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1、2021-2022学 年 湖 南 省 永 州 市 高 一 下 学 期 期 末 数 学 试 题 一、单 选 题 1.复 数 2,的 共 扼 复 数 是（A.2+i B.2-i C.-2+i D.-2 TA【分 析】根 据 共 辗 复 数 的 概 念 判 断 即 可：【详 解】解：复 数 2-i的 共 辗 复 数 是 2+i.故 选：A2,已 知 1（L T）,M M,则+）=（）A.-1 B.0 C.1 D.2B【分 析】首 先 求 出 3+书 的 坐 标，再 根 据 数 量 积 的 坐 标 运 算 计 算 可 得;【详 解】解：因 为（L T）,石=（2,4）,所 以+5=(1,-1)+(2,
2、4)=(3,3)所 以“+)=3x1+3 x(-1)=0故 选：B1n八 a=V2,/I=,sin B=3.A4 8 C的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,若 4 3,则 b=()2 A.3 B.6 C.丛 D.2 GA【分 析】直 接 利 用 正 弦 定 理 计 算 可 得；二，乃.八 百 a _ ba=7 2,A=,sin B-;【详 解】解：因 为 4 3,由 正 弦 定 理 s m/sin 5,V 2 h屹=正,2 出 0=-即 2 3,解 得 3故 选：A4.已 知 某 平 面 图 形 用 斜 二 测 画 法 画 出 的 直 观 图 为 如 图 所 示 的 三
3、 角 形，其 中 NB=/C=2,则 该 平 面 图 形 的 面 积 为（）a/OA B xA.6 B.2C.2百 D.4D【分 析】作 出 原 图 形，且 得 出 原 图 形 中 的 线 段 长 度，由 三 角 形 的 面 积 公 式 可 求 得 答 案.【详 解】解：作 出 原 图 形 如 下 图 所 示：则 8=2,C=4,所 以 该 平 面 图 形 的 面 积 为 1.1-AB AC=-x 2 x 4=42 2,故 选：D.5,在 A/8 C 中，BC=4,AC=5t AC BC=O,则/8=()A.2亚 B.后 C.5 D.历 B【分 析】在 A/8 C 中，根 据 元.而=10求
4、得 c o s C,再 利 用 余 弦 定 理 即 可 得 出 答 案.【详 解】解：在 中，BC=4,AC=5,A C B C=(-CAy(-CByCACB=20cosC=WAB=lAC2+BC2-2AC BCcosC=所 以 故 选：B.J25+1 6-2 X 4 X5X 1=V216.已 知 一 组 数 据 为 30,40,50,50,55,60,70,80,9 0,则 其 极 差、第 5 0百 分 位数 和 众 数 的 大 小 关 系 是（）A.极 差 第 5 0百 分 位 数 众 数 C.极 差 众 数 第 5 0百 分 位 数 B.众 数 第 5 0百 分 位 数 极 差 D.极
5、差=第 5 0百 分 位 数=众 数 A【分 析】分 别 算 出 极 差，第 5 0百 分 位 数 和 众 数 即 可 比 较 大 小.【详 解】极 差 为 9。-3 0=60,因 为 9x50%=4.5,所 以 第 5 个 数 5 5即 为 第 5 0百 分 位 数，又 众 数 为 50,所 以 它 们 大 小 关 系 是 极 差 第 5 0百 分 位 数 众 数.故 选:A.7.九 章 算 术 中，将 底 面 为 矩 形 且 有 一 侧 棱 垂 直 于 底 面 的 四 棱 锥 称 为 阳 马.如 图 所 示，在 四 棱 柱 8 8-4 4 C Q 中，棱 锥 4-/3。即 为 阳 马，己
6、知 4=2N 8=28C=2,则 阳 马 4-4 8 8 的 表 面 积 为（）A 2+y/5 B 3+V5 c 3+2/5 D 4+2/5B【分 析】结 合 线 面 垂 直 的 判 定 与 性 质 可 得 到“/O，/巴,Q C 均 为 直 角 三 角 形，分 别 求 得 各 面 的 面 积，加 和 即 可 得 到 所 求 的 阳 马 的 表 面 积.【详 解】由 题 意 知：平 面 N B 8,.8 C u平 面 力 BCD,：.AXA L B C又 AB I B C,平 面 Z/8,=.8 C,平 面,.,4 8 1 AtD.则 AZ/D,A 4。均 为 直 角 三 角 形,S“/=g/
7、4/D=g x 2 x l=l 5A J 8=l j 4-=|x 2 x l=lS A B C=-BC-A,B=-x lx y l22+2=S,D e-C D-A.D=-x lx y/22+2=AB C 2 2 2,2 2 2SOA B C D=A B B C=M=，阳 马 4J-A p3zn 的 表 面 积 S=1+1+2+2+1=3+A/5故 选：B.8.已 知 万，万，点 P 是 边 B C上 的 一 点，%4=3,舒.衣=2,AP A B=X,则+4 C+力 尸 L z,曰.,I 的 最 小 值 为()A.2及 B.2百 C.4 D.16Ca e(0,父 ZBAP=-a AC=-【分
8、析】设 N lP=a,I 2人 则 2，则 由 已 知 可 得 3 c o s a,同=3sina,然 后 化 简 曰 8+0+P|,化 简 后 可 利 用 基 本 不 等 式 求 得 结 果 ca e V I Z.BAP=a【详 解】在 8 C 中，AB LA C,设/。(P=a,I 2人 则 2,因 为 Z P Z C=2,所 以 同 朝 cosa=2,因 为 网=所 以 附 1 3 c o s a,因 为 万 布=1,网 祠=3 国 cos 佟 一 a)=l AB=-一 所 以.),所 以 I I 3 s in a,因 为 就，所 以 万 就=0,.,A B+A C+A所 以 I I=A
9、B2+AC2+AP2+2ABAC+2ABAP+2AC AP1 4；+9+0+2+49 sin a 9 cos asin2 a+cos2 a 4sin2 a+4cos2 a，厂-+-w-+159 sin a 9 cos acos2 a 4sin2 a 5，9 sin a 9 cos a 92.cos2 a 4sin2 a 5 一-+-+15=169sin a 9cos-a 9cos2 a 4sin2 a 41-=-：-tan a=当 且 仅 当 9siira 9 cos a,即 2 时 取 等 号，所 以 同+4C+M 的 最 小 值 为 16,所 以 同+4 的 最 小 值 为 4,故 选：C
10、二、多 选 题 9.若 复 数 马=2 3,z2=l-it其 中 i是 虚 数 单 位，则 下 列 说 法 正 确 的 是（）A.马 在 复 平 面 内 对 应 的 点 位 于 第 三 象 限 B.若 马+“（口）是 纯 虚 数，那 么=3C zx-z2=-l+5iD.若 4、Z2在 复 平 面 内 对 应 的 向 量 分 别 为 5、OB（。为 坐 标 原 点），则 1,8卜 26BC【分 析】利 用 复 数 的 几 何 意 义 可 判 断 A D 选 项；利 用 复 数 的 概 念 可 判 断 B 选 项；利 用 复 数 的 乘 法 可 判 断 C 选 项.【详 解】对 于 A 选 项，4
11、 在 复 平 面 内 对 应 的 点（一 3,2）位 于 第 二 象 限，A 错；对 于 B 选 项，4+”（3）+2i（a e R）为 纯 虚 数，则”3=0,可 得”3,B 对；对 于 C 选 项，4 4=（-3+纱（1）=-1+，c 对；对 于 D 选 项，由 已 知 可 得 8=（T 2）,丽=0 1）,则 小 丽 心=（4,-3）,所 以，|两=其 行=5,口 错.故 选：BC.10.在 下 列 关 于 概 率 的 命 题 中，正 确 的 有（）A.若 事 件/,8 满 足（+P（8）=1,则 4 8 为 对 立 事 件 B.若 事 件/与 8 是 互 斥 事 件，则 N 与 否 也
12、 是 互 斥 事 件 C.若 事 件 力 与 8 是 相 互 独 立 事 件，则/与 耳 也 是 相 互 独 立 事 件 1 3 1P（A）=-P（B）=-P（AB）=-D.若 事 件 4 8 满 足 3,4,4,则 4 8 相 互 独 立CD【分 析】对 于 A：举 反 例 判 断 命 题 不 成 立；对 于 B：由 互 斥 事 件 的 定 义 直 接 判 断；对 于 C：由 相 互 独 立 事 件 的 性 质 直 接 判 断；对 于 D：利 用 公 式 法 直 接 判 断.【详 解】对 于 A：若 事 件，、8 不 互 斥，但 是 恰 好 P（/）=0 5 P（8）=0.5,满 足 尸（/
13、）+P（8）=l,但 是 4 8 不 是 对 立 事 件.故 A 错 误；对 于 B：由 互 斥 事 件 的 定 义 可 知，事 件 4、8 互 斥，但 是 力 与 8 也 是 互 斥 事 件 不 成 立.故 B 错 误;对 于 C：由 相 互 独 立 事 件 的 性 质 可 知：若 事 件 4 与 8 是 相 互 独 立 事 件，则 Z 与 否 也 是 相 互 独 立 事 件.故 C 正 确;P(A)=-P(B)=-对 于 D：因 为 事 件 4,8 满 足 3,4P(AB)=4,所 以 尸（,8）=尸（尸 伊），所 以 8 相 互 独 立.故 选：CD11.A/8 C 的 内 角 B,C
14、的 对 边 分 别 为 a,b,c,下 列 说 法 正 确 的 是（）a _ b A 冗 A.若 cosZ sin8,则 4B.若 sin2/=sin2 8,则 此 三 角 形 为 等 腰 三 角 形 C.若。=1,b=2,Z=30。，则 解 此 三 角 形 必 有 两 解 D.若 是 锐 角 三 角 形,则 s in/+s in 8 c o s/+cos8AD【分 析】由 正 弦 定 理 可 求 Z,然 后 可 判 断 A；根 据 角 的 范 围 直 接 求 解 可 判 断 B；正 弦 定 理 直 接 求 解 可 判 断 C；利 用 诱 导 公 式 和 正 弦 函 数 单 调 性 可 判 断
15、 D.a _ b a _ h a _ a 详 解 由 正 弦 定 理 可 知 sin工 一 sin 8,又 c o s/-s i n 8,所 以 cos sin/I,可 得 ta n/=l,因 为“（0，万），所 以 4,A 正 确；因 为 2 4（0,2万）,2 8（0,2万），且 角 2/,2 8 最 多 有 一 个 大 于 左，所 以 由/+8=生 sin 2A=sin 2B 可 知,2 4=28 或 24+28=乃，即 4=8 或 2,所 以 5 c 为 等 腰 三 角 形 或 直 角 三 角 形，故 B错 误；.B bsinA 2 x 2.nsin B=-=-=1 D/八、B=一 由
16、 正 弦 定 理 可 得 1,因 为 所 以 2,故 此 三 角 形 有 唯 一 解，C 错 误；A+B-A-B Q因 为 A/8 C 是 锐 角 三 角 形，所 以 2,即 2 2,X y=s m x(0,)sin A sin(-B)=cos B sin 5 sin(-A)=cos A2 上 单 调 递 增，所 以 2，同 理 2所 以 s i n/+sin8 c o s/+cos6,D 正 确.故 选：AD1 2.如 图，在 棱 长 为。的 正 方 体 8 8-4 4 C A 中，点 尸 为 线 段 4 c 上 的 动 点，则()A.三 棱 锥 P-4 8。的 体 积 为 定 值 B.过
17、P 作 直 线 2,贝 W O PC.过 A,P,三 点 的 平 面 截 此 正 方 体 所 得 的 截 面 图 形 可 能 为 五 边 形 D.三 棱 锥 的 外 接 球 的 半 径 的 取 值 范 围 是 ABD【分 析】对 于 A,连 接 可 得 平 面 8 c l l平 面 4 8 0,然 后 进 行 判 断 即 可，对 于 B 连 接 可 证 得 从 而 可 得 结 论，对 于 C,当 点 P 为 8 C 的 中 点 时，过 A,P,三 点 的 平 面 为 平 面 8 G R,然 后 向 线 段 两 端 点 运 动 再 进 行 判 断 即 可,对 于 D,连 接 4 2,交 于 点,
18、过 E 作 尸，平 面 4。口 交 8 c 于 尸，则 球 心。一 定 在 E尸 上，当 点 P 与 尸 重 合 时，可 求 出 厂 的 最 小 值，当 点 尸 与 用 或 重 合 时，可 求 出，的 最 大 值【详 解】对 于 A,连 接 4。邛,叫 则 8 c d?因 为 4。u 平 面 儿 叫 片。仁 平 面 4 8。，所 以 平 面 8 C|平 面 所 以 动 点 P 到 平 面 AB D的 距 离 为 定 值，因 为“4 8 0 的 面 积 为 定 值，所 以 三 棱 锥 P-4 8。的 体 积 为 定 值，所 以 A 正 确，对 于 B,连 接,2,则 正 方 体 的 性 质 可
19、知 A,44,因 为 40n44=4,所 以 J 平 面 40c4,因 为。尸 u 平 面 4。耳，所 以 力 乌 _ L。j因 为 2,所 以/，。尸，所 以 B 正 确，对 于 C,当 点 P为 8c的 中 点 时，过 A,P,三 点 的 平 面 为 平 面 8GA,当 点 尸 从 8c的 中 点 向 乌 运 动 时，截 面 过 平 面 044,/44民 8 内,44Gol 点 P从 8c的 中 点 向 C运 动 时，截 面 过 平 面 力。4，/88,8。4，以 7&2,则 过 A,P,三 点 的 平 面 与 正 方 体 最 多 与 正 方 体 的 四 个 交，所 以 截 面 最 多 为
20、 四 边 形，所 以 C 错 误，对 于 D,连 接 交 于 点 E,可 得 E 为 4 的 中 点，所 以 在 Q A 中，E 到 各 顶 点 的 距 离 相 等，过 E 作 EF_L平 面 交 4。于 尸，则 球 心 0 一 定 在 E尸 上，且。4=0 P,A.D=42a,A.E=a,EF=a,EO=-a设 半 径 为，则 题 意 可 得 2 2,a 0/一.，3当 点 户 与 产 重 合 时，V 2，得 4,当 点 尸 与 名 或 C 重 合 时，“、E 0 M A BFO所 以 三 棱 锥 尸 一 4 即 的 外 接 球 的 半 径 的 取 值 范 围 是,所 以 D 正 确,故 选
21、：ABD三、填 空 题 1 3.在 中 国 共 产 主 义 青 年 团 建 团 100周 年 之 际，某 高 中 学 校 计 划 选 派 6 0名 团 员 参 加“文 明 劝 导”志 愿 活 动，高 一、高 二、高 三 年 级 的 团 员 人 数 分 别 为 100,200,3 0 0,若 按分 层 抽 样 的 方 法 选 派，则 高 一 年 级 需 要 选 派 的 人 数 为 10【分 析】按 照 分 层 抽 样 规 则 计 算 可 得；-X 60=10【详 解】解：依 题 意 可 知 高 一 年 级 需 要 选 派 的 人 数 为 100+200+300 人.故 1014.在 直 角 三
22、角 形 R 8 C 中，AB=BC=6,Z5=90,将 此 三 角 形 绕 直 线 C 旋 转 一 周，所 得 几 何 体 的 体 积 为 2 713 3【分 析】由 题 可 知 得 到 的 几 何 体 是 两 个 同 底 圆 锥 的 组 合 体，由 体 积 公 式 可 得 答 案.【详 解】将 三 角 形 绕 直 线 N C 旋 转 一 周 得 到 的 几 何 体 是 两 个 同 底 圆 锥 的 组 合 体，在 直 角 三 角 形/B C 中，4c=2,所 以 圆 锥 底 面 圆 的 半 径 为 1,两 个 圆 锥 的 高 的 和 为/C=2,I2 x2=-所 以 几 何 体 的 体 积 为
23、 3 3,24故 H15.定 义 平 面 非 零 向 量 之 间 的 一 种 运 算“*”，记&*5=a8se+很 sin夕（其 中 6 是 非 零 向 量 万，I 的 夹 角）.若 弓，,2均 为 单 位 向 量，且 耍=5,则 k*（氐 2）=.叵 2【分 析】由 数 量 积 的 定 义 可 得 弓，的 夹 角，利 用 新 定 义 和 向 量 模 长 的 计 算 公 式 以 及 数 量 积 的 定 义 可 得 答 案.【详 解】响 同 8 团 1 且 同 咽 又 同。，则 0=-3.斤（同 二 卜 1 cos 60+V3e2 sin 60|2,叵 故 216.在 中，角/,B,C 的 对
24、边 分 别 为 a,b,c,若 sin-sin2C=sin/sinC,则、B 12tan+-2 tanC的 最 小 值 为.272【分 析】利 用 正 弦 定 理 及 余 弦 定 理 可 得 c=a-2 c c o s 8,再 利 用 正 弦 定 理 及 三 角 变 换 可 C 一 得 smC=sm（B-C）,2,然 后 利 用 基 本 不 等 式 即 得.【详 解】v sin2 B-sin2 C=sin/I sin C,.b2-c2=ac,b1=c2+ac,又 及=a2+c2-2accosB,.c2+ac=a2+c2-2accos B,即 c=。-2c cos B,.sinC=sin A-2
25、sin Ccos i?=sin（5+C）-2sin Ccos B=sin B cos C-sin Ccos 5=sin（S-C）.C=B-C 或 C+3-C=%（舍 去），c 2,tan C=tan 02,2tan-+!2/2tan-）一=272/.2 tanC V 2 tanC,B 1 兀 R ntan=-C=当 且 仅 当 2 tanC,即 4 2 时 取 等 号，故 答 案 为.2 0四、解 答 题 1 7.在 平 行 四 边 形/8 C O 中，E 为 C Q 中 点，记 方=AD=b,试 用 工 B 表 示 荏；若 小 8=60。，网=6,囱=3,求 荏 与 丽 的 夹 角.AE=b
26、+-2（2）90【分 析】（1）由 向 量 的 加 法 法 则 和 向 量 的 线 性 运 算 可 求 得 答 案；(2)由 己 知 求 得 而，再 运 用 向 量 的 夹 角 运 算 求 得 答 案.1.1一 aAE=AD+DE=AD+DC=AD+AB=b+【详 解】(1)解：由 题 可 知 2 2 2.BE=BC+CE=b-(2)解：因 为 2,记 M 与 砺 的 夹 角 为。，|AE|X5E|所 以 荏 与 乐 的 夹 角 为 90.1 8.中 国 神 舟 十 三 号 载 人 飞 船 于 2022年 4 月 1 6日 圆 满 完 成 飞 行 任 务，神 州 十 三 号 的 成 功 又 一
27、 次 激 发 了 广 大 中 学 生 对 于 航 天 的 极 大 兴 趣.某 校 举 行 了 一 次 主 题 为“航 天 梦，强 国 梦”的 知 识 竞 赛 活 动，用 简 单 随 机 抽 样 的 方 法，在 全 校 选 取 100名 同 学，按 年 龄 大 小 分 为 大 龄 组 甲 和 小 龄 组 乙 两 组，每 组 各 5 0人，所 有 学 生 竞 赛 成 绩 均 在 60 100之 间,甲 组 竞 赛 成 绩 的 频 率 分 布 表 和 乙 组 竞 赛 成 绩 的 频 率 分 布 直 方 图，如 下 图 所 示.组 号 组 频 数 频 率 第 一 组 60,70)5 0.1第 二 组
28、70,80)a b第 三 组 80,90)15 0.3第 四 组 90,10010 0.2(2)若 以 平 均 分 为 依 据 确 定 小 组 成 绩 的 优 劣，你 认 为 哪 个 小 组 成 绩 更 优？请 说 明 理 由(同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值 作 代 表)；(3)若 成 绩 不 低 于 90分 的 同 学 称 为“航 天 追 梦 者”，以 选 取 的 100名 同 学 作 为 样 本，试 估 计 该 校 2000名 学 生 中“航 天 追 梦 者”的 人 数.a=20,6=0.4,x=0.03(2)甲 组 成 绩 更 优，理 由 见 解 析(3)
29、300 人【分 析】(1)根 据 频 率 分 布 表 和 频 率 分 布 直 方 图 可 得 答 案；(2)分 别 算 出 两 组 的 平 均 分 作 比 较 即 可；(3)根 据 所 给 数 据 算 出 甲、乙 两 组 中“航 天 追 梦 者”的 频 率，然 后 可 算 出 答 案./)=04【详 解】由 甲 组 的 频 率 分 布 表 可 知=50-5-15-10=20,50-,0.3 人 x=0.03由 乙 组 的 频 率 分 布 直 方 图 可 知 l-(S02+0.04+0.01 xl0=0.3,10,(2)记 甲 组 平 均 分 为 石,豆=65x0.1+75x0.4+85x0.3
30、+95x0.2=81i己 乙 组 平 均 分 为 弓 弓=65x0.2+75x0.3+85x0.4+95x0.1=79因 为 可 双，即 甲 组 成 绩 更 优.(3)由 频 率 分 布 表 可 知，甲 组 中“航 天 追 梦 者”的 人 数 为 10,乙 组 中“航 天 追 梦 者”的 人 数 为 50 x0.1=5,*0.1 5甲、乙 两 组 中“航 天 追 梦 者”的 频 率 100,甲、乙 组 中“航 天 追 梦 者”的 人 数 为 2000 X 0.15=300.19.如 图 1,在 边 长 为 2 K 的 菱 形/8 C O 中，ZJ5C=60,。为 线 段。的 中 点；将 Z U
31、 O O 沿 折 起 到 的 位 置，使 得 平 面 4 8 平 面 46C。，连 接。田，D,C)如 图 2.P l I)证 明：O D1 B C;(2)求 点。到 平 面”8 的 距 离.(1)证 明 见 解 析 3 5【分 析】(1)由 已 知 面 面 垂 直 证 得 线 面 垂 直，从 而 证 得 线 线 垂 直.(2)利 用 等 体 积 法 求 出 点 到 平 面 A B D的 距 离.详 解(1)在 图 中 连 接/C,/O=CZ),ZADC=ABC=60 M C。为 等 边 三 角 形 又.。为 8 的 中 点 AO 1 CD 即 AO 1 OD、在 图 2 中，平 面 平 面
32、4 8C。，交 线 为 力。，R u 平 面 4 0.OD J平 面/8 C。:BC u 平 面 ABCO。工 1 BC(2)在 图 2 中，连 接 8。，1，平 面 45(7。，/8 U 平 面 Z8C。O D 1 A B 又.8 J.4 0,ODtnAO=O：.平 面.ADt(z 平 面 AOD,则 AB 1 AD,即 4 1 8,0 5 均 为 直 角 三 角 形 在 放 中，OA=yjAD2-O D2=3(设 点 到 平 面 的 距 离 为.%-AB0=1,S M B O*D。=X；X 2/3 X 3X 行=3故 J J 2VO-ABD,=S%映 d=；x；x 2 G x 2 G x
33、d=2d/D1T 8 0=O-ABDy 23即 点 到 平 面 A B D的 距 离 为 520.某 品 牌 电 脑 售 后 保 修 期 为 一 年，根 据 1000台 电 脑 的 维 修 记 录 资 料（保 修 期 内 所 有 电 脑 维 修 次 数 均 不 超 2 次），这 1000台 电 脑 在 保 修 期 内 需 要 维 修 1次 的 有 300台，需 要 维 修 2 次 的 占 20%.以 这 1000台 电 脑 维 修 次 数 的 频 率 代 替 1 台 电 脑 维 修 次 数 的 概 率.（1）求 1 台 电 脑 保 修 期 内 不 需 要 维 修 的 概 率；（2）若 某 人
34、购 买 2 台 这 个 品 牌 的 电 脑，2 台 电 脑 在 保 修 期 内 是 否 需 要 维 修 互 不 影 响，如 果 2 台 电 脑 保 修 期 内 需 要 维 修 的 次 数 总 和 不 超 过 2 次 的 概 率 大 于 0.8,则 认 为 该 品 牌 电 脑“值 得 信 赖”，请 判 断 该 品 牌 电 脑 是 否“值 得 信 赖”，并 说 明 理 由.（1）0.5（2）认 为 该 品 牌“值 得 信 赖”，理 由 见 解 析【分 析】（1）根 据 对 立 事 件 的 概 率 公 式 计 算 可 得；（2）利 用 相 互 独 立 事 件、互 斥 事 件 的 概 率 公 式 计
35、算 可 得；【详 解】（1）解：（1）由 题 意 可 知 当=03该 品 牌 电 脑 保 修 期 内 维 修 1次 的 概 率 为：1000,该 品 牌 电 脑 保 修 期 内 维 修 2 次 的 概 率 为：20%=0.2,该 品 牌 电 脑 一 年 不 需 要 维 修 的 概 率 为.1-0-3-0.2=0.5（2）解：品 牌 4 表 示 第 1台 电 脑 在 保 修 期 内 维 修 i次 的 事 件（i=，L 2）品 牌 与 表 示 第 2 台 电 脑 在 保 修 期 内 维 修/次 的 事 件（/=，1，2）P（4）=0.5,。=03 P=0.2P（BJ=0.5,PCSJ=0.3,PB
36、2）=0.24 与 鸟 相 互 独 立，4 孙 4 约,4 吗 都 互 斥 2 台 电 脑 保 修 期 内 需 要 维 修 的 次 数 总 和 为 0 的 概 率：,=尸（4）综）=尸 x P（B。）=0.5x 0.5=0.252 台 电 脑 保 修 期 内 需 要 维 修 的 次 数 总 和 为 1的 概 率：4=P（4 q+4 线）=尸（4 4）+尸（4 线）=05 X 0.3 X 2=0.32 台 电 脑 保 修 期 内 需 要 维 修 的 次 数 总 和 为 2 的 概 率：P2=P（4 A+&Bo+4 片）=P（4 H）+P（&B）+P（4 A）=0.5 X 0.2 X 2+0.3
37、X 0.3=0.292 台 电 脑 保 修 期 内 需 要 维 修 的 次 数 总 和 不 超 过 2 次 的 概 率 P=PQ+PX+P2=0.25+0.3+0.29=0.84 0.8所 以 认 为 该 品 牌“值 得 信 赖”.21.如 图 所 示，在 四 棱 锥 尸 一 1 8 8 中，已 知 底 面 N 8 C O 是 边 长 为 6 的 菱 形，BE _ 1/BC=120。，P4=PC,NPBD=NPDB=60。，E 为 线 段 上 的 点，且 至=5(1)证 明：平 面 尸 平 面 尸 5。；PF(2)尸 为 线 段 尸。上 的 一 点，且 M 平 面 P 8 C,求 而 的 值
38、及 直 线 叱 与 平 面”B C D 的 夹 角.(1)证 明 见 解 析 3,45。【分 析】(1)设“C 与 3。相 交 于。点，连 接 尸,依 题 意 可 得 8 0、A C 1 P O,即 可 得 到 HC，平 面 尸 8。，从 而 得 证：(2)在 线 段 尸。上 作 尸 点，过 F 点 作 FG/DC,交 P C 于 G,连 接 E尸，BG,由 线 面 PF平 行 的 性 质 及 三 角 形 相 似 求 出 而，过 F 作 四，8。，交 B D 于 H 点,连 接 E”，则 N F E H 为 直 线 E尸 与 平 面 的 夹 角，再 根 据 线 段 关 系 求 出 角 即 可；
39、【详 解】(1)证 明：设/C 与 2。相 交 于。点，连 接 2,四 边 形 Z 8 C Q 为 菱 形，8。，；PA=PC,A C L P O,又=BD,PO u 平 面 PBD,贝 IJ/CJ.平 面 P8Z),NCu 平 面 P/C,；平 面&C 1 平 面 PB.(2)解：在 线 段 尸。上 作 尸 点，过 尸 点 作 尸 G C,交 尸。于 G,连 接 EF,BG,-FG/DC,.-.FG/AB,则/G/E8,故 E,F,G,8 四 点 共 面，；EF 平 面 PBC,EF u 平 面 EFGB,平 面 EFG8 D 平 面 P8C=8G,:.EFHBG,故 四 边 形 EFG8为
40、 平 行 四 边 形，则 8=FG,BE=1|FG|1,两=3,PF|FG|1;AP尸 GO AP D C,闸 凶 弓，在 尸 8。中，NPBD=NPDB=60,：,P O 1 BD t在(1)知/C_LP,又 ZCn8Z)=,C,80 平 面/8C。，尸。JL平 面/BCD,FH|/7)|_ 2过 尸 作 方 H J.8 D,交 8 0 于 H 点，故/TWO APDO且|。|1Pq 在 中，M=万，.网=率=2 连 接 E a,在 8E4中，快 斗=，|喇 2+忸 川-2.卜 忸 E|cosNE8H=厄=2百 F H，平 面 ABCD,则 4 F E H 为 直 线 E F 与 平 面 A
41、 B C D 的 夹 角，在 RtAEFH 中，|叫=回|=2百，.NFEH=45,直 线 E F 与 平 面 A B C D 的 夹 角 为 45.22.如 图，设 AN 8 C中 角/,B,C 所 对 的 边 分 别 为 0,b,c,。为 8 c 的 中 点，己 知 c=l,S“BC=2。2 sin”.(2)点,尸 分 别 为 边 48,Z C 上 的 动 点，线 段 所 交“。于 G,且 0FCV2,sin ABAD=r-7,皿 3 AG EF,求 工 的 最 小 值.(1)604(2)3J D=-（A B+J C）【分 析】（1）根 据 三 角 形 得 面 积 公 式 可 求 得 边
42、以 再 根 据 2 结 合 数 量 积 得 运 算 律 即 可 得 出 答 案；_ AB ADcos/B A D=.(2)分 别 将 口,而 万 用/IC表 示，再 根 据 cos ABAC,设 4E=x(0 x 4 1),/尸=y(2 W y 4),求 得 根 据 平 面 向 量 共 线 定 理 及 推 论 将 石 用 运，刀 表 示，从 而 可 求 得 万 丽，再 根 据 AGEF百 后 分 析 运 算 从 而 可 得 出 答 案.S-be sin A-2c2 sin A【详 解】解：由 2,:.b=4,。为 8 C 的 中 点，1 Z AD=-(A B+AC).-.|A D|2=1(AB
43、2+AC2+2AB-AC)=-(l+16+2xlx4cosZ 5/4C)4 4.cos/B A C=2,又 0 4 1 8 0,所 以 N历 IC=60。；AD=-(1 7+8cos Z 5JC)(2)解：由(1)可 知：4.耘.砺=L(万+刀)赤+2cosN 8/C2 2.s i n 4 3 坐。为 s c 的 中 点,cos ZBAD=7 八 A B A D/.cos ZB AD=.-1=-；+2cosN 54c 后 y7=l j l 7+8cosNR4C 72ABMADcos ZB AC=-解 得 2,设 AE=x(0 x K 1),AF=y(2 y 4),r#S.A E F=g x X
44、 y x x C=2 x y则 2 2 4设 力 G=piAE+(-pi)AF前=流 4 而+g k=x茄+*就 L%川-)_)则 12 4,解 得 4x+y,前=一 荏+上 万 故 4x+y 4x+y:.A G E F=A G(AF-AE)=v,，一 A Y-.AE+-AF A F-A E)4x+y 4x+y J工 后 2-。乐 2+j 超 万=2.一 3 c 4x+y 4x+y 4x+y._ AG EF _ 2(3y-2x)亚 人+y-=t,t2令 x,.6 2(3 匕 2x)=2-=2(3-苴)-4x+y t+4 t+4 3当 且 仅 当 2时 取 等 号，4x+y4所 以 彳 的 最 小 值 为.本 题 考 查 了 三 角 形 的 面 积 公 式，考 查 了 平 面 向 量 共 线 定 理 及 推 论 和 平 面 向 量 基 本 定 理,考 查 了 数 量 积 的 运 算 律，综 合 性 较 强，有 一 定 的 计 算 量，有 一 定 的 难 度.