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1、专题2.3 动态平衡【题型概览】在动态平衡中，物体由于所处环境或所受某个外力发生缓慢变化，导致物体所受某些外力的大小或方向发生改变。对象可以是某个物体可以是一个系统；涉及的问题可以是各力变化情况的定性分析，也可以是临界与极值条件的分析与计算；解决方法可以是图解法、解析式法有时也可采用极限法等【题型通解】1.图解法三个力作用下的动态平衡（）.当三个力中有一个力恒定、有一个力方向不变时，可直接由力的矢量三角形来判定。例1质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上。用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示。用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中A. F逐渐变大，T逐渐变大 B. F逐渐变
2、大，T逐渐变小C. F逐渐变小，T逐渐变大 D. F逐渐变小，T逐渐变小【答案】A例2.重G的光滑小球静止在固定斜面和竖直挡板之间。若挡板逆时针缓慢转到水平位置，在该过程中，斜面和挡板对小球的弹力的大小F1、F2各自变化情况 例2图AF1逐渐减小、F2逐渐增大BF1逐渐增大、F2逐渐减小CF1逐渐变小，F2先变小后变大DF1先变小后变大，F2逐渐变小【答案】【解析】GF2F1例2答图由于挡板是缓慢转动的，可以认为每个时刻小球都处于平衡状态，因此所受合力为零。应用三角形定则，G、F1、F2三个矢量应组成封闭三角形，其中G的大小、方向始终保持不变；F1的方向不变；F2的起点在G的终点处，而终点必须
3、在F1所在的直线上，由作图可知，挡板逆时针转动90过程，F2矢量也逆时针转动90，因此F1逐渐变小，F2先变小后变大.（当F2F1，即挡板与斜面垂直时，F2最小）（)当三个力中有一个力恒定、有一个力大小不变时，所有情况下的矢量三角形中一个顶点位于以恒定力一个端点为圆心、以大小不变的力为半径的圆周上，作出此圆可进行判定。 例3.如图所示，表面光滑的半圆柱体固定在水平面上，小物块在拉力F作用下从B点沿圆弧缓慢上滑至A点，此过程中F始终沿圆弧的切线方向则 例4图A小物块受的支持力逐渐变大B小物块受的支持力先变小后变大C拉力F逐渐变小D拉力F先变大后变小【答案】【解析】例4答图在缓慢拉动物体时物体所受
4、合外力始终为零。在物体所受三个力中，重力恒定，支持力与拉力始终垂直，作出平行四边形，则三力构成的三角形是以重力为直径的圆的内接三角形。由图可以看出，正确。（4）某些情况下物体受到三个以上的作用力时，可以通过先对部分力合成，使物体等效受力个数降为三个时再应用图解法，如可将滑动摩擦力与对应的支持力用其合力全反力来代替例5.水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为。现对木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动。设F的方向与水平面夹角为，如图，在从0逐渐增大到90的过程中，木箱的速度保持不变，则例5图A.F先减小后增大 B.F一直增大 C.F的功率减小 D.F的功率不变【答案】AC解法二：分析物
5、体受力如图所示，其中摩擦力与支持力的合力R方向与竖直方向间夹角恒定，可认为物体在三个力作用下匀速运动，由图解法可以看出，当F与R垂直即时F最小，即当从0逐渐增大到90的过程中，F先减小后增大，A正确B错误。其它同解法一。2.解析式法（）当物体受到三个力的作用而平衡，在作出的平行四边形后所得的三角形中有一个夹角不变，则可将另外一个角作为变量，得到各力的表达式，进而判定力的变化。（）当物体受到三个力的作用而平衡，在几何三角形中有两个边不变，则可将另外一个边作为变量，由相似三角形性质得到各力的表达式，进而判定力的变化。例6.一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，
6、细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图所示。现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角逐渐减少，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情况是AFBO例图AFN先减小，后增大 B.FN始终不变CF先减小，后增大 D.F始终不变【答案】【解析】AFBOGFNFLlH例6答图取BO杆的B端为研究对象，受到绳子拉力(大小为F)、BO杆的支持力FN和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G)的作用，将FN与G合成，其合力与F等值反向，如图所示，将三个力矢量构成封闭的三角形(如图中画斜线部分)，力的三角形与几何三角形OBA相似，利用相似三角形对应边成比例可得：(如图所示，设AO高为H，BO长为
7、L，绳长l,)，式中G、H、L均不变，l逐渐变小，所以可知FN不变，F逐渐变小。正确。（）当物体在三个以上的力作用下处于平衡时，通常需用解析式法。此时需分清表达式中的变量与常量以及变量的取值范围。 6.光滑滑轮、挂钩、环(1)两侧绳上拉力大小相等、方向与竖直方向夹角相同；(2)绳与竖直方向夹角取决于绳的总长l与两悬点间的水平距离d：例11.在上海世博会最佳实践区，江苏城市案例馆中穹形门窗充满了浓郁的地域风情和人文特色如图所示，在竖直放置的穹形光滑支架上，一根不可伸长的轻绳通过轻质滑轮悬挂一重物G现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从B点沿支架缓慢地向C点靠近（C点与A点等高）则绳中拉力大小
8、变化的情况是A、先变小后变大B、先变大后不变 C、先变小后不变D、先变大后变小【答案】B7.平衡中的极值问题解决极值问题可利用动态平衡的分析过程，三力作用下的平衡可用图解法、多力作用下的平衡中可利用解析式确定极值及其出现的条件例12.如图所示，三根长度均为l的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2l.现在C点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加力的最小值为 A. mg B. mg C. mg D. mg 【答案】C 【解析】由题意可知AC、BD两绳与水平方向的夹角皆为600，分析C点受力如图，由平衡条件可得CD绳上的张力为。再分析D点受力，因C
9、D绳上拉力大小、方向恒定，BD绳上拉力方向恒定，由图解法可知当在D点施加的拉力与BD绳垂直时最小，由图中几何关系可得，故C正确。【题型对练】.半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有固定放置的竖直挡板MN在P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于静止状态如图所示是这个装置的纵截面图若用外力使MN保持竖直地缓慢向右移动，在Q落到地面以前，发现P始终保持静止在此过程中，下列说法中正确的是AQ受到MN的弹力逐渐减小BQ受到P的弹力逐渐减小CQ受到MN和P的弹力之和保持不变DP受到地面的支持力和摩擦力均保持不变【答案】C【解析】小圆柱Q受到重力、MN的弹力N与P的弹力Np三个力的作用，在
10、板MN缓慢移动过程中N的方向不变，Np的方向逐渐趋于水平。由于缓慢移动，任一时刻三力的合力为零，N与Np的合力始终等于Q的重力不变，C正确；再由三角形定则作出图示图形，由图可知现两弹力皆逐渐增大，A、B错误。将PQ作为一个整体，竖直方向上只有地面支持力与整体重力，故支持力不变；水平方向上只有摩擦力与MN板的弹力N，二者始终相等，则可知摩擦力应逐渐增大，D错误。NpmgN2.如图所示，滑轮A、B是轻质滑轮，一条轻绳一端系于O点，另一端通过轻滑轮B悬吊重物G，再利用一轻滑轮A用水平力F通过轻绳拉住滑轮B。初始状态轻绳OB段水平，现使滑轮B缓慢上升，则A.拉力F增大 B.拉力F减小 C.角增大 D.
11、角减小【答案】AD【解析】分析轻滑轮受力，由于OB绳对滑轮拉力T始终与重物重力相等保持不变，故以B为圆心、以拉力T为半径作圆，如图所示。当滑轮B缓慢上升时，拉力T的方向向下转动，则可以看出，拉力F增大、角减小，AD正确3.如图所示，物体G用两根绳子悬挂，开始时绳OA水平，现将两绳同时顺时针转过90，且保持两绳之间的夹角不变，物体保持静止状态，在旋转过程中，设绳OA的拉力为F1，绳OB的拉力为F2，则(A)F1先减小后增大(B)F1先增大后减小 (C)F2逐渐减小(D)F2最终变为零ABaOGFaFbG3图FaFbGCDEDDD3答图【答案】A 【解析】取绳子结点O为研究对象，受到三根绳的拉力，
12、如图所示分别为Fa、Fb、重物通过绳的拉力大小为G，将三力构成如图中实线所示的矢量三角形CDE，在旋转过程中满足G大小、方向不变.由于绳oa与ob之间的夹角不变,可知角 CDE不变，由于角DCE为直角，则三力的几何关系图中D点处于以DE边为直径的圆周上，画出动态矢量三角形如图中一系列虚线表示的三角形。由此可知，Fa先增大后减小，Fb随始终减小，且转过90时，Fb恰好好为零,A正确.4.如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔。质量为m的小球套在圆环上。一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿圆环缓慢上移。在移动过程中手对线的拉力F和轨道对小球的弹力
13、N的大小变化情况是FO4图AF不变，N增大 BF不变，N 减小CF减小，N不变 DF增大，N减小 【答案】5.如图，一光滑的轻滑轮用细绳OO悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b。外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态。若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则A绳OO的张力也在一定范围内变化B物块b所受到的支持力也在一定范围内变化C连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化D物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化【答案】BD 【解析】由物块B始终保持静止可知物块A也始终保持静止、滑轮两侧绳子夹角也不变，故连接物块a和b的绳的张力
14、始终等于物块a的重力不变、方向不变，则滑轮两侧绳对轻滑轮拉力的合力不变、绳OO中张力了不变，A、C皆错误。分析b物块受力如图所示，由平衡条件有、，由于、皆恒定不变，故F的大小在一定范围内变化时，、也一定随F在一定范围内变化，B、D均正确。 6.如图所示，两块相互垂直的光滑挡板OP、OQ，OP竖直放置，小球a、b固定在轻弹簧的两端水平力F作用于b时，a、b紧靠挡板处于静止状态现保证b球不动，使挡板OP向右缓慢平移一小段距离，则 A弹簧变长 B弹簧变短 C力F变大 Db对地面的压力变大【答案】A【解析】ab受力如图所示，a处于平衡状态，当OP向右平移后a再次平衡时，受到的支持力Na和弹簧弹力F都减
15、小，故弹簧压缩量减小、长度变长，A正确B错误。对a、b两球整体分析，平衡时由f=Na，Nb=Ga+Gb，b球受到向左水平力减小，b对地面的压力等于两球重力之和保持不变，C、D错误。7.如图所示，长度相同且恒定和光滑圆柱体A、B质量分别为m1、m2，半径分别为r1、r2。A放在物块P与竖直墙壁之间，B放在A与墙壁之间，A、B处于平衡状态，且在下列变化中物块P的位置不变，系统仍平衡。则A.若保持B的半径r2不变，而将B改用密度稍大的材料制作，则物块P受到地面的静摩擦力增大B.若保持A的质量m1不变，而将A改用密度稍小的材料制作，则物块P对地面的压力增大C.若保持A的质量m1不变，而将A改用密度稍小的材料制作，则B对墙壁的压力减小D.若保持B的质量m2不变，而将B改用密度稍小的材料制作，则A对墙壁的压力减小【答案】A8.如图所示，一小球用轻绳悬于点，用力F拉住小球，使悬线保持偏离竖直方向75角，且小球始终处于平衡状态，为了使F有最小值，F与竖直方向的夹角应该是750FOA. 90B. 15C. 45D. 0【答案】B【解析】分析小球受力,建立一坐标轴在轻绳所在直线的正交坐标系,将重力mg、拉力F正交分解,利用平衡条件可得,即,可见当时拉力F最小,B正确.另解:图解法:如图所示,在保持绳的位置不变时,当拉力F的方向与绳垂直时拉力最小,此时,B正确.