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1、2021-2022学年江苏省淮安市高一下学期期末数学试题一、单选题1.设 i 为虚数单位，若复数+是实数，则实数a 的 值 为()A.-1 B.0 C.1 D.2C【分析】由复数乘法法则化复数为代数形式，再由复数的分类求解.详解(l-i)(l+i)=l+a i-i-=l+4+(-l)i,它是实数，则 a-1 =0,。=1.故选：C.2.在AN 8 C中，a,b,c 分别是角4 B,C 的对边，若。=。8$2,则A/8 C的形状()A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定B【分析】根据余弦定理边角互化并整理即可得答案.Da2+c2-b2cos B=-【详解】因为a=ccos8
2、,lac,a2+c2-b2所以2ac,整理得/+/=c 2,所以三角形的形状是直角三角形.故选：B3.用半径为2 的半圆形铁皮围成一个圆锥筒，则该圆锥筒的高为()A.1 B.右 C.2 D.6B【分析】根据圆锥的展开图可知底面圆周长与弧长的关系，进而可求底面圆半径以及母线，由勾股定理即可求高.【详解】半圆的的弧长2兀等于圆锥的底面圆周长，故底面圆的半径为1,圆锥母线为2,故高为：A/2：-12=V3故选：B4.“哥德巴赫猜想“是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2 的偶数都可以写成两个质数(也称为素数，是一个大于1 的自然数，除了 1 和它自身之外，不能被其它自然数整除的数叫做质数)之和
3、，也就是我们所谓的“1+1”问 题.它 是 1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等曾在哥德巴赫猜想的证明中做出过相当好的成绩.若将6 拆成两个正整数的和，则加数全部为质数的概率是（）1111A.3 B.4 C.2 D.6A【分析】利用列举法求解，先列出把6 拆成两个正整数的和的所有情况，再找出两个加数全为质数的情况，然后利用古典概型的概率公式求解即可【详解】6 拆成两个正整数的和的所有情况有：1 +5,2 +4,3 +3,3 种情况,其中两个加数全为质数的有3 +3,1 种情况，所以所求概率为故选：A5.在中，8 =45。，点。是边上一点，AD=5,A C =1,D
4、 C =3,则边的 长 是（）_ 1 0 /7 s/6A.4瓜 B.3 C.2 D.2 6C【分析】由余弦定理求得c o s c,由正弦定理求得c A C2+C D2-A D2 49 +9-2 5 1 1 详解/C 中 一 2A C C D 2 x 7 x 3 -1 4,AB A C A D AC sinC,乂三 5 限/B C 中，由正弦定理 si n C si n B 得 si n 5 si n 45 0 2 .故选：C.6.已知马，是平面内的一组基底，刀=3 1 +2 心丽=坛+盛，沅=5 心 4心 若 以B,C三点共线，则实数%的值为（）A.-1 B.0 C.1 D.2A【分析】4B,
5、C三点共线 可 转 化 为 方=人 工，结合向量的运算与向量相等即可求解【详解】因为 =36+202,08=4 q+丘0C=5q-4/斤以 AB=OB-OA=g q +ke2 卜 g q +2/)=e+(k 2),AC=OC-OA=g q -4e2(3e+2色)=2e,-6e2又因为a B,。三点共线，所 以 方=即录+（2 回=乂 2 h 6。|22=1 i所以i-6 4 =/_ 2,解得-T”-，故选：A7.甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下:甲：12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49；乙：8,13,14,16,23,26,28,29
6、,31,38,39,51.则运动员甲得分的25百分位数与运动员乙得分的80百分位数的和为（）A.22.5 B.38 C.60.5 D.39C【分析】根据百分位数的计算规则计算可得.【详解】因为12X25%=3,故运动员甲得分的25百分位数为从小到大排列的第3 和20+25-=22 54 个数的平均数，为 2;又12x80%=9.6,所以运动员乙得分的80百分位数为从小到大排列的第10个数，为3 8,所以 22.5+38=60.5故选：CC 1c=2 tan 8.已知 a=sm l,fe=2coslsinl,2,贝 ij,b,c 的大小关系为（）A.abc B.bc a Q c a b 9 cb
7、 aD【分析】由二倍角公式，诱导公式，正弦函数的性质比较“力大小，再利用三角函数线证明X为锐角时，ta n x x,从而可比较c，6 大小，得出结论.详解6=2coslsinl=sin2=sin（4 一 2）,71 A .八 九一210./c、又 2,所以sin S-2）s i n l,即 利用三角函数线可以证明x 为锐角时，tanxx,如图，在单位圆中，以 x 为始边，为顶点作出角x,其终边与单位圆交于点尸，过单位圆与x 轴正半轴交点A作x 轴的垂线，角x 的终边与这条垂线交于点T,则4T=ta n x,劣弧尸力的长为S.=lr=x S3=tan x扇形。尸/的面积为 2 2,面积为 21
8、1 211_ _ tanxx由图形，易知$2工，即 2 2,所以tanxx,-1.1,c=2tan 2x=1所以 2 2,6=sin2 b a.故选：D.二、多选题9.某商家为了了解顾客的消费规律，提高服务质量，收集并整理了 2019年 1 月至2021年 12月期间月销售商品（单位：万件）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列说法正确的是（）A.月销售商品数量逐月增加B.各年的月销售商品数量高峰期大致在8 月C.2020年 1 月 至 12月月销售数量的众数为30D.各 年 1 月至6 月的月销售数量相对于7 月 至 12月，波动性大，平移性低BC【分析】由折线图，结合数字特征及曲线
9、的分布特征可以看出AD选项错误；BC选项正确.【详解】月销售商品数量从8 月到9 月，是减少的，故 A 错误；各年的月销售商品数量高峰期大致在8 月，B 正确；2020年 1 月 至 12月月销售数量为30 的 有 1 月,3 月,6 月,9 月，有 4 个，其他均低于4个，故众数为30,C 正确；各 年 1 月至6 月的月销售数量相对平稳，波动性小，D 错误；故选：BC10.一只袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有3个白球和2 个黑球，从袋中不放回地依次随机摸出2 个球.甲表示事件“两次都摸到黑球”，乙表示事件“至少有一次摸到黑球“，丙表示事件“一次摸到白球，一次摸到黑球“，丁表示事件“至
10、少有一次摸到白球“，则下列说法正确的是（）A.甲与丁互斥 B.乙与丙对立C.甲与丙互斥 D.丙与丁独立AC【分析】利用互斥事件的定义可判断AC选项；利用对立事件的定义可判断B 选项;利用独立事件的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，丁事件包含：一白一黑、两白，甲与丁互斥，A 对；对 于 B 选项，乙事件包含：一白一黑、两黑，乙与丙不对立，B 错；对于C 选项，甲与丙互斥，C 对；对于D 选项，分别记事件丙、丁为A、B,将3 个白球分别记为。、b、c,2 个黑球记为E、F ,从上述5个球中任意摸出2 个，所有的基本事件为：ab、ac、a E、a F、be、b E、b F、c E、c F、E
11、 F ,共 10 种，其中事件A 包含的基本事件为：a E、a F、b E、b F、c E、c F,共 6种，事件8 包含的基本事件为：岫、ac、a E、a F、be、b E、b F、c E、cF ,共9种，a 9 3所以，7 5,V 7 10,5 故丙与丁不独立，D 错.故选：AC.11.如图，在边长为2 的正方形48CQ 中，E,F 分别为8C,8 的中点，H为EF的中点，沿 空,EF,将正方形折起，使 5,C,。重合于点O,构成四面体，则在四面体4 一 0 匹尸中，下列说法正确的是（）A.四面体的体积为3C.O H 1.A HABDB./。，平面。776D.四面体外接球的半径为2【分析】
12、根 据 翻 折 前 后 图 形 之 间 的 关 系 可 得A O L O F,再由直线与平面垂直 的 判 定 可 得 平 面 0 E F，进而判断A,B,C,根据四面体的外接球与OA=2,OE=,OF=为长宽高的长方体的外接球相同，即可求解.【详解】翻折前，A B 1 B E,A D 1D F,故翻折后，O A L O E,OA OF,又O E c O F =。，：.O4工平面E O F ,故 B 正确；则 3 2 3,故 A 正确；，O/_L平面E O F,。u 平面E O J 故。,O，,故。_ LZ，不可能成立，故 c 错误；由于。4 1 OE,OE 1 OF,OF 1O A，故该四面体
13、的外接球与以OA=2,OE=,OF=为长宽Vl2+12+22 _V6高的长方体的外接球相同，故外接球半径为 2 2,D正确；故选：ABD1 2.我国古代数学家早在几千年前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为作注时给出的，被后人称为赵爽弦图.赵爽弦图是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图,大正方形48CO是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若直角三角形的直角边的长度比为1：2,则下列说法正确的是（）DA码 词=2国C.5l IB.AC A.E G3 4 AF =AB+A DD.5 5ACD【分析】根据各边长
14、的关系直接可判断A；根据正方形对角线互相垂直，然后观察可判断B；利用投影表示数量积可判断C；作 刊 L B C,求出尸/、BI长,然后由向量加法可判断D.【详解】记 BE =m,AE =2m,则48=加 m“E 2m _ 2所 以 皮 二岳飞,艮/囤=2网故A正确;由正方形性质可知，就 工 丽，显然8 G不平行，所以/C,EG不垂直，B错误;因 为 荏.比=荏.在=|画 画cos Z BAE =阿=4/三 於=3晶 =4/AE-DC=-BC(所以 51 ,故C正确；过 产作F 7 1 B C,垂足为/,B C F I =BF F C ,即石加厂/=2加 加所以 5,所以 5 5 2 4.IF
15、=AB,BI=-A D则 5 5,AF J B+J i+7 F A B +-J D-J B =-7 B +-J b所以 5 5 5 5,故D正确.故选：ACD三、填空题13.若复数z 满足匕7 =1,则 目 的 最 大 值 为.2【详解】分析：首先根据题中的条件，结合复数的几何意义，可以明确复数z 对应点的轨迹是以（1，）为圆心，以 1 为半径的圆，忖取最大值时，就是圆上的点到原点的距离的最大值，结合圆的性质，其为圆心到原点的距离加半径求得结果.详解：依题意，设复数z=x+W，（x e R,y e R）,因为上一1 二|,所以有（1）2+*由复数的几何意义，可知z 对应的点的轨迹为以（1，）为
16、圆心，以 1 为半径的圆，因为恸=J x+V 表示圆周上的点到原点的距离，所以恸的最大值为1 +1 =2,所以答案为2.14.如图，某系统使用4 B,C 三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响.当元件力正常工作且8,C 中至少有一个正常工作时系统即可正常工作.若元件4 B,C 正常工作的概率均为0.7,则 系 统 能 正 常 工 作 的 概 率 为._ rE 0.637【分析】求出8=C 正常的概率，然后由独立事件的概率公式计算.详解尸=P（A）P（B UC）=0.7x（!-03x0.3）=0.637故 0.637cost a+-=-a e 0,j sinl 2a+-j15.已知
17、 3 J 3,且 12九 则 I 6 J 的值为79【分析】由诱导公式与二倍角公式求解即可sin I 2a+j=sin I 2a+I -=-cos|2 a+【详解】I 6)I 3)2 I 37故3四、双空题16.在正四面体/8 C O 中，点、E,尸分别在棱4 8,4 C 上，满足8E=1,E F =2,3GE F 面B CD,则棱/B 长为,以点4 为球心，为半径作一个球，则该球球面与正四面体/8C。的 表 交 所 得 到 的 曲 线 长 度 之 和 为.5出 T I3 丁【分析】根据环平面BCD可得E F/8 C,进 而 也 为 等 边 三 角 形，即可求AB=BE +AE =l +2=3
18、,将球面与正四面体的四个面所得的交线分为两类，一类与侧面的交线，一类与底面的交线，结合球的截面性质即可求解.【详解】因为 尸平面8 8,E F u平面48C,平面/8 C D 平面8CZ)=BC,所以E F/BC由于四面体4 8 c o 每个面都是等边三角形，故 EF也为等边三角形，所以 4B=BE +AE=1 +2=3-球面与正四面体的四个面都相交，所得的交线分为两类：一类与三个侧面ABD,ABC,AC D的交线，与侧面4 8 c 交线为弧MV,弧 在 过 球 心 的 大 圆 上,A M =,AB=3,Z B A C=60,由于 2，所以弧MN的长度为:兀 3 G 兀x-=-3 2 2与侧面
19、”灰),4 C 的交线与弧“N 一样长,另一类交线是与底面8 8 的交线，过A 作 4 0 1 平面3CQ,OD=-D P =-X X3=433 3 2所以初=，初一口孚 邛 止 空 故 与 底 面s o刚好相交于底面8 8各边的中点处，形成的交线此时是底面8C。的内切圆,OP=-DP=-x x 3=-27tx 苴=J5兀内切圆半径为 3 3 2 2，故弧长为：21 也K IZ 5石兀3 x-+,3 k-因此所有的交线长为 2 25月兀故=3,交 线 之 和 为 丁五、解答题1 7.已知平面向量=（.2）,（-1 I）.求 I的值；71 若 向 量 与 夹 角 为 了，求实数4的值.（1）3&
20、（2）2=1 或4=-2【分析】（1）首先求出安 一5的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得；（2）首先求出 +力的坐标，即可得到k+L再根据数量积的坐标表示求出+劝）（2一），最后根据数量积的定义得到方程，解得即可；【详解】解：因为=（卜2）,B=（T，T）,所以 2”6 =2(1,-2)-(-1,-1)=(3,-3)所 以 忸-小/+(一3)2=3,解：“+元=(1，-2)+2(-1，-1)=0 ,-2-/1),所以卜/+|=J(1 -2 )+(-2 -7)色+4 b)g a -b)=3(1 4)+(3)x (2 4)=9兀又向量“+苣 与2 a-5夹角为4 ,所以G+二)&力)=B +础
21、2力|cos 714,即 F齐&x=9即0-4+(-2-4=9,解得2=1或彳=一2.18.如图,在正方体中(1)求证：4 8/平面4 4 8；(2)求直线,乃和平面44C D所成的角(1)见解析；(2)3 0【分析】(1)由 勘44即可证得4平面 8；(2)连接BG交8c于,连接04,证明_ L平面48co，可得/田为直线48和平面48co所成的角，设正方体棱长为1,在放4408中求出N 4 8【详解】解：证 明：4 8 O M =-O M 6 2 2 53.sin NCBC=需=-1-=W，=tan NCBC、=22在 BOM 中,tan Z.CBC,-=t=2 n C G=4在 A8CG
22、 中，BC 2S A/1.ZR#CC-CC.1 =4x22x4=4y/3故三棱锥的体积为:2 2.在 2acosZ=6cosC+ccos8；tan 8+tanC+6 =6 ta n 8tanC 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.在力8 c 中，以b,c 分别是角/,B,C 的对边，已知.（1）求角4 的大小；正（2）若AN8C为锐角三角形，且其面积为2，点 G 为ANBC重心，点 为 线 段 4 C 的中点，点 N 在线段4 8 上，旦AN=2NB,线段3M 与线段CN相交于点p,求的取值范围.注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.【分析】（1）若选利用正弦定
23、理将边化角，再利用两角和的正弦公式计算可得；若选利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；（2）用 1 万、就作为平面内的一组基底表示出示5,再根据平面向量共线定理及推论表 示 出 方，即可表示存，利用面积公式求出从=2,再由三角形为锐角三角形求出b的取值范围，最后根据数量积的运算律及对勾函数的性质计算可得；【详解】（1）解：Q 2 a c o s/l =/cosC+ccos2?,2 sin A cos A=sinB cos C+sinCcos B=sin（B+C）由正弦定理可得COSTI=g|j 2sin Jcos J =sin A f 又sin 0,所以2cos4=1,g|j 2,因为/e(
24、O ，所以 一3；若选 tan 5+tan C 4-V3=V3 tan 4 tan C,即 tan B+tan C=-V J+V3 tan B tan C,即 tan 6+tan C=-y/i(1-tan B tan C)tan 8+tan C _ nr所以 1-tanBtanC,即 tan(8+C)=-J J ,所以 tan(-力)=一百，即 tan/=J i,因为所以一5；AN=-JB AM=-AC解：依题意 3,2所以小 肉 消 肉 源。+g须 一 而）。+g乒一万净+用因为c、N、P 三点共线,_ _ _ 2 _ _凝=4 丽+(1-/1)就=_ 7 月 分+(1-2)就故设 3同理“
25、、BP 三点共线,万=方+(1-)而=方+1(1-)工故设2所以2,Z=Z Z31 A,=(1-)2,解得“4 二5AP=-AB+-C所以 2 4则GP=7P-7G=-JB+-JC-JB+-JC=-JB-7C=(2AB-2 4(3 3 J 6 12 12v因为L=h c s in A=2 2所以6c=2,又A/8 c 为锐角三角形,当C 为锐角，则 就 而 0,即)1 22 b，he 0 2 bc=即力C 即 2 ，即 b,所以bl,当8 为锐角，则 否 而 0,即 2 c be 0 2 一 b即”-A CA B 0,即 2 ,即 2 c 6,即 h,所以 0b2,综上可得162,又GP.2AB-AC-2 一 2=44B-4AB A C+A CI.1 2 I,1 24|力-AB-AC AC=4。2-2 儿+16)/4+因为1 6 2,所以而)一工一 4+”在(L4)上单调递减，所以/(x)4,13)*4 +3(4 1 3),即144研 4,13),所以口酢(2,旧),贝 产 非羽