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1、2021-2022学年湖南省衡阳市祁东县高一下学期期末数学试题一、单选题1.复数2=（9-7 14 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限A【分析】根据复数的乘法运算算出z,然后可得答案.【详解】由题意得z=7 +9 i,所以z 在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A V 132.记的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c,若 4 ,2a=3 c,则sin Z =（）旦 空 空 直A.4 B.8 C.9 D.9B【分析】利用同角三角函数的基本关系以及正弦定理可求得sin N的值.c o s C=sin C =V 1-c o s2 C=【详解】因为 4
2、,则C 为锐角，且 4 ,.3 .3 百 3 石sin J=sin C=x =-因为2。=3。，由正弦定理可得 2 2 4 8 .故 选:B.3.已知某圆柱的高为5,底面半径为百，则该圆柱的体积为（）A.6 7 r B.9兀C.12兀 D.15 兀D【分析】直接利用圆柱的体积的公式求解.【详解】解：由题意得该圆柱的体积为万,（.5 =15 故选：D4.如图，在7 x 5 正方形网格中，向量3,取满足，石,则方-通+元=（）A.2-3a+bC.23a-bD.2【分析】由向量加减法运算法则，得到所求向量为 反，再由向量减法的三角形法则,以及向量数乘运算，计算答案.AB-AD+BC=DB+BC=DC
3、=-3a+-b【详解】由题意得 2,故选：C.5.分别投掷两枚质地均匀的骰子，设事件4=两枚骰子的点数都是奇数”，事件8=两枚骰子的点数都是偶数“，事件C=两枚骰子点数之和为奇数”，则事件4 U 8 与事件C()A.不互斥 B.互斥但不对立C.互为对立 D.以上说法都不对C【分析】由事件互斥与事件对立的定义即可判断【详解】投掷两枚质地均匀的骰子共有三种结果，一奇一偶，两奇，两偶，所以和事件 AUB与事件C 互为对立故选：C6.一组数据按从小到大的顺序排列为56,59,60,62,a,若这组数据的极差为7,则这组数据的方差为()A.30 B.6 C.25 D.5B【分析】由极差定义求得。，再根据
4、方差定义计算方差.56+59+60+62+63”-=60【详解】由题意得4=56+7=6 3,所以这组数据的平均数为 516 +1 +0 +4 +9 /-=6方差为故选：B.57.甲、乙两位同学暑假计划从吉林省去河北省旅游，他们所搭乘动车的“3+2”座位车厢如图所示，若这两位同学买到了同一排的座位，则他们的座位正好相邻的概率为()2 12 2A.5 B.2 c.5 D.10D【分析】根据给定条件，利用古典概率公式结合列举法求解作答.【详解】设事件M为“他们的座位正好相邻”，甲乙二人买到同一排4 B,C,D,式5个座位中的两个形成的样本空间为Q,则。=/8,4（7,/。,工 尸,8。,8/）,8
5、尸,67）,。尸,）尸 ,共包含（）个样本点，3其中事件”=/8,8 C,F ,包含3个样本点，则有“）一而，3所以他们的座位正好相邻的概率为1 .故选：D8.灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1,某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球冠）.如 图2,球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为R,球冠的高为/?,则球冠的面积5=2万 股.已知该灯笼的高为46c m,圆柱的高为3 c m,圆柱的底面圆直径为3 0 c
6、m,则围成该灯笼所需布料的面积为)图2A.2090-cm2B.2180-cm2C.2340万 cm?D.2430cmB【分析】由勾股定理求出&,则=A-20=5 c m,分别求出两个球冠的表面积、灯笼中间球面的表面积、上下两个圆柱的侧面积即可求出围成该灯笼所需布料的面积.详解由题意得/2C.四边形48C D 的周长为6+2及+2打D.四边形/B C D 的面积为6及A C D【分析】利用斜二测画法的规则，逐个求解边长，根据选项可得答案.【详解】由已知等腰梯形中，/。才8 =45。,48 =2。)=4,所以0。=收，71由斜二测画法得，在原图直角梯形/8 C D 中，AB=2CD =4,O =2
7、&.乙 BAD=2,易得B C =2百,2 +4*2 后 _6五所以四边形/8 C Q 的周长为6+2 0+2 月，面积为丁、.故选：A C D.C.|2 z Z 2|=3 7D.4+2 Z 2 的共扼复数为2-3 iA D【分析】先由4+的为纯虚数，2 仔 20,求出。，6 的值，然后逐个分析判断即可【详解】由4+z 2=(a +2)+3+l)i 为纯虚数，得。=-2,且必-1,由 N R?=(a +i)(2 +b i)=2。一 b +(ab+2)i 0得 时=-2,且 2 4”0,得6=1,所以|2 4-Z 2|=|-6+i|=历,Z|+2 Z 2 =2 +3 i 的共轨复数为2-3 i,
8、所以AD正确，BC错误，故选：A D1 1.从参加安全知识竞赛的学生中随机抽出4 0 名学生，将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如图所示.已知6 5 分以下的学生共1 6 人，则下列说法正确的是()b0.025A.a=0.015B.这 4 0 名学生的平均成绩约为66分C.根据此频率分布直方图可计算出这40名学生成绩的中位数约为70分D.根据此频率分布直方图可计算出这4 0 名学生成绩的上四分位数约为77分ABD【分析】A.根据65分以下的学生共16人求解判断；B.利用平均数公式求解判断；C.利用中位数公式求解判断D.利用四分位数定义求解判断.【详解】由题意得l(2a+l)x4=1
9、 6,得a=o.oi5,A正确；由 10伍+0.025+0.005)x 4 0=2 4,得b=0.03,所以40名学生的平均成绩约为40X0.1+50X0.15+60X0.15+70X0.3+80 x 0.25+90 x 0.05=66 分，g 正确.设这40名学生成绩的中位数为x 分，则 0.1+0.15+0.15+0.03(x-65)=0.5,得x=68.3,C 错误;设这40名学生成绩的上四分位数为y 分，则+5+0.15+0.3+0.025&-75)=0.75,得夕=77,口正确.故选：ABD1 2.如图，在棱长为2 的正方体 8 8 一 4 G。中，E 是棱4 2 的中点，过G 作正
10、方体的截面夕交棱 4 于 尸，则()A.当时，截面为等腰梯形B.当1 4尸 2时，截面为六边形C.当“尸=2时，截面面积为2几23 ri -3 -2-7-1-3-D.当,-2时，截面。与平面8C C 4所成的锐二面角的正切值为3ACD【分析】当 尸=1时，易得截面为四边形E F 2 G,可判断A；当14尸2时，AB,8 c上（不含端点）各有一个截点，所以截面为五边形，可判断B；当4/=2时,设8 c的中点为“，易得截面为四边形EG”,求出截面的面积可判断C；如图，过尸 作 尸 垂 直”R于点P,延长FE,D R交于点0,过R作AO垂 直 于 点0,求出截面a与平面8CG与所成的锐二面角的大小等
11、于平面瓦7G与 平 面 所 成 的 锐 二面角，/Q G即所求的锐二面角，求出tanAOG即可判断口.【详解】当 尸=1时，易得截面为四边形EF8G,o易证E F/8 G,且E F _QBCI,BF =E G ,所以截面为等腰梯形，A正确.当1 4尸/3 x/5-3=2762,c正确.如图，过尸作EP垂 直 于 点P,延长FE,D D、交于点0,过A作。垂直EO于点0,因 为 平 面 平 面8CC百，所以截面a与 平 面 所 成 的 锐 二 面 角 的 大小等于平面EFG与 平 面 所 成 的 锐 二 面 角 的 大 小.因 为G A 1平面所3以所以e o c唧所求的锐二面角.易得DQ-P-
12、,F O =屈，由sinZF OP=DQ F PD pF OF P 3DtQ =DtO =,得 F 0,13,所以tan/。0G =C.D.2 g市:丁D正确.故选：ACD.三、填空题1 +i13.2 3 i=.1 5.5.1-1-1-13 13 13 13【分析】利用复数的除法化简可得结果.1 +i _（l+i）（2+3i）_ 1 5-1-1【详解】由题意可得2-3（2-3 i）（2+3i）13 13-1-1故答案为.13 1314.驾照考试一共有四个科目：科 目 一（驾驶员理论考试）、科 目 二（场地驾驶技能考试）、科 目 三（道路驾驶技能考试）、科 目 四（安全文明驾驶常识考试）.只有四
13、个科目都通过才能取得驾照.若某学员四个科目通过的概率依次是0 9、0.8、0.8、0.9,且每个科目是否通过相互之间没有影响，则 该 学 员 拿 到 驾 照 的 概 率 为.3240.5184 625【分析】利用独立事件的概率乘法公式计算可得结果.【详解】由题意得，该学员拿到驾照的概率为09X0.8X0.8X0.9=0.5184.故答案为.$18415.剪纸艺术是一种中国传统的民间工艺，它源远流长，经久不衰，已成为世界艺术宝库中的一种珍藏.某学校为了丰富学生的课外活动，组织了剪纸比赛，小明同学在观看了 2022年北京冬奥会的节目 雪花之后，被舞台上一片片漂亮的“雪花”所吸引,决定用作品“雪花”
14、参加剪纸比赛.小明的参赛作品“雪花”如 图 1所示，它的平面图可简化为图2 的平面图形，该平面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中，P 为该平面图形上的一个动点（含边界），六边形48CQEF为正六边形，D C =4CK =4J K =8,C K 1 J K,/为等边三角形，则/8/P 的最大值为112 +1 6 6 16 百+112【分析】由题意可知万万 可以是还与开在刀上投影向量的数量积.结合图形可知当户与/重合时，取到最大值.【详解】前 万 可以是在与万在荏上投影向量的数量积.如图，把题中图2的平面图形顺时针旋转3 0 ,设正六边形/8 8 E 尸的中心为,连接C”,C J,连接我/
15、,交HJ于点、L,易得0,C 在尸/上，H J 1C1.过/作垂足为点M ,过 C 作C N _ L Z 8,垂足为点N.由题意得C=G7=2 应r-，ZL CJ =12 ,所以CL=C 7 c o s 4 c 7rH J =2H L=2 CJ sin ZZ.CJ=2（73 +1）所以 2 ,所以C/=2 +2 j 3.易证四边形C M W 为矩形，所以M N =C7=2 +2 6,易 得 斯-万 叱 一 4,所以 A M =AB+B N+N M =14+26.所以当尸与/重合时,超方=同西=8X+2 6）=112+166故112 +1 6 6四、双空题16.记“8 C 的内角4,B,C 的对
16、边分别为a,b,c,若2 儿os=asin8,且6 =2,=石，则51 14=,8c边上的高为.也26 生 后5 5 ,5 5【分析】化简2 6 c o s N =a s i n 8 得到t a n Z =2,再利用余弦定理求出 =石，设 8c边上 的 高 为 人 利用三角形的面积公式得解.【详解】解：由题意得2 s i n 8 c o s 4 =s i n s i n 8,得 t a n/=2,所以A为锐角，.2 7 5 .V5s i n J =-,cosA=所以 5 5 ,由余弦定理=62+C2-2 6C C O S/=4,得窃=石.S ARC=f t c s i n =ah设 8c边 上
17、 的 高 为 九 则 2 2 ,6 c s i n 4 4 后h=-=-得 a 52 6 4 7 5故 5 ,5 .五、解答题1 7.已知点 4 (2,-1),B(3,1),C(1,-2).(1)求向量方 与灰夹角的余弦值：若向 量 方 (荏+而，求实数r 的值.3 /1 0 一 句5t=-3【分析】(1)利用向量的夹角公式进行求解.(2)利用向量垂直的充要条件进行求解.【详解】(1)因为点 N (2,-1),B(3,1),C(1,-2),所 以 荏=(3,1)-(2,-1)=(1,2),C =(l,-2)-(2,-1)=(-1,-1)cos(AB,AC)=所以AB-ACI万H瑟I3 V1 0
18、1 0(2)因为点 4 (2,-1),B(3,1),C (1,-2),所 以 您=(3,1)-(2,-1)=(1,2),C =(l,-2)-(2,-1)=(-1,-1)所 以 方+，就=(l,2)+-l,-l)=(l T,2-f)乂因为 AB-L(,AB+t A O所以 Z8,(4 8 +f/C)=l 1 +4 2/=0,_ 5解得1 8.如图，在四棱锥P-4 8 C Z)中，底面/8CO是正方形，P/8为正三角形，且平面P A B L A B C D,A D =2,。为 4 c 与 8。的交点.(1)求四棱锥PA B C D的体积;(2)证明 C C P .4G(1)3(2)证明见解析【分析
19、】(1)作N8中点E,连接PE,得P E L 4 B ,由已知面面垂直得到线面垂直，从而得到P E为锥体的高，用体积公式计算即可.(2)连接OE,证平面P E。，得到N81P。，由线线平行证得C D _ L P。.【详解】(1)解：取48的中点E,连接P E.p：APAB为正三角形，PE工4B平 面 尸 底 面 Z8C,且平面尸/BPI底面/8C O =/8,P E u 平面p/g.PE1 底面 ABCDVp.BCD=j x2x2xJ4-1 =z-ZIDCZ./3 3(2)证明：连接OE 底面/8CO 是正方形，.=：PE,E 0 u 平面 PEO.PEC E=E,又PE _L4B./8平面
20、PEO.又尸。u平面PE。.AB 1 PO.ABUCD.CD 1 PO1 9.记A48 c 的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c,已知.在 2cos2c-8cos(1+8)+5=0,sin?A+sin2 B+sin sinB=sin2 c 这两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题.(1)求C 的大小；若A/8 C 的面积为百，且c=E,求“8 C 的周长.27r(1)T(2)372+714【分析】(1)选 ，由诱导公式以及二倍角的余弦公式可得出关于cosC的二次方程,求出cosC的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；选 ，由正弦定理边角互化结合余弦定理可求得cosC的
21、值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；(2)利用三角形的面积公式可求得必的值，再 利 用 余 弦 定 理 可 求 得 的 值，进而可求得 4BC的周长.【详解】解：选择，因为2cos2。-8cos(4+8)+5=0,即2(2cos2 C-1)-8cos(-C)+5=0即 4 cos2 C+8 cos C+3=0,即 G c o s。+1)Q c o s C+3)=。，2乃cosC=C=,O c%,则-1 COSC 1,得 2,即 3.选择，由 sin?/+sin2 8+sin Zsin B=sin2 C 及正弦定理可得/+b2+ab=c2,a2+b2-c2 1即。-,+从,-,/=-血 所
22、以c os C=-2-a-b-=2,C=因为0 C sinC=-a b -G(2)解：由A/8 C 的面积2 4,得 仍=4.由3=/+/-2abcosc,得 14=4?+b2+ab,得(a+b)2=1 8,即q+6=3 0,故“8 C 的周长为3&+9.2 0.某农户从一批待售的苹果中随机抽取100个，对样本中每个苹果称重，数据如下表.质量(单位：千克)0.00.00.10.10.10.个数10102040155若将这批苹果按质量大小进行分级，质量不小于0.12千克的苹果为一级果；质量不小于 0.1千克且小于0.12千克的苹果为二级果；质量在0.1千克以下的苹果为三级果.(1)从样本中按等级
23、进行分层抽样，随机抽取5 个苹果放入袋子，现采用不放回方式从袋子中依次随机取出2 个苹果，求第二次取到二级果的概率.(2)若将这批苹果按等级出售，一级果的售价为10元/千克；二级果的售价为8 元/千克;三级果的售价为6 元/千克.经估算，这批苹果有个，求该批苹果的销售收入约为多少元.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)3(1)5元【分析】(1)根据分层抽样得定义分别求出三种等级得果子得个数，然后利用列举法结合古典概型即可得出答案；(2)先分别求出三个等级果子得个数，然后再求出三个等级果子得质量，从而可得出答案.【详解】(1)解：由分层抽样法的定义知，从样本中按照等级分层抽样，随机抽取的5
24、个苹果中，一级果有1 个，记为力,二级果有3个，记为4，B2,打，三级果有1 个,记为C,依次不放回地取出2个，包含2 0 个基本事件：(4,用)，(力，B?),(出 与)，(A,C),(5,A),B B 用居，,o,(%z),5i,斗 鸟，(52,C),(4,Z),B3 B ,B3 B2,(约，C),(C,N),(C,Bl),(C,%,c 4),记“第二次取到二级果”为事件M,则事件M包 含 1 2 个基本事件，所 以 2 0 5,3所以第二次取到二级果的概率为；(2)解：由样本知，这批苹果中一级果占2 0%,二级果占6 0%,三级果占2 0%,所以个苹果中一级果有3 0 0 0 0 个，二
25、级果有9 0 0 0 0 个，三级果有3 0 0 0 0 个，一级果的质量约为(0.1 2 5 x 1 5+0.1 3 5 x 5)+2 0 x 3 0 0 0 0 =3 8 2 5 千克二级果的质量约为(，1 ，x 2 +1 1 5 x 4 0)+6 0 x 9 0 0 0 0 =1 0 0 5 0 千克，总售价约为3 8 2 5 x 1 0 +1 0 0 5 0 x 8 +2 7 0 0 x 6 =l 3 4 8 5 0 元,所以该批苹果的销售收人约为元.2 1.如图，四棱柱88-44GA的底面4 8 c D 为正方形，。为 8。的中点，4 144=24B=4底 ABCD,求证：平面4 8
26、。|平面8 百.(2)求 直 线 与 平 面BDD向所成角的正弦值.(1)证明见解析V 78【分析】(1)由四棱柱的性质和已知可证得四边形44co为平行四边形，则4 1 产0,由线面平行的判定可得4。I I 平面C0,同理可证得481|平面CDS,从而由面面平行的判定定理可证得结论，(2)连接4G,交B自 于3,连接 a,可证得8 O J平面4。0,在平面4。内作AE1 O,垂足为&连接8E,则/田 就是直线48与平面8。4 所成的角，再由已知求出4瓦/田，从而可求出结果【详解】(1)证明：因为四棱柱的底面4 8 C。为正方形，所以 AB=A B,AB|CD,AB=CD,所以4%,CD AB,
27、=CD,所以四边形48co为平行四边形，所 以 他 科 c又 4。a平面。,所以4。I I 平面8 百，同理4,平面。.又 ADoAB=4所以平面48。|平面(2)解：如图，连接4 G,交3Q于q,连接。、则 BA _L 4 G,又 I BQ,所以 8 4cL 即 8 4 0 1.因为4 ，底面/8C),BDu底面4BCD,所以 40_LB。，又 4Qi c 4Q=4,所以8OJ.平面4 0 0,在平面4 0。内作4 E，0 0,垂足为E,则B C 4 E,又 0Q cBD =。,所以 平面 BO),连接8 ,则/E就 是 直 线 与 平 面80。百所成的角，设为火因为4=248=4,/8 C
28、 =90,所以4 Q=&,4 0 =至40-40,_ VuxV2 _ V7/it LL-=-在 R S400 中，4 2.在 R S 408 中，4B=3+OB2=而 区=4sin”姮色所以 AB 8.V 7故直线4 8与平面8 O D 4所成角的正弦值为82 2.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每 胜1局 得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜：若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打11平.假设在每局比赛中，甲胜的概率为万，负的概率为5,且每局比赛之间的胜负相互独立.（1）求第三局结束时乙获胜
29、的概率；（2）求甲获胜的概率.4 药2 65 而【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜），根据独立事件的乘法公式即可求解.（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【详解】（1）设事件4为“第三局结束乙获胜”1 2由题意知，乙每局获胜的概率为3,不获胜的概率为3.若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）.1 2 1 2 1 1 4尸（1）=-X x-+x-x-=故,333 3 3 3 2 7（2）设事件8为“甲获胜”.n1 1 1P,=-X =若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，
30、此时的概率 2 2 4.若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜,胜）.八 1 1 1 1 1 1 1Py=-X X+X X =此时的概率-2 2 2 2 2 2 4.若第四局结束甲以积分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平 或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜）,（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）.Pc.=1x 1x 1 x1 x,3 +1 x1 1x 1x,x6 =5此时的概率 2 6 6 2 2 6 3 2 48若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平,平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）.R=X X X x4=-此时的概率 2 6 6 6 108故 P（8）=6+g +4+公号