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1、2021-2022学 年 山 东 省 德 州 市 高 一 下 学 期 期 末 数 学 试 题 一、单 选 题 1.若 复 数 z满 足 z(l+i)=4-3 i,贝 Ijz在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于()A.第 一 象 限 B.第 二 象 限 C.第 三 象 限 D.第 四 象 限 D【分 析】首 先 根 据 复 数 代 数 形 式 的 除 法 运 算 化 简，再 根 据 复 数 的 几 何 意 义 判 断 即 可；【详 解】解:因 为 z(l+i)=4-3 i,所 以 _ _ 4-3 i _(4-3 i)(l-i)_ 4-4 i-3 i+3i?_工.-1+i-(l+i)(l-i
2、)一 2 2 21化 二)所 以 复 数 z在 复 平 面 内 所 对 应 的 点 为(2 2人 位 于 第 四 象 限.故 选：D2.设 样 本 数 据 与，尤 3,，再。的 方 差 为 2,若 乂=3*-2(i=l,2、1 0),则 为,必,凹。的 方 差 为()A.2 B.6 C.9 D.18D【分 析】根 据 样 本 数 据 著 的 方 差 为$2,数 据 必=，+%的 方 差 为 由 此 得 出 结 果.【详 解】由 题 意 和，匕,/的 方 差=2,根 据 方 差 的 性 质，故 Z=3占-2(i=1,2,10)的 方 差 为 32s2=18.故 选：D.3.若 机，”，/为 三
3、条 不 同 的 直 线，/为 两 个 不 重 合 的 平 面，则 下 列 命 题 正 确 的 是()A.如 果 m u a,l/m,贝 a B.如 果 机 u a,u a,。，nu B,则 a/C.如 果 a,/u,则/a D.如 果 a,机 u a,u,则 rn/nC【分 析】根 据 线 面 平 行 的 判 定 定 理 和 性 质，结 合 面 面 的 判 定 定 理 和 性 质 逐 一 判 断 即 可.【详 解】A：当 时，才 能 由，u a,/切，得 到/a,所 以 本 选 项 命 题 是 假 命题：B：只 有 当 n=。,机 夕,”/，时 才 能 由?u a,u a,得 到 a），所 以
4、 本 选 项 命 题 是 假 命 题；C：根 据 面 面 平 行 的 性 质 可 知 本 选 项 命 题 是 真 命 题；D：因 为 夕，m u a,S，所 以 直 线 加，”没 有 交 点，因 此 加，可 以 平 行 也 可 以 异 面，所 以 本 选 项 命 题 是 假 命 题，故 选：C4.如 图 1,蜜 蜂 蜂 房 是 由 严 格 的 正 六 棱 柱 构 成 的，它 的 一 端 是 平 整 的 六 边 形 开 口.六 边 形 开 口 可 记 为 图 2 中 的 正 六 边 形 4 8 c o E F,其 中。为 正 六 边 形/BCDEF的 中 心，设 AB=a,AF=b）若 BM=M
5、C,EF=3EN,则 MN-（）图 1力+,A.6 6-七+匕 B.6 6 C.5 6匕+匕 D.5 6B【分 析】根 据 正 六 边 形 的 性 质 及 平 面 向 量 线 性 运 算 法 则 计 算 可 得;【详 解】解：因 为 由=流，EF=3EN,由 正 六 边 形 的 性 质 可 知 方=而=1,AF=OE=BO,OM-（OB+OC所 以 2）,ON=OF+FN=OF+-F E=OF+-（OE-O F=-O E+-O F3 3、/3 3MN=MO+ON=-（OB+O C-O E+-O F所 以 2、厂 3 3酢+而 万 在），酢 存+2 万 在 2 2 3 37 5 5 7-=A F
6、 AB=a+b6 6 6 6故 选：B5.德 州 市 政 府 部 门 为 了 解 本 市 的“全 国 文 明 城 市”创 建 情 况，在 本 市 县（市、区）中 随机 抽 查 了 甲、乙 两 县，考 核 组 对 他 们 的 创 建 工 作 进 行 量 化 考 核.在 两 个 县 的 量 化 考 核 中 再 各 随 机 抽 取 2 0个 单 位 的 量 化 考 核 成 绩，得 到 下 图 数 据.以 此 为 依 据 对 甲 乙 两 县 的 创 城 工 作 进 行 分 析，关 于 甲 乙 两 县 的 考 核 成 绩，下 列 结 论 正 确 的 是（）5 7 7 8 96787978 8 9 99
7、9 9 9 98 8 99 8甲 县 样 本 数 据 茎 叶 图 乙 县 样 本 数 据 频 率 分 布 直 方 图 A.甲 县 样 本 数 据 的 平 均 数 是 80 B.甲 县 样 本 数 据 众 数 小 于 乙 县 样 本 数 据 众 数 C.甲 县 样 本 数 据 的 75%分 位 数 是 83 D.不 低 于 8 0的 数 据 个 数，甲 县 多 于 乙 县 C【分 析】根 据 平 均 数 的 定 义、众 数 的 定 义、75%分 位 数 的 定 义 逐 一 判 断 即 可.【详 解】甲 县 样 本 数 据 的 平 均 数 是：57x2+58+59+67+68x2+69x2+79x
8、6+87+88x2+89+98-=74.820，所 以 A 选 项 结 论 不 正 确;70+80因 为 甲 县 样 本 数 据 众 数 为 7 9,乙 县 样 本 数 据 众 数 2所 以 B 选 项 结 论 不 正 确；因 为 75%x20=15,所 以 甲 县 样 本 数 据 的 75%分 位 数 是 2,因 此 C 选 项 结 论 正 确；因 为 不 低 于 80的 数 据 个 数，甲 县 为 5,乙 县 为(0.02+0.005)x10 x20=5,所 以 D 选 项 说 法 不 正 确，故 选：C6.设 函 数/(x)=2sin(0 x+s),X R,其 中。0A.C.177t 2
9、，且/的 最 小 正 周 期 大 于 2兀，则 1 117：C O=,69=-3”24B.D.1 171co=、(p=-3 121 7兀 C D=-,(p=3 248()2 兀 0 方 正 2A【分 析】运 用 代 入 法，结 合 正 弦 型 最 小 正 周 期 公 式 进 行 求 解 即 可.【详 解】因 为 0 C/5 71 _ 5 兀.71,r、/八 2 2sin(o+9)=2=co-+=2 E+(%e Z)(l),所 以 8 8 2me 17兀 17 兀 37r=-2 2 sin(69-+9)=2 n 0-+(p=2mn+(m G Z)(2)，所 8 8 2 2 2(八 2、)-/I(
10、D,得 co=3(2m 2k+)而。0,所 以 a=3(、2m 2+1)0,2兀 1-2兀=69 1因 为/的 最 小 正 周 期 大 于 2兀，所 以 有。，因 为 加，h Z,所 以“I,即 联 2 E+F(%e Z),而 刨 兀，7 1(0=一 所 以=,即 12,故 选：A77.己 知 圆 锥 的 顶 点 为 S,母 线 S4 S8所 成 角 的 余 弦 值 为 京，S力 与 圆 锥 底 面 所 成 角 为 45,若 弘 8 的 面 积 为 5而，则 该 圆 锥 的 侧 面 积 为()A.80桓 兀 B.40 c.4柒 叵 兀 D.4。加 兀 C【分 析】利 用 已 知 条 件 求 出
11、 圆 锥 的 母 线 长，利 用 直 线 与 平 面 所 成 角 求 解 底 面 半 径，然 后 求 解 圆 锥 的 侧 面 积.7【详 解】圆 锥 的 顶 点 为 S,母 线“，S 3所 成 角 的 余 弦 值 为 京，.I.f 7?V15sin.ASB=4=-I 可 得 Y,8)8,又 A S/B 的 面 积 为 5小，-Sy42sinZylS5=5Vi5-S 2x=5715 A r-可 得 2，即 2 8,可 得=4 J 5,X 4A/5=2Vi0SN与 圆 锥 底 面 所 成 角 为 4 5,可 得 圆 锥 的 底 面 半 径 为：2,则 该 圆 锥 的 侧 面 积：乃 2 加 4逐=
12、4 底 7，故 选：C8.取 两 个 相 互 平 行 且 全 等 的 正 边 形，将 其 中 一 个 旋 转 一 定 角 度，连 接 这 两 个 多 边 形 的 顶 点，使 得 侧 面 均 为 等 边 三 角 形，我 们 把 这 种 多 面 体 称 作“角 反 棱 柱 当=4时，得 到 如 图 所 示 棱 长 均 为 2 的“四 角 反 棱 柱”，则 该“四 角 反 棱 柱”外 接 球 的 表 面 积 等 于()【分 析】根 据 球 的 性 质，结 合 四 角 反 棱 柱 的 几 何 性 质、球 的 表 面 积 公 式 进 行 求 解 即 可.【详 解】如 图 所 示：设 上 下 底 面 的
13、中 心 分 别 为 4 8,设 该“四 角 反 棱 柱”外 接 球 的 球 心 是。，显 然。是 的 中 点，设 的 中 点 为 E,连 接 E R DF,过 后 做 6，。尸，垂 足 为 G,DG=CE=-x 2=DF=-22+22因 为 2,2,所 以 DG=DF DG=V2 1,在 直 角 三 角 形 E G F中，EG、E F-G F m=2 上,所 以 有 CD=EG=C,于 是 有 O-2 2O F2=CD2+Z）F2=+2在 直 角 三 角 形。尸 中，447t O F2=47t（迪+2）=（2/2+8）71所 以 该“四 角 反 棱 柱”外 接 球 的 表 面 积 等 于 4关
14、 键 点 睛：根 据 四 角 反 棱 柱 和 球 的 几 何 性 质 确 定 球 心 的 位 置 是 解 题 的 关 键.二、多 选 题 9.学 校 为 了 解 本 校 学 生 上 学 的 交 通 方 式，在 全 校 范 围 内 进 行 了 随 机 调 查，将 学 生 上 学 的 交 通 方 式 归 为 四 类 方 式：结 伴 步 行，B自 行 乘 车，C家 人 接 送，。一 其 他 方 式.并 把 收 集 的 数 据 整 理 分 别 绘 制 成 柱 形 图 和 扇 形 图，下 面 的 柱 形 图 和 扇 形 图 只 给 出 了 部 分 统 计 信 息，则 根 据 图 中 信 息，下 列 说
15、法 正 确 的 是（）学 生 上 学 交 通 方 式 柱 形 图 学 生 上 学 交 通 方 式 扇 形 图 B.结 伴 步 行 上 学 的 有 30人 C.无 法 计 算 扇 形 图 中/的 占 比 D.估 计 该 校 学 生 上 学 交 通 方 式 为 A 和 C 的 人 数 占 学 生 总 人 数 的 一 半 ABD【分 析】根 据 柱 形 图 和 扇 形 图，可 求 得 总 人 数，逐 一 分 析 各 个 选 项，即 可 得 答 案.【详 解】因 为。的 人 数 为 18,且 O 占 比 为 15%,工-=120所 以 总 人 数 为 15%人，所 以 4 组 人 数 为 120-42
16、-30-18=3 0,故 B 正 确；对 于 A：由 于 B 组 人 数 最 多，故 在 扇 形 图 中 8 的 占 比 最 大，故 A 正 确;=0.25=25%对 于 C：/组 30人，占 比 为 120,故 C 错 误；对 于 D：/和 C 的 人 数 和 为 60人，息 人 数 为 120,占 学 生 总 人 数 的 一 半，故 D 正 确，故 选：ABD10.下 列 说 法 正 确 的 是（）A.a=Q,k）,1=（左,2）,若 否，贝 此=2B.在 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形 N 8 C 中，AB BC=2C.若 I。,。）/?）,则*=16D,若 问 明=”4=2,则
17、 曰 卜 2百 AD【分 析】利 用 向 量 共 线 的 坐 标 运 算 可 判 断 A：求 出 五 反 前 的 夹 角，由 向 量 数 量 积 公 式 可 判 断 B；求 出 G+B的 坐 标 利 用 模 长 公 式 计 算 可 判 断 C；对 卜 卜+=2两 边 平 方 可 得 2a-b=-4,再 由 F/叩+人,求 出*闻 可 判 断 口.【详 解】对 于 A,因 为“=（2/，加=出 2）,若 兀 则 4=公，得 火=2,故 正 确;对 于 B,在 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形 4 8 C 中，万、前 的 夹 角 为 120,所 以 AB-BC=AB-BCcos 120=-2
18、、口 I N I,故 错 误;对 于 C,若。=（1，）,E R 则 叫 二 心 2孙 氏 4,故 错 误;对 于 D,若 W 咽 叩+*2,贝 同 咽 2叩+邛 叩（+3+2 心 4所 以 2/=-4,所 以|*2=+用-2%4+4+4=12,则|力 卜 2 4 故 正 确.故 选：AD.11.欧 拉 公 式 e=cosx+isinx是 由 瑞 士 著 名 数 学 家 欧 拉 创 立，该 公 式 将 指 数 函 数 的 定 义 域 扩 大 到 复 数，建 立 了 三 角 函 数 与 指 数 函 数 的 关 联，在 复 变 函 数 论 里 面 占 有 非 常 重 要 的 地 位，依 据 欧 拉
19、 公 式，下 列 选 项 正 确 的 是（）A.复 数 为 纯 虚 数 C|eu-sinx+icosx|=V2B.d 对 应 的 点 位 于 第 二 象 限 D.卜 一 6 T l 的 最 大 值 为 3ACD【分 析】根 据 欧 拉 公 式，结 合 复 数 模 的 几 何 意 义 逐 一 判 断 即 可.不 i 7 1.7 1e2=cos+isin=1 W【详 解】因 为 2 2，所 以 复 数 e 2为 纯 虚 数，因 此 选 项 A 正 确;因 为 e=co sl+i s i n 1,所 以 复 数 e，对 应 的 点 为(cosLsinl),而 c o s l 0,s i n l 0,
20、所 以 e，对 应 的 点 位 于 第 一 象 限，因 此 选 项 B 不 正 确：k-s in x+icos.r|=|cos x+i sin x-sin x+i cos x=J(cos x-sin x)2+(sin x+cos x)2=V l-2 sin x co sx+l+2sinxcosx=V2,所 以 选 项 C 正 确；|eu-V J-i|=|cosx+is in x-/3-i|=7(COSX-A/3)2 4-(sinx-1)2所 以 卜 一 6 一 1|表 示 单 位 圆 上 的 点 至 的 距 离，因 此 卜“一 6 T 的 最 大 值 为 J(后+12+1=3,所 以 选 项
21、D 正 确，故 选：ACD1 2.如 图，菱 形 边 长 为 2,4840=60。，E 为 边 4 8 的 中 点，将 4 D E沿。E 折 起，使 4 到 H,连 接 彳 8,A C,且 彳 O D C,平 面/Z E 与 平 面 的 交 线 为/,则 下 列 结 论 中 正 确 的 是()A.平 面 平 面/B E B.C D/1C.8 c 与 平 面/D E 所 成 角 的 余 弦 值 为 2 D.二 面 角 E-H 5-Q 的 余 弦 值 为 7ABD【分 析】A.利 用 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 判 断；B.利 用 线 面 平 面 的 判 定 定 理 和 性 质 定 理 判
22、 断；C、D.利 用 空 间 向 量 夹 角 进 行 求 解 判 断 即 可.【详 解】在 菱 形/B C D 中，E 为 边 的 中 点，所 以 4 B L D E,因 为 C D/B E,所 以 ED JLD C,因 为 4D LD C,ADcDE=D,所 以。J平 面 HOE,因 为 C Q/8 E,所 以 8 E 1 平 面/D E,因 为 8 E u 平 面 8E,所 以 平 面，。平 面/B E，故 A 正 确；因 为 CO/8E,C Z）（Z 平 面/ZE,B E u 平 面 4 8 E,所 以 C。/平 面 H 8 E,又 平 面 4 8 E 与 平 面 4 c。的 交 线 为
23、/,所 以 811/，故 B 正 确：由 A 知，8 E 1 平 面/,则 8 E 1/E,又 菱 形 4B C D 边 长 为 2,4%。=60。，E 为 边 4 8 的 中 点，所 以。又 B E C D E=E,所 以 平 面 8E。,，以 E 为 原 点，分 别 以 E8,ED,EH为 x,y,z轴，建 立 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 系：则 80,0,0),(0,0,1),空 百,0)0,6,0)所 以 册=(1,73,0)?=(0,0,1),转=),73,-1)7S=(1,0,-1)由 上 可 知：CDJ 平 面,设 平 面/DE的 一 个 法 向 量 为：C D(-2
24、,0,0)tcosBC,CD)=善 署=则|回+(后 x2 2,sin 面,CD)=J-cos2(BC,CD)=所 以 有 2,因 此 选 项 C 不 正 确;显 然 平 面/8 E 的 一 个 法 向 量 为：=a=（，。），设 平 面 4 8 0 的 一 个 法 向 量 为：加=（x/，z）A B 玩=0 fx-z=0则 有 则 行 诉=,即 i A T=0,所 以?=心，6）/-m n V?cos（m，n）=i 1=7、一 T=、/w-z?li+1+3 x j3 7所 以 I I I I，所 以 选 项 D 正 确,故 选：A B D三、填 空 题/（X）=sinfx-13.把 函 数
25、I 2 J 的 图 像 先 向 右 平 移 4 个 单 位 长 度，再 把 所 得 图 像 上 所 有A _点 的 横 坐 标 缩 短 为 原 来 的 万（纵 坐 标 不 变），所 得 到 的 图 像 对 应 的 函 数 解 析 式 记 为 g（x）,【分 析】根 据 诱 导 公 式，结 合 余 弦 型 函 数 的 图 像 变 换 性 质，运 用 代 入 法 进 行 求 解 即 可.【详 解】.f（x）=sin（X-2-）=-co sx,7 Tg（x）=-co s（2x）由 题 意 可 知：4,所 以 g中 砥 2吗 十 一,故-114.某 农 户 要 种 植 甲、乙 两 种 蔬 菜，需 要
26、先 播 种 培 育 成 苗，然 后 再 进 行 移 栽.已 知 甲、乙 两 种 蔬 菜 培 育 成 苗 的 概 率 分 别 为 0.5,0.6,移 栽 后 成 活 的 概 率 分 别 为 0.6,0.8,则 至 少 有 一 种 蔬 菜 能 培 育 成 苗 且 移 栽 成 活 的 概 率 为.1590.636 250【分 析】记“甲 种 蔬 菜 能 培 育 成 苗 且 移 栽 成 活”为 事 件 4 乙 种 蔬 菜 能 培 育 成 苗 且 移 栽 成 活”为 事 件 8,分 别 求 出 尸（）,P（B）,即 可 求 出 至 少 有 一 种 蔬 菜 能 培 育 成 苗 且 移 栽 成 活.【详 解
27、】记“甲 种 蔬 菜 能 培 育 成 苗 且 移 栽 成 活”为 事 件 4“乙 种 蔬 菜 能 培 育 成 苗 且 移 栽 成 活”为 事 件 8,则 P（/）=0 5X 6=.3,P（8）=.6X（）.8=（）.48二 至 少 有 一 种 蔬 菜 能 培 育 成 苗 且 移 栽 成 活 的 概 率 为：尸 P（/8）=0.3 x 0.52+0.7 x 0.48+0.3 x 0.48=0.636故 答 案 为 0 6 3 615.已 知 及 E G、”分 别 是 正 方 体 C D-481G R,边 4B,C D,用,4 A 的 中 点，则 异 面 直 线 E H 与 G F所 成 角 的
28、余 弦 值 为.3【分 析】根 据 空 间 向 量 线 性 运 算 的 性 质，结 合 空 间 向 量 夹 角 公 式 进 行 求 解 即 可.EH=EA+1A,+Aji-J B+7A.+-1D【详 解】2 2,的=正+不+而=；羽+麴 一；而 设 该 正 方 体 的 棱 长 为 1,显 然 力 8，A B 1 4D,AA,AD,于 是 有 AB-AAX-O,AB-AD=0,AAX-AD=0所 以 AB+TA.+AD-Y IT-2-2 1-24=J-j+44+-jr滓 H 萍 邛 所 以 1,2,*2 1 2cos(E H,.F一 G)EH FG-A A B+4 AA D 1=,.=r_ _=
29、-归 叶 因 Vf x Vf 3_因 此 异 面 直 线 EH与 GF所 成 角 的 余 弦 值 为 3,故 3四、双 空 题 16.在 48C 中，设 刀=,而=B,I卜 2,%_V6_ 2,BAC=60,而=2丽，E为 8 C 中 点，C O 与 4E交 于 点 O,则 N E-C Q=,若 则 义 的 值 为.1 22 0.5.5 0.4.【分 析】根 据 平 面 向 量 线 性 运 算 的 性 质，结 合 平 面 向 量 数 量 积 的 运 算 性 质、平 面 向 量 共 线 的 性 质 进 行 求 解 即 可.【详 解】因 为 E 为 8 c 中 点，所 以 AE=(A B+AC)_
30、 _ CD=CA+JD A C+-J B因 为 ND=2O8,所 以 3,-1-1-2 1 2 1-1-1-2 1 2AECD=AB-AC+-A B AC+-AB-AC=AB-AC+-A B AC所 以 2 3 2 3 6 3 2-1 一 一 1-2 1-2AECD=b a+b a即 6 3 2 同=2 同=3因 为，ABAC=60,AECD=-X2 X3X-+-X 32-X 22=-所 以 6 2 3 2 2._ _ _ _ _ _ 2 _ _ 1 2 _ _ 1 _.设 而=0A+7 D=-/J AE+A B(-IL I+)A B-A C因 为。)=A,CD,_ _ _ _ _ 2 _CD
31、=CA+D A C+-AB3OD=-AAC+-AAB所 以 3,于 是 有-二 一 几 八 2 n 几=21-1 2 2 0 5=-A,2-3 3J_ 1故 5；5五、解 答 题 17.北 京 2022年 冬 奥 会，向 世 界 传 递 了 挑 战 自 我、积 极 向 上 的 体 育 精 神，引 导 了 健 康、文 明、快 乐 的 生 活 方 式.为 了 激 发 学 生 的 体 育 运 动 兴 趣，助 力 全 面 健 康 成 长，某 中 学 组 织 全 体 学 生 开 展 以“筑 梦 奥 运，一 起 向 未 来 为 主 题 的 体 育 实 践 活 动，参 加 活 动 的 学 生 需 要 从 3
32、 个 趣 味 项 目（跳 绳、踢 键 子、篮 球 投 篮）和 2 个 弹 跳 项 目（跳 高、跳 远）中 随 机 抽 取 2 个 项 目 进 行 比 赛.（1）若 从 这 5 个 项 目 中 随 机 抽 取 2 个，求 抽 取 的 2 个 项 目 都 是 趣 味 项 目 的 概 率；（2）若 从 趣 味 项 目 和 弹 跳 项 目 中 各 抽 取 1个，求 这 2 个 项 目 包 括 跳 绳 但 不 包 括 跳 高 的 概 率.3 1；（2）6.【分 析】运 用 列 举 法，结 合 古 典 概 型 计 算 公 式 对（1）（2）进 行 求 解 即 可.【详 解】设 3 个 趣 味 项 目 分
33、别 为 4（跳 绳），4（踢 键 子），A（篮 球 投 篮），2 个 竞 技 项 目 分 别 为 用（跳 高），B2（跳 远）.从 5 个 项 目 中 随 机 抽 取 2 个，其 可 能 的 结 果 组 成 的 基 本 事 件 有 4,4,4,4,源 出 A2,A&引 A2,B2 AB2#|0个，其 中，抽 取 到 的 这 2 个 项 目 都 是 趣 味 项 目 的 基 本 事 件 有 4,4,4,4,4，4,共 3 个，故 所 求 事 件 的 概 率 10；（2）从 趣 味 项 目 和 弹 跳 项 目 中 各 抽 取 1个，其 可 能 的 结 果 组 成 的 基 本 事 件 有“”4,上 也
34、,4闯，4。,&用，4也,共 6 个，其 中，抽 取 到 的 这 2 个 项 目 包 括 小（跳 绳）但 不 包 括 8/（跳 高）的 基 本 事 件 有 儿 4,共 1个，故 所 求 事 件 P=-的 概 率 6.18.如 图，在 圆 锥 尸。中，是 底 面 的 一 条 直 径，C 为 底 面 圆 周 上 一 点.（1）若。为/C 的 中 点，求 证：8c 平 面 P。；若/C=BC,求 证：PCL4B.（1）证 明 见 解 析；（2）证 明 见 解 析.【分 析】（1）根 据 三 角 形 中 位 线 定 理，结 合 线 面 平 行 的 判 定 定 理 进 行 证 明 即 可;（2）根 据
35、圆 的 性 质，结 合 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 进 行 证 明 即 可.【详 解】（1）因 为。，D 为 AB,/C 的 中 点，所 以 0。8c.又 因 为 O O U 平 面 POD,BC Z平 面 PO D所 以 BC/平 面 P O D.（2）连 接 OC.因 为 是 底 面 的 一 条 直 径，所 以。是 Z 8 的 中 点，又 因 为 4C=BC,所 以 OC L 4 A 因 为 PO1圆 面。，且 4 B U 圆 面。，所 以 尸 O U B因 为 PnC=,po,o c u 平 面 尸 O C,所 以 平 面 P O C 因 为 P C U 平 面 尸 OC,所 以
36、 C U A19.，述 R（0、已 知 角。终 边 过 点（L2）,10,且。,夕（0,%）.求 cos 2a的 值;(2)求 2a 一 夕 的 值._3(1)7 T 4【分 析】（1）根 据 三 角 函 数 的 定 义，结 合 余 弦 二 倍 角 公 式 进 行 求 解 即 可;（2）根 据（1）的 结 论，结 合 两 角 和 的 正 弦 公 式 进 行 求 解 即 可.【详 解】（1）根 据 三 角 函 数 的 定 义，因 为 角 终 边 上 有 一 点（L2）,_ 1 _ V5 2 1 I?/r cosa=-=c o s-a=一 所 以,.=W-+2-=J5,V5 5,即 5,所 以 3
37、cos 2a=2 COS26Z-1=5.a e 由 a e（）且 tan a=2 1,得 冗 7 C45!2a e,所 以 715cos 2a由（1）知 2 sin 2a=45,所 以 5又 因 为（，乃）,co电-运 010,所 以 所 以 sin B=2 a-p e10,且 因 为 sin（2 a 一 4）=sin 2a cos-cos 2a sin（34（7 x-5 I 1 0 J 5）10 2l a-B=所 以 7 V42 0.今 年 上 海 疫 情 牵 动 人 心，大 量 医 务 人 员 驰 援 上 海.现 从 这 些 医 务 人 员 中 随 机 选 取 了 年 龄（单 位：岁）在
38、M l 50 内 的 男、女 医 务 人 员 各 io。人，以 他 们 的 年 龄 作 为 样 本，得 出 女 医 务 人 员 的 年 龄 频 率 分 布 直 方 图 和 男 医 务 人 员 的 年 龄 频 数 分 布 表 如 下：年 龄（单 位：岁）频 数 25,30）3030,35)2035,40)2540,45)1545,50 10(1)求 频 率 分 布 直 方 图 中 a的 值；(2)根 据 频 率 分 布 直 方 图 估 计 样 本 中 女 医 务 人 员 年 龄 的 中 位 数(精 确 到 整 数)；(3)在 上 述 样 本 中 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 年 龄 在 2
39、5,35)内 的 女 医 务 人 员 中 抽 取 4 人，从 年 龄 在 25,35)内 的 男 医 务 人 员 中 抽 取 人 记 这 9 人 中 年 龄 在 30,35)内 的 医 务 人 员 有 机 人，再 从 这，人 中 随 机 抽 取 2 人，求 这 2 人 是 异 性 的 概 率.0.02；37；3(3)5.【分 析】(1)根 据 在 频 率 直 方 图 中，所 以 小 矩 形 面 积 之 和 为 1进 行 求 解 即 可：(2)根 据 中 位 数 的 定 义 求 解 即 可；(3)根 据 分 层 抽 样 的 性 质，结 合 古 典 概 型 计 算 公 式 进 行 求 解 即 可.
40、【详 解】由 题 意，5U(/a+3C a+3C a+2C a+a)=l,解 得：=50=0.02；设 中 位 数 为 x,则 有 O 2 X 5+.06X 5+0.06X(X-35)=().5,故 x“3 7,即 中 位 数 估 计 为 37；4 X a(3)由 已 知 得 4 名 女 医 务 人 员 中，年 龄 在 2 5,3)内 的 有 Xa+3a 人，在 30,35)内 的 有 4+3”-3 人 5;30 35 名 男 医 务 人 员 中，年 龄 在【25,30)内 的 有 义 30+20-人，在 30,35)内 的 有 X30+2 0 人，这 9 人 中,年 龄 在 因)内 的 有
41、5 人，其 中 女 医 务 人 员 有 3 人，记 为，的，%；男 医 务 人 员 有 2 人，记 为 丽 瓦,设 从 这 5 人 中 抽 取 2 人，这 2 人 是 异 性 为 事 件 4 则 基 本 事 件 空 间 为C=(”2),(|,“3),(”|,bj,(q,b),(4,%),(a?,4),(%,4,b、),(“3,(4,jj-Q 种 情 况，4=(44),(力 2)，(。2，)，(。2，打)，(4 4)，(%，4),包 含 6 个 基 本 事 件，P(A)=-=-故 10 5.2 1.如 图，在 四 棱 锥 P/B C D 中，底 面 力 8 C Q 是 正 方 形，侧 面 PN/
42、n底 面/B C D,且 PA=PD=AD=3.若 点 E 为 线 段 E D 的 中 点，求 证：NE1平 面 尸。C：EP=-ED(2)若 2,则 线 段 上 是 否 存 在 一 点 F,使 得 EF 平 面 P 8 C,若 存 在,请 确 定 点 尸 的 位 置，并 求 三 棱 锥 F-P 8 C 的 体 积.(1)证 明 见 解 析；373(2)存 在，产 为 4 8 靠 近 点 8 的 三 等 分 点，4.【分 析】(1)根 据 面 面 垂 直 的 性 质，结 合 正 方 形 的 性 质、线 面 垂 直 的 判 定 定 理 进 行 证 明 即 可；(2)根 据 线 面 平 行 的 判
43、 定 定 理、面 面 平 行 的 判 定 定 理，结 合 面 面 平 行 的 性 质、三 棱 锥 的 体 积 公 式 进 行 求 解 即 可.【详 解】(1)因 为 四 边 形/8C。为 正 方 形，所 以 CAL4Q,因 为 侧 面 尸 4 0 1底 面 Z 8 C D,平 面 平 面 CZ)u平 面”8 8,所 以 CDL平 面 PAD,又 N E U 平 面 p/。，所 以 C D U E又 因 为 P4=PD=4D,且 E 为 中 点，所 以 4ELPD,又 因 为 P T#C D=D,所 以/EL平 面 PDC；(2)如 图 分 别 取 AB、C D 的 三 等 分 点 F、G,结
44、合 题 意 可 得：EG/PC,FG/BC _又 因 为 P C U平 面 8C,E G N平 面 P B C,所 以 EG 平 面 同 理 FG 平 面 心。.因 为 E G u平 面 尸 G u平 面 rG,平 面 EG D FG=G,所 以 平 面 EG 平 面 尸 8 C,又 因 为 E F U平 面 EFG,所 以 E尸 平 面 P8C,此 时 F 为 A B 靠 近 点 B 的 三 等 分 点，1-3=谢=%咏 一 以 所 5C-PAD-X、4PAD.CD，巫 乂 3=也 9 4 4sfih sin A _2 2.从 1+cosB；a sin B一 回 cos8cosC=VJc,c
45、os?8；(sin _ sin C)2=sii？8-s in Z s in C这 三 个 条 件 中 任 选 一 个，补 充 在 下 面 问 题 中，并 加 以 解 答.在 A48 c 中，如 b,c 分 别 是 角 Z,B,C 的 对 边，若.(1)求 角 8 的 大 小；(2)若 A/8C为 锐 角 三 角 形，c=l,求 a 的 取 值 范 围.注：若 选 择 多 个 条 件 作 答，按 第 一 个 解 答 计 分.71 5【分 析】若 选，正 弦 定 理 边 化 角 得 e S in 8 sin/=sin 4 1+c o s 8),根 据 角 力 的 范 围 及 辅 助 角 公 式，即
46、 可 得 答 案.若 选，正 弦 定 理 边 化 角 得 sin s in 8=6 s in 8 c o s B c o s C+G s i n C c o s 2 8,根 据 两 角 和 的 正 弦 公 式，化 简 整 理，即 可 得 答 案.若 选，正 弦 定 理 角 化 边 可 得/+/-=,根 据 余 弦 定 理，即 可 得 答 案._ c s in/_ 1 y/3(2)根 据 正 弦 定 理，可 得 一 sinC,根 据 题 干 条 件，代 入 化 简 整 理“-5.5 嬴 5，根 据 锐 角 三 角 形，可 得 角 C 的 范 围，即 可 得 答 案.【详 解】若 选 G sin
47、5 sin _ sjn由 正 弦 定 理 得 1+cosB-,即 6 sin8 s i n/=sin4(1+cos8)因 为 0 4 万，所 以 s in/H O,J 吟 1r-sin B-=_所 以 V 3sin8=l+c o s 8,所 以 1 6)2,乃 八 乃 5乃 八 乃-B-B=-又 因 为 6 6 6,所 以 3.若 选 因 为 o s in B-G b c o s 8 c o s c=VJccos2 B,由 正 弦 定 理 得$亩 4 sin B 二 百 sin B cos B cosC+V JsinCcos2 B,即 sin AsinB=45 cos 6(sin B cos
48、C+sinC cos B)=出 cos B sin(8+C)所 以 sin/sin5=J c o sB sin/l,由 4 w(0,7 r),得 s in/w O,所 以 sin B=V3 cosB,即 tan 8=,B=Z因 为 8 w(0),所 以 3.若 选 由(sin A-sin C)2=sin?8-sin 4 sin C,化 简 得 sin2 J+sin2 C-s in2=sin A sin Ca2+c2-b2 1 _ 12 2,2-=_ cos B=一 由 正 弦 定 理 得：a-+c2-h-=a cf即 Zac 2,所 以 2.R m B=Z因 为 8 e(0,幻，所 以 3.a _ c _ csinA(2)在 A/8 C 中，由 正 弦 定 理 s in/sinC,得 sinC,sin(耳-c lsinC+cosCB=Z a=_ _ 2=2-2 由(1)知：3,又 c=l代 入 上 式 得.sinC sinC2 2tanC0 C-2八 2万(7 T 7t0-C C e 因 为“8 C 为 锐 角 三 角 形，所 以 I 3 2,解 得(6 2),tanC 正 工 所 以 3,所 以 2 2tanCe r2