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1、线性代数知识点总结第一章 线性代数知识点总结 第一章 行列式 第一节:二阶与三阶行列式 把表达式11221221aaa a称为11122122aaaa所确定的二阶行列式,并记作11122112aaaa,即1112112212212122.aaDa aa aaa结果为一个数。同理,把表达式112233122331132132112332122133132231,a a aa a aa a aa a aa a aa a a称为由数表111213212223313233aaaaaaaaa所确定的三阶行列式,记作111213212223313233aaaaaaaaa。即1112132122233132
2、33aaaaaaaaa=112233122331132132112332122133132231,a a aa a aa a aa a aa a aa a a 二三阶行列式的计算:对角线法则 注意:对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。利用行列式计算二元方程组与三元方程组:对二元方程组11 1122121 12222a xa xba xa xb 设111221220aaDaa1121222baDba1112212.abDab 则1122221111122122babaDxaaDaa,1112122211122122.ababDxaaDaa 对三元方程组11 1122133121 12222
3、33231 13223333a xa xa xba xa xa xba xa xa xb,设1112132122233132330aaaDaaaaaa,线性代数知识点总结第一章 1121312222333233baaDbaabaa,1111322122331333abaDabaaba,1112132122231323aabDaabaab,则11DxD,22DxD,33DxD。(课本上没有)注意:以上规律还能推广到 n 元线性方程组的求解上。第二节:全排列及其逆序数 全排列:把n个不同的元素排成一列,叫做这n个元素的全排列(或排列)。n 个不同的元素的所有排列的总数,通常用 Pn(或 An)表示
4、。(课本 P5)逆序及逆序数:在一个排列中,如果两个数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么称它们构成一个逆序,一个排列中,逆序的总数称为这个排列的逆序数。排列的奇偶性:逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列。(课本 P5)计算排列逆序数的方法:方法一:分别计算出排在1,2,1,nnL 前面比它大的数码之与即分别算出1,2,1,nnL这 n 个元素的逆序数,这个元素的逆序数的总与即为所求排列的逆序数。方法二:分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之与,即算出排列中每个元素的逆序数,这每个元素的逆序数之总与即为所求排列的逆序数。(课本上没有)第三节:n
5、阶行列式的定义 定义:n 阶行列式111212122212LLMMOMLnnnnnnaaaaaaDaaa等于所有取自不同行、不同列的 n 个元素的乘积 1212nppnpaaaL的代数与,其中 p1 p2 pn就是 1,2,n的一个排列,每一项的符号由其逆序数决定。1112112222112211220100ntnnnnnnnnaaaaaDa aaa aaaLLLLLMMOML也可简记为detija,其中ija为行列式 D的(i,j 元)。根据定义,有121212111212122212121LLLLLMMOMLnnnnt p ppnppnpp ppnnnnaaaaaaDaaaaaa 说明:1
6、、行列式就是一种特定的算式,它就是根据求解方程个数与未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、n 阶行列式就是!n项的代数与;3、n 阶行列式的每项都就是位于不同行、不同列 n 个元素的乘积;线性代数知识点总结第一章 4、1212nppnpaaaL的符号为1t,t 的符号等于排列12,.np pp的逆序数 5、一阶行列式aa不要与绝对值记号相混淆。推论 1:上,下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积。即1112112222112211220100ntnnnnnnnnaaaaaDa aaa aaaLLLLLMMOML 推论 2:主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积,副对角行列式的
7、值等于 121n n乘以其副对角线上各元的乘积。即1212nn LO,1122121n nnn LN 第四节:行列式的性质 定义 记111212122212nnnnnnaaaaaaDaaaLLMMOM,112111222212nnTnnnnaaaaaaDaaaLLMMOML,行列式TD称为行列式D的转置行列式。性质 1 行列式与它的转置行列式相等。说明 行列式中行与列具有同等地位,因此凡就是对行成立的行列式的性质的对列也成立。性质 2 互换行列式的两行 ijrr或列ijcc,行列式变号。推论 如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零。性质 3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数
8、()jk rk,等于用数k乘此行列式;推论 1 D的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到D的外面;推论 2 D中某一行(列)所有元素为零,则=0D。性质 4 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.性质 5 若行列式的某一列(行)的元素都就是两数之与,则1112111212222212()()()iiniinnnnininnaaaaaaaaaaDaaaaaLLLLMMMMLL线性代数知识点总结第一章 1112111112112122222122221212ininininnnninnnnninnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaLLLLLLLLLLLLLLLLLLL
9、LLL 性质 6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式的值不变。计算行列式常用方法:利用定义;利用运算 ijrkr把行列式化为上三角形行列式,从而算得行列式的值。说明 行列式中行与列具有同等的地位,行列式的 6 个性质凡就是对行成立的对列也同样成立。第五节 行列式按行(列)展开 余子式 在n阶行列式中,把元素ija所在的第i行与第j列划去后,留下来的1n阶行列式叫做元素ija的余子式,记作ijM。代数余子式 1ijijijAM记,叫做元素ija的代数余子式。引理 一个n阶行列式,如果其中第i行所有元素除(i,j)(,)i j元外ija都为零,那么这
10、行列式等于ija与它的代数余子式的乘积,即ijijDa A。定理 n阶行列式 111212122212LLMMOMLnnnnnnaaaaaaDaaa等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之与,即1122iiiiininDa Aa Aa A L,(1,2,)inL1122jjjjnjnjDa AaAa A L或,(1,2,)jnL。扩展 范德蒙德(Vandermonde)行列式1222212111112111()LLLMMOMLnnnijn ijnnnnxxxDxxxxxxxx 展开定理推论 n阶行列式 111212122212LLMMOMLnnnnnnaaaaaaDaaa的任意一行(列)的各元素与另一行线性代数知识点总结第一章(列)对应的代数余子式的乘积之与为零,即11220()isisinsna Aa Aa Ais L11220()jtjtnjnta AaAa Ajt L或