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1、2021-2022学年江苏省常州市金坛区高一下学期期末数学试题一、单选题izx-1.已知复数 1-i（i 是虚数单位），若复数z 与马在复平面上对应的点关于原点对称，则复数z 为（）.1-i1+iA.2 B.2-1-i-1+iC.2 D.2A【分析】利用复数运算法则化简复数4,得到其在复平面上的对应点为人记复数z在复平面对应点为8,由于点4、8 关于原点对称，得 8 的坐标，即可求得复数z.i i（l+i）-1+i 1 1 .z-=_/_ _ _ j【详解】解：，-i（l）0+i）2 2 24-）则4在复平面上的对应点为 2 2设z 在复平面上的对应点为B,由于点工、8 关于原点对称即复数z
2、为.2故选：A.2.运动员甲10次射击成绩（单位：环）如下：7,8,9,7,4,8,9,9,7,2,则下列关于这组数据说法不正确的是（）.A.众数为7 和 9 B.平均数为7C.中位数为7 D.方差为=4.8C【分析】根据众数的含义可判断A;计算出平均数判断B,算出中位数判断C;计算出方差判断D.【详解】由题意，这组数据中7 和 9 都出现3 次，其余数出现次数没超过3 次，故众数为7 和 9,A 正确;7+8+9+7+4+8+9+9+7+2”-=7计算平均数为 10，故 B 正确；将 10次射击成绩从小到大排列为：2,4,7,7,7,8,8,9,9,9,-=7.5则 中 位 数 为 2,故
3、C 错误：?=(7-7)2X3+(8-7)2X2+(9-7)2X3+(4-7)2+(2-7)2=4.8方差为 1 0,故 D 正确，故选：C3.已知m,”是两条不同的直线，,P ,/是三个不同的平面，则下列结论正确的是().A,若 /，w/cz,则 a B.若加0 1，。，则初/尸C,若 B 丫，则。力 D.若加，a llP ,m l a t 则D【分析】根据平面的基本性质判断A、B、C,由线面垂直、面面平行的性质判断D 即可.【详解】A：?/，m a ,则 a 或 u a,错误；B：w l a,a。,则团/或机u 7 7,错误；C：a /,2,则名夕相交或平行，错误；D：mH,m y a,则
4、又a 夕，故正确.故选：D4 .甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4,乙解决出该难题的概率为0.5,则该难题被解决出的概率为().A.0.9 B.0.8 C.0.7 D.0.2C【分析】求出甲乙两人分别解决不了难题的概率，即可求得该难题不能被解决即甲乙两人同时都解决不了该难题的概率，根据对立事件的概率计算，可得答案.【详解】由题意可知甲不能解决该难题的概率为1-0.4=0.6,乙不能解决出该难题的概率为1-65=0.5,故该难题被解决出的概率为1-6 6X0.5=0.7,故选：C一五。,tan2 22.55.已知-2 sl Sn),1 +tan2 22.5,c=sin
5、22cos24 0+cos22sin24 0,则a,h,c的大小顺序为().A.b a cB.c b aC.c a bD.b c aB【分析】利用和差角正弦公式及商数关系可得 =si n 4 4。、6 =si n 4 5。、c =si n 4 6。，根据正弦函数的性质判断大小.【详解 =c osl si n 4 5 0-si n l c os4 5 =si n 4 4。，,1-ta n2 2 2.5 c os2 2 2.5-si n2 2 2.5 b =-；-=；-；-=c os 4 5 =si n 4 5 1 +ta n2 2 2.5 c os2 2 2.5 +si n2 2 2.5 c=s
6、i n 2 2 c os 2 4 0 +c os 2 2 si n 2 4 =si n 4 6 .所以故选：B6.设平面向量B 满足忖=1 2,b =(2 y%=i 8,则B 在 上投影向量的模为().33 5/|A.2 B.2 C.3 D.6A【分析】表示出坂在Z 上投影向量，结合己知条件忖=1 2 即可求得答案.a-h a 1 一 二,_ Q【详解】由题意可知：B 在 上投影向量为5 1|8|1|_1X|2=A故否在“上投影向量的模为8 8 2,故选：A7.如图，一个底面半径为2 a 的圆锥，其内部有一个底面半径为的内接圆柱，且此内接圆柱的体积为6 兀。,则该圆锥的体积为().26 3 8
7、G 3A.3 m B.3 c.4 G g D.8扃 B【分析】作出该几何体的轴截面，求出内接圆柱的高，利用三角形相似求出圆锥的高,即可求的其体积.【详解】作出该几何体的轴截面如图示：为圆锥的高,设内接圆柱的高为，而 B C =2a,B D=r=a ,因为内接圆柱的体积为6 兀即放 =百兀/，则 h=y/3a th D C由于 4B E D,故 A。巡 CE D,则 8C ,!?)a la-a即 A B 2a ,故 A B =2出a ,K=-?tx(2 a)2 x 2V ia =na)所以圆锥体积为 3 3故选：B8.在A48C中，角”，B,C的对边分别为a,b,c,的 面 积 为 若4s =0
8、+c-y-a2 则角A的 值 为()2 7 17 1A.3B.2nnC.D.4B【分析】由4s =(0)-/可得26c s i n 4=+2b c +c 2-/，利用余弦定理结合二倍角.A A A ts i n =c os,ta n =1公式化简，即可得 2 2 2,进而求得答案.【详解】由4s =S +c)一-可得：2历5 出4=62+2儿+/_。2 ,即 26c s i n A=26c c os A +2b c g p s i n A=c os J+l,2 s i n c os =2 c os2 一所以2 2 2-c Ho s i n 幺c,t ad因 为 小(0,兀)，故 2,则 2 2
9、 2A j rJe(0,7r),-e(0,-)由于 2 2A故 27 T ,n ,A =4 2故选:B二、多选题9.设向量z,书满足H=W=iA.(词=9c|-可=6B.，且 曰 卜 如,则下列结论正确的是（）.D,B+34 =V7CD【分析】根据平面向量数量积的运算性质可求得伍 3力2 =6晨石+9=1 3,从而求出万 石 的值，进而可求出向量,1的夹角余弦值，再由数量积的运算性质判断各选项式子的正误.【详解】解：旧六出E,1万-3田=加；.他-35)2=1-6心8+9=13.-7*1a b=.2.abab又 w G W；.：12.哂=4/3.故选项4错误;布+而 离M 7+2B +r=l,
10、故选项8错误；小一牛+B=百,故 选 项c正确；.市+3+而+3尔=布+6弟+犷 访,故 选 项o正确.故选：CD.1 0.某教育局对全区高一年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了 200名学生，他们的身高都处在从B,C,D,E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表如下，则下列结论正确的是（）.女生身高情况直方图男生身高情况扇形图A.男生人数为80人B.8 层次男女生人数差值最大C.。层次男生人数多于女生人数D.E 层次女生人数最少ABD【分析】根据条形图求出抽取女生人，得出抽取男生人，再对照图表判断选项中的命题是否正确即可.【详解】解：由条形图知，抽取女生学生有18+4 8+30+18+6=1
11、20（人），所以抽取男生有200T 20=80（人），选项A 正确：8 层次的男生有8X（1T0%-15%-20%-25%）=24（人），/，B,C,D,E 五个层次男生人数分别：8,24,20,16,12（人），与女生各层次差值分别为：10,24,10,2,6,选项 B 正确；。层次的男生有12（人），女生有18人，男生人数少于女生，选项C 错误；E 层次的女生人数最少，选项D 正确.故选：ABD.11.已知复数，复数Z2=cos6+isin0,其中 6 为实数，i 为虚数单位，定义：复数2=平 2=/（6）+8 伊为，目标复数,其中7,）和g（e）分别为“目标复数的实部和虚部，则下列结论正
12、确的为（）.A g（9）=QsinO+8cos。B/（，）=ocosd+bsin。/(e)=2 sin(E-，1 rC.若(6 人贝心=1,b=SD.若”=1,b=6 ,且 g(8)=2,则锐角。的值为7ACD【分析】根据z=z/2=/(，)+g(O)i,利用复数的乘法以及复数相等，可求得f(e)=2 s in&e/(e)，g 3),即可判断A,B；根据 16 J 利用两角差的正弦公式结合复数相等，确定“力的值，判断c；利用g()=2 结合三角恒等变换，可求得锐角6 的值,判断D.【详解】由题意知：z=*=I +g i=(a+6i)(cos办 isin)=acos0-bsn0-(a sin 夕
13、+bcos9)i故/(6)=a cos 8 bsing g(0=asin0+hcos0故 A 正确，B 错误;/(，)=2sin 仔厂若 6 J f gp a cos 0-bsin0=cos-V3 sin 0 y贝6=6,故 c 正确；若 1,b=6 且g()=2,gpg(+V3cos6=2)7 T7 T2sin(6+-)=2 0=-即 3,因为夕为锐角，故 6,D正确，故选：ACD1 2.如图，二面角”一,一夕的大小为120。，点4 8 在二面角的棱/上，过点4 B分别在平面&和尸内作直线/的垂线段4 C 和8。，且 NC=6,8 0 =8,AB=46，则下列结论正确的是().A.异面直线N
14、C和8。的所成之角为1 2 0。B.C D =1 4C.点C到平面夕与点D到平面。的距离之比为3 ：41 2 vH iD.异 面 直 线 和。的 之 间 距 离 是 3 7B C D【分析】对 A,根据线线角的范围判断即可；对 B,过/8 C 作矩形N 8 E C,根据二面角的性质结合余弦定理求解即可；对 C,根据二面角的性质可得点C到平面4与点O到平面的距离之比为J C-s i n l 2 0 0 :5 Z)-s i n l 2 0 0 再计算即可;对 D,根据二面角的性质分析可得异面直线AB和C D的之间距离即B到 平 面 的 距离，再根据面积公式列式求解即可【详解】对 A,因 为 线 线
15、 角 的 范 围 为 故 A错误；对 B,过/8 C 作矩形/8 E C 如图，则力。3,故N E 8 D =1 2 0,且平面E 8 DD E2=D B2+B E2-2DB -E B .由余弦定理，I 2),解得D E =,148又.B l B E ,故CE1 B E 9 C D2=CE2+E D1=4 8 +1 4 8 =1 9 6 f 故C D =1 4,故 B 正确；对 C,由题意，CA LI,BD 1 1,故点C到平面夕与点。到平面a的距离之比为4c s i n 1 2 0:6。s i n 1 2 0 0 =AC:B D=3:4,故 c 正确;对 D,同 B中图，因为N 8 C E,
16、故/8/平面COE,又CDu平 面 故 异 面 直线 N8和。的 之 间 距 离 即 到 平 面 C O E 的距离.因为N E 8 O 为二面角a-、6,故力 8到平面C O E 的距离即B到 平 面 的 距 离 设 为 力，则根据三角形的面积公式有-5 E-5 Z)-s i n l 2 0 =-E D h 6 r ,A=I 2 VHT2 2 ,故2 4/3 =2 力 7(解得 3 7 ,故 D正确；故选：B C D三、填空题1 3 .已知/,8是相互独立事件，且 尸 =。3,尸巧）=。6,则P（）=0.1 2【分析】根据对立事件的概率公式，结合相互独立事件的概率公式求解即可【详解】由题意，
17、尸 =尸（）=尸尸（2）=.3 x.4 =2故 0.1 21 4 .如图，在四边形“8 8中，E,E分别是力。和8C的中点，若-2【分析】由E、/分别是8c的中点，根据相反向量的定义，易得项+E 5=0,丽+定=0,利用平面向量加法的三角形法则，我们易将向量乔分别表示为而+阱+丽 和 丽+岚+丽 的 形式，两式相加后，易得到结论.【详解】解：尸分别是8c的中点，二.球+防=0,F B +F C=Q t又/A B +B F +F E +E A =6 ,E F =A B +B F +E A（i）同理 E F =E D +D C +CF 由+得，2E F =JB +DC+E A +E D+B F +
18、CF =A B +DC.整理得：_ 而 _ 反+2而=G.又 A A B +piDC+2E F=64 =17+=2故答案为.-21 5.在“8C中，边 AB、C的长度分别为5、现在从格电，匕四 这乡个正整数中任选一个数作为边8c的长度，则A48C为钝角三角形的概率为23【分析】计 算 出 使 得 8c为钝角三角形时，8c的可能取值有多少种，根据古典概型的概率计算【详解】由题意可知：7 V B e 17 ,从 8,9,1 0,1 5,1 6 这 9个正整数中任选一个数作为边8 c的长度，故有9 种可能，要使“8 C为钝角三角形，需满足：52+B C2-1 22 1 3,故 8 c的取值可能是：8
19、,9,1 0；或 1 4,1 5,1 6,共 6 种可能，6 _ 2故 4 8 c 为 钝 角 三 角 形 的 概 率 为,2故31 6.已知三棱锥P-48 C的四个顶点均在同一个球面上，且满足8=8 C =后，Z A B C =-2,若该三棱锥体积的最大值为3,则 其 外 接 球 的 表 面 积 为.1 6 兀【分析】确定三棱锥体积取最大值时顶点的位置，根据体积求得其高，继而利用勾股定理求得外接球的半径，即可求得答案.【详解】如图示：由 题 意 知 是 等 腰 直 角 三 角 形，故/C为截面圆的直径，则外接球的球心O在截面A B C上的射影为AC的中点D,当 ROQ三点共线，且尸，。位于截
20、面Z 8 C 的同一侧时，棱锥体积最大,此时棱锥的高为PD,且高此时最大，-x i x /6 x /6 x PD=3 c c 故 3 2 ，即得P D =3 ,设外接球半径为R,则。O =3-R,=R,在 R t Z O DC 中，=,故(3-R)2 +3 =/?2,解得尺=2，所以外接球的表面积为4 兀尸=1 6 兀，故1 6 兀四、解答题17.一个盒中装有编号分别为1,2,3,4的四个形状大小和质地完全相同的小球.（1）从盒中任取两球，求”取出的两球编号之和大于4”的概率；（2）从盒中任取一球，记下该球的编号x,将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号乃求事件小一引M2,发生的概率.2（
21、1）37（2）8【分析】（1）列举出从盒中任取两球的所有等可能基本事件，再列出取出的两球编号之和大于4的事件，根据古典概型的概率公式即可求得答案：（2）列出有放回地连续抽取两球的所有等可能基本事件，列出事件“以一”42,发生的所有基本事件，根据古典概型的概率公式即可求得答案.【详解】（1）从盒中任取两球的所有等可能基本事件有：（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,3）,（2,4）,（3,4）,共 6 个，记取出的两球编号之和大于4的事件为4则事件4包含（*）,（2,3）,（2,4）,（3,4）,共4个等可能基本事件PA）=-=-所以 6 3；2答：从盒中任取两球，取出的两球编号之和大于4的
22、概率为（2）有放回地连续抽取两球的所有等可能基本事件有：（1,1）,（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）共 馆个,记卜-0 4 2的事件为以则事件 8 包含 ），OZ,（L3）,（2,1）,（2,2）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（4,2）,（4,3）,G，4）共 个等可能基本事件，P（5）=2所以 16 8,7答：事 件 发 生 的 概 率 为K1 8.已知Z,石为平面向量，且=。一2）.若M,且M 卜 2
23、君,求向量刃的坐标；若加=(T 2),且 向 量 与 +2 5 平行，求实数上的值.(1)(4 2)或(-4,-2)k=-2【分析】(1)设为=0/),根据平面向量垂直和平面向量的模长公式可得出关于x、y的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量否的坐标;(2)计算出向量65 与 +2 5 的坐标，由已知向量平行，可求得上的值.【详解】设 =(x j),因为W=2 右，所以JxL=2 又因为所 彳=0,即 尸 2 尸 0J J x?+.2 =2 M J%=4 (X2=-4由联立得1 x-2y=0,解 之 得 卜=2 或 卜=-2,则所求向量的坐标为区 2)或(T，-2)(2)因 为 口(卜
24、2),5 =(-3,2),所以攵 a 刃=(攵+3,2%-2)a +2b =(-5,2 )又因为向量3-5 与1+2 3 平行，所以2(左+3)-(-5)(-2 _ 2)=0,k=-解之得 21 9.某城市缺水问题比较严重，市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，为了解家庭用水量的情况，相关部分在某区随机调查了 1 00户居民的月平均用水量(单位：吨)得到如下频率分布表：分组频数频率 1.5,4.2 20.2 2 4.5,7Xy 7,5,1(1 60.1 6 1 0,5,11 00.1 0 1 3.5,160.06 1 6,5,160.06 1 9.5,：5Z 2 2.5,20.02 2
25、5.5,20.02合计1 001求上表中x,y,Z的值；(2)试估计该区居民的月平均用水量；(3)从上表中月平均用水量不少于2 2.5吨的4户居民中随机抽取2户调查，求2户居民来自不同分组的概率.x =3 1,y =0.3 1,z-0.05(2)9.2 1 吨2【分析】(1)根据频数和为1 00计算可得x，进而根据概率求得再根据频率和为1求得z；(2)根据平均数的计算公式直接求解即可；(3)将所有基本事件例举出，再根据古典概型的公式求解即可【详解】由题意可得X=10-（22+16+10+6+6+5+2+2）=31,则 1 00 1 00,yZ=1-（0.2 2+J +0.1 6+0.1 0+0
26、.06 +0.06 +0.02 +0.02）=0.05 ,（2）利用组中值估计该区居民的月平均用水量为x =3 x 0.2 2 +6 x 0.3 1+9x 0.1 6+1 2 x 0.1 0+1 5 x 0.06 +1 8x 0.06 +2 1 x 0.05+2 4 x 0.02 +2 7x 0.02 =9.2 1（3）记从上表中月平均用水量不少于2 2.5 吨的4户居民中随机抽取2户调查，且 2户居民 来 自 不 同 分 组 的 事 件 为 设 2 2 5 2 5.5）中的2户为4 8,1 2 5.5,2 8.5）中的2户为C D,则所有可能的情况有（45）（/,C）（4O）（8，C）（8，
27、）（C，。）共 6种情况，其中满4 2足条件的有四种情况，故尸-7 一,故从上表中月平均用水量不少于2 2.5 吨的4户居民中随机抽取2户调查，且 2户居民来自不同分组的概率2为冗Z B A D =2 0.如图，在 四 棱 锥 尸 中，尸。，平面4 8C。，A B/CD,4 ,A B =A D =-C D =33 ，点 E为棱尸。上的一点，且。E =3 E P =3.P 求证：尸 8平面N E C；（2）求直线4与平面 CO所成的角.（1）证明见解析n不B F PE 1【分析】（1）连结8。交力C于点R 连结EF,由4B/CD,结 合 而=方=,得到E F/PB,再利用线面平行的判定定理证明；
28、（2）过点/作直线。的垂线交。的延长线于点G,连结EG,易证Z G _ L 平面P D C，得到/A E G即为直线AE与平面尸。C 所成的角求解.【详解】(1)证明：连结8。交 C 于点尸，连结E/因为在底面/8 C O 中，A B/CD,B F A B PE _ 1所 以 丽=五=3,又 访=5,B F PE 则在中，F D E D 3,叔 EFHPB,又因为E F u平面4 E C,尸 8 a 平面/EC,所以 8平面NEC；(2)过点N作直线CD的垂线交8的延长线于点G,连结EG,因为P)_L平面4 8C。，又N G,/Q u 平面/8C O,所以/G _LP。，A D L PD,又因
29、为/G J.8,且 P D c C D =D,PD,CZ u 平面 PQC,所以/G J.平面尸,则A A E G即为直线A E与平面P D C所成的角，又因为E G u 平面P D C,所以4 G _L EG,又在直角三角形AD E中，4E =y/A D2+E D2=后于=3应,A G =A Dxsin Z A D G =-在直角三角形/G O 中，2,sinZAEG=-=-在直角三角形GE中，AE 2,T TJTN Z E G e(O,-)ZAEG=-因为 2 ,所以 6 ,即所求直线AE与平面PCD所成之角为6 .2 1.如图，NC是 平 面 四 边 形 的 一 条 对 角 线，且在AN
30、ZJC中,2AD-DC=4。+AD?-DC?AD（1）求角D 的大小;NBAD=-AABC=若 3,6,D=-3AC=2百AB=2,DC=4,求/C 的长.【分析】（1）在/口）,根据已知边等式，可转化为边的二次式，结合余弦定理即可求角的大小;(2)设“C =x,NCAD=a,在 CD 中，由正弦定理可得2 g =x s i n a ,在1X-，en f 兀 A/8 C 中，由正弦定理 S，na-6,联立可解得Si n a 的值，在ZCL 中，由正弦定理可得4 c 的值.【详解】（1）解：因为在A。中,2AD-D C =+皿二ADfiAD2+DC2-A C2=ADxDC,即在A/O C 中，由
31、余弦定理得,AD2+DC2-A C2=2xADxDCxcosD t co s D =则由两式得，2.D =Z又因为在C C中，。(0,0，所以 3,A C(2)解：在中，设N C/O =a,A C =x,则由正弦定理得忑万D C.小 26x=-x s i n Z.D-即 s i n ZCJ D s i n a D Cs i n ZCJ Z),又在 A/8.DCZ,中，Z.CA B -3 -a ,Z.B CA =7 t-6 -k3-a)=a -6,A C A B则由正弦定理得s i n N/8C s i n N BC/,即x=-x s i n /.A B C=-s i n Z.B CA./兀、s
32、 m(a-)6 则由两式得,2也=-s i n(6r-)2 5/3 s i n(-)=s i n asin a 6,即 6展开并整理得 2 s i n a =K c o s a ,也即 4s i n2 a=3co s2 a=3-3s i n2 a 2 Js i n a =7,V 21A .s m a =-又因为在 4 C O中，sma0,所以 7,TH14百 r-s m a =-=-.=,=2A/把 7代入式得，s m a J 2 12 2.如图，在梯形/8 C。中，A B H C D ,A B =,4=60。，乙4B D=9 0。,N C B D =45。,如图，将 48。沿边8 0翻折至使
33、得平面平面BC D,过点B作一平面与/C垂直，分别交H。，4 c于点 F.(1)求证：BE1平 面/8；求点E到平面H 斯的距离.(1)证明见解析V68【分析】(1)根据线面垂直证明BE H C,利用面面垂直的性质定理证明8E _ L C),再根据线面垂直的判定定理即可证明结论；（2）利用等体积法即乙-BEF=yE-ABF,即可求得答案.【详解】（1）证明：如图，因为4C,平面8 E/且 B E u 平面8尸,所以 8E_L/C图又因为平面ABD 1 平面BCD,平面ABD D平面BCD=BD,且Su 平面BCD,C D 1 B D,所以CO_L平面又因为8 E u 平面H8。，所以又因为4
34、C nC O =C,且/C,C）u 平面,所以8E_L平面/C D（2）由（1）知平面/C ）,4D u 平面/C。，所以在直角三角形4 5。中，AB=l,AD=2,BD=y/3；xABxBD =xAD xBE由等面积代换得，2 2,0 c.ABxBD GBE=-=即 AD 2,又因为平面ABD 1 平面BCD,平面平面BCD=BD,且 H 8 u 平面H8。，A B L B D,所以4 8_L平面8C。又因为B C u 平面8 c0,所以48,8 c在直角三角形48 c 中，BC=A*C =yK,-xA B xB C =-xA C xB F由等面积代换得，2 2,DE,ABxBC 1x76 74 2Br=-=-即 HC g 7,EF=lBF2-B E2=又在直角三角形5E尸中，14 ,设点E 到平面ABF的距离为4/,在三棱锥H-8 E 尸中，由等体积代换得，吸-的=/-，x Z F X S.B E F=d x S,#B F即3 3,c 1 D r _ 6&Tr-p p x -x B E x E r 力 厂 厂 l x-17d =A FXS.BEF=2_=BEXEF=2 14 =峋S./B F LX/FXBF B F V 4 2 8也即 2 7V6即所求点E 到平面4 8 尸的距离为8.