2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高一下学期期末数学试题【含答案】.pdf

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1、2021-2022学 年 江 苏 省 常 州 市 漂 阳 市 高 一 下 学 期 期 末 数 学 试 题 一、单 选 题 1.已 知 i为 虚 数 单 位，若 复 数 z满 足 T）z=2,贝 ijz的 虚 部 为（）A.-1 B.-i C.1 D.iC【分 析】利 用 复 数 的 除 法 运 算 求 解 复 数 z,根 据 复 数 的 概 念 判 断 复 数 的 虚 部 即 可.z=2=2（l+i）=用【详 解】解：由 题 可 得 IT（1T）（1+I），故 复 数 Z的 虚 部 为 1.故 选：C.2.采 用 简 单 随 机 抽 样 的 方 法，从 含 有 6 个 个 体 的 总 体 中

2、抽 取 1个 容 量 为 2 的 样 本，则 某 个 个 体 被 抽 到 的 概 率 为（）1 1 1A.2 B.3 c.5 D.6B【分 析】根 据 每 个 个 体 被 抽 到 的 概 率 相 等，所 以 每 个 个 体 被 抽 到 的 概 率 是 样 本 容 量 和 总 体 数 量 的 比 值.2=1 _【详 解】由 于 每 个 个 体 被 抽 到 的 概 率 相 等，所 以 每 个 个 体 被 抽 到 的 概 率 是 不 一 故 选：B本 题 考 查 了 简 单 随 机 抽 样 每 个 个 体 被 抽 到 的 概 率 相 等，考 查 了 学 生 概 念 理 解，数 学 运 算 的 能 力

3、，属 于 基 础 题.3.在 ABC中，若$抽 4：5吊 8：5出。=3:5:7,则。=（）A.30 B.60 C.120 D.150C【分 析】由 正 弦 定 理 化 角 为 边，然 后 由 余 弦 定 理 计 算 cosC即 可 得 C 角.详 解 vsin J:s i n:sinC=3:5:7,由 正 弦 定 理 得：b：c=3:5:7,设 a=34力=5k9c=7k（k 0）,a2+b2-c2 9k2+25k2-4 9 k2 1则 2ab 2 x 3 k x 5k 2,又 C 是 三 角 形 内 角，.C=120.故 选：C.本 题 考 查 正 弦 定 理、余 弦 定 理，解 题 是

4、用 正 弦 定 理 化 角 为 边.属 于 基 础 题.4.阿 基 米 德（Archimedes,公 元 前 287年 一 公 元 前 212年）是 古 希 腊 伟 大 的 数 学 家、物 理 学 家 和 天 文 学 家.他 推 导 出 的 结 论“圆 柱 内 切 球 体 的 体 积 是 圆 柱 体 积 的 三 分 之 二，并 且 球 的 表 面 积 也 是 圆 柱 表 面 积 的 三 分 之 二 是 其 毕 生 最 满 意 的 数 学 发 现，后 人 按 照 他 生 前 的 要 求，在 他 的 墓 碑 上 刻 着 一 个 圆 柱 容 器 里 放 了 一 个 球，如 图，该 球 顶 天 立 地

5、，四 周 碰 边，圆 柱 的 底 面 直 径 与 高 都 等 于 球 的 直 径，若 球 的 体 积 为 36%，则 圆 柱 的 表 面 C 54万 D.63万 C【分 析】首 先 理 解 题 意，直 接 求 解 圆 柱 的 体 积，即 可 得 圆 柱 底 面 的 半 径，再 求 圆 柱 的 表 面 积./切 球-2【详 解】由 题 意 可 知，柱 3,柱=54%,设 圆 柱 底 面 半 径 为，则 乃/X 2=54万，得，=3,则 圆 柱 的 表 面 积 S=2 r x 2 r+2万 r=54万.故 选：C5.甲、乙、丙 3 人 独 立 地 破 译 某 个 密 码，每 人 译 出 密 码 的

6、 概 率 均 为 则 密 码 被 破 译 的 概 率 为（）j_ 2_ ZZ 2ZA.64 B.64 c.64 D.64D【分 析】根 据 相 互 独 立 事 件、对 立 事 件 的 概 率 公 式 计 算 可 得；【详 解】解：依 题 意 密 码 被 破 译 的 对 立 事 件 为 甲、乙、丙 3 人 均 没 有 破 译 密 码，P=1 所 以 密 码 被 破 译 的 概 率 故 选：D6.下 列 命 题 中 正 确 的 是（）A.过 直 线 外 一 点 有 且 只 有 一 个 平 面 与 这 条 直 线 平 行B.过 一 点 有 且 只 有 一 个 平 面 与 已 知 直 线 垂 直 C.

7、过 已 知 平 面 外 一 点，有 且 只 有 一 个 平 面 与 已 知 平 面 垂 直 D.过 已 知 平 面 外 一 条 直 线，必 能 作 出 与 已 知 平 面 平 行 的 平 面 B【分 析】借 助 正 方 体 模 型，线 面 的 位 置 关 系 及 线 面 垂 直 的 性 质 逐 项 分 析 即 得.【详 解】对 于 A,如 图 在 正 方 体 中，过 直 线“8 外 一 点 A 有 两 个 平 面，平 面 平 面。C G A 都 与 直 线 N 8平 行，故 A 错 误；对 于 B,由 于 垂 直 同 一 条 直 线 的 两 个 平 面 平 行，故 过 一 点 有 且 只 有

8、一 个 平 面 与 已 知 直 线 垂 直，故 B 正 确；对 于 c,如 图 在 正 方 体 中，过 平 面 外 一 点 4 有 两 个 平 面，平 面 O C G A,平 面 都 与 平 面/B C D垂 直，故 c 错 误；对 于 D,当 直 线 与 平 交 时，过 该 直 线，不 能 作 出 与 已 知 平 面 平 行 的 平 面，故 D 错 误.故 选：B.7.已 知 非 零 向 量,九 满 足 忖=2忖，且+)1,则+书 与 书 的 夹 角 为()n71 2乃 5%A 6 B 3 C.3 D.6A【分 析】由 题 可 得 向 量 0】的 数 量 积 与 其 模 的 关 系，再 利

9、用 向 量 模 长 公 式 及 夹 角 公 式 即 得.(a+b ia【详 解】由 于 广，所 以 e(a+B)=0,即 7+二 刃=0,.石=-同 又 W=2礼 B+*代+4=M 1 2+4 问 2=百 同a+byt=a-b+b=3|a|故 选：A.8.已 知 0 a 9 0,且 sin 18。(1+sin 2 a)=2 cos?9。c o s 2 a,则&=()A.9 B.C.27。D.36。D【分 析】根 据 二 倍 角 公 式 和 逆 用 余 弦 的 差 角 公 式 化 简 得 到 c s（2a+9）=sin9。，结 合 0 a 9 0 得 到 2 a+9=9 0-9,求 出 a.【详

10、 解】因 为 sin 18(1+sin 2a)=2 sin 9 cos 9(1+sin 2 a)所 以 2 cos2 9 cos 2a=2 sin 9,cos 9(1+sin 2 a)整 理 得：c o s 9 cos 2a=sin 90 sin 2a+sin 9,cos 9 cos 2 a-sin 9 sin 2a=sin 99cos(2a+9)=sin 9 0因 为。a 9 0,所 以 9 2 a+9189,所 以 2 a+9 0=9 0-9,解 得：=36故 选：D.二、多 选 题 9.某 同 学 连 续 抛 掷 质 地 均 匀 的 骰 子 1 0次，向 上 的 点 数 分 别 为 1,

11、2,2,2,3,3,3,4,5,5,则 这 10 个 数 的（）A.众 数 为 2 和 3 B.平 均 数 为 38C.标 准 差 为 二 D.第 8 5百 分 位 数 为 4.5AB【分 析】利 用 众 数 的 定 义 判 断 A,求 出 平 均 数 判 断 B,求 出 标 准 差 判 断 C,求 出 百 分 位 数 判 断 D【详 解】对 于 A,因 为 2 和 3 出 现 的 次 数 最 多，均 为 3 次，所 以 众 数 为 2 和 3,所 以 A 正 确，x(l+3x2+3x3+4+5x5)=3对 于 B,平 均 数 为 1。，所 以 B 正 确，对 于 C,标 准 差 为 s=J-

12、x(l-3)2+3 x(2-3)2+3 x(3-3)2+(4-3)2+2 x(5-3)2=半 5,所 以 c 错 误，对 于 D,因 为 这 组 数 从 小 到 大 排 列 为 1,2,2,2,3,3,3,4,5,5,且 10 x85%=8.5,所 以 第 8 5百 分 位 数 为 第 9 个 数 5,所 以 D 错 误，故 选：AB10.一 只 不 透 明 的 口 袋 内 装 有 9 张 卡 片，上 面 分 别 标 有 1 9 这 9 个 数 字(1张 卡 片 上 标 1个 数)，“从 中 任 抽 取 1张 卡 片，结 果 卡 片 号 或 为 1或 为 4 或 为 7”记 为 事 件 A,“

13、从 中 任 抽 取 1张 卡 片，结 果 卡 片 号 小 于 7”记 为 事 件 8,“从 中 任 抽 取 1张 卡 片，结 果 卡 片 号 大 于 7”记 为 事 件 5 下 列 说 法 正 确 的 是()A.事 件 A与 事 件 C 互 斥 B.事 件 5 与 事 件 C对 立 C.事 件 A与 事 件 8 相 互 独 立 D.尸(”+8)=P(/)+P(8)AC【分 析】由 互 斥，对 立 以 及 独 立 的 定 义 判 断 即 可.详 解 样 本 空 间 为 0=1,2,3,4,5,6,7,8,9,J=1,4,7,S=1,2,3,4,5,6,C=8,9因 为/c C=0,所 以 事 件

14、 A与 事 件 C 互 斥，故 A 正 确；因 为=1,2,3,4,5,6,8,9,7 任 1,2,3,4,5,6,8,9,所 以 事 件 8 与 事 件 C 不 对 立，故 B错 误：2 3 6 2PQB)-9,尸 9 一 3,一 9 一 3,P(4B)=P(A)P(B),即 事 件 A 与 事 件 B 相 互 独 立，故 C 正 确；因 为 c 8=l，4,所 以 事 件 人 与 事 件 8 不 互 斥，故 D 错 误：故 选：AC11.1748年，瑞 士 数 学 家 欧 拉 发 现 了 复 指 数 函 数 与 三 角 函 数 的 关 系，并 给 出 公 式 e=cosO+isind(i

15、为 虚 数 单 位，e为 自 然 对 数 的 底 数)，这 个 公 式 被 誉 为“数 学 中 的 天 桥”.据 此 公 式，下 列 说 法 正 确 的 是()A.短 表 示 的 复 数 在 复 平 面 中 对 应 的 点 位 于 第 一 象 限 B./+1=0BCD【分 析】根 据 题 设 中 的 公 式 和 复 数 运 算 法 则，逐 项 计 算 后 可 得 正 确 的 选 项.T,co s3)+isin(-6)=cos6-isincos.+e 一 所 以 e%e-J 2 c o s 6,所 以 侬 2,选 项 D 正 确；故 选：BCD1 2.如 图，在 正 方 体 中，点 E 是 棱

16、4 G 的 中 点，点 尸 是 线 段 C R上 的 一 个 动 点，则 以 下 叙 述 中 正 确 的 是（）A.直 线 8/平 面/配 C.直 线 G 与 87 所 成 角 为 定 值 ACDB.直 线 E尸 不 可 能 与 平 面 C 2 垂 直 D.三 棱 锥 8-4E尸 的 体 积 为 定 值【分 析】根 据 正 方 体 的 性 质 及 线 面 平 行、线 面 垂 直 的 判 定 定 理 一 一 判 断 即 可；【详 解】解：如 图 由 正 方 体 的 性 质 可 知 8 0 0 平 面 4 D U 平 面 所 以 8。平 面,同 理 可 证 2 c 平 面 A c n q c=c,

17、8 c A e u 平 面 8 Q C,所 以 平 面 BDCH平 面,因 为 修 尸 U 平 面 8 Q C,所 以 即 7 平 面 4 8。，故 A 正 确；因 为 NC_L8Z),AC 工 BB,B D c B B、=B,BD,BB】u 平 面 BDDB,所 以】7_1平 面 8。4,B Q u 平 面 BDRBi,所 以 4D1./C,同 理 可 证 A o/R,/c n/q=/,/C,/R u 平 面 所 以 与 平 面 同 理 可 证 G1平 面 8 Q C,因 为 8/u 平 面 为 R C,所 以 G B 尸，故 c 正 确；当 尸 点 为 C A 的 中 点 时，EFH B、

18、D,所 以 E F,平 面 故 B 错 误；又 ABHCDi,Z 0 U 平 面 CD(Z平 面 4 8 E,所 以 C。平 面 石，所 以 尸 到 平 面 田 的 距 离 不 变，设 为 C,又 S“麻 的 面 积 不 变，所 以 嚷 3 f=户.为 定 值，故 D 正 确；故 选：ACD三、填 空 题 13.用 分 层 抽 样 的 方 法 从 某 校 学 生 中 抽 取 一 个 容 量 为 45的 样 本，其 中 高 一 年 级 抽 20人，高 三 年 级 抽 10人，已 知 该 校 高 二 年 级 共 有 学 生 300人，则 该 校 学 生 总 数 是 人.900【分 析】计 算 可

19、得 样 本 中 高 二 年 级 人 数，从 而 可 计 算 得 到 抽 样 比，从 而 可 求 得 学 生 总 数.竺,【详 解】由 题 意 可 知，高 二 年 级 抽 取：45-20-10=15人.抽 样 比 为：45-3300=900.该 校 学 生 总 数 为：3 人本 题 正 确 结 果：900本 题 考 查 分 层 抽 样 的 应 用，关 键 是 能 够 明 确 每 层 在 样 本 中 占 比 与 该 层 在 总 体 中 的 占 比 相 同.14.某 数 学 课 外 兴 趣 小 组 对 一 圆 锥 筒 进 行 研 究，发 现 将 该 圆 锥 放 倒 在 一 平 面 上，使 圆 锥 在

20、 此 平 面 内 绕 圆 锥 顶 点 S滚 动，当 这 个 圆 锥 在 平 面 内 首 次 转 回 到 原 位 置 时，圆 锥 本 身 恰 好 滚 动 了 3 周.如 图，若 该 兴 趣 小 组 已 测 得 圆 锥 的 底 面 半 径 为 5,则 该 圆 锥 的 体 积 为.【分 析】利 用 周 长 的 比 值 可 求 得 圆 锥 的 母 线 长，进 而 得 到 圆 锥 的 高，利 用 圆 锥 的 体 积 公 式 即 可 求 解.【详 解】解：设 圆 锥 的 母 线 长 为 则 圆 锥 绕 顶 点 S滚 动 所 形 成 的 圆 的 半 径 为 周 长 为 2 3，又 圆 锥 底 面 半 径 为

21、 5,则 底 面 周 长 为 2 X5,故 2M=3x2ix5,解 得/=15,所 以 圆 锥 的 高 为=而 与=1a,V=兀=缪 巨 所 以 圆 锥 的 体 积 为 3 3.250班-71故 315.在“8 C 中，AB=2 C,BC=3,8=45。，点。在 边 8 c 上，且 Z T 7cos ZADC=17,贝|J tan/D4c 的 值 为.67【分 析】首 先 由 余 弦 定 理 求 出 占，再 求 出 sinN/DC,由 正 弦 定 理 求 出 X。，再 由 余 弦 定 理 求 出 8。，最 后 在 A/D C 中 由 正 弦 定 理 求 出 sinNZMC,最 后 由 同 角

22、三 角 函 数 的 基 本 关 系 计 算 可 得；【详 解】解：因 为 48=2及，BC=3,8=45。,由 余 弦 定 理=a2+c2-2accosBh2=9+8-2x3x2V2x=5,r-即 2,所 以 6=J5,cos Z/4DC=sin Z.ADC=y cos2 Z A D C=因 为 17,所 以 17sin Z.ADB=sin(rr-Z.ADC)=sin Z.ADC=所 以 17AB AD 小 历 由 正 弦 定 理 sin4Q6 sin,所 以 2,再 由 余 弦 定 理 4D?=BD2+AB?-2AB，BDcosB,、BD=BD=即 48D-1680+15=0,解 得 2 或

23、 2,4 O C BD=-D C=-又 BC=3,I 2人 所 以 2,则 2,3石 2ZC _ D C 4电-sin NO4c在 A/Q C 中 由 正 弦 定 理 sinN/DC sin ZJC,即 17,sin ADAC=cos NDAC=sin2 ZDAC=所 以 85,又 4 D D C,所 以 85,所 以 tan Z.DAC=sin/DACcos ZDAC67.6故 7四、双 空 题 16.已 知 点 A,B,c 均 位 于 单 位 圆（圆 心 为,半 径 为 1）上，且”=百,则 OA-AB=；AB-A C 的 最 大 值 为.3+G G+32 2 2【分 析】根 据 弦 长

24、公 式 可 求 得=120。，利 用 平 面 向 量 的 线 性 运 算 及 数 量 积 的 定 义 可 求 解 万 布 的 值；建 立 直 角 坐 标 系，设 A,8,C 三 点 的 坐 标，利 用 平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示 即 可 求 解 在 就 的 最 大 值.【详 解】解：因 为“8=6,圆 的 半 径 为 1,所 以 4。8=120。，O A A B=O A O B-O A2=oocos AAOB-OA=又 AB=OB-OA,所 以 1 1 1 1 2.以 圆 心。为 原 点，建 立 直 角 坐 标 系，设”-日,;H，g,C(x,y)(x e-1,1,x2+y

25、2=1)Z B=(S/3,0),JC=则 卜+5AB AC=/3xH riii*/3 H则 2,因 为 x q-U J,所 以“8/C 的 最 大 值 为 2五、解 答 题 17.已 知 复 数 马=1+2,，Z2=3-4i(1)在 复 平 面 内，设 复 数 马，Z2对 应 的 点 分 别 为 Z1,Z j 求 点 4,Z2之 间 的 距 离;1 1 1=-1-(2)若 复 数 z 满 足 z 4 Z 2,求 z.(1)2河 z=2+-i 2.【分 析】(1)利 用 复 数 的 几 何 意 义 即 得；(2)利 用 复 数 的 四 则 运 算 即 得.【详 解】(1)解 法 1：在 复 平

26、面 内，复 数 4，Z2对 应 的 点 分 别 为 4，2),Zz(3,-4),所 以 区 Z21=J 6 3)2+(2+4=2 回 解 法 2：因 为 z Z 2=(l+2i)-(3_4i)=-2+6i,所 以|Z|Z=|z|-Z 2|=k2+6i|=2V.1 1 1 2.=-=-1 因 为 4 2i 5 5,1 1 3 4.z2-3-4i-25 251 1 1 8 6.=-|=-1所 以 Z Z|z2 25 25,18.如 图，在 三 棱 锥 P-Z 8 C 中，PA=A B,历，“分 别 为 棱 P8,尸 C 的 中 点，平 面 平 面 P8C.求 证：(1)8cli平 面/仰；(2)平

27、 面 平 面 8c.(1)证 明 见 解 析；(2)证 明 见 解 析.【分 析】(1)证 得 MNIIBC,由 线 面 平 行 的 判 定 定 理 证 明 即 可；(2)证 得 平 面 P8C.由 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 明 即 可【详 解】(1)M N 别 为 棱 尸 8,P C 的 中 点，MNWBC又 B C(Z平 面 A M N,町 平 面”四%.(2)v PA=A B,点 M 为 棱?5 的 中 点，:.A M 1 P B,又 平 面 P48_L平 面 P8C,平 面 平 面?BC=PB,A M 平 面 PBC./Mu 平 面 4MV,.平 面 4 V W,平 面

28、P8C.本 题 考 查 线 面 平 行，面 面 垂 直 的 判 定，考 查 推 理 能 力，属 于 基 础 题 19.某 中 学 为 了 解 大 数 据 提 供 的 个 性 化 作 业 质 量 情 况，随 机 访 问 50名 学 生，根 据 这 50名 学 生 对 个 性 化 作 业 的 评 分，绘 制 频 率 分 布 直 方 图(如 图 所 示)，其 中 样 本 数 据 分 组 区 间 40,50)50,60)80,90)90,100（2）从 评 分 在 4，6）的 受 访 学 生 中，随 机 抽 取 2 人，求 此 2 人 评 分 都 在 5，6）的 概 率;（3）估 计 这 5 0名 学

29、 生 对 个 性 化 作 业 评 分 的 平 均 数.（同 一 组 中 的 数 据 以 这 组 数 据 所 在 区 间 中 点 的 值 作 代 表）a=0.0 0 6,概 率 为 o.68.3 10 76.2【分 析】（1）利 用 频 率 之 和 为 1列 出 方 程，求 出 a=0 Q 0 6,并 计 算 出 不 低 于 7 0分 的 频 率 作 为 概 率 的 估 计 值；（2）利 用 列 举 法 求 解 古 典 概 型 的 概 率；（3）同 一 组 中 的 数 据 以 这 组 数 据 的 中 间 值 作 代 表 计 算 出 平 均 数.【详 解】由 题 意 得：1（0 4+”+22+0

30、28+.022+0.018）=1,解 得：a=0.006,由 频 率 分 布 直 方 图 知，不 低 于 70分 的 三 组 频 率 之 和 为 0.28+0.22+0.18=0.68,因 此 估 计 该 中 学 学 生 对 个 性 化 作 业 评 分 不 低 于 7 0的 概 率 为 0.68.评 分 在 口，5）的 人 数 为 2 人，设 为 4 巴 在 50,60）的 人 数 为 3 人，设 为 叫 b,c,从 这 5 人 中 随 机 抽 取 2 人，共 10个 等 可 能 的 基 本 事 件，分 别 为（4,8）,（4 a）,（4 b）,（4,c）,（3M）,（8,b）,（B,cMa,

31、6）,（a,c）,0,c）,记 事 件 A 为“2 人 评 分 都 在 5，6）,A 包 含 3 个 基 本 事 件，分 别 为（a，。），.，,），。，。），P（J）=所 以 10,3因 此 2 人 评 分 都 在 5，6）的 概 率 为 历.（3）这 5 0名 学 生 对 个 性 化 作 业 评 分 的 平 均 数 为：45 x 0.04+55x 0.06+65x 0.22+75x 0.28+85x 0.22+95x0.18=76.2.3 _a=(sin x,),h=(cos x,-1)2 0.已 知 向 量 4/兀、f-tan(x)(1)当 a.?b 时，求 4 的 值；(2)设 函 数

32、 x)=2(l+5一 一,当“x ea 0 2 时，求“X)的 值 域-,-+72,-7,(2)2 2【详 解】试 题 分 析：(1)由 向 量 共 线 得 到 等 量 关 系，求 出 角 的 正 切 值，-3 3,/a!b.一 cosx+sinx=0,tanx=4 4 再 利 用 两 角 差 正 切 公 式 求 解：/兀、tan x-1 r*.*tan(x-)=-=74 1+tanx(2)先 根 据 向 量 数 量 积，利 用 二 倍 角 公 式 及 配 角 公 式 得 到 三/(x)=2(a+h)-b=y/2 sin(2x+-)+-角 函 数 关 系 式 4 2,再 从 角 八 冗 x e

33、 0,1 2 出 发 研 究 基 本 三 角 函 数 范 围:v x G 0,y,-2%+-sin(2x+-)Iv a I lb cos x+sin x=0,tan x=-试 题 解 析：(1)4 4,3 分 t a n(x-)=tan x-11+tan x-76 分/(x)=2(a+b)-b=yf2 sin(2x+-)+-4 2 8 分 八 冗、7 1,7 1 54 y/2.冗、，x e 0,-L-x+-T,-.-T s.n(2x+-)11 1分 4/(X)4 FV2 y/x,I-y/2.2 2,/(x)的 值 域 为 5 2 14分 向 量 平 行 坐 标 表 示，三 角 函 数 性 质

34、2 1.刍(丽)薨 G n e n g)是 几 何 体 中 的 一 种 特 殊 的 五 面 体.中 国 古 代 数 学 名 著 九 章 算 术 中 记 载：“刍 费 者，下 有 袤 有 广，而 上 有 袤 无 广.刍，草 也.矍，屋 盖 也.求 积 术 日:倍 下 表，上 袤 从 之，以 广 乘 之，又 以 高 乘 之，六 而 一 翻 译 为“底 面 有 长 有 宽 为 矩 形，顶 部 只 有 长 没 有 宽 为 一 条 棱.刍 薨 字 面 意 思 为 茅 草 屋 顶 现 有 一 个 刍 薨 如 图 所 示，四 边 形/8 C O 为 长 方 形，即/平 面/8 C O,A/C E 和 ABC

35、尸 是 全 等 的 等 边 三 角 形.求 证：阳 1女；(2)若 已 知 A B=2BC=2EF=4,求 二 面 角 力-E F-C 的 余 弦 值；求 该 五 面 体 ABCDEF的 体 积.(1)证 明 见 解 析；1 2 0(2):3.【分 析】(1)利 用 线 面 平 行 的 性 质 定 理 即 得；(2)过 点 E 作 E G J _ O C,作 过 点 尸 作 月 W O C,作 尸 由 题 可 得/E G 即 为 二 面 角 N-E F-C 的 平 面 角，结 合 条 件 利 用 余 弦 定 理 可 得；利 用 割 补 法 可 把 该 五 面 体 分 为 两 个 四 棱 锥 和

36、 一 个 三 棱 柱，然 后 利 用 锥 体 及 柱 体 的 体 积 公 式 即 得.【详 解】(1)五 面 体 8CDE尸 中，因 为 EF/平 面 18CZ),/平 面 四 片 尸，平 面 C O E F D 平 面 力 8c7)=8,所 以 EF/CD.(2)过 点 E 作 E G L O C,作 垂 足 分 别 为 G,H,过 点 尸 作 月 0 L O C,作 F N L A B,垂 足 分 别 为 M,N,连 结 G”,M N,如 图，由(1)及 四 边 形 4 8 c o 为 长 方 形 知，AB H CD 口 EF,所 以 EGJ.EF,EH V E F,所 以 Z.HEG即

37、为 二 面 角“一.一。的 平 面 角，因 为 AB=2BC=2EF=4,且“D E 和 4 B C F 是 全 等 的 等 边 三 角 形,所 以 GW=2OG=2MC=2,ED=EA=FC=FB=2,因 此，在 AEGH 中,EG=E H=也,G H=2,由 余 弦 定 理，cosNHEG=E H EG-GH2=3+3-4=1得 2EG EH 2 G.G 3,故 二 面 角 Z-E F-C 的 余 弦 值 为 5.取 G”中 点。，连 结 E O,由 EG=E H 知,E O 1 G H t因 为 O C E G,O C 1 G”,且 E G,G”是 平 面 EG 内 两 相 交 直 线,

38、所 以。C，平 面 EG，,因 为 E O u平 面 EG”,所 以 E O J.O C,又 G H,是 平 面/8 C。内 两 相 交 直 线,所 以 O_L平 面/8 C。,在 EGH 中，EG=EH=V3,G H=2,可 得 EO=41,所 以，四 棱 锥 E-4 O G H 和 尸-8C M N的 体 积 均 为 匕=皿 H EO=3(1 X 2)X 09 N F G H三 棱 柱 E G/-F M N的 体 积 2=2&2匕+匕=72所 以，该 五 面 体 48czM/的 体 积 为-3.2 2.在 A4 8 C中，角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c.已 知 c=

39、26,a=3,。是 边 B C 上 一 点.(1)求 bcosC+26cos3 的 值;若 A D=-A B+-A C3 3 求 证：平 分 N8XC；求 A/8 C 面 积 的 最 大 值 及 此 时 A D 的 长.(I)3；(2)证 明 见 解 析；最 大 值 为 3,AD=2五.【分 析】(1)利 用 余 弦 定 理 可 得 6 c o sc+2bcos8=bcosC+ccos8=a,即 得;(2)设 N8/D=a,ND4C=0,ZADB=0,由 题 可 得 5方=2方 心，利 用 正 弦 定 理 sin。.八 sin。sin a=-sin p=-可 得 b,b 进 而 即 得；利 用

40、 余 弦 定 理 及 面 积 公 式 可 表 示 出 三 角 形 的 面 积，然 后 利 用 二 次 函 数 的 性 质 或 基 本 不 等 式 可 得 A/8 C 面 积 的 最 大 值，再 利 用 余 弦 定 理 可 求 力。的 长.详 解 因 为 C=22,a=3,所 以 6 cos C+2b cos B=b cos C+c cos Ba2 b2-c2 a2 c2-b2-+c-lab lac=a=3AD 因 为 1 2=-A B+-A C3 3所 以;软-刀)=|软-瓦)即 BD=-1DC,由。=3 知，80=2,DC=lt设 Z 8/O=a,/DAC=。,Z.ADB=0,BD AB在

41、4灰)中，由 正 弦 定 理 得，sin NB4L-sin NADB,2 2b sin 0-=-sin a=-B P sin a sin。，所 以 b,DC AC在/C Z)中，由 正 弦 定 理 得，sin ZDAC sin ZADC,1 _ b.sm 0即 sin夕 s i n Q-g),所 以 如(一 丁，所 以 sin a=sin/，gp ZBAD=ADAC,所 以 平 分 NB4C；在 8 C 中，因 为 C=26,a=3,代 入 余 弦 定 理/=+c 2-2 b c c o sZ得，9=l 5-4 c o s),S=-bcsin A=62sin A而 8 c 的 面 积 2,一

42、9解 法 1：因 为”=2 a,且 a 为 锐 角，所 以 5-4 c o s 2 a,S=ft2 sin J=所 以 9 sin 2a5-4 co s 2a18sinacosa5(sin2 a+cos2 a)-4(cos2 a-sin 2 a)18sinacosa _ 18 tan a _ 18cos2 a+9sin2 a 1+9 tan2 a.tan a i】tana2J 9 ta n a V tan a9 tan a=-tan a=-当 且 仅 当 ta n a,3 取 等 号，M 4,2 9sin a=cos 2a=-b=-=5/r-/r此 时，10,5,5-4 c o s 2 a 即

43、 6=A/5,c=2 j 5,由 o一 _口 o.q 3=c D sin a+6-J D s in aA A B D 十 D DC 得 2 2,解 得 4?=2夜.5 Z 2-9解 法 2：由 9=(5 4cos 得 cs=劭；所 以 S=h2 sin J=ft271-c o s2 A=h2 1-5 b=2 V-/4+10/?2-9=(J-0-5 j+16所 以 当/=5 即 6=石 时，面 积 s 最 大 为 3,此 时 在“8 C 中，a=3,b=y/5 t c=2后,c b2+a2-c2cos C=-所 以 由 余 弦 定 理 求 得 2ab 5，在 ANDC 中，由 余 弦 定 理 得 4 c 2=AC2+DC2-2 J C CcosC=8,所 以 此 时 W=2及.