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1、线性代数知识点总结汇总 线性代数知识点总结 1 行列式(一)行列式概念与性质 1、逆序数:所有的逆序的总数 2、行列式定义:不同行不同列元素乘积代数与 3、行列式性质:(用于化简行列式)(1)行列互换(转置),行列式的值不变(2)两行(列)互换,行列式变号(3)提公因式:行列式的某一行(列)的所有元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式(4)拆列分配:行列式中如果某一行(列)的元素都就是两组数之与,那么这个行列式就等于两个行列式之与。(5)一行(列)乘 k 加到另一行(列),行列式的值不变。(6)两行成比例,行列式的值为 0。(二)重要行列式 4、上(下)三角(主对角线)行列式的值等于主对角线
2、元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace 展开式:(A就是 m 阶矩阵,B就是 n 阶矩阵),则 7、n 阶(n2)范德蒙德行列式 线性代数知识点总结汇总 数学归纳法证明 8、对角线的元素为 a,其余元素为 b 的行列式的值:(三)按行(列)展开 9、按行展开定理:(1)任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之与等于行列式的值(2)行列式中某一行(列)各个元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之与等于 0(四)行列式公式 10、行列式七大公式:(1)|kA|=kn|A|(2)|AB|=|A|B|(3)|AT|=|A|(4)|A-1|=|A|-1(
3、5)|A*|=|A|n-1(6)若 A的特征值1、2、n,则 (7)若 A 与 B 相似,则|A|=|B|(五)克莱姆法则 11、克莱姆法则:(1)非 齐 次 线 性 方 程 组 的 系 数 行 列 式 不 为0,那 么 方 程 为 唯 一 解线性代数知识点总结汇总 (2)如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解,则它的系数行列式必为 0(3)若齐次线性方程组的系数行列式不为 0,则齐次线性方程组只有 0 解;如果方程组有非零解,那么必有 D=0。2 矩阵(一)矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项:(1)矩阵乘法要求前列后行一致;(2)矩阵乘法不满足交换律;(因式分解的公式对矩阵不适用,但若 B=E
4、,O,A-1,A*,f(A)时,可以用交换律)(3)AB=O不能推出 A=O或 B=O。2、转置的性质(5 条)(1)(A+B)T=AT+BT(2)(kA)T=kAT(3)(AB)T=BTAT(4)|A|T=|A|(5)(AT)T=A(二)矩阵的逆 3、逆的定义:AB=E或 BA=E成立,称 A可逆,B就是 A的逆矩阵,记为 B=A-1 注:A可逆的充要条件就是|A|0 4、逆的性质:(5 条)(1)(kA)-1=1/kA-1(k0)(2)(AB)-1=B-1A-1(3)|A-1|=|A|-1(4)(AT)-1=(A-1)T(5)(A-1)-1=A 线性代数知识点总结汇总 5、逆的求法:(1)
5、A 为抽象矩阵:由定义或性质求解(2)A 为数字矩阵:(A|E)初等行变换(E|A-1)(三)矩阵的初等变换 6、初等行(列)变换定义:(1)两行(列)互换;(2)一行(列)乘非零常数 c(3)一行(列)乘 k 加到另一行(列)7、初等矩阵:单位矩阵 E经过一次初等变换得到的矩阵。8、初等变换与初等矩阵的性质:(1)初等行(列)变换相当于左(右)乘相应的初等矩阵(2)初等矩阵均为可逆矩阵,且 Eij-1=Eij(i,j 两行互换);Ei-1(c)=Ei(1/c)(第 i 行(列)乘 c)Eij-1(k)=Eij(-k)(第 i 行乘 k 加到 j)(四)矩阵的秩 9、秩的定义:非零子式的最高阶
6、数 注:(1)r(A)=0 意味着所有元素为 0,即 A=O(2)r(Ann)=n(满秩)|A|0 A可逆;r(A)n|A|=0A不可逆;(3)r(A)=r(r=1、2、n-1)r 阶子式非零且所有 r+1 子式均为 0。10、秩的性质:(7 条)(1)A 为 mn 阶矩阵,则 r(A)min(m,n)(2)r(AB)r(A)(B)(3)r(AB)minr(A),r(B)(4)r(kA)=r(A)(k0)(5)r(A)=r(AC)(C就是一个可逆矩阵)(6)r(A)=r(AT)=r(ATA)=r(AAT)(7)设 A就是 mn 阶矩阵,B就是 ns 矩阵,AB=O,则 r(A)+r(B)n 1
7、1、秩的求法:线性代数知识点总结汇总(1)A 为抽象矩阵:由定义或性质求解;(2)A 为数字矩阵:A初等行变换阶梯型(每行第一个非零元素下面的元素均为0),则 r(A)=非零行的行数(五)伴随矩阵 12、伴随矩阵的性质:(8 条)(1)AA*=A*A=|A|E A*=|A|A-1(2)(kA)*=kn-1A*(3)(AB)*=B*A*(4)|A*|=|A|n-1(5)(AT)*=(A*)T(6)(A-1)*=(A*)-1=A|A|-1(7)(A*)*=|A|n-2A(8)r(A*)=n (r(A)=n);r(A*)=1 (r(A)=n-1);r(A*)=0 (r(A)n-1)(六)分块矩阵 1
8、3、分块矩阵的乘法:要求前列后行分法相同。14、分块矩阵求逆:3 向量(一)向量的概念及运算 1、向量的内积:(,)=T=T 2、长度定义:|=3、正交定义:(,)=T=T=a1b1+a2b2+anbn=0 4、正交矩阵的定义:A为 n 阶矩阵,AAT=E A-1=AT ATA=E|A|=1(二)线性组合与线性表示 5、线性表示的充要条件:非零列向量可由1,2,s线性表示 线性代数知识点总结汇总(1)非齐次线性方程组(1,2,s)(x1,x2,xs)T=有解。(2)r(1,2,s)=r(1,2,s,)(系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,用于大题第一步的检验)6、线性表示的充分条件:(了解即可)若1
9、,2,s线性无关,1,2,s,线性相关,则可由1,2,s线性表示。7、线性表示的求法:(大题第二步)设1,2,s线性无关,可由其线性表示。(1,2,s|)初等行变换(行最简形|系数)行最简形:每行第一个非 0 的数为 1,其余元素均为 0(三)线性相关与线性无关 8、线性相关注意事项:(1)线性相关=0(2)1,2线性相关1,2成比例 9、线性相关的充要条件:向量组1,2,s线性相关(1)有个向量可由其余向量线性表示;(2)齐次方程(1,2,s)(x1,x2,xs)T=0 有非零解;(3)r(1,2,s)s 即秩小于个数 特别地,n 个 n 维列向量1,2,n线性相关(1)r(1,2,n)n(
10、2)|1,2,n|=0(3)(1,2,n)不可逆 10、线性相关的充分条件:(1)向量组含有零向量或成比例的向量必相关(2)部分相关,则整体相关(3)高维相关,则低维相关(4)以少表多,多必相关 推论:n+1 个 n 维向量一定线性相关 线性代数知识点总结汇总 11、线性无关的充要条件 向量组1,2,s 线性无关(1)任意向量均不能由其余向量线性表示;(2)齐次方程(1,2,s)(x1,x2,xs)T=0 只有零解(3)r(1,2,s)=s 特别地,n 个 n 维向量1,2,n 线性无关 r(1,2,n)=n|1,2,n|0 矩阵可逆 12、线性无关的充分条件:(1)整体无关,部分无关(2)低
11、维无关,高维无关(3)正交的非零向量组线性无关(4)不同特征值的特征向量无关 13、线性相关、线性无关判定(1)定义法(2)秩:若小于阶数,线性相关;若等于阶数,线性无关【专业知识补充】(1)在矩阵左边乘列满秩矩阵(秩=列数),矩阵的秩不变;在矩阵右边乘行满秩矩阵,矩阵的秩不变。(2)若 n 维列向量1,2,3 线性无关,1,2,3 可以由其线性表示,即(1,2,3)=(1,2,3)C,则 r(1,2,3)=r(C),从而线性无关。r(1,2,3)=3 r(C)=3|C|0(四)极大线性无关组与向量组的秩 14、极大线性无关组不唯一 15、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩 对比
12、:矩阵的秩:非零子式的最高阶数 注:向量组1,2,s 的秩与矩阵 A=(1,2,s)的秩相等 16、极大线性无关组的求法(1)1,2,s 为抽象的:定义法(2)1,2,s 为数字的:(1,2,s)初等行变换阶梯型矩阵 线性代数知识点总结汇总 则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组(五)向量空间 17、基(就就是极大线性无关组)变换公式:若1,2,n 与1,2,n 就是n 维向量空间V的两组基,则基变换公式为(1,2,n)=(1,2,n)Cnn 其中,C就是从基1,2,n 到1,2,n 的过渡矩阵。C=(1,2,n)-1(1,2,n)18、坐标变换公式:向 量 在 基 1,2,n与 基
13、1,2,n 的 坐 标 分 别 为x=(x1,x2,xn)T,y=(y1,y2,yn)T,即=x11+x22+xnn=y11+y22+ynn,则坐标变换公式为 x=Cy 或 y=C-1x。其中,C 就是从基1,2,n 到1,2,n 的过渡矩阵。C=(1,2,n)-1(1,2,n)(六)Schmidt 正交化 19、Schmidt 正交化 设1,2,3 线性无关(1)正交化 令1=1 (2)单位化 4 线性方程组(一)方程组的表达形与解向量 1、解的形式:(1)一般形式(2)矩阵形式:Ax=b;线性代数知识点总结汇总(3)向量形式:A=(1,2,n)2、解的定义:若=(c1,c2,cn)T满足方
14、程组 Ax=b,即 A=b,称就是 Ax=b的一个解(向量)(二)解的判定与性质 3、齐次方程组:(1)只有零解r(A)=n(n 为 A的列数或就是未知数 x 的个数)(2)有非零解r(A)n 4、非齐次方程组:(1)无解r(A)r(A|b)r(A)=r(A)-1(2)唯一解r(A)=r(A|b)=n(3)无穷多解r(A)=r(A|b)n 5、解的性质:(1)若1,2就是 Ax=0的解,则 k11+k22就是 Ax=0的解(2)若就是 Ax=0的解,就是 Ax=b的解,则+就是 Ax=b的解(3)若1,2就是 Ax=b的解,则1-2就是 Ax=0的解【推广】(1)设1,2,s就是 Ax=b的解
15、,则 k11+k22+kss为 Ax=b的解 (当ki=1)Ax=0的解 (当ki=0)(2)设1,2,s就是 Ax=b的 s 个线性无关的解,则2-1,3-1,s-1为Ax=0的 s-1个线性无关的解。变式:1-2,3-2,s-2 2-1,3-2,s-s-1(三)基础解系 6、基础解系定义:(1)1,2,s 就是 Ax=0的解(2)1,2,s 线性相关(3)Ax=0的所有解均可由其线性表示 基础解系即所有解的极大无关组 线性代数知识点总结汇总 注:基础解系不唯一。任意 n-r(A)个线性无关的解均可作为基础解系。7、重要结论:(证明也很重要)设 A施 mn 阶矩阵,B就是 ns 阶矩阵,AB
16、=O(1)B 的列向量均为方程 Ax=0的解(2)r(A)+r(B)n(第 2 章,秩)8、总结:基础解系的求法(1)A 为抽象的:由定义或性质凑 n-r(A)个线性无关的解(2)A 为数字的:A初等行变换阶梯型 自由未知量分别取 1,0,0;0,1,0;0,0,1;代入解得非自由未知量得到基础解系(四)解的结构(通解)9、齐次线性方程组的通解(所有解)设 r(A)=r,1,2,n-r 为 Ax=0的基础解系,则 Ax=0的通解为 k11+k22+kn-rn-r(其中 k1,k2,kn-r为任意常数)10、非齐次线性方程组的通解 设 r(A)=r,1,2,n-r 为 Ax=0的基础解系,为 A
17、x=b的特解,则 Ax=b的通解为+k11+k22+kn-rn-r(其中 k1,k2,kn-r为任意常数)(五)公共解与同解 11、公共解定义:如果既就是方程组 Ax=0的解,又就是方程组 Bx=0的解,则称为其公共解 12、非零公共解的充要条件:方程组 Ax=0与 Bx=0有非零公共解 有非零解 13、重要结论(需要掌握证明)(1)设 A就是 mn 阶矩阵,则齐次方程 ATAx=0与 Ax=0 同解,r(ATA)=r(A)(2)设 A 就是 mn 阶矩阵,r(A)=n,B 就是 ns 阶矩阵,则齐次方程 ABx=0与 Bx=0同解,r(AB)=r(B)5 特征值与特征向量 线性代数知识点总结
18、汇总(一)矩阵的特征值与特征向量 1、特征值、特征向量的定义:设 A为 n 阶矩阵,如果存在数及非零列向量,使得 A=,称就是矩阵 A属于特征值的特征向量。2、特征多项式、特征方程的定义:|E-A|称为矩阵 A的特征多项式(的 n 次多项式)。|E-A|=0称为矩阵 A的特征方程(的 n 次方程)。注:特征方程可以写为|A-E|=0 3、重要结论:(1)若为齐次方程 Ax=0的非零解,则 A=0,即为矩阵 A 特征值=0 的特征向量(2)A 的各行元素与为 k,则(1,1,1)T为特征值为 k 的特征向量。(3)上(下)三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。4、总结:特征值与特征向量的求
19、法(1)A 为抽象的:由定义或性质凑(2)A 为数字的:由特征方程法求解 5、特征方程法:(1)解特征方程|E-A|=0,得矩阵 A的 n 个特征值1,2,n 注:n 次方程必须有 n 个根(可有多重根,写作1=2=s=实数,不能省略)(2)解齐次方程(iE-A)=0,得属于特征值i的线性无关的特征向量,即其基础解系(共 n-r(iE-A)个解)6、性质:(1)不同特征值的特征向量线性无关(2)k 重特征值最多 k 个线性无关的特征向量 1n-r(iE-A)ki(3)设 A的特征值为1,2,n,则|A|=i,i=aii(4)当 r(A)=1,即 A=T,其中,均为 n 维非零列向量,则 A的特
20、征值为1=aii=T=T,2=n=0(5)设就是矩阵 A属于特征值的特征向量,则 线性代数知识点总结汇总 A f(A)AT A-1 A*P-1AP(相似)f()-1|A|-1 /P-1 (二)相似矩阵 7、相似矩阵的定义:设 A、B均为 n 阶矩阵,如果存在可逆矩阵 P 使得 B=P-1AP,称 A与 B相似,记作 AB 8、相似矩阵的性质(1)若 A与 B相似,则 f(A)与 f(B)相似(2)若 A与 B相似,B与 C相似,则 A与 C相似(3)相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹(即主对角线元素之与)【推广】(4)若 A与 B相似,则 AB与 BA相似,AT与 B
21、T相似,A-1与 B-1相似,A*与 B*也相似(三)矩阵的相似对角化 9、相似对角化定义:如果 A与对角矩阵相似,即存在可逆矩阵 P,使得 P-1AP=,称 A可相似对角化。注:Ai=ii(i0,由于P可逆),故P的每一列均为矩阵A的特征值i的特征向量 10、相似对角化的充要条件(1)A 有 n 个线性无关的特征向量(2)A 的 k 重特征值有 k 个线性无关的特征向量 11、相似对角化的充分条件:(1)A 有 n 个不同的特征值(不同特征值的特征向量线性无关)线性代数知识点总结汇总(2)A 为实对称矩阵 12、重要结论:(1)若 A可相似对角化,则 r(A)为非零特征值的个数,n-r(A)
22、为零特征值的个数(2)若 A不可相似对角化,r(A)不一定为非零特征值的个数(四)实对称矩阵 13、性质(1)特征值全为实数(2)不同特征值的特征向量正交(3)A 可相似对角化,即存在可逆矩阵 P 使得 P-1AP=(4)A 可正交相似对角化,即存在正交矩阵 Q,使得 Q-1AQ=QTAQ=6 二次型(一)二次型及其标准形 1、二次型:(1)一般形式(2)矩阵形式(常用)2、标准形:如果二次型只含平方项,即 f(x1,x2,xn)=d1x12+d2x22+dnxn2 这样的二次型称为标准形(对角线)3、二次型化为标准形的方法:(1)配方法:通过可逆线性变换 x=Cy(C可逆),将二次型化为标准
23、形。其中,可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。(2)正交变换法:通过正交变换 x=Qy,将二次型化为标准形1y12+2y22+nyn2 其中,1,2,n 就是 A的 n 个特征值,Q 为 A的正交矩阵 注:正交矩阵 Q 不唯一,i与i 对应即可。(二)惯性定理及规范形 4、定义:正惯性指数:标准形中正平方项的个数称为正惯性指数,记为 p;线性代数知识点总结汇总 负惯性指数:标准形中负平方项的个数称为负惯性指数,记为 q;规范形:f=z12+zp2-zp+12-zp+q2称为二次型的规范形。5、惯性定理:二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形,其正负惯性指数不变。注:(1)由于正负惯性指
24、数不变,所以规范形唯一。(2)p=正特征值的个数,q=负特征值的个数,p+q=非零特征值的个数=r(A)(三)合同矩阵 6、定义:A、B均为 n 阶实对称矩阵,若存在可逆矩阵 C,使得 B=CTAC,称 A与 B合同 7、总结:n 阶实对称矩阵 A、B的关系(1)A、B相似(B=P-1AP)相同的特征值(2)A、B合同(B=CTAC)相同的正负惯性指数相同的正负特征值的个数(3)A、B等价(B=PAQ)r(A)=r(B)注:实对称矩阵相似必合同,合同必等价(四)正定二次型与正定矩阵 8、正定的定义 二次型 xTAx,如果任意 x0,恒有 xTAx0,则称二次型正定,并称实对称矩阵 A就是正定矩
25、阵。9、n 元二次型 xTAx正定充要条件:(1)A 的正惯性指数为 n(2)A 与 E合同,即存在可逆矩阵 C,使得 A=CTC或 CTAC=E(3)A 的特征值均大于 0(4)A 的顺序主子式均大于 0(k 阶顺序主子式为前 k 行前 k 列的行列式)10、n 元二次型 xTAx正定必要条件:(1)aii0(2)|A|0 11、总结:二次型 xTAx正定判定(大题)(1)A 为数字:顺序主子式均大于 0(2)A 为抽象:证 A为实对称矩阵:AT=A;再由定义或特征值判定 线性代数知识点总结汇总 12、重要结论:(1)若 A就是正定矩阵,则 kA(k0),Ak,AT,A-1,A*正定(2)若 A、B均为正定矩阵,则 A+B正定