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1、2021-2022学年山东省青岛市高一下学期期末数学试题一、单选题1.已知i 是虚数单位，复数2=（*-4）+（+2 是纯虚数，则实数x 的 值 为（）A.2 B.-2 C.2 D.4A【分析】因为x 是实数，所以复数z 的实部是X?-4,虚部是x+2,直接由实部等于0,虚部不等于0 求解x 的值.X2-4 =0【详解】解：由z=（x、4）+（x+2）i是纯虚数，得 x+2w0,解得x=2.故选：A.2.在正方体“8 8-4 5 c A 中，E,尸分别为8C,CG的中点，则平面ZE尸截正方体所得的截面多边形的形状为（）A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形B【分析】把 截 面 尸补形可
2、得利用四点共面可得.【详解】解：如图，把截面力跖补形为四边形 A,连接物，B C、,因为E,尸分别为8C,的中点，则EF/B G,又 在 正 方 体 力 中，A D、“B C、所以则 4 4,广，E 四点共面.则平面/E 尸截正方体所得的截面多边形的形状为四边形.故选：B.3.已知向量1=（L2）,3二（1，1）,若Z与 十 篇的夹角为锐角，则实数丸的取值范围是()A.H H B.卜8。卜/卜D【分析】根据向量夹角为锐角列出不等式组，求出2的取值范围.详解 +几 5 =（1,2）+（4彳）=（彳 +1，彳 +2）,3,2+2由题意得：（+1）+2（+2）。且+”亍，A_5解得：且彳wo,故选：
3、D4.九章算术是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭,下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（）5,1 +/5 4 1 +4 万 25 4 1 +乃 25,1+4/A.4 乃B.4 万C.2 万D.2 万B【分析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为R,由已知周长求得厂和R,代入圆台的侧面积公式，即可求解.【详解】设圆台的上底面半径为厂，下底面半径为R,可得2 9 =2,2）R =3,可得 2 1，/=/+（._ 斤=/+,又由圆台的高为1 丈，可得圆台的母线长为
4、2 万，0 “、/3、”乃 2+1 541+4乃 25 二 万（7?+尸）/=乃（一+）x-=-所以圆台的侧面积为 n 2 万 In 4 万.故选：B.5.已知。，人 是两条不重合直线，a,是两个不重合平面，则下列说法正确的是（）A.若 a b ,h/a,则 a/a B,若夕上夕,al i a,则C.若 a，力，aza,a，。，则 a/a D.若方，al /b ,B L a ,则 a/4C【分析】利用线线，线面，面面的位置关系逐项分析即得.【详解】若b”a,则。/历或a u a,故A错误；若a_L/7,a l i a,则/或“u 4 或。与#相 交，故B错误；若a_L6，a B,则a/a 或a
5、 u a,又a j 2设球的半径为夫，则 P H I S,2 2 ,则 P H =yJP M2-M H2=J 1 2-8=2 ,所以(2R)。=P C?=C H?+P H?=(+4 =36解得：R=3,球的表面积为4 兀斤=36兀.立体几何中外接球问题，要画出具体图形，找到球心的位置，结合解三角形等知识进行求出半径，再求解球的表面积或体积.二、多选题9.已知复数4对应的向量为4 ,复 数 对 应 的 向 量 为 Z?,则下列说法正确的是()A.若 国 T,则4=1 或土iB,若4=4 +3i,z 2=3+4 i,则Z Z 2=(1,-1)C,若区+Z 2 I =匕 一Z 2 I,则。Z|_ L
6、 O Z 2C D【分析】A可以举出反例；B选项，经过复数的向量表示下的运算得到ZIZ2=OZ2-OZ,=（-1,1）；c 选项，设 4=a +b i,z2=c+d it 得到加+加=0,从而得到D选项，同样设出Z产+b i,z2=c+d it通过复数的向量表示形式下的计算得到/+从=。2+/,得到团=|【详解】当 2 2时，满足卜叼一，故A错误；羽=西-鬲=（3,4）-（4,3）=（7 4），B 错误；设Z =a+6i z2=c +Ji,a,b,c dwR若k+Z 2|=|zZ 2|,则(a+c)2+0+d)2=(a-c)2+0-d)2化简得：ac+b d =Q ,O Zl-OZ2=ac+b
7、 d=0 所以 Z|_ LZ 2,c 正确；设 Z =a+b i Z 2=c +d i,a,b,c d e R则 QZ|+O Z2=(4+c,b +d)0Z1-OZ2=(-z平面对称点的坐标为（1,-1，-2）,所以向量 关于yz平面对称的向量为a-，-2）,故选：ABC1 1.已知圆锥的底面半径为2 6,高为2,S为顶点，A,8为底面圆周上两个动点，则下列说法正确的是（）A.圆锥的体积为24%B.圆锥侧面展开图的圆心角大小为6兀C.圆锥截面”8面积的最大值为4百256兀D.若圆锥的顶点和底面上所有点都在同一个球面上，则此球的体积为3BD【分析】根据题意，求出圆锥的母线长，体积，侧面展开图的弧
8、长，轴截面面积，外接球体积，即可得出结论.【详解】解：因为圆锥的底面半径为=2百，高为人=2,所以圆锥的母线长SA=SB=y/r2+h2=7（2/3）2+22=4 则.V=-7tr2/i=-?tx（2/3）2 X2=8T T对于A,圆锥的体积 3 3,故A错误；对 于B,设圆锥的侧面展开图的圆心角大小为a,则27tx2=ax4,a=6,故B正确；对于C,当圆锥截面”8为圆锥的轴截面时，此 时 =S8=4,初=4 6,所以27r irAASB=ZASB=-3,所以当 2时，截面SZ8的面积最大，=-S/4-S J-s i nZ/4S B =-x 4x 4x 1=82 2故C错误;对 于D,圆锥的
9、顶点和底面上所有点都在同一个球面上，即圆锥的外接球，设圆锥外接球半径为尺，由球的性质可知：R=(h-R+/,即*=(2-尺产+(2 6)2,解得1/4 3 4 3 256%V JlR 7T x 4 =-R =4,所以外接球的体积 3 3 3.故D正确.故选：B D.12 已知 =(2cos0 尤,sin 0无)5=qGcosftzx,2cos6yx)0 0 f ()=a-b +y/37T且/(x)的图象的对称中心与对称轴的最小距离为工，则下列说法正确的是()A.3=17CB./G)的图象关于直线”一 底 对 称71c.把/G)图象向左平移行单位，所得图象关于卜轴对称D.保 持/.(X)图象上每
10、一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后把图象向左71平移H个单位，得到函数y=2sinx的图象A B D【分析】利用向量数量积的坐标表示、降基公式及辅助角公式可得/(X)7T7T=2 sin(2tyx )/(x)=2sin(2r )3,根据已知有7=万求得。=1,即 3,应用代入法验证对称轴、根据图象平移写出平移后的解析式并判断对称性，即可得答案.【详解】由 f(x)=2/3 cos2 co x+2 sin co x cos+V3=sin(20 x)G cos(2s)TT=2sin(26vx-y)n T _ 冗而对称中心与对称轴的最小距离为彳，即彳一a,可得丁=乃，-2)_ 汽所 以 一
11、 2切 一，可得。=1,A正确；TTTTTT TT故x)=2 s in g-乳/(-)=2 s in(-)=-2；故 小)的 图象关于直线71X -12对称，B正确；f(x+)=2sin(2x-)12 6,显然不关于了轴对称，C错误；71横坐标变为原来的2倍，再左移丁个单位则故选：A B D=2sinx,D 正确.三、填空题1 3.欧拉公式e c o s x +i s i nx (i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数好 的 共 甑 复 数 为.l-i -i +1【分析】利用复数三角形式以及复数的除法化简所求复数，利用共轨复数的定义可得结果.个 7
12、 T .7 T 41 41.e4=cos+isin=-1-1【详解】由已知可得 4 4 2 2,所以，2 2 ,V 2 in.因此，复 数e 的共规复数为l-i.故答案为-i1 4.在正方体8CD-4 4 CQ中，点G,a分别在棱4 G ,4 4上，且A.H=C.G=A.D.3 ,则异面直线8G与。，所 成 角 的 余 弦 值 为.5瓦【分析】根据空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为3,则有。(0,0,0),8(3,3,0),G(l,3,3),(2,0,3),丽=(2,0,3),旃=(-2,0,3),设异面直线BG与DH所成角为6,一 蚱 向
13、丽 丽卜寓曾二|2 2产3|二11 叫 8 G V22+32 X,/(-2)2+32 1 3 I 1 1 1 1，5故答案为.1 3sin 住+a)cos 佰-2 a L15.己 知 J 3,则 3)_7-9cos(-Ct)=【分析】由已知条件及诱导公式可得 6 3,再应用二倍角余弦公式求目标式的值.(7t 抑 乃 /冗、1sin+a =cos(+a)=cos(a)=-【详解】13 J 2 3 6 3,cosi 2a|=2cos2(-a)-l =由 3 J 6 9_7故一可1 6.已知 AN8 c 中，sin2 A-sin2 B-sin2 C=sin Ssin C,若 8 c =3,则 A/8
14、C 周长的最大值为.3+2 6 2 G+3【分析】先对已知式子利用正弦定理统一成边的形式，然后利用余弦定理可求出角A,再利用余弦定理可得(C +=C =9,再利用基本不等式可求出NC+的最大值，从而可求出三角形周长的最大值【详解】由正弦定理可得：BC2-AC2-AB2=AC AB,AC2+AB2-B C2 1cos A=-=2AC AB 2,.D,.2乃A=3.由余弦定理得：3 c 2 =AC2+AB2-2AC-AB cos A=AC2+AB2+AC-AB=9 t即(4C+Z 5)2-Z C 7 8 =92AC AB(AC+AB)2-=j z c +AB)2解得：AC+AB 结合B、M u平面
15、4 M B、,得到平面N g/，平面/G/【详解】(1)连接与G相交于点尸，连 接 破，则尸为4c 的中点，因为M 为8 c 中点，所 以 披 是“48 0的中位线，所以M F 4 B,因为A/F u 平面/M G,4 8z 平面4 W G,所以48 平面由Bi 因为直三棱柱 B C-4 4 G 上下底面为正三角形，AB =6,/4=3,所以 C C =CM =B M =B B、=3所以/C M C、=Z B MB =45所以/印0G=9 0 ,即 AM_LA/G,由三线合一可得：AM L B C ,又 因 为 平 面AB C,A M u平面AB C,所以8及因为8 C n 网=8,所以平面8
16、C G 4,因 为 平 面 灰 用，所以NA/_ L因为/M c M G=M所以q M J平面ZMG,因为印0 u 平面/河瓦，所以平面叫平面C M711 9.如图所示，已知是半径为百，中心角为3 的扇形，P 为弧场上一动点，四 ZPO=x|0 x =x|0 x-I【详解】(1)因为 I 3 人C M QM .O M =-=s in x7T所以2 =P N =6 s i n x,则 t d nJ ,又 O N =6 co s x ,所以 M N =O N -O M=百 co s x -s in x,f(x)=M N P N=3 s in x co s x -V 3 s in2 x =s in
17、2x 。-8s 2)所以八J 2 2=A n2 x+且 cs 2x-立2 2 2=7 3 s in I 2x +I 671 X 3 0 x 3 ,7 1 A 4 542x4-/3ab 即(a +=28+16 3.a +6 =4 +2 V 3 ,.a +6 +c=6 +2石，即“8 C 的周长为6 +2 6.2 0.如图所示，四棱锥尸-/BCZ)中，底面/8CZ)为矩形，尸/,平面/8CO,P A=AB =2,点E 是P 8 的中点.证明：A E Y P C.(2)求点。到C E 的距离；(3)求二面角C-/E-。的大小.(1)证明见解析；G；4.【分析】(1)由 已 知 位 置 关 系 推 出
18、 平 面 尸 8C,即可证明异面直线ZE，P C；(2)由(1)中”1 平面P8 C,8 C_L 平面尸”8,得 4 E L E C ,A D 1.A E,求解E CO各边长度，得AECO为等边三角形，利用等边三角形的性质即得点。到C E 的距离；（3）利用二面角定义求解即可.【详解】（1）证明：,打，平面N 8C D,底面力88为矩形P A B C,B C 1 A B 又 P 4 C 4 B =A,P A,AB u 平面4 8r.8 C _L平面?4 8 ,又u 平面尸.,B C L A E,P A =A B,点 E是PB 的中点.A E VPB,又尸8 n B e =8,尸 8,B Cu
19、平面P8 CA E1平面尸8 cAE P C解：由（1）/,平面尸2。得：A E V E C又 5 c l 平面尸B C/AD,J.N O _L 平面,即 NOJ.NE因为 P/=Z 8 =2,A D =41所以 Z E =亚，D E =2,A C =屈,故 E C =2即E C =Q =8 =2,三角形E CO是边长为2的正三角形，S F r n=x 2 x 2 x sin =A/3=x 2 x J5=90o+30=120,所以 sin NB D A =sin(6 0 -/AB C)=sin 60cos Z.ABC-cos 60sin/ABC3 回 G 1 M=-X-X-1 0 2 2 1
20、0(3百-1而一 2 0A DAB由正弦定理得sin /DB A sin /B DA73 3屈.A D=力Csi n ND S N _ 丁 7()_ 9 +1sin NB D A(3/-1)布 -2 62 09+5/3故此时船距岛A有2 6千米.2 2.如图所示，长方形“BCD中，AD=,18=2,点M是边CO的中点，将丛AD M沿A M翻折到4PAM,连接尸8,P C,得到图的四棱锥P-/8 c M.求四棱锥尸-N 8C W的体积的最大值;若棱尸8的中点为N,求C N的长;(3)设尸的大小为。，若 El求平面 用和平面尸8 c夹角余弦值的最小值.也(1)42Vn11【分析】(1)作出辅助线，
21、得到当平面4 Ml 平面/8CAZ时，/点到平面N8CM的距PG=-AM =离最大，四棱锥尸-4 5 C”的体积取得最大值，求出 2 2,从而得到体积最大值；(2)作出辅助线，证明出四边形CNQM为平行四边形，从而得到CN=MQ=f-)+12=2.(3)作出辅助线，得到“GZ5为 P T M-D 的平面角，即NPGD=。，建立空间直角坐标系，用含夕的关系式表达出平面P/M 和平面P8C 的9cos a=一 二 =法向量，利用空间向量夹角余弦公式得到 V80/2+60/-9,结合，的取值范围求出余弦值的最小值【详解】取W的中点G,连接尸G,因为P4=PM,则尸GL4A/,当 平 面 平 面 4
22、8 cM 时，尸点到平面48CM 的距离最大,四棱锥尸-N 8C M 的体积取得最大值，此时P G,平面/8 C W,且 2PG=-AM =2,底面/8 C M 为梯形,(l+2)x lx=面积为 2 21 3 V2 V2 X -X-=-则四棱锥尸-/8 C W 的体积最大值为3 2 2 4(2)取 4 P 中点0,连接N0,MQ,则因为N 为 P 8 中点，所以N。为 2 1 8 的中位线,NQ=-AB所以N0I MB且 2,因为为CO的中点，四边形4 8 c o 为矩形,CM =-A B所 以 C M I/8且 2,所以 C MNQ 且 C M=NQ,故四边形CNQM为平行四边形,(3)连
23、接。G,因为所以。GL4M,所以4PG。为的平面角，即NPGD=，过点。作。Z_L平面N 8C Z),以。为坐标原点，分别以D4,DC,OZ所在直线为x 轴,y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 1（1,0,0）,M（0,1,0）,C（0,2,0）,过 P 作P HS.DG于点H,由题意得P”_L 平面AB C M,设尸(x。,%/。).cos 0,D H=（1-cos。）X。=yn=（1 -cos6）z0=-sin 6所以 -。2 7 2 2V 7,0 2f 1 1 /yP-(1-cos 0),-(1-cos 0),sin。所 以 12 2 2丽=（-1,1,0）,苏=所以1 +
24、cos 0 cos 0-1 5/2,.,-sin 6,2I 22设平面P/W 的法向量为4=（XQ”4）,则一再+乂=01 +cos 0 cos 0-1/sin 6 八.士+-必 厂行 0令 Z 1=6 ,则I =(ta n&ta n e,3)设平面PBC的法向量为2 =（，z?）,CB=(1,0,0),P C-因为cos-1 cos6+3-s i n 0222则x2=0C O S 0-1 COS。+3 yl.八 八、X+-y2-z2 sin e=0乙 乙 乙令%=Vsine 可 得.0=。及 sine,3+cose)设两平面夹角为,&sin +30 +&cos。COS。1 3 cos 6+1|则卜 I H%|tan2 +2/2 sin2 +6cos0+9 Jl 1 -cos2 夕+6cos63cos6+-323cosd+g80V80 9(cos8+；)203卜05夕+；1+2 0 cs，+1+331?=T TC O S”+一令 3,何叼，所以t G9而cosa=所以仆 0/+6 0-9,所以当，=3 时，cosa有 最 小 值 11,而所以平面H I M 和平面尸8 c 夹角余弦值的最小值为11求解二面角的大小或最值，利用空间向量求解，可以将几何问题转化为代数问题，简洁明了，事半功倍.