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1、九年级数学下册二次函数与圆综合压轴题考前冲刺达标测评（附答案）（共12小题，每小题10分，满分120分）1如图，过点A（1，0）作x轴的垂线与直线yx相交于点B，以原点O为圆心、OA为半径的圆与y轴相交于点C、D，抛物线yx2+px+q经过点B、C（1）求p、q的值；（2）设抛物线的对称轴与x轴相交于点E，连接CE并延长与O相交于点F，求EF的长；（3）记O与x轴负半轴的交点为G，过点D作O的切线与CG的延长线相交于点H点H是否在抛物线上？说明理由2如图，已知二次函数y=49x24的图象与x轴交于A，B两点与y轴交于点C，C的半径为5，P为C上一动点（1）点B，C的坐标分别为B（ ），C（ ）
2、；（2）当P点运动到（-1，-2）时，判断PB与C的位置关系，并说出理由；（3）是否存在点P，使得PBC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值= 3如图，抛物线y=724x2+bx+c，经过矩形OABC的A(3，0)，C(0，2)，连结OBD为横轴上一个动点，连结CD，以CD为直径作M，与线段OB有一个异于点O的公共点E，连结DE过D作DFDE，交M于F(1)求抛物线的解析式；(2)tanFDC的值；(3)当点D在移动过程中恰使F点落在抛物线上，求此时点D的坐标；连结BF，求点D在线段OA上移动时，B
3、F扫过的面积4如图，点P在反比例函数y=kxxOB，点C是线段PB延长线上的一个动点，ABC的外接圆M与y轴的另一个交点是D(1)求点A和点B的坐标；(2)求反比例函数的解析式；(3)连接PM,求tanPMB的值 5如图1，经过点B(1，0)的抛物线yax+12329与y轴交于点C，其顶点为点G，过点C作y轴的垂线交抛物线对称轴于点D，线段CO上有一动点M，连接DM、DG（1）求抛物线的表达式；（2）求GD+DM+22MO的最小值以及相应的点M的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，以点A(2，0)为圆心，以AM长为半径作圆交x轴正半轴于点E在y轴正半轴上有一动点P，直线PF与A相切于点F，连
4、接EF交y轴于点N，当PFBM时，求PN的长6如图1，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（3，0），并且OAOC3OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上，（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得ACP是以AC为底的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，以线段EF的中点G为圆心，以EF为直径作G，求G最小面积7如图，抛物线yax2+94x+c经过点A（1，0）和点C （0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MPy轴，交抛物线于点P（
5、1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以M为圆心，MP为半径作M，当M与坐标轴相切时，求出M的半径8如图，抛物线与x轴交于点A(1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C(0,3)，过点C作CE/x轴交抛物线于点E，且顶点为D，连AC,AE,AD,DE已知P是抛物线上一动点，且点P的横坐标大于0小于4（1）求该抛物线的解析式（2）直线AP交直线ED于点QAQD=CAE求点P的横坐标（3）过C，E，P三点作M，过点P作PFCE，垂足为G，交M于点F在点P的运动过程中，线段GF的长是否变化，若有变化，求出GF
6、的取值范围：若不变，求GF的长9定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆（1）已知点P2,2，以P为圆心，5为半径作圆请判断P是不是二次函数y=x24x+3的坐标圆，并说明理由；（2）已知二次函数y=x24x+4图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求POA周长的最小值；（3）已知二次函数y=ax24x+40a1图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连结PC，PD，如图2若CPD=120，求a的值10如图1，在平面直角坐标系中，直线y=5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的
7、另一交点为B（1）求抛物线解析式；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，MNx轴交BC于点N，当点M运动到某一位置时，线段MN的长度最大，求此时点M的坐标及线段MN的长度；（3）如图2，以B为圆心，2为半径的B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰RtPAD，使PAD=90（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD将线段AB绕A点顺时针旋转90，请直接写出B点的对应点的坐标；求FD长度的取值范围11已知抛物线yax2+bx+3（a0）经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）如图，设抛物线与x轴的另一个交点为D，
8、在抛物线上是否存在点P，使PAB的面积是BDA面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当OEF的面积取得最小值时，求面积的最小值及E点坐标12如图1，抛物线y=14x22x与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB(1)求AOB的度数；(2)如图2，以点A为圆心，4为半径作A，点M在A上连接OM、BM，当OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标；如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在A上运动时，求线段BN长度的取值范围参考答案：1解：（1）点A（1，0
9、）作x轴的垂线与直线yx相交于点B点，B（1，1），以原点O为圆心、OA为半径的圆与y轴相交于点C、点A（1，0），C（0，1）代入yx2+px+q，得1=1+p+q1=q，解得p=1q=1故p1，q1y=x2+x1（2）y=x2+x1=x+12254，E（12，0）CE=OE2+1=52连接DF，CD是直径，CFD=90，又COE=90，FCD=OCERtCFDRtCOE，得CDCE=CFCO，即252=CF1CF=455EF=CFCE=3510（3）设过点C、G的直线为ykx+b将点C（0，1），G（1，0）代入得1=b0=k+b，解得k=1b=1得直线CG为：yx1设过点D作O的切线与C
10、G的延长线相交于点HDH平行于x轴，点H的纵坐标为1将y1代入yx1，得x2点H的坐标为（2，1）又当x2时，yx2+x11，点H在抛物线yx2+x1上2解：（1）在y=49x24中，令 y=0， 则x=3 或-3，令 x=0， 则y=-4 故B（3，0），C（0，-4）； （2）当P点运动到（-1，-2）时，PB与C相切；此时PB2=20，PC2=5，BC2=25，可得PB2+PC2=BC2，从而CPPB，PB与C相切（3）存在点P，使得PBC为直角三角形当PB与圆O相切时，PBC是直角三角形，如图，连接BCOB=3，OC=4BC=5CP2BP2，CP2=5BP2=25过P2作P2Ex轴于点
11、E，P2Fy轴于点F则CP2FBP2E，四边形OFP2E是矩形P2FP2E=CP2BP2=2设OC=P2E=2x，CP2=OE=xBE=3-x，CF=2x-4BECF=3x2x4=2解得：x=115P2F=115，P2E=225P2（115，-225）同理求得：P1（-1，-2）综上所述，点P的坐标为：P1（-1，-2）或P2（115，-225）；（4）5+52；如图E为PB的中点，OE是BAP的中位线OE=12APAPmax=AC+CP=5+5OEmax=5+523解：(1)将点A、C的坐标代入抛物线的表达式得：72492+3b+c=0c=2 ，解得：b=524c=2，故抛物线的解析式为：y
12、=724x2+524x+2；(2)如图1，连接CE、CF、FO，CD是直径，CED=90，即CEDE，又DFDE，FDC=ECD=EOD=BOA，tanFDC=tanBOA=ABAO=23；(3)如图2，连接FO，则FOG=FCD，CD是直径，CFD=90，同理FDE=90，FCDE，FCD=CDE=COE，FOG=FCD=CDE=COE，tanFOG=tanCOE=tanCOB=32，故直线OF的表达式为：y=32x，联立并解得：x=1y=32，故点F(1，32)；过点F作y轴的平行线GH，交x轴于点G，交过点C与x轴的平行线于点H，FG=32，CH=1，HF=232=12，HFC+GFD=
13、90，HFC+HCF=90，HCF=GFD，又CHF=FGD=90，CHFFGD，HCFG=FHGD，即132=12GD，解得：GD=34，OD=134=14，故点D的坐标为：(14，0)；如图3，当点D、O重合时，连接CF、BF，则BF扫过的面积为BOF的面积，CFO=90，过点F作y轴的平行线HG，交x轴于点G，交过点C与x轴的平行线于点H，由同理可得：CHFFGO，则HCFG=HFOG，由知tanFOG=32，设FG=3a，则OG=2a=HC，HF=2GF=23a，2a3a=23a2a，解得：a=613；在RtFOG中，FO=FG2+OG2=13a=61313，同理在RtAOB中，OB=
14、13，EF是圆的直径，故OFOE，BF扫过的面积=SBOF=12BOFO=121361313=3，故BF扫过的面积为34解：（1）t28t+12=0，解得：t=2或6，OA，OB的长是方程t28t+12=0的两个实数根，且OAOB，OA=6，OB=2，点A坐标为(6，0)，点B坐标为(0，2)； （2）设点P(6,k6)，由PA=PB知PA2=PB2，0+0+k62=0+62+2+k62，解得：k=60，点P(6，10)，反比例函数解析式为：y=60x；（3）连接AM，设半径为r，则OM=r2，在RtAOM中，OA2+OM2=AM2，62+(r2)2=r2，解得r=10，BM=AM=10，过点
15、P作PHy轴，则OH =10，PH=6，HB=OHOB=8，HM=HB+BM=18，在RtPMH中，tanPMB=PHHM=618=135解：（1）抛物线yax+12329，经过点B(1，0)，04a329，a89y=89x2+169x83（2）如图1：过点O作直线l与x轴夹角为，且sin=22，45，过点M作MH直线l于H， 则有sin=MHOM=22，MH=22MO，GD+DM+22MO=DG+DM+MH，GD+DM+22MO=DG+DH，当D，M，H共线时，GD+DM+22MO的值最小，D(1，83)，直线l的解析式为yx，直线DH的解析式为yx53，由y=xy=x53，解得x=56y=
16、56，H(56，56)，M(0，53)，DH1+562+56+8321126，DG83+32989，GD+DM+22MO的最小值=89+1126=16+33218（3）如图2中，连接BM，延长FA交y轴于JA(2，0)，M(0，53)，AMAF22+532613，B(1，0)，直线BM的解析式为y53x53，PF是A的切线，PFAF，PFBM，AFBM，直线AF的解析式为y35x65，J(0，65)，AJ22+6522345，FJAF+AJ613+2345，PFBM，FPJOMB，tanFPJtanOMB，FJPFOBOM，61+2345PF153，PF5619+2343，AFAE，AFEAE
17、F，AFE+PFN90，AEN+ONE90，PNFENO，PFNPNF，PNPF5619+2343 6解：（1）点A的坐标是（3，0），OA3，OAOC3OB，OC3，OB1，点C（0，3），点B（1，0），设抛物线的解析式为：ya（x+1）（x3），33a，a1，抛物线解析式为：y（x+1）（x3）x2+2x+3；（2）ACP是以AC为底的等腰三角形，APCP，又OAOC，OP是AC的垂直平分线，OAOC，AOC90，OP是AC的垂直平分线，OP平分AOC，直线OP解析式为yx，联立方程组可得：y=xy=x2+2x+3，x=1+132y=1+132或x=1132y=1132，点P坐标为（1+
18、132，1+132）或（1132，1132）；（3）如图，点A的坐标是（3，0），点C坐标为（0，3），直线AC解析式为：yx+3，设点D坐标为（m，m+3），DE|m|，DF|m+3|，EF2DE2+DF2m2+（m+3）2，G的面积4EF24m2+（m+3）242（m32）2+92，当m32时，G最小面积为987解：（1）抛物线yax2+94x+c经过点A(1,0)和点C(0,3)a94+c=0c=3解得a=34c=3该抛物线的解析式为：y34x2+94x+3故答案为：y34x2+94x+3（2）在抛物线上找到一点Q，使得QCO是等边三角形，过点Q作QMOB于点M，过点Q作QNOC于点NQ
19、CO是等边三角形，OC=3CN=32NQ=CQ2CN2=32(32)2=332即Q(332,32)当x=332时，y34(332)2+94332+3=2738331632Q(332,32)不在抛物线上y34x2+94x+3故答案为：不存在，理由见解析（3）M与y轴相切，如图所示y34x2+94x+3当y=0时，34x2+94x+3=0解得x1=-1，x2=4B(4,0)令直线BC的解析式为y=kx+b4k+b=0b=3解得k=34b=3直线BC的解析式为y=34x+3令M点横坐标为tMPy轴，M与y轴相切t=34t2+94t+3-(34t+3)解得t=83M的半径为83M与x轴相切，过点M作M
20、NOB于N，如图所示令M点横坐标为mPN=2MN34m2+94m+3=2(34m+3)解得m=1或m=4（舍去）M的半径为：34m+3=34+3=94当M与x轴相切时，如图3：点P与点A重合时x=1半径r=154当M与y轴相切时如图4：设Px,34x2+94x+3，Mx,34x+3则PD=34x294x3，MD=34x3因PDMD=EM=x34x294x334x3=x解得x1=163，x2=0（舍去）半径r=163综上所述：M的半径为94，83，154，1638解：（1）抛物线与x轴交于点A1,0，B3,0，设抛物线的解析式为y=ax1x3，把点C0,3代入得：3=a0103，解得：a=1，抛
21、物线的解析式为y=x24x+3；（2）由（1）可得：抛物线的解析式为y=x24x+3；OA=1,OB=3,OC=3，化为顶点式为y=x221，点D2,1，CE/x轴，E4,3，CE=4，根据两点距离公式可得：CA=10，AE=32，设直线ED的解析式为y=kx+b，把点E、D的坐标代入可得：4k+b=32k+b=1，解得：k=2b=5，直线ED的解析式为y=2x5，分别过点E、C作EFx轴于点F，CHAE于点H，设DE与x轴交于点M，如图所示：AF=EF=3，EAF=CEA=45，CHE是等腰直角三角形，CE=2CH=2EH，CH=EH=22，AH=AEEH=2，tanCAE=CHAH=2，当
22、点P在点A的右侧时，有AQD=CAE，如图所示：tanAQD=tanCAE=2，由直线ED的解析式可令y=0时，则有x=52，M52,0，MF=OFOM=32，tanAMD=tanEMF=EFMF=2=tanCAE，tanAMD=tanEMF=tanAQD，点P与点B重合，点P的横坐标为3；当点P在点A的左侧时，有AQD=CAE，如图所示：由可得：tanAMD=tanAQD=2，AMD=AQD，AQ=AM=32，设点Qm,2m5，根据两点距离公式可得：AQ2=1m2+02m+52=94，由0，故此情况不成立，当点P与点A重合时，则点Q与点M重合，此时满足AQD=CAE，所以点P的横坐标为1；综
23、上所述：当AQD=CAE时，点P的横坐标为1或3；（3）FG的值不变，为1，理由如下：设点Pa,a24a+3，则有：GP=3a2+4a3=a2+4a,EG=a,CG=4a，连接CP、EF，如图所示：PCG=EFG，CPG=FEG，CPGFEG，GPGE=CGGF，FGGP=EGCG，FGa2+4a=a2+4a，FG=19解：（1）y=x24x+3=x3x1，抛物线与坐标轴的交点A3,0，B1,0，C0,3，P2,2，PA=5，PB=5，PC=5，PA=PB=PC=5=r，P是二次函数y=x24x+3的坐标圆（2）y=x24x+4=x22，A2,0，C0,4，过两点A，C的圆的圆心在线段AC的中
24、垂线上，CPOA=PO+PA+OA=PO+PC+2OC+2=6，POA周长的最小值为6（3）如图所示：连接CD，过P作PECD于E，PE的反向延长线交AB于F，连接PA通过图像结合函数及圆的对称性可知：PE与二次函数的对称轴共线，PFAB，CE=DE ，PF=4PEy=ax24x+4 x=b2a=42a=2a CE=2x CPE=12CPD=60 PC=CEsin60=433a=r ，PE=CEtan60=233a， P2a,4233a 令y=0 ，则ax24x+4=0 解得：x1=2+21aa,x2=221aa A221aa,0 PA2=PC2，2a221aa2+4233a02=433a2；
25、解得：a=14+3310解：（1）直线y=5x+5与x轴、y轴分别交于A，C两点，当x=0时，y=5，所以C(0,5)，当y=0时，x=1，所以A(1,0)，抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，c=5，1+b+5=0，解得b=6，抛物线解析式为y=x26x+5（2）令y=0，x26x+5=0，解得：x1=1，x2=5，B(5,0)，直线BC的解析式为：y=x+5，设M(m,m26m+5)，则N(m,m+5)，MN=(m+5)(m26m+5)，MN=m2+5m=(m52)2+254，当m=52时，MN的最大值为254，当M运动到(52,154) 时，线段MN的长度最大为254（3）将线段AB
26、绕A点顺时针旋转90，BABA，A(1,0)，B(5,0)，AB=AB=OBOA=51=4，B(1,4)；连接PB，BD， 由可得AB=AB=4，又已知PAD是等腰直角三角形，BAB=PAD=90，AD=AP，DABPAB(SAS)，BD=BP=2，当P点在B上运动时，点D在以B为圆心，半径为2的圆上，作射线FB，与B交于D1，D2两点，情况一：当交点为D1时，FD1为最小值，即FD1=FBBD1，已知A(1,0)，B(5,0)，BF=2，AF=AB+BF=4+2=6,AB=AB=4,在RtAFB中，FB=AB2+AF2=42+62 ,即FB=213，FD1=2132；情况二：当交点为D2时，
27、FD2为最大值，即FD2=FB+BD2，已知A(1,0)，B(5,0)，BF=2，AF=AB+BF=4+2=6,AB=AB=4,在RtAFB中，FB=AB2+AF2=42+62 ,即FB=213，FD2=213+2；综上2132FD213+211解：（1）将点A（3，0），B（4，1）代入可得：9a+3b+3014a+4b+31，解得：a=12b=52，故函数解析式为y=12x252x+3；（2）抛物线与x轴的交点的纵坐标为0，12x252x+3=0，解得：x13，x22，点D的坐标为（2，0），取点E（1，0），作EPAB交抛物线于点P， EDAD1，此时PAB的面积是DAB的面积的两倍，直
28、线AB解析式为yx3，直线EP为yx1，由y=x1y=12x252x+3解得x=7172y=5172或x=7+172y=5+172，点P坐标（7172，5172）或（7+172，5+172）（3）如图2中，作BDOA于DA（3，0），C（0，3），B（4，1），OAOC3，ADBD1，OACBAD45，OAFBAD45，EAF90，EF是AEO的外接圆的直径，EOF90，EFOEAO45，EOF是等腰直角三角形，当OE最小时，EOF的面积最小，OEAC时，OE最小，OCOA，CEAE，OE12AC322，E（32，32），SEOF12322322=94当OEF的面积取得最小值时，面积的最小值为
29、94，E点坐标（32，32）12解：（1）y=14x22x=14x424，点B为抛物线顶点，点B的坐标为（4，4）作BHOA于H，则OHBH4，AOB45（2）14x22x=0，解得x1=0，x2=8， A点坐标为（8，0）作OB的垂直平分线交A于M1、M2两点，A半径为4，AH4，点H在A上，此时OHBH，点H与点M1重合，M1坐标为（4，0）连接AM2，M2HA=OHC=45，AH=AM2=4，HAM2=90，则M2坐标为（8，4），综上，点M的坐标为（4，0）或（8，4）延长OB至点D，使BDOB，则点D坐标为（8，8），连接MD，点N为OM中点， BN=12MD如图，当MD过点A时，MD长度达到最大值，当点M在点E处时，MD有最小值，点A、D横坐标相同，此时MDx轴，MD8412，DE844，4MD12，2BN6学科网（北京）股份有限公司