使得POCMOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由图1图23.（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2bxc的图象与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.(1)b_，c_；(2)若点D在该二次函数的图象上，且SABD2SABC，求点D的坐标；(3)若点P是该二次函数图象上位于x轴上方的一点，且SAPCSAPB，直接写出点P的坐标4. （12分）如图，抛物线yax2bxc(a0)经过A(1，0)，B(3，0
3、)，C(0，6)三点(1)求抛物线的表达式；(2)抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将ABD的面积分为12的两部分，求点E的坐标；(3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上的一动点，抛物线上是否存在一点P，使以A，D，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由5.（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线yx3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yx2bxc经过坐标原点和点A，顶点为点M.(1)求抛物线的关系式及点M的坐标；(2)点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当EAB的面
4、积等于时，求E点的坐标；(3)将直线AB向下平移，得到过点M的直线ymxn，且与x轴负半轴交于点C，取点D(2，0)，连接DM，求证：ADMACM45.6.（12分）如图，已知二次函数yax2bx2的图象与x轴交于点B(1，0)，点C(4，0)，与y轴交于点A.(1)求二次函数yax2bx2的表达式；(2)连接AC，AB，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作NMAC，交AB于点M，当AMN面积最大时，求点N的坐标；(3)在(2)的结论下，若点Q在第一象限，且tanCQN2，线段BQ是否存在最值？如果存在请直接写出最值，如果不存在，请说明理由冲刺2023年济南中考数学压轴题必刷专
5、题二次函数综合问题（答案版）总分：60分 建议用时：90分钟1.二次函数yax2bx4(a0)的图象经过点A(4，0)，B(1，0)，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP，AC，交于点Q，过点P作PDx轴于点D.(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC，当DPB2BCO时，求直线BP的表达式；(3)请判断：是否有最大值，如果有，请求出有最大值时点P的坐标；若没有请说明理由解：(1)二次函数yax2bx4(a0)的图象经过点A(4，0)，B(1，0)，解得二次函数的表达式为yx23x4.3分(2)如图，设BP与y轴交于点E，PDy轴，DPBOEB.DPB2BCO，OEB2BCO
6、，ECBEBC，BECE.设OEa，则CE4a，BE4a.在RtBOE中，由勾股定理得BE2OE2OB2，(4a)2a212，解得a，E(0，).4分设BE所在直线的表达式为ykxe(k0)，将E(0，)，B(1，0)代入得解得直线BP的表达式为yx.(3)有最大值.6分如图，设PD与AC交于点N，过点B作y轴的平行线与AC相交于点M.设直线AC的表达式为ymxn(m0)A(4，0)，C(0，4)，解得直线AC的表达式为yx4，点M的坐标为(1，5)，BM5.8分BMPN，PNQBMQ，.10分设点P(a0，a023a04)(4a00)，则N(a0，a04)，当a02时，有最大值，此时，点P的
7、坐标为(2，6).12分2. 如图1，经过原点O的抛物线yax2bx(a0)与x轴交于另一点A(，0)，在第一象限内与直线yx交于点B(2，t)(1)求这条抛物线的表达式；(2)在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；(3)如图2，若点M在这条抛物线上，且MBOABO，在(2)的条件下，是否存在点P，使得POCMOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由图1图2解：(1)B(2，t)在直线yx上，t2，B(2，2)把A，B两点坐标代入抛物线表达式可得解得抛物线的表达式为y2x23x.图1(2)如图1，过点C作CDy轴，交x轴于点E，交OB
8、于点D，过点B作BFCD于点F.点C是抛物线上第四象限内的点，可设C(m，2m23m)，则E(m，0)，D(m，m)，OEm，BF2m，CDm(2m23m)2m24m，SOBCSCDOSCDBCDOE CDBF(2m24m)(m2m)2m24m.OBC的面积为2，2m24m2，解得m1m21，C(1，1)图2(3)如图2，设MB交y轴于点N.B(2，2)，AOBNOB45.在AOB和NOB中，AOBNOB(ASA)，ONOA，N(0，)，直线BN的表达式为yx.由解得或点M的横坐标小于0，M(，)C(1，1)，COAAOB45，且B(2，2)，OB2，OC.POCMOB，2，POCMOB.3.
9、当点P在第一象限时，如图3，过点M作MGy轴于点G，过点P作PHx轴于点H，连接OP.图3COABOG45，MOGPOH，且PHOMGO，MOGPOH，2.M(，)，MG，OG，PHMG，OHOG，P(，)当点P在第三象限时，如图4，过点M作MGy轴于点G，过点P作PHy轴于点H.图4同理可求得PHMG，OHOG，P(，)综上可知，存在满足条件的点P，其坐标为(，)或(，)3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2bxc的图象与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.(1)b_，c_；(2)若点D在该二次函数的图象上，且SABD2SABC，求点D的坐标；(3)若点P是该二次函数
10、图象上位于x轴上方的一点，且SAPCSAPB，直接写出点P的坐标解：(1)232分(2)如图，连接AC，BC.由(1)知点A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，yx22x3，SABC436.4分SABD2SABC，设点D(m，m22m3)，AB|yD|26，即4|m22m3|26，解得m1或1.代入yx22x3，可得y值都为6，点D(1，6)或(1，6).6分(3)P(4，5).12分4. 如图，抛物线yax2bxc(a0)经过A(1，0)，B(3，0)，C(0，6)三点(1)求抛物线的表达式；(2)抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E
11、，若直线BE将ABD的面积分为12的两部分，求点E的坐标；(3)P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上的一动点，抛物线上是否存在一点P，使以A，D，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)抛物线yax2bxc(a0)经过A(1，0)，B(3，0)，可设抛物线的表达式为ya(x1)(x3)抛物线ya(x1)(x3)(a0)经过点C(0，6)，6a(01)(03)，a2，抛物线的表达式为y2(x1)(x3)2x28x6.(2)y2x28x62(x2)22，顶点M的坐标为(2，2)抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，点N(2，2)设直线AN的表达
12、式为ykxb(k0)，则解得直线AN的表达式为y2x2.联立解得或点D(4，6)，SABD266.设点E(m，2m2)，直线BE将ABD的面积分为12的两部分，SABESABD2或SABESABD4，2(2m2)2或2(2m2)4，m2或3，点E的坐标为(2，2)或(3，4)(3)存在理由如下：假设存在，若AD为平行四边形的边，以A，D，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，ADPQ，xDxAxPxQ或xDxAxQxP，xP4125或xP2411.当xP5时，yP2xP28xP625285616.当xP1时，yP2xP28xP62(1)28(1)616，点P的坐标为(5，16)或(1，16)若AD
13、为平行四边形的对角线，以A，D，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，AD与PQ互相平分，xP3，yP2xP28xP62328360，点P的坐标为(3，0)综上所述，当点P的坐标为(5，16)或(1，16)或(3，0)时，以A，D，P，Q为顶点的四边形为平行四边形5.如图，在平面直角坐标系中，直线yx3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线yx2bxc经过坐标原点和点A，顶点为点M.(1)求抛物线的关系式及点M的坐标；(2)点E是直线AB下方的抛物线上一动点，连接EB，EA，当EAB的面积等于时，求E点的坐标；(3)将直线AB向下平移，得到过点M的直线ymxn，且与x轴负半轴交于点C，取点D(2，
14、0)，连接DM，求证：ADMACM45.(1)解：将x0代入yx3得y3，点B的坐标为(0，3)将y0代入yx3中得x6，点A的坐标为(6，0)将点O(0，0)，A(6，0)代入yx2bxc得yx22x，当x3时，y3，点M的坐标为(3，3)(2)解：如图1，过点E作EHx轴，交x轴于点N，交AB于点H.设点E(a，a22a)，点H(a，a3)SEABSBHESAHEONEHANEH(ONAN)EHOAEH6a3(a22a)a2a9，解得a11，a2.当a1时，点E(1，)，当a时，点E(，)综上所述，点E的坐标为(1，)或(，)(3)证明：CMAB，m.将点M的坐标代入得n，yx，点C(3，
15、0)根据外角的性质可得ADMACMCMD.如图2，过点M作MKx轴于点K，过点D作DGCM于点G，连接DM，OC3，OD2，CD5，OK3，DK1，由勾股定理得CM3，DM.易证CGDCKM，即，解得GD，sinCMD，CMD45，ADMACMCMD45.6. 如图，已知二次函数yax2bx2的图象与x轴交于点B(1，0)，点C(4，0)，与y轴交于点A.(1)求二次函数yax2bx2的表达式；(2)连接AC，AB，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作NMAC，交AB于点M，当AMN面积最大时，求点N的坐标；(3)在(2)的结论下，若点Q在第一象限，且tanCQN2，线段BQ是
16、否存在最值？如果存在请直接写出最值，如果不存在，请说明理由解：(1)将B(1，0)，C(4，0)代入yax2bx2，得解得二次函数的表达式yx2x2.(2)如图，过点M作MDBC于点D.设N(n，0)，MDh.MNAC，BMNBAC，()2.AO2，SBAC24(1)5，SBMNMDBNh(n1)，()2，h.SAMNSABNSMBNBNAOBNh(n1)(2)(n)2.0，当n时，SAMN最大，此时点N的坐标为(，0)(3)存在，线段BQ的最小值为.如图，过点N作NEBC交AC于点E.则CENCAO，tan CENtan CAO2.以CE为直径，点F为圆心作圆F，可知点Q在F上，CQNCEN，当点B，Q，F三点共线时，BQ最小，此时BQBFFQ.学科网（北京）股份有限公司