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1、2021-2022学年湖南省岳阳市临湘市高一下学期期末数学试题一、单选题1.设“一 币 ，则目=()1交A.2 B.26C.2 D.2B1 1.z =一+一?【分析】对复数进行运算化简得 2 2,再进行模的计算，即可得答案;2=【详解】_L+Z=1+1/,-.|Z|=1 +,2 2故选：B.本题考查复数模的计算，考考运算求解能力，属于基础题.2.20 21年湖南省新高考实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共 有1 2种选课模式.某同学已选了物理，记事件/=他选择政治和地理“，事件8=他选择化学和地理”，则事件力与事件B()A.是互斥事
2、件，不是对立事件 B.是对立事件C.既不是对立事件，也不是互斥事件 D.无法判断A【分析】根据对立事件、互斥事件的定义判断即可；【详解】解：依题意某同学己选了物理，则还有政治和地理，政治和化学，政治和生物，地理和化学，地理和生物，化学和生物这6种情况，所以事件A与事件8是互斥事件，但是不是对立事件；故选：A3.已知两条不同直线/,加，两 个 不 同 平 面/，则下列命题正确的是A.若a p ,l u a ,mu/3 ,贝”加B.若a H /3,ml la t I，B ,贝C.若a，/,”-I/，则/相D.若a 10 ,Illa,/,贝i j/l mB对A,/加或/，机异面，所以该选项错误；对B
3、,机，所以该选项正确；对C,Um ,所以该选项错误；对D,或”/切或/，”相交或/，,异面，所以该选项错误.【详解】对A,若 夕，/ua,机u,贝”/团或/，机异面，所以该选项错误；对B,若a/,1 1/3,所以/a,因为m/a,则/!?，所以该选项正确；对C,若a，/L a,m L R,贝川,?，所以该选项错误；对D,若&方，”/a,则/J机或/机或/，机相交或/，机异面，所以该选项错误.故选：B.本题主要考查空间直线和平面位置关系的命题真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.4 .设xeR,则”2-5丫0”是“1工-1|1”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
4、C.充要条件D.既不充分也不必要条件B分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】化简不等式，可 知 x 5推不出卜-1|1；由卜-1 1能推出0 x 5,故 2 _ 5 x 0”是“卜-1 K1”的必要不充分条件,故选B.本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件.a=log,b=15 .已知 2,c =22,则a,b,。的大小关系是（）A.bca B.bacC.a cb D.a b cC根据对数函数与指数函数的性质，分别判断“，b,c的范围，即可得出结果.【详解】因为a=l o g2 g l o g2l =01 c =25 =y/2 4 ,所以a c
5、=1 0 V 2 m,C D _ CB 1。6 _ _由正弦定理 s i n NCB O sin N C D B ,可得,沦3 0 s i n （1 8 0-1 5-3 0）C5 =2 0A/2X=2 0可得 2 ,在 R t A 5 C 中，NACB=4 5 ,所以塔高4 8 =8 C =2 0 m.故选：D.7 .函数/（x）=x +c o s x 的零点所在的区间为（）c.4D.A先判断/（x）在（，1 上恒成立，排除C D；再判断/（x）=x +c s x 在 -1,0 上单调,计算出，（T）,）/（0）,根据函数零点存在性定理，即可得出结果.【详解】当0 x l 时，0 c o s
6、l W c o s x W c o s O=l,所以恒成立,*故和内不可能存在零点；排除CD.当-1WW 0 时，y=x 单调递增，N=c o s x 也单调递增，所以/（x）=x +c o s x 在 T，上单调递增;又/(x)=x +c o s x 在 R 上为连续函数，且/(_ l)=T+c o s(-l)=-l +c o s l 由函数零点存在性定理可得，仅区间I 2）内有零点，即A正确，B错.故选：A.8.已知四边形Z 8 C O 中，ACJ.BD,2,4 C =C O =2 j 3 ,点芯在四边形488上运动，则 丽.丽 的 最 小 值 是（）A.3 B.-1 C.-3 D.-4C
7、【分析】由题意分析可知四线性“8 C O 关于直线8。对称，且 5 C _ L C O,只需考虑点E在边8 C,8 上的运动情况即可，然后分类讨论求出而屈的最小值.【详解】如图所示，因为N C 18O,且 N8 =BC,所以8。垂直且平分4C,则/CO为等腰三角形，又AC=CD=2拒，所以/C D 为等边三角形.则四边形/8C。关于直线8。对称，故点E 在四边形“BC。上运动时，只需考虑点E 在边8 c,8上的运动情况即可，因为 2,易知 B C Z+C D B。?，即 BCLCZ),则 C8-CZ)=0,当点E 在边8 c 上运动时，设 砧=疣 8(0,1),则EC=(l)C 8,.EB E
8、D=ACB-(2-1 )C5-42(A-1)；当=5 时，丽.乔的最小值为-1；当点E 在边8 上运动时，设 即=红 力(0 4 左 4 1),则EC=(l)C D,.丽 丽=叵+而)而=(1)而.画=叫1),当 彳 同 时，翦 前 的 最 小值为-3:综上，丽.西的最小值为-3；故选：C.本题考查向量的数量积及数量积的最值问题，考查数形结合思想的运用、分类讨论思想的运用，难度梢大.二、多选题9.为了解学生的身体状况，某校随机抽取了 100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据(单位：千克)全部介于45至 70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则()A.频率分布直方图中。的值为
9、0.04B.这 100名学生中体重不低于60千克的人数为20C.这 100名学生体重的众数约为52.5D.据此可以估计该校学生体重的75%分位数约为61.25ACD【分析】利用频率之和为1 可判断选项A,利用频率与频数的关系即可判断选项B,利用频率分布直方图中众数的计算方法求解众数，即可判断选项C,由百分位数的计算方法求解，即可判断选项D.【详解】解：由（S0 1 +S0 7 +（）.0 6 +“+（）.0 2）X5 =I,解得=0.（）4,故选项A正确;体重不低于60千克的频率为0 0 4+-0 2）*5=,所以这100名学生中体重不低于60千克的人数为63x100=30人，故选项B 错误;
10、50+55100名学生体重的众数约为252.5，故选项C 正确;因为体重不低于60千克的频率为0.3,而体重在160,65）的频率为0.04x5=0.2,60+5x1=61.25所以计该校学生体重的75%分位数约为 4,故选项D 正确.故选：ACD.10./(x)=sin(2 x-e)(o e g将函数 I 271的图象上所有的点向左平行移动个单位长度,得到偶函数”（X）的图象，则下列结论中正确的有（）A.“X）的图象关于点对称B.“X）的图象关于 5 对称C.“（X）在112 3 上的值域为一2 2D.n7 C在 上 单 调 递 减n2乃二叵2)ABD通过函数图象的伸缩平移变换可得夕的值,以
11、及与 x）解析式，再根据三角函数图象性质判断各个选项./（x）=sin（2 x-s）|o 夕【详解】函数 271的图象上所有的点向左平行移动H 个单位长度,2乃h(x)=sin 2x +得 I又“（X）为偶函数，故了轴为“（X）的对称轴,171 7T.71-cp-=+eZ (p=-kTi.k e Z即 32，解得 6c 4 冗t:Q(p:.(p=2,6,7 Csin(2x 一 5 J,h(x)=sin(2x 一 看+6cos2x(X)的对称中心：令(7t k7C I-,0 f k E.Z14 2 J 兀 i,7 k兀,ry2x=Fk7i,k GZ x=+K e Z24 2,即对称中心为当斤=-
12、1 时，对称中心为4，故 A 选项正确;（X）对称轴:正确；2x=k7r,k E.Z,x=,k Z,令2,当 =1时，对称轴为nx 2,故 B 选项又L7 1 2兀Y2i7 C 47c.2x e,/?(x)=cos2xe-1,6 3叵2，故 C 选项错误;71kjt x +kTV,k eZ的单调递减区间：令2k兀兀+及兀，k e Z ,即 271 71.71.一,C K7T9 +K 7C6 2 2712-，故函数”G）71 71在 石 5 上单调递减，D 选项正确;故选：ABD.1 1.下列说法正确的是（）A.若 函 数 在（T（存在零点,则定成立B.“V xeR,-2 x-3 w 0”的否定
13、是“叫（?,X p 2x0 3=0C.设“为 平 行 四 边 形 的 对 角 线 的 交 点，。为平面内任意一点，则O A+O B+O C +O D I O MD.若2近+无+3反=0,。为A/8 C 所在平面一点，S w 和凡丽分别表示BO C 和4 B C 的面积，则 S.BOC:S.ABC=1：3BD【分析】直接利用零点定理，命题的否定，向量的线性运算，向量的加法和三角形的面积的求法，逐一分析各个选项，即可得出答案.【详解】解：对于A：若函数X）在（T/）存在零点，且函数具有单调性，则f （1）1 n=|co s,co s2 _1 3.已知向量 I 4 人 I 4 4人若则2s i n(
14、。【分析】利用平面向量垂直的坐标表示结合三角恒等变换化简得出(2 6J 2,利用二倍角的余弦公式可求得结果.【详解】由 浣 得z n =V 3 s i n 4COS,因此，X 2 X 5/3 .X 1 +CO S-百 x 1 X 1co s co s =s i n-=s i n-co s-22222 22 2故答案为.27CX-y=l-2 s i n2X 兀26=l-2 x21 4.关于x的方程/+(2 a-。-山+1 =有实根，则实数。的值为 1【分析】设与为方程的实根，代入方程中化简，然后利用复数相等的条件可求出实数。的值【详解】设甚为方程的实根，则/2+(2”火-山+1 =0,+2 4/
15、+1 (XQ+ci)0 x02+2 0r o +1=0所以 l+4）=,所以（-4-2/+1 =0,得“2 =1,所以a =l,故土 11 5.为了了解一家公司生产的白糖的质量情况，现从这家公司生产的白糖中随机抽取了 1 0袋白糖，称出各袋白糖的质量（单位：克）如下：49 5 5 00 5 03 5 08 49 8 5 00 49 3 5 00 5 03 5 00则质量落在区间 x S X+s （亍表示质量的平均值，S 为标准差）内的白糖有_ 袋.7【分析】根据平均数和标准差的计算公式，结合数据，即可求得结果.x =（49 5 +5 00+5 03 +5 08 +49 8 +5 00+49 3
16、 +5 00+5 03 +5 00）【详解】由题可得：i o=500.s2=2 5 +9 +6 4+4+49 +9 1=1 61。，故可得s =4.则区间-O s,y 即为 49 6,5 04故落在该区间的产品件数为.7故答案为.7四、双空题/3=Jl n M，0 x V 21 6.已知函数 1/（4-x）,2 x 4,若当方程小）=，有四个不等实根X 1、%覆、（为*2 W 4）时，不等式后丁匕+x；+X；2k+1 1 恒成立，则xrxj=,实数的最小值为.,也2.-1 2【分析】根据分段函数性质画出/（X）的图象，结合题设/（x）=,应用数形结合及对数函数的性质可得?（4-x j =l,再
17、应用参变分离有X3x4-1恒成立，构造g(x)=-T2-WZT ,利用换元法结合基本不等式求最值，即可求”的最小值.【详解】当2x4时，0 4-x 2,A/(X)=/(4-X)=网 4-砌，/(X)如下图示:、3、Z对应力、B、C、。的横坐标，由/(2)=l n 2,故 0 加 柏 2,因为R n x h lln z l,又 0 项 12 xxx2-1故答题空1 的答案为.1由对称性同理可得：(4-%(4-4)=1 ,又因为/(x)=/(4_x)得：覆=4-，x4=4-x,；/:.1 l_(x；+4)分离参数得：与匕7 ,(y)=ll-(x：+x；)=13-(X|+xJ设 工3 X 4-1 (
18、4-%2)(4-%1)-1 16-4(x,+x2)5 z.5、i/13一 广R令演+,XY2 7_ Z ,则 2XX2-2 ,ZG(2,-2),则 g(x)=/?(/)=16-4/,3 n 2 A/3 nr:.(当且仅当 =,3 时取=，)，例)工2-g(x)2-.2,即 2,G 。百 N 2-2-2,即实数上的最小值为 2.2百故答题空2 的 答 案 为.2五、解答题T L T 2 -1 7.已知m=（$i n _ J 3 ,n =（c o s x,c d s x 函数/（幻=加，.（1）求“X）的最小正周期和最大值；n 2兀-（2）求/*）在L%3 上的单调区间.2-G（1）最小正周期为兀
19、，最 大 值 为2 .n 5 7 r 5 7 i 2n（2）1 6 1 2 为单调递增区间；1 2 3 为单调递减区间.【分析】（1）根据数量积的坐标运算及三角恒等变换化简，由正弦型三角函数求周期、最值即可；2x-（2）根据自变量的范围求出 3的范围，结合正弦型三角函数的单调性求解.、一 T 5、c、上、丛.s K、6f（X）=m n=c o s x s mx-（1+c o s 2 x）=s i n z x-c o s z x-=s i n（2 x ）-详解 2、2 2 2 3 2 ,2-6因此X）的最小正周期为兀，最大值为 2x eQ）当6 3 时,从而当0 2 x-兀,，5九 x 1 2时
20、,/（X）单调递增,0 2 x n332 ,即624 x 4史当2 2x /3又.co,兀）cX 选：,+cos C=-4（-sinC）2+cosC=1 -cos2 C+cos C=-cos C-cosC +=04cos C=2又0（0，尸w（2）由正弦定理 sin/sin8 sinC,sin A sin B2sin J _ 2sin（5+C）sin B sin Bsin 8+百 cos B-=1Hsin B-tan BA/8 C为锐角三角形，3,3 20 B -B -可 得I 2，解得：6 2,tan Be(O,3).1 4国 的范围是。4).1 9.在 直 三 棱 柱4 4 G中，D,E分
21、别是 4,8 c的中点.(I)求证：至 平 面C加;(II)若 D C】-L B D,4 c =BC-1,=2(i)求二面角8-O G-C的正切值；(ii)求直线”,到平面G8O的距离.6 V6(I)证明见解析；(n)(i)2.(jj)6.【分析】(I)取 田中点尸并连接E尸，证明四边形40FE为平行四边形，然后得到AEHDF 即可；(n)(i)连接8,首先得到C O C Q,然后可得二面角8-o cc的平面角为N B D C ,然后证明5CJ_平面然后在中求解即可；(ii)利用力冲=腺”。求解即可.【详解】证明：(I)取 田中点尸并连接EF,E&因为E是8 c的中点，所以EFHBB、因为。是
22、 4的中点，所以4D/BB、EF=BB、2 1 2 1所以4Q EF,A、D=EF,所以四边形4。比 为平行四边形,所以4E DF因为4Ez平面q s。，O F U平面G8O,所以4E平面G吗（n）（i）连接C O,因为ZC=1,4 4=2,。是彳4的中点,所以M 5 C,所以4 8 =45。，所以NGCO=45,同理可得/|。=4 5 ,所以C O C Q,因为C 3 8。，所以二面角8-O G-C的平面角为N80C,又CDCBD=D ,所以平面C8Z）,因为8 C u平面C 5 O,所以GOL3C,因为直三棱柱所以CG，平面又BCu平面/8 C,所以 CG,又C、DcCC=G,所以8c L
23、平面“CG4,因为COu平面Z CG4,所以BC1CD,易得CD=母,在R/ABCO中可得 CD 2,出所以二面角8-OG-C的正切值为2（i i ）因为4平面G 8 O,所以直线4到平面CBD的距离等于点4到平面CBD的距离，设点4到平面G8。的距离为，因为-G B O =%4 C。，所以/心阴加=8c 4c Q,7?x x-/2X-73=1 x x lx 1 h-即 2 2 解得 6 ,如所以直线4月到平面G8O的距离为6 .2 0.为打造精品赛事，某市举办“南粤古驿道定向大赛“，该赛事体现了“体育+文化+旅游 全方位融合发展.本次大赛分少年组、成年组、专业组三个小组，现由工作人员统计各个
24、组别的参赛人数以及选手们比赛时的速度，得到如下统计表和频率分布直方图:组数速 度（千米/小时）参赛人数（单位：人）少年组6,8)3 0 0成年组8,1 0)6 0 0专业组1 0,1 2 b 6 7 8 9 1 0 1 1 12速度(千米/时)(1)求 a,b 的值；(2)估计本次大赛所有选手的平均速度(同一组数据用该组数据的中间值作代表，最终计算结果精确到0.0 1)；(3)通过分层抽样从成年组和专业组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人接受采访，求接受采访的2人都来自“成年组”的概率.2(1)。=0 2,6 =3 0 0；(2)9.0 5 千米/小时；(3)5 .【分析】(1)由频率和为1
25、,求出。的值，再由频率分布直方图求出少年组的频率，而少年组的人数为3 0 0 人，从而可求出总人数，进而可求出方的值；(2)利用平均数的公式求解即可；(3)先利用分组抽样的定义求出成年组和专业组的人数，然后利用列举法求解即可【详解】(1)由频率分布直方图可知0.1 +0.1 5 +(7 +0.3 +0.1 5 +0.1 =1 a =0.2少年组人数为3 0 0 人，频率月=十 5 =。,2 5,总人数一芯一 1 2 0 人，.6 =1 2 0 0-3 0 0-6 0 0 =3 0 0.。=0.2,6 =3 0 0.(2)平均速度v =6.5 x 0.1 +7.5 x 0.1 5 +8.5 x
26、0.2 4-9.5 x 0.3 4-1 0.5 x 0.1 5 +1 1.5 x 0.1 =9.0 5 ,估计本次大赛的平均速度为9.0 5 千米/小时.(3)成年组和专业组的参赛人数分别为6 0 0 人、3 0 0 人.设在成年组和专业组抽取的人数分布为x,y,6 _ x _ y贝 i j 6 0 0 +3 0 0 -6 0 0 -3 0 0,.X =4 ,P =2.由分层抽样在成年组中抽取4人，专业组中抽取2人.设成年组中的4人分别用4 B,C,。表示；专业组中的2人分别为a,b 表示.从中抽取两人接受采访的所有结果为：AB,AC,AD,Aa,Ah,BC,BD,Ba,Bh,CD,Ca,Ch
27、,Da,Db,ah 共 1 5 种.接受采访的两人均来自成年组的所有结果为：AB,AC,AD,BC,BD,C Z）共 6 种.6_=2故接受采访的两人都来自成年组的概率为百一可2 1.十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计戈U，2 02 0年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本3 00。万元，每生产x （百辆）需另10X2+100X,0 X 4 0投入成本y （万元），且 x .由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2 02 0年的利润S （万元）关
28、于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售额成本）（2）当2 02 0年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.-1 0 x2+4 00 x -3 000,0 x 4 01 0000、,c1 5 00 x-,x 2 4 0（1）工（2）1 00百辆，最大利润为1 3 00万【分析】（1）根据题意分情况列式即可；（2）根据分段函数的性质分别计算最值.【详解】（1）由题意得当 x 4。时，S（x）=5 00 x -（1 O x2+1 00 x）-3 000=-1 O x2+4 00 x -3 000S(x)=5 00 x -(5 0 lx +-4 5 001-3 000=1 5 0
29、0-%-当x 2 4 0时，I x J x-1 0 x2+4 00 x -3 000,0 c x 4 0S(x)=,所以1 5。-3，x N 4。X(2)由(1)得当0%2.x-=200 x=-x、x,当且仅当 x,即x=10时等号成立，S(x)1000,.x=100时，即2020年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为1300万元.2 2.已知函数 2，为奇函数.(1)求实数6 的值；(2)若对任意的有 Ox-一 5 o,且心力1),问是否存在实数加，使函数g(x)在 l，bg2 3 上的最大值为o?若存在，求出机的值，若不存在，请说明理由.(1)6=T；(2)L2).(3)不存
30、在加满足条件，理由见解析.【分析】(1)由于函数在R 上为奇函数，所 以 从 而 可 求 出 实 数 人 的 值：(2)由于/G)在 R 上单调递增，且 万万一-2,所以 一 )+5 可转化为1在x e 0，l 上恒成立，即3 3/2(x+l)+西 4 在x e o,上恒成立，设g(x)=2 0 +l)+w _ 4,求出其最大值即可;t G(3)设 2。2：3 82 3，则/-侬+2 0在t G3 85 可上恒成立，从而得17tn l)+|0又函数/（x）在R 上单调递增，则2 x 2-b-4 -1 在上恒成立，3户2（川）+77r4在*0 内上恒成立，g（x）=2（x+l）+-4 g（x）=g（l）=-设 、7 x+1 ，则 八 九 x石一 2,实数上的取值范围为L2）.3 8 不 存 在，理由如下，设气5 亏，他）=（-加+2）,3 8,t e-，一 .广-3 +2 0在 12 3 上恒成立,W l Z+71 m 0求 出 e（。，1卜（1，6 然后分加w（0,1）和 1 ）求出WL 即可,考查数学转化思想和计算能力，属于中档题