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1、行列式1.行列式的性质性质 1 行列式与它的转置行列式相等TDD.性质 2 互换行列式的两行（列），行列式变号.推论 1 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.如abcabc0abc性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233aaaaaakakakak aaaaaaaaa推论 2如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零如abcabc0kakbkc性质 4若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111
2、213111213212122222323212223212223313233313233313233aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa性质 5把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313aaaaaaaaaaaaaaaakaakaaka2.余子式与代数余子式在 n 阶行列式中，把元素ija所在的第i 行和第 j 列划去后，留下来的n-1 阶行列式叫做元素ija的余子式，记作ijM，ijijijA(1)M叫做元素ija的代数余子式如111
3、213212223313233aaaaaaaaa，元素23a的余子式为1112233132aaMaa，元素23a的代数余子式为11122323233132aaA(1)Maa.3.行列式按行（列）展开法则定理 1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122iiiiininDaAaAaAL或1122jjjjnjnjDaAaAaAL1,2,;1,2in jnLL如111213212223313233aaaaaaaaa111112121313aAaAaA定理 2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即12120,jjiijni
4、na AaAaAL或,11220.jjjjnjnjaAaAaAijL1,2,;1,2in jnLL4.行列式的计算（1）二阶行列式1112112212212122aaa aa aaa（2）三阶行列式111213212223313233aaaaaaaaa112233122331132132132231122133112332a aaaa aa a aa aaa aaa aa（3）对角行列式1212nnLO，n(m1)21212nn(1)LN（4）三角行列式1111121n2122222n1122nnn1n2nnnnaaaaaaaaa aaaaaaLLLMMOOML111,n11n1nn(n1)2
5、12,n12,n12n21n2,n1n1n1n1n2nnaaaaaaaa(1)a aaaaaaKKLMNNNMK（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.矩阵1.常见矩阵1）对角矩阵：主对角线以外的元素全为0 的方阵，称为对角矩阵.记作.2）单位矩阵：主对角线上的元素全为1 的对角矩阵，称为单位矩阵.记作 E.3）上三角矩阵：对角
6、线以下的元素全为0 的方阵.如11121n222nnnaaaaaaLLOM4）下三角矩阵：对角线以上的元素全为0 的方阵.如112122n1n2nnaaaaaaMMOL5）对称矩阵：设 A 为阶方阵，若TAA，即ijjiaa，则称 A 为对称矩阵.6）反对称矩阵：设 A 为阶方阵，若TAA，即ijjiaa，则称 A 为反对称矩阵.7）正交矩阵：设 A 为阶方阵，如果TAAE或TA AE，则称 A 为正交矩阵.2.矩阵的加法、数乘、乘法运算（1）矩阵的加法如abcabcaabbccdefdefddeeff注：只有同型矩阵才能进行加减运算；矩阵相加减就是对应元素相加减.（2）数乘矩阵如abckak
7、bkckdefkdkekf注：数乘矩阵就是数乘矩阵中的每个元素.（3）矩阵的乘法：设ijmijnssA(a),B(b)，规定ijm nABC(c),其中siji11 ji22 jissjikkjk 1ca ba ba ba bL(i1,2,m,j1,2,n.)LL注：左矩阵 A 的列数等于右矩阵B 的行数；左矩阵 A 的第 i 行与右矩阵B 的第 j 列对应元素乘积的和是矩阵乘积C 的元素ijc.左矩阵A 的行数为乘积C 的行数，右矩阵B 的列数为乘积C 的列数.如行矩阵乘列矩阵是一阶方阵（即一个数），即112111121s111112211ss1s1bbaaaa ba ba bbLLM列矩阵
8、乘行矩阵是s 阶方阵，即1111111112111s2121112112211s11121ss1s111s112s11saa ba ba baa ba ba bbbbaa ba ba bLLLMMMML3.逆矩阵设 n 阶方阵 A、B，若 AB=E 或 BA=E，则 A，B 都可逆，且11AB,BA.（1）二阶方阵求逆，设abAcd，则1*db11AAcaAadbc（两调一除法）.（2）对角矩阵的逆11111221nnaaaaaaOO，111n2121n1aaaaaaNN.（3）分块对角阵的逆11111221ssAAAA;AAOO111s2121s1AAAAAANN.（4）一般矩阵求逆，初等行
9、变换的方法：ERT1AEEA.4.方阵的行列式由阶方阵A 的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做方阵A 的行列式.记作A或 det（A）.5.矩阵的初等变换下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：（1）互换两行（列）；（2）数乘某行（列）；（3）某行（列）的倍数加到另一行（列）.6.初等矩阵单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵.如001100100010,0k0,010100001k01都是初等矩阵.7.矩阵的秩矩阵 A 的非零子式的最高阶数，称为矩阵A 的秩.记作 R（A）或 r（A）.求矩阵的秩的方法：（1）定义法：找出A 中最高阶的非零子式，它的阶数即为A 的秩.（2）
10、初等行变换法：ERTA行阶梯形矩阵，R（A）=R（行阶梯形矩阵）=非零行的行数.8.重要公式及结论（1）矩阵运算的公式及结论1212121 2kkkkkkk kkkkkkk10ABBA,(AB)CA(BC),(AB)AB(AB)CA(BC),(AB)CACBC,(AB)(A)BA(B)AAA,(A)A,(A)A,EEABA BAB,EAAEA,AETTTTTTTTTTTTnTnnAA,(AB)AB,AA,ABB AAA,ABB A,AAA AA EAA,AA,ABA BBA,AA,ABAB矩阵乘法不满足交换律，即一般地 ABAB;矩阵乘法不满足消去律，即一般地若 AB=AC，无 B=C；只有当
11、 A 可逆时，有 B=C.一般地若 AB=O，则无 A=O 或 B=O.222AB?A2ABBB.（2）逆矩阵的公式及定理11111111n 11111k1k1T11T1AA,AA,AA1AA,AA,AA,AA ABBA1AAAAAAA,AA 可逆|A|0AE（即 A 与单位矩阵E 等价）（3）矩阵秩的公式及结论Tm nR(O)0,R(A)min m,n,R(A)R(A),R(kA)R(A),k0A0R(A)n,R ABR AR BR(AB)R(A),R(AB)R(B).特别地，当A 可逆时，R(AB)=R(B)；当 B 可逆时，R(AB)=R(A).ETABA B R AR B即等价矩阵的秩
12、相等或初等变换不改变矩阵的秩.9.矩阵方程（1）设A 为 n 阶可逆矩阵，B 为 n m 矩阵，则矩阵方程AX=B 的解为1XA B；解法：求出1A，再计算1A B；ERTABEX.（2）设A 为 n 阶可逆矩阵，B 为 mn 矩阵，则矩阵方程XA=B 的解为1XBA；解法：求出1A，再计算1BA；ECTAEBX.10.矩阵间的关系（1）等价矩阵：如果矩阵A 经过有限次初等变换变成矩阵B，那么称矩阵A 与 B 等价.即存在可逆矩阵P，Q，使得 PAQ=B.性质：等价矩阵的秩相等.（2）相似矩阵：如果存在可逆矩阵P，使得1PAPB,那么称 A 与 B 相似.性质：相似矩阵有相同的特征多项式，相同
13、的特征值，相同的行列式，相同的迹.（3）合同矩阵：如果存在可逆矩阵P，使得TP APB，那么称 A 与 B 合同.性质：合同矩阵的秩相等.向量空间1.线性组合（1）若 k，则称向量与成比例（2）零向量是任一向量组的线性组合（3）向量组中每一向量都可由该向量组线性表示2.线性相关与线性无关（1）单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量（2）单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量（3）两向量线性相关当且仅当两向量对应成比例.（4）两向量线性无关当且仅当两向量不对应成比例.（5）含有向量的向量组一定线性相关（6）向量组12m,K线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组22mm11kk0kL有非零解.以
14、向量组为列作的矩阵12m,K的秩 n 时，m 个 n 维向量一定线性相关.定理 1：向量组a1,a2,am（m 2）线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余 m-1 个向量线性表示.向量组线性无关的充分必要条件是向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表示定理 2：如果向量组A：a1,a2,ar 线性无关，而向量组a1,a2,ar，线性相关，则可由 A 线性表示，且表示式唯一.定理 3：设向量组2r1A:,L，12rr1mB:,LL若 A 线性相关，则向量组B 也线性相关；反之，若向量组B 线性无关，则向量组A 也线性无关.（即部分相关，则整体相关；整体无关，则部分无关）.定理
15、4：无关组的截短组无关，相关组的接长组相关.3.极大无关组与向量组的秩定义 1 如果在向量组T 中有r 个向量a1,a2,ar，满足条件：向量组a1,a2,ar 线性无关，T，2r1,L线性相关.那么称向量a1,a2,ar是向量组T 的一个极大无关组.定义 2 向量组的极大无关组中所含向量的个数，称为向量组的秩.定义 3 矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩。结论 1 线性无关的向量组的极大无关组就是它本身。结论 2 如果向量组的秩是r，那么该向量组的任意r 个线性无关的向量都是它的一个极大无关组。定理 1 设向量组A:a1,a2,ar；及向量组B:b1,b2,b
16、s，如果组A 能由组 B 线性表示，且组A 线性无关，则rs.推论 1 等价的向量组有相同的秩.定理 2 矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩.4.向量空间定义 1设 V 为 n 维向量的集合，如果集合V 非空，且集合V 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合 V 为向量空间.5.基与向量在基下的坐标定义 2 设 V 是向量空间，如果向量组a1,a2,ar，满足条件：（1）向量组a1,a2,ar 线性无关；（2）T，2r1,L线性相关.那么称向量组a1,a2,ar是向量空间V 的一个基，基中所含向量的个数称为向量空间V 的维数，记作 dimV，并称 V 为 r 维向量空间定义 3 设向量
17、组a1,a2,ar 是向量空间V 的一个 基，则 V 中任一向量x 可唯一地 表示为基的一个线性组合，即1122rrxaaaL，称有序数组12r,L为向量 x 在基a1,a2,ar下的 坐标.线性方程组1.线性方程组解的判定（1）线性方程组Ax=b 有解的充分必要条件是它的系数矩阵A 和增广矩阵（A,b）的秩相同，即 R（A）=R（A，b）.当 R（A）=R（A，b）=r 方程组 AX=b 有惟一解的充分必要条件是r=n;方程组 AX=b 有无穷多解的充分必要条件是r n.（2）方程组 AX=b无解的充分必要条件是R(A)R（A，b）.2.齐次线性方程组有非零解的判定（1）齐次方程组 AX=0
18、 有非零解的充分必要条件是系数矩阵A 的秩R(A)未知量的个数n.（2）含有 n 个方程，n 个未知量的齐次线性方程组AX=0 有非零解的充分必要条件是方程组的系数行列式等于零.（即|A|=0）（3）齐次线性方程组AX=0中，若方程的个数m未知量的个数n，则方程组有非零解3.齐次线性方程组解的性质（1）若12,是 Ax=0的解，则12也是 Ax=0的解；（2）若是 Ax=0的解，则k也是 Ax=0的解.4.齐次线性方程组的基础解系与通解（1）解空间齐 次 线 性 方 程 组Ax=0的 全 体 解 向 量 所 组 成 的 集 合，是 一 个 向 量 空 间，称 为 方 程 组Ax=0的解空间记作
19、V，即 V=x|Ax=0，xR.（2）基础解系齐次方程组AX=0 的解空间V 的一个基，称为齐次方程组AX=0 的一个基础解系.基础解系中解向量的个数是n-r（A）.方程组 AX=0 的任意 n-r个线性无关的解都是AX=0 的基础解系.（3）齐次线性方程组的通解为1122nrnrkkkL，其中12nr,L是 Ax=0 的一个基础解系.5.非齐次线性方程组解的性质（1）若12,是 Ax=b 的解，则12是 Ax=0 的解；即 Ax=b 的任意两个解的差必是其导出组A x=0 的解.（2）若是 Ax=b 的解，是 Ax=0 的解，则是 Ax=b 的解.即 Ax=b的任意一个解和其导出组A x=0
20、 的任意一个解之和仍是Ax=b的解.6.非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组AX=b的通解为*1122nrnrkkkL其中12nr,L为对应的齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，*为非齐次线性方程组AX=b 的任意一个解，称为特解.方阵的特征值1.向量的内积设1122nnxyxyx,yxyMM，则 x，y 的内积为1122nnx,yx yx yx yL.（1）向量 x 的长度：22212nxx,xxxxL（2）非零向量的单位化：若向量x 0,1x.x则是单位向量（3）当x,y0,xy时 称向量 与正交.（4）若非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交组（5）若正交组中每个向量都是单位
21、向量，则称它为标准正交组.定理 1 正交向量组必线性无关定理 2 A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列（行）向量都是单位向量且两两正交（6）施密特正交化过程设123,是一个线性无关的向量组，正交化：令11,1222111,a,132333121122,a,aa,；单位化：取312123123e,e,e.则123e,e,e是与123,等价的标准正交组.2.特征值与特征向量（1）方阵 A 的特征值是特征方程AE0的根.（2）三角矩阵和对角矩阵的全部特征值就是它的全部对角元（3）方阵和它的转置方阵有相同的特征值.（4）设12n,L是 n 阶方阵 A 的全部特征值，则12ntrAL，12nAL.即方
22、阵 A 的对角线上元素之和等于A 的全部特征值之和，方阵 A 的行列式等于A 的全部特征值的乘积.（5）若是方阵 A 的特征值，则f是方阵fA的特征值.特别地，当fA0时，方阵A 的特征值是f0的根.说明：mm 1mm 110f(x)a xaxa xaL，mm 1mm 110f(A)a AaAa Aa EL.例如是方阵 A 的特征值，则方阵fAA2E的特征值是f2.方阵2fAA3A4E的特征值是2f34.例如若2A3A4E0，则方阵 A 的特征值是2340的根，即121,4.（6）设12P,P都是方阵A 的属于同一特征值0的特征向量，则112212k Pk Pk,k 不全为零也是0的特征向量.
23、（7）属于不同特征值的特征向量线性无关.（8）属于不同特征值的线性无关的特征向量的并集仍线性无关.3.方阵的对角化（1）若方阵A 与对角矩阵相似，则说A 可以对角化即存在可逆矩阵P，使得1PAP.（是以A 的 n 个特征值为对角元素的对角矩阵.）（2）n 阶方阵A 可以对角化的充分必要条件是A 有 n 个线性无关的特征向量；属于每一个特征值的线性无关的特征向量的个数与该特征值的重数相同（3）n 阶方阵A 可以对角化的充分条件是n 阶方阵 A 的 n 个特征值互不相等（4）若 A 与 B 相似，则fA与f B相似.4.实对称矩阵的对角化（1）实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交.（2）实
24、对称矩阵一定可以对角化.即存在正交矩阵P，使得1PAP.（是以A 的 n 个特征值为对角元素的对角矩阵.）（3）利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵的步骤：(1)求特征值；(2)求特征向量；(3)将特征向量正交化，单位化；(4)最后将这些特征向量做成矩阵二次型1.二次型的标准化（1）用正交变换化二次型为标准形的具体步骤:写出二次型Tfx Ax的对称矩阵A；求 A 的全部特征值12n,L；求每个特征值的线性无关的特征向量12n,L；将特征向量正交化，单位化，得12n,L；将这些特征向量做成矩阵，记12nC,L，最后做正交变换x=Cy，得到 f 的标准形为2221122nnfyyyL.（其中12n,
25、L是Tfx Ax的矩阵 A 的特征值.）（2）用配方法化二次型为标准形的具体步骤:若二次型含有ix的平方项，则先把含有ix的项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过可逆的线性变换，就得到标准形;若二次型中不含有平方项，则先作可逆线性变换，令iijjijkkxyyxyyxy，（k=1,2,n，i）化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1 中方法配方.2.规范二次型设二次型Tfx Ax的标准形为222211ppp1p1rrfd yd ydyd yLL，（id0，r 是 f 的秩）令111pppp1p1p1rrr1yzd1yzd1yzd1yzd，得22221pp1rfzzzzLL，称为二次型Tfx Ax的规范形.注：规范形是唯一的.其中正平方项的个数p 称为Tfx Ax正惯性指数，负平方项的个数r-p 称为Tfx Ax负惯性指数，它们的差p-(r-p)=2p-r 称为Tfx Ax符号差.3.正定二次型二次型Tfx Ax正定矩阵 A 正定A 的特征值全为正A 的各阶顺序主子式都为正.二次型Tfx Ax负定矩阵 A 负定A 的奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子式为正.