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1、2021-2022学年湖南省郴州市高一下学期期末数学试题一、单选题1.已知z=2-3 i,则z 的虚部为（）A.3i B.-3i C.3 D.-3C【分析】先求出共枕复数，再求出其虚部即可【详解】因为z=2-3i,所以z=2+3i,所以z 的虚部为3,故选：C2.某次数学竞赛中有甲、乙、丙三个方阵，其人数之比为2：3：5.现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为50的样本，其中方阵乙被抽取的人数为（）A.10 B.15 C.20 D.25B【分析】根据抽样比即可求解.350 x-=15【详解】由题意可知：方阵乙被抽取的人数为 2+3+5,故选：B3.底面半径为2,母线长为4 的圆锥的表面积
2、为（）A.娓w g 12 c.2乖）兀 D.2瓜兀B【分析】利用圆锥的表面积公式即得.【详解】由圆锥的底面半径为2,母线长为4,则圆锥的表面积为S=X2X4+TTX22=12.故选：B.4.若向量I。），在=（x,2）,且 力（f）,则x 的 值 为（）A.-1 B.0 C.1 D.0 或 1D根据向量的坐标运算，结合垂直时向量的坐标关系，即可求得x 的值.【详解】根据向量的坐标运算，可知=因为a_L(a-6),由向量垂直的坐标关系可得(1,X).(X,X-2)=0,H*+X2_2X=0解方程可得x=或x=l故选:D本题考查了向量的坐标运算，垂直时的坐标运算，属于基础题.5.Z 8C 中，内角
3、4、B、C 所对的边分别为、b、c,若。=1,b=cos A=2,2,则s m C=（）巫 3 g+石A.4 B.8 C.4 D.8D【分析】先由正弦定理求得s i n 8,进而求得c o s 8,再由sinC=sin（+8）结合和角公式求解即可.6 4.1 a bcos A=Z=sin A=-=-【详解】由 2 及知 6,2,由正弦定理得sin力sin 5,sin 8=1解得 4,又ba,则 I 6 九故选：D.则sinC=sin 万 一（Z+8）=sin（N+8）=+6.在正方体Z 8 C D-/G。中，为 棱 C G 的中点，则异面直线ZM 与 G Q 所成角的正切值为()_ L1 五近
4、A.2 B.3 c.2 D.2C【分析】根据线线平行，找到直线力河与 G P 所成角为“M N,在三角形中即可求解【详解】取。的 中 点 N,连接MMZN,因为M V/G 4,故 或 其 补 角 即 为 直线与 G。/所成角，因为C O,平面ADDA,M NC D,故MN_L平面Z N u 平面所以 WZ N ,故A/M N 是直角三角形，设正方体的棱长为2,MN=2,AN=AAD2+-DDA=仓+仔=也则 V V2/AN 75tan Z.AMN=-=所以 MN 2故选：C7.周易是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变 化.如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、兑八卦，每一卦由三
5、根线组成（表示一根阳线，一 一表示一根阴线），现 有 1人随机的从八卦中任取两卦，六根线中恰有四根阳线和两根阴线的概率为（）A.14 B.28 C.14 D.28C【分析】八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎.离、艮、兑八卦，从八卦中任取两卦,基本事件总数 =C；=28,这两卦的六个线中恰有两个阴线包含的基本事件总数有:m=蓝+C；C；=6,由此能求出这两卦的六个线中恰有两个阴线的概率.【详解】解：八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎.离、艮、兑八卦，从八卦中任取两卦，基本事件总数=砥=28,这两卦的六个线中恰有两个阴线包含的基本事件总数有:M =C；+C；C；=6这两卦的六个线中恰有两个阴线的概率为m
6、6 3p=一 28 14故选：C.8 .如 图，在 N B C中，点。是 线 段8c上 的 动 点（端 点除 外），且 而=方+了就,9 1-1-则x y的 最 小 值 为（）AC.1 8D.1 99 1 =【分析】由题意可得x+=i,则x y2 +4(x +y)x y)，化简后可利用基本不等式可求得结果【详 解】因 为 点。是 线 段8 c上 的 动 点（端 点 除 外），且 方=石+,所 以x +N =l,且x 0/9 1+所 以x卜y(x+y)=9+型 +1x y 10+2 隹 d=16 x y9y_ x当且仅当9 1一 十 一y,即3 1x=-,y =-4-4 时,取等号,所 以x N
7、的 最 小 值 为16,故选：A二、多选题9.下 列 命 题 不 正 确 的 是（）A.三点确定一个平面B.两条相交直线确定一个平面C.一条直线和一点确定一个平面D.两条平行直线确定一个平面A C【分 析】利 用 立 体 几 何的3个公理与推论即可判断出答案.【详解】对于A 选项：若 3 点在同一直线上时，则不能确定一个平面.错误；对于B 选项：两条相交直线确定唯一一个平面.正确；对于C 选项：当点在直线上时，则不能确定一个平面.错误；对于D 选项：两条平行直线确定唯一一个平面.正确；故 AC.10.若复数Z满足网，则（）A.z=-l+i B.z 的实部为 1 C.z=l+i D.z?=2iB
8、D【分析】根据复数的模长公式以及除法运算可得z=l+i,进而可判断A,B,根据共拆复数可判断C,根据乘方运算，可判断D.【详解】由z（l）=网 得：z（l）=2 n z =m i,因此A 错误，实部为则 B 正确，z=l-i,故 C 错误，22=（l+i）=l +2i+i2=2 i）故 口 正确.故选:BDcos B _ b11.在A/5 C中，a、b、c 分别为角A、B、C 的对边，已知cosC 2a-c,M L 4,且6=亚，则（）Dcos B =1 si.n 5n =1/TA.2 B.2 C.a c =D.a+c=0,故 2,所以，3,cos B _ h由 cosC 2 a-c 可知 c
9、ost?。且 C W2Q即F且c d,。ABC=ac sin B=ac2 4734,则比=1,由余弦定理可得2=/+o?-2accosB=a2+c2ac=(a+c)2-3ac=(ci+cy-3故a+c=石,由a+c=V 5a c=l,解得75+1a=-275-1c=-2或V5-1a=-2c=V5+小 生2,显 然 满 足“5 且e x 2a,所以，ACD选项正确，B 选项错误.故选：ACD.1 2.如图，在正方体工8 8-小8/。/中，点，在线段8 G 上运动时，下列命题正确的A.三棱锥/-)/尸 C 的体积不变7T 7TB.直线C P与直线工功的所成角的取值范围为I 4 5-C.直线Z P
10、与平面/C D,所成角的大小不变D.二面角P-/O/-C 的大小不变ABD 分析对于选项A,由已知可得BC、平面可得BC/上任意一点到平面的距离相等，由此可判断；对于选项B,由B C 0 4R,可得直线。尸与直线/0的所成角即为直线CP与直线5。的所成角，由此可判断；对于选项C,点尸在直线5 G 上运动时，直线Z 8 与平面ZZ5/C所成的角和直线Z G 与平面4O/C所成的角不相等，可判断；对于选项。，当点尸在直线8 G 上运动时，“尸U 平面尺4。,即二面角PUZQLJC的大小不受影响，故 D 正确.【详解】对于选项A,因为BC HAD,8 Gtz 面乌三面 C ,所以8 C 平面，所以8
11、 G上任意一点到平面N O/C 的距离相等，又%-e q=/-c 码，所以三棱锥A。/P C的体积不变，故 A正确；对于选项B,因为8 G 4 点尸在直线8 G上运动，所以直线C P 与直线N5 的所成角即为直线CP 与直线8 G的所成角，因为 B C G 为等腰直角三角形，故B项正确;对于选项C,点 P 在直线3。上运动时，直线N8 与平面/SC所成的角和直线G与平面，。/C所成的角不相等，故 C错误；对于选项。，当点P 在直线8 G上运动时，/尸项平面历I。,即二面角P I/OQC的大小不受影响，故 D 正确.故选：A B D.三、填空题13.一组数 1、2、4、5、6、6、7、8、9 的
12、 7 5%分位数为7【分析】由百分位数的定义直接求解【详解】因为9x 7 5%=6.7 5,所以7 5%分位数为第7个数7,故 714.已知事件/、B 互 斥,且事件4 发生的概率产（4）=4 ,事件8 发生的。（8）_=二，则事件工、B都 不 发 生 的 概 率 是.1120【分析】事件A 8 互斥，事件4 8 都不发生的对立事件是事件A与3 至少有一个发生，由此即可求出答案.【详解】事件工、8 互斥，且事件”发生的概率产（/）=,事件8 发生的P（5）1=s,事件4B都不发生的对立事件是事件A与 B至少有一个发生，1 1 11P(N 8)=l-P(/u 8)=l-(-+-)=所以事件4 8
13、 都不发生的概率为.4 5 2011故答案为.人15.如图，为了测量河对岸的塔高/瓦可以选与塔底B在同一水平面内的两个基点C与D,现测得C L =3 0 米，且在点C和。测得塔顶力的仰角分别为4 5。，3 0。，又乙CBD=30,则塔高AB=米.3 0【分析】设4 8=人米，进而可得6 C,B D,然后利用余弦定理求解.【详解】设“8=/?米，B C=A B=h在4 8C 中，t a n 4 5。，B D=-4B.二岛在4 8。中，t a n 3 0。,在 B C D 中，CD?=CB?+DB?-2 C B D B co s 30。,302=h2+(/3h)-2 h-/3h-即 V 7 2,所
14、 以 川=3 0 2,解得=3。(米).故 3 0.1 6 .已知/、B、C是半径为3的球。的球面上的三个点，且 1 0 8=1 20。，A B=g ,/C+8 C=2.则三棱锥-/8C 的体积为.逅6【分析】利用正弦定理即可求出A/8 C 的外接圆半径，即可求出三棱锥-/8C 的高，利 用 余 弦 定 理 即 可 求 出 8C,可计算出A/8 C 的面积，再利用锥体的体积公式即可求出答案.【详解】因为8=JJ,N/C8=120。r -4 B G ._ _ I所以“8C的外接圆半径为 2 s i n Z ACB 2 sin 120.所以三棱锥的 高 为 =2也在“BC 中,由余弦定理可得：AB
15、2=A C2+B C2-2 A C BCco s Z ACB3=A C2+B C2+A C B C =(AC+B C y-A C B C解得 4c B e =1.S.B C=-AC-BCs i n l20=所以 2 4.v 1 0,1 V3/-V6所 以V ABRe(.=-3S,a.cK r-h=-3-x.4 x2V2=6V6故答案为.T四、解答题1 7.若。，石，。是同一平面内的三个向量，其中。=(3,-1).若卜|=2呵 旦 启，求工的坐标；小 _ _ 一一 一.若I 2且。+26与2a-6垂直，求。与6的夹角。.工=(6,-2)或c=(-6,2)(2)e=乃【分析】设L,则 由 日 可
16、得X +3产0,再由卜卜2而，得 八/=40,解方程组可求出X J,从而可求出工的坐标；(2)由 +25与2垂 直，可得9 +23)侬/)=0化简可求得7 g =_ 5,从而得cosO=T,进而可求出【详解】设c=(x j),i/D =(3，-l),.3+3=0,又卜卜2加,X2+/=4 0r=6广6解得：)=-2或 y=2.=(6,-2)或。=(-6,2)小巫-2且。+2b与2 a-b 垂直，0 +2君）便-伊 0,即 2/+3 H 2 片=0.又卜卜屈，代入上式解得7=-5,|a|cos 0=x/10 x cos 0=-5.Cs=-1,又。0,幻，.0=万1 8.如图，四棱锥尸48。的底面
17、48c。为菱形，P B=P D,E,F 分 别 为 和的中点.（1）求证：EFII平面P2C：（2）求证：平面尸8 0 1 平面PNC.（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）取尸C 的中点G,连接FG,B G,则 FG 为中位线，根据题意，可证明四边形8EFG是平行四边形，利用线面平行的判定定理，即可得证；（2）设 N C nB D=O,连接尸。，根据题意可证8DLP。，B D L A C,利用面面垂直的判定定理，即可得证.【详解】证明：（1）取尸C 的中点G,连接FG,B G,如图所示：”是PD的中点,F G =-C D.FGW CD,且 2,又 底面Z 8C 是菱形，E 是 4
18、B 中点,BE=-C D且 2,.BEW FG,Ji BE=FG,四边形B E尸G是平行四边形，.EFW BG,又 F t平 面 P BC,8 G u平面 P BC,平面 P B C；(2)设ZCn8 O=O,则。是8。中点，连接P。,底面48 co是菱形，BDLAC,又:PB=PD,。是5。中点，.BDLP 0,又 A C C P O=O,/C u平面 P/C,尸O u平面 P/C,平面 P AC,平面 P BD,二平面尸8D _ L平面P AC.本题考查线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理，需熟悉各个定理所需的条件，才能进行分析和证明，考查逻辑分析、推理证明的能力，属中档题.1 9.我校
19、在20 21年的自主招生考试成绩中随机抽取4 0名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组0，80),第2组 80 ,85),第3组 85 ,9 0),第4组 9 0 ,9 5),第5组1 9 5,1 0 0 ,得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在8 5分以上的学生为“优秀”，成绩小于8 5分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格.(1)根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数：(2)如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？2 6 0 9(1)中 位 数 为 3 ,平均数为8 7.
20、2 5；(2)1 0【分析】(1)计算各组的频率得中位数在第三组，不妨设为x,进而根据(x-8 5)x 0.0 6 =0.1 求解，根据平均数的计算方法计算即可得答案.(2)由分层抽样得良好 的学生有2 人,“优秀”的学生有3 人，进而根据古典概型求解即可.【详解】解：(1)第一组的频率为0 0 5,第二组的频率为6 3 5,第三章的频率为0.3 0,第四组的频率为0 2 0,第五组的频率为 。，所以中位数在第三组，不妨设为x,则(a8 5)x 0.0 6 =0.5-0.0 5-0.3 5,解得5 2 6 0 x =8 5 +-=3 3 ,平均数为 7 7.5 x 0 0 5+8 2.5 x
21、0 3 5+8 7.5 x 0.3+9 2.5 x 0.2+9 7.5 x 0.1 =8 7.2 5 ；(2)根据题意,“良好”的学生有4 0 x 0.4 =1 6 人,“优秀，的学生有4 0 x 0.6 =2 4 人,U 1 6 r u 2 4 ”5 x _ _=2 s x _ _=3所以分层抽样得“良好”的学生有 4 0 一 人,，优秀，的学生有 4 0、人，将三名优秀学生分别记为4民C,两名良好的学生分别记为。力，则这5人中选2人的基本事件有：4 B,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,a b共()种，其中至少有一人是“优秀”的基本事件有：,8,C，8c劭,C”,部 共 9种
22、，所以至少有一人是“优秀”的概率是 1 02 0.已知/8 C 的角4,B,C的对边分别为a,b,c,且hs i n 4 -s i n C =-(s i n B-s i n C)求角小(2)从两个条件：=3；/8 C 的面积为3 班 中任选一个作为已知条件，求/B C周长的取值范围.A=-(1)3(2)答案不唯一，具体见解析【分析】(1)由正弦定理将已知式子统一成边的形式化简，再利用余弦定理可求出角4;(2)若选，则由正弦定理可得b=2 6 sin 8,c=2 G s in C,从而表示出三角形的周长，化简后利用正弦函数的性质可求出其范围，若选，由S“BC=3 G 结合已知条件可得bc=1 2
23、,再利用余弦定理表示出。，然后表示出三角形的周长，结合基本不等式可求出其范围bsin A-sinC=-(sin/l-sinC)【详解】(1)因为 c ,c=b(b-c)o ,o所以 a+c,得从+。-一力=枕,b2+c2-a2 1cos A=-=所以 2bc 2,A=匕因为所以 TA=,a=3,选择”3,因为 3b=c=_a_=2由正弦定理得sin5 sinC sin4,所以人=2也 sin B,c=2 sin C即 A/8C 的周长/=a+6+c=2 6 sin8+2 瓜 inC+3.1 =2 扇 nB+2氐 布(-修+3=3 VisinB+3cos8+3=6sin 8+/)+32万 九 八
24、 4 541 .(n 乃8 e(0,)/+2 丁，7,5=y/j tanNQQC=军=J _ =追V3O O、扣 3f所以/0 i =60 Z.OXO C=30，所以。1 BQ,因为 N01 平面 BCO、,BO u平面 O BCO,所以/O _ L 8 q,因为/o n o c=。，所以8 a l 平面/o c,因为4 C u 平面ZOC,所以“C l B Q(2)由 知 ，叫 _ L 叫 所 以 即1平面设 =生过点E作EF C于点尸，连接”因为所。/：5,所以4C_L平面。E 尸，因为Q F u 平面Q E F ,所以L _ L/C所以NQ总是二面角o _/c _ q 的平面角.1拒由
25、知 得，AB=3 C D,高 八 百，tanH=/-,得 48=6,8 =2.所以 04=3,OO=Q。=所以。/=2 6，A C =屈,因为平面AO OD 1平面B O O ,平面/O“n 平面B O O =OQ,O Ot 1 CO,所以c q，平面NOOQ,因为 Q u 平面所以CQ A0-0/0 0 -2 6所以 A C 历.0l,=0 0lsin300=又2,sinZOlF=-=所以。尸4叵所以二面角-c-a 的 正 弦 值 为 4.2 2.已知。为坐标原点，对于函数/（x）=asinx+b c o s x,称 向 量=Q%）为函数/（X）的伴随向量，同时称函数/（X）为向量丽的伴随函
26、数.设函数g（氐 皿 呜），试求g（x）的 伴 随 向 量 两；_ 8（兀兀）（2）记向量N =Q 3）的伴随函数为“X）,求当 三 且3 6）时cosx的值；（3）由（1）中函数8（）的 图 象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2 倍，再把整个图2兀象向右平移丁个单位长度得到“（X）的图象，已知（一 2,3）,8（2,6）,问在y=x）的图象上是否存在一点P,使得7 7,豆乏若存在，求出P 点坐标：若不存在，说明理由.两=3）4百+310（3）存在点尸（，2）,使 得 万，丽.【分析】（1）利用诱导公式求出g（x）=-G sin x +c o s x,从而得到g（x）的伴随向量;（2）根据向量
27、得到小）,利用利用凑角法得到cosx；（3）先求出（X）,再设出尸点坐标，利用向量垂直关系得到方程，变形整理后得到2 c o slx-22 2|_ 2 5 ,4，根据等式左右两边的取值范围，得到当且仅当x=0 时,2I 25_X22 2 和 4”同时等于25彳，此时尸(，2).3、g(X)=73 sin(x-n)-sin(-7t-x)=-/3 sin+cos x 两石,1)【详解】(1)2，故,8故f (x)=sin x+V3由题意得：71cosx=2 sin x+sinfx+y兀7171X GX+-G 0,-,所以3234可 由 于cosf x+y35，所以,所以兀371cos x=cos
28、x+3713(7 7 1 1|兀71.兀).=cos x+cos+sin x+sin3333 1 4x+x5 2 56_ 4 6+3210g(x)=-73sinx+cosx=2cos x+个 A(x)=2cos-x V 3九 所 以，2,假设存在点P x,2cos-x _ _V 2 A 使得4 P J L 8 P,贝|JAP,BP=(x+2,2 cos _ 3)(x 2,2 cos x _ 6)=x2 4+4 cos2 x _ 18 cos x+18=02 1 9丫 25 2 1 13 1 9 5cosx =x 22cos-x 42-2 cosx W 即l 2 4，因为 2，所 以 2 2 2 2,所至 4以 42 c o six-22 22/6 9 25.2 5S-x S-4,又因为4 4所以当且仅当x=0 时,2 8 s 5、2）和 了 7同时等于彳，此时尸（，2）,故在函数k“（X）的图象上存在点P（，2）,使 得 存,而