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1、线性代数知识点总结 1 线性代数知识点总结 第一章 行列式(一)要点 1、二阶、三阶行列式 2、全排列与逆序数,奇偶排列(可以不介绍对换及有关定理),n 阶行列式的定义 3、行列式的性质 4、n 阶行列式ijaD,元素ija的余子式与代数余子式,行列式按行(列)展开定理 5、克莱姆法则(二)基本要求 1、理解 n 阶行列式的定义 2、掌握 n 阶行列式的性质 3、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解与掌握行列式按行(列)展开的计算方法,即 11jiAa22jiAajijiDAajnin 0 jiAa1122ija A LjijiDAanjni 0 5、会用行列式的性质简化行列式的计算,并掌握
2、几个基本方法:归化为上三角或下三角行列式,各行(列)元素之与等于同一个常数的行列式,利用展开式计算 6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、了解n个方程n个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章 矩阵(一)要点 1、矩阵的概念 nm矩阵nmijaA)(就是一个矩阵表。当nm 时,称A为n阶矩阵,此时由A的元素按原来排列的形式构成的n阶行列式,称为矩阵A的行列式,记为A、注:矩阵与行列式就是两个完全不同的两个概念。2、几种特殊的矩阵:对角阵;数量阵;单位阵;三角形矩阵;对称矩阵 3、矩阵的运算;矩阵的加减法;数与矩阵的乘法;矩阵的转置;矩阵的乘法 (1
3、)矩阵的乘法不满足交换律与消去律,两个非零矩阵相乘可能就是零矩阵。线性代数知识点总结 2 如果两矩阵A与B相乘,有BAAB,则称矩阵A与B可换。注:矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幂:对于n阶矩阵A及自然数k,个kkAAAA 规定IA 0,其中I为单位阵、(3)设多项式函数kkkkaaaa1110)(,A为方阵,矩阵A的多项式IaAaAaAaAkkkk1110)(,其中I为单位阵。(4)n阶矩阵A与B,则BAAB、(5)n阶矩阵A,则AAn 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵:可逆矩阵(若矩阵A可逆,则其逆矩阵就是唯一的);矩阵A的伴随矩阵记为*A,EAAAAA*矩阵可逆的充要条件;逆矩阵的
4、性质。6、矩阵的初等变换:初等变换与初等矩阵;初等变换与初等矩阵的关系;矩阵在等价意义下的标准形;矩阵A可逆的又一充分必要条件:A可以表示成一些初等矩阵的乘积;用初等变换求逆矩阵。7、矩阵的秩:矩阵的k阶子式;矩阵秩的概念;用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价(二)要求 1、理解矩阵的概念;矩阵的元素;矩阵的相等;矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法;数与矩阵的乘法;矩阵的加减法;矩阵的转置等运算及性质 4、理解与掌握逆矩阵的概念;矩阵可逆的充分条件;伴随矩阵与逆矩阵的关系;当A可逆时,会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法(1)在对矩阵的分法符合分块
5、矩阵运算规则的条件下,其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算就是一致的。(2)特殊分法的分块矩阵的乘法,例如nmA,lnB,将矩阵B分块为)(21lbbbB,其中jb(lj 2,1)就是矩阵B的第j列,则 线性代数知识点总结 3 AB)(21lbbbA)(21lAbAbAb 又如将n阶矩阵P分块为)(21npppP,其中jp(nj 2,1)就是矩阵P的第j列、nP 0 0 00 0 00 0 0 21)(21nppp n 0 0 00 0 00 0 0 21)(2211nnppp (3)设对角分块矩阵 SSAAAA 2211,),2,1(sPAPP均为方阵,A可逆的充要条件就是PPA均可逆
6、,sP,2,1,且 11221111 ssAAAA 6、理解与掌握矩阵的初等变换与初等矩阵及其有关理论;掌握矩阵的初等变换;化矩阵为行最简形;会用初等变换求矩阵的秩、求逆矩阵 7、理解矩阵的秩的概念以及初等变换不改变矩阵的秩等有关理论 8、若矩阵A经过有限次初等变换得到矩阵B,则称矩阵A与矩阵B等价,记为BA、nm矩阵A与B等价当且仅当)()(BrAr,在等价意义下的标准型:若rAr)(,则 rDA,0 00 rrID,rI为r阶单位矩阵。因此n阶矩阵A可逆的充要条件为nIA。第三章 线性方程组(一)要点 1、n 维向量;向量的线性运算及其有关运算律 记所有n维向量的集合为nR,nR中定义了n
7、维向量的线性运算,则称nR为 n维向量空间。2、向量间的线性关系 线性代数知识点总结 4 (1)线性组合与线性表示;线性表示的判定 (2)线性相关与线性无关;向量组的线性相关与无关的判定 3、向量组的等价,向量组的秩;向量组的极大无关组及其求法;向量组的秩及其求法 (1)设有两个向量组,1,2s )(A,1,2t )(B 向量组)(A与)(B可以相互表示,称向量组)(A与)(B等价。向量组的等价具有传递性。(2)一个向量组的极大无关组不就是惟一的,但其所含向量的个数相同,那么这个相同的个数定义为向量组的秩。4、矩阵的秩与向量组的秩的关系 5、线性方程组的求解(1)线性方程组的消元解法(2)线性
8、方程组解的存在性与唯一性的判定(3)线性方程组解的结构(4)齐次线性方程的基础解系与全部解的求法(5)非齐次方程组解的求法(二)要求 1、理解 n 维向量的概念;掌握向量的线性运算及有关的运算律 2、掌握向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念 3、掌握线性表示、线性相关、线性无关的有关定理 4、理解并掌握向量组的等价极大无关组、向量组的秩等概念;及极大无关组、向量组秩的求法 5、掌握线性方程组的矩阵形式、向量形式的表示方法 6、会用消元法解线性方程组 7、理解并掌握齐次方程组有非零解的充分条件及其判别方法 8、理解并掌握齐次方程组的基础解系、全部解的概念及其求法 9、理解非齐次方程
9、组与其导出组解的关系;掌握非齐次方程组的求解方法 第四章 矩阵的特征值与特征向量(一)要点 1、矩阵的特征值与特征向量的定义;特征方程、特征值与特征向量的求法与性质 2、相似矩阵的定义、性质;矩阵可对角化的条件 3、实对称矩阵的特征值与特征向量 向量内积的定义及其性质;正交向量组;施密特正交化方法;正交矩阵;实对称矩阵的特线性代数知识点总结 5 征值与特征向量的性质;实对称矩阵的对角化(二)要求 1、理解矩阵的特征值、特征向量的概念及有关性质 2、掌握特征值与特征向量的求法 3、理解并掌握相似矩阵的概念与性质 4、掌握判断矩阵与对角矩阵相似的条件及对角化的方法 5、会将实对称矩阵正交相似变换化为对角矩阵。第五章 二次型(一)要点 1、二次型与对称矩阵:二次型的定义;二次型与对称矩阵的对应关系 2、二次型与对称矩阵的标准形 配方法;初等变换法;正交变换法;合同矩阵;二次型及对称矩阵的标准形与规范形 3、二次型与对称矩阵的有定性 二次型与对称矩阵的正定、负定、半正定、半负定(二)要求 1、理解并掌握二次型的定义及其矩阵的表示方法。2、会用三种非退化线性替换:即配方法、初等变换法、正交变换法化二次型为标准形及规范型 3、掌握二次型的正定、负定、半正定、半负定的定义,会判定二次型的正定性。