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1、5-2-1数量数量方法方法5.2 总体均值的区间估计总体均值的区间估计 5.2.1 区间估计的概念区间估计的概念 5.2.2 总体均值的区间估计总体均值的区间估计 (1)正态总体方差正态总体方差2已知已知,总体均值的区估计总体均值的区估计 (2)正态总体方差正态总体方差2未知未知,总体均值的区估计总体均值的区估计 (3)非正态总体的总体均值的区间估计非正态总体的总体均值的区间估计 (4)非重复抽样的总体均值的区间估计非重复抽样的总体均值的区间估计 5-2-2数量数量方法方法区间估计的概念区间估计的概念 区间估计区间估计区间估计区间估计 就是根据样本给出未知参数的一个范就是根据样本给出未知参数的
2、一个范就是根据样本给出未知参数的一个范就是根据样本给出未知参数的一个范围围围围,并希望知道这个范围包含该参数的概率并希望知道这个范围包含该参数的概率并希望知道这个范围包含该参数的概率并希望知道这个范围包含该参数的概率.这一范围用区间这一范围用区间这一范围用区间这一范围用区间 c c1 1,c,c2 2 表示表示表示表示,称这区间称这区间称这区间称这区间 c c1 1,c,c2 2 为未知为未知为未知为未知参数参数参数参数 的置信区间的置信区间的置信区间的置信区间,置信区间的边界置信区间的边界置信区间的边界置信区间的边界c c1 1,c,c2 2称置信下限、称置信下限、称置信下限、称置信下限、上
3、限上限上限上限,而称未知参数而称未知参数而称未知参数而称未知参数 位于位于位于位于 c c1 1,c,c2 2 内的概率内的概率内的概率内的概率1-1-为置信水为置信水为置信水为置信水平平平平,或置信概率或置信概率或置信概率或置信概率.既有：既有：既有：既有：P P c c1 1cc2 2=1-1-(0(01)1)。5-2-3数量数量方法方法区间估计的概念区间估计的概念说明说明说明说明 (1)(1)区间估计是参数估计的另一种方法区间估计是参数估计的另一种方法区间估计是参数估计的另一种方法区间估计是参数估计的另一种方法,是在点估是在点估是在点估是在点估计的基础上给出参数的一个估计范围计的基础上给
4、出参数的一个估计范围计的基础上给出参数的一个估计范围计的基础上给出参数的一个估计范围,并确定总体参并确定总体参并确定总体参并确定总体参数以多大的概率落在这一范围内数以多大的概率落在这一范围内数以多大的概率落在这一范围内数以多大的概率落在这一范围内.(2)(2)置信区间不唯一置信区间不唯一置信区间不唯一置信区间不唯一,在置信度固定的条件下在置信度固定的条件下在置信度固定的条件下在置信度固定的条件下,置信区间越短置信区间越短置信区间越短置信区间越短,估计精度越高估计精度越高估计精度越高估计精度越高.在置信度固定的条件下在置信度固定的条件下在置信度固定的条件下在置信度固定的条件下,n n 越大越大越
5、大越大,置信区间越短置信区间越短置信区间越短置信区间越短,估计精度越高估计精度越高估计精度越高估计精度越高.在样本量在样本量在样本量在样本量 n n 固定固定固定固定时时时时,置信度越大置信度越大置信度越大置信度越大,置信区间越长置信区间越长置信区间越长置信区间越长,估计精度越低估计精度越低估计精度越低估计精度越低.5-2-4数量数量方法方法区间估计的概念区间估计的概念（3 3）置信区间）置信区间）置信区间）置信区间 c c1 1,c,c2 2 是由样本统计量所构造的总体参数的估计是由样本统计量所构造的总体参数的估计是由样本统计量所构造的总体参数的估计是由样本统计量所构造的总体参数的估计区间区
6、间区间区间,是一个随机区间是一个随机区间是一个随机区间是一个随机区间.用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间,虽然虽然虽然虽然我们无法知道这个样本产生的区间是否包含总体参数的真值我们无法知道这个样本产生的区间是否包含总体参数的真值我们无法知道这个样本产生的区间是否包含总体参数的真值我们无法知道这个样本产生的区间是否包含总体参数的真值.但却知道这个区间包含总体参数真值的的可能性但却知道这个区间包含总体参数真值的的可能性但却知道这个区间包含总体参数真值的的可能性
7、但却知道这个区间包含总体参数真值的的可能性.置信区间表达了区间估计的准确性置信区间表达了区间估计的准确性置信区间表达了区间估计的准确性置信区间表达了区间估计的准确性,置信概率表达了区间置信概率表达了区间置信概率表达了区间置信概率表达了区间估计的可靠性估计的可靠性估计的可靠性估计的可靠性.而显著性水平表达了区间估计的不可靠概率而显著性水平表达了区间估计的不可靠概率而显著性水平表达了区间估计的不可靠概率而显著性水平表达了区间估计的不可靠概率.进行区间估计时进行区间估计时进行区间估计时进行区间估计时,须同时考虑置信区间与置信概率须同时考虑置信区间与置信概率须同时考虑置信区间与置信概率须同时考虑置信区
8、间与置信概率.置信概置信概置信概置信概率越大率越大率越大率越大(估计的可靠性愈大估计的可靠性愈大估计的可靠性愈大估计的可靠性愈大),),则置信区间相应也愈大则置信区间相应也愈大则置信区间相应也愈大则置信区间相应也愈大(准确性愈准确性愈准确性愈准确性愈小小小小)。5-2-5数量数量方法方法区间估计的概念区间估计的概念(4)(4)常用的置信水平值有常用的置信水平值有常用的置信水平值有常用的置信水平值有 99%,95%,90%,99%,95%,90%,相应的相应的相应的相应的 为为为为0.010.01，0.050.05，0.10.0.10.样本统计量样本统计量(点估计点估计)置信区间置信区间置信置信
9、下下限限置信置信上上限限5-2-6数量数量方法方法区间估计的图示区间估计的图示 x95%95%的样本的样本的样本的样本 -1.96-1.96 x x +1.96+1.96 x x99%99%的样本的样本的样本的样本 -2.58-2.58 x x +2.582.58 x x90%90%的样本的样本的样本的样本 -1.65 x +1.65 x5-2-7数量数量方法方法一个正态总体均值的区间估计一个正态总体均值的区间估计5-2-8数量数量方法方法总体均值的区间估计总体均值的区间估计(方差方差2已知已知)1.假定条件假定条件假定条件假定条件n n总体服从正态分布总体服从正态分布总体服从正态分布总体服从
10、正态分布,且方差且方差且方差且方差()已知已知已知已知2.使用正态分布统计量使用正态分布统计量使用正态分布统计量使用正态分布统计量 z z若总体若总体XN(2)，则样本均值，则样本均值 5-2-9数量数量方法方法总体均值的区间估计总体均值的区间估计(方差方差2已知已知)3.总体均值总体均值总体均值总体均值 在在在在1-1-置信水平下的置信水平下的置信水平下的置信水平下的置信区间为置信区间为置信区间为置信区间为事实上，利用正态分布的性质得事实上，利用正态分布的性质得，：于是于是总体均值总体均值在在1-置信置信水平下的置信区间为水平下的置信区间为 5-2-10数量数量方法方法总体均值的区间估计总体
11、均值的区间估计(方差方差2已知已知)其中其中其中其中 分别为总体均值分别为总体均值分别为总体均值分别为总体均值 的置的置的置的置信下限、上限，信下限、上限，信下限、上限，信下限、上限，1-1-为置信水平、置信概率、置信为置信水平、置信概率、置信为置信水平、置信概率、置信为置信水平、置信概率、置信度度度度 ，为置信水平为为置信水平为为置信水平为为置信水平为1-1-双侧分位点的上分位点，双侧分位点的上分位点，双侧分位点的上分位点，双侧分位点的上分位点，与正态总体分布和置信水平与正态总体分布和置信水平与正态总体分布和置信水平与正态总体分布和置信水平1-1-有关。有关。有关。有关。说明：说明：此时无论
12、样本容量多少均适用此时无论样本容量多少均适用.5-2-11数量数量方法方法总体均值的区间估计总体均值的区间估计(例题分析例题分析)例例 5.2.1.一一家家食食品品企企业业生生产产袋袋装装食食品品,为为对对产产量量质质量量进进行行监监测测,质质检检部部门门经经常常进进行行抽抽检检,以以分分析析每每袋袋重重量量是是否否符符合合要要求求.现现从从某某天天生生产产的的一一批批食食品品中中随随机机抽抽取取了了25袋袋,测测得得每每袋袋重重量量如如下下表表所所示示,已已知知产产品品重重量量的的分分布布服服从从正正态态分分布布,且且总总体体标标准准差差为为10g.试试估估计计该批产品平均重量的置信区间该批
13、产品平均重量的置信区间,置信水平为置信水平为95%2525袋食品的重量袋食品的重量袋食品的重量袋食品的重量 112.5112.5101.0101.0103.0103.0102.0102.0100.5100.5102.6102.6107.5107.5 95.0 95.0108.8108.8115.6115.6100.0100.0123.5123.5102.0102.0101.6101.6102.2102.2116.6116.6 95.4 95.4 97.8 97.8108.6108.6105.0105.0136.8136.8102.8102.8101.5101.5 98.4 98.4 93.3
14、93.35-2-12数量数量方法方法总体均值的区间估计总体均值的区间估计(例题分析例题分析)解：解：解：解：已知已知N(，102)，n=25,1-=95%,z/2=1.96。根据样本数据计算得：根据样本数据计算得：该食品平均重量的置信区间为该食品平均重量的置信区间为101.44g109.28g总体均值总体均值 在在1-置信水平置信水平下的置信区间为下的置信区间为5-2-13数量数量方法方法总体均值的区间估计总体均值的区间估计(方差方差2未知未知;大样本大样本)1.1.假定条件假定条件假定条件假定条件n n总体服从正态分布总体服从正态分布总体服从正态分布总体服从正态分布,且方差且方差且方差且方差
15、()未知未知未知未知n n总体服从正态分布总体服从正态分布总体服从正态分布总体服从正态分布,且样本容量且样本容量且样本容量且样本容量n n 30 302.使用正态分布统计量使用正态分布统计量使用正态分布统计量使用正态分布统计量 z z若总体若总体XN(2)，则样本均值，则样本均值 此时此时,总体方差总体方差2 可以用样本方差可以用样本方差S2 来代替。来代替。5-2-14数量数量方法方法总体均值的区间估计总体均值的区间估计(方差方差2未知；大样本未知；大样本)3.总体均值总体均值总体均值总体均值 在在在在1-1-置信水平下的置信水平下的置信水平下的置信水平下的置信区间置信区间置信区间置信区间为
16、为为为5-2-15数量数量方法方法总体均值的区间估计总体均值的区间估计(方差方差2未知未知,小样本小样本)1.假定条件假定条件假定条件假定条件n n总体服从正态分布总体服从正态分布总体服从正态分布总体服从正态分布,且方差且方差且方差且方差()未知未知未知未知n n小样本小样本小样本小样本 (n n 30)30)2.使用使用使用使用 t t 分布统计量分布统计量分布统计量分布统计量此时，总体方差此时，总体方差2 可以用样本方差可以用样本方差S2 来代替。来代替。5-2-16数量数量方法方法总体均值的区间估计总体均值的区间估计(方差方差2未知未知,小样本小样本)3.3.总体均值总体均值总体均值总体
17、均值 在在在在1-1-置信水平下的置信水平下的置信水平下的置信水平下的置信区间为置信区间为置信区间为置信区间为事实上，利用事实上，利用 t分布的性质有：分布的性质有：于是于是总体均值总体均值在在1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为 5-2-17数量数量方法方法总体均值的区间估计总体均值的区间估计(例题分析例题分析)例例例例5.2.2 5.2.2 书第书第145页例页例5.4 5-2-18数量数量方法方法 非正态总体均值非正态总体均值的区间估计的区间估计(大样本大样本)5-2-19数量数量方法方法总体均值的区间估计总体均值的区间估计(非正态总体非正态总体;大样本大样本)1.1.假定条
18、件假定条件假定条件假定条件n n总体不服从正态分布总体不服从正态分布总体不服从正态分布总体不服从正态分布,且方差且方差且方差且方差()未知未知未知未知n n样本容量样本容量样本容量样本容量n n 30 302.2.使用正态分布统计量使用正态分布统计量使用正态分布统计量使用正态分布统计量 z z当样本是当样本是大样本大样本时，此时样本均值时，此时样本均值近似近似服从正态分布服从正态分布 5-2-20数量数量方法方法总体均值的区间估计总体均值的区间估计(非正态总体；大样本非正态总体；大样本)3.总体均值总体均值总体均值总体均值 在在在在1-1-置信水平下的置信水平下的置信水平下的置信水平下的置信区
19、间为置信区间为置信区间为置信区间为总体方差总体方差2 未知时，可以用样本方差未知时，可以用样本方差S2 来代替。来代替。5-2-21数量数量方法方法总体均值的区间估计总体均值的区间估计(例题分析例题分析)例例例例5.2.3 5.2.3 书第书第143页例页例5.1；5.2 5-2-22数量数量方法方法非重复抽样的总体均值非重复抽样的总体均值的区间估计的区间估计 5-2-23数量数量方法方法非重复抽样的总体均值非重复抽样的总体均值的区间估计的区间估计 前面讨论的区间估计所利用的样本均是在重复抽前面讨论的区间估计所利用的样本均是在重复抽前面讨论的区间估计所利用的样本均是在重复抽前面讨论的区间估计所
20、利用的样本均是在重复抽样下进行的样下进行的样下进行的样下进行的,这时的样本均值的抽样标准差的误差这时的样本均值的抽样标准差的误差这时的样本均值的抽样标准差的误差这时的样本均值的抽样标准差的误差 ;若所抽取的样本在不重复抽样下获得的若所抽取的样本在不重复抽样下获得的若所抽取的样本在不重复抽样下获得的若所抽取的样本在不重复抽样下获得的,则则则则需考虑抽样的修正系数需考虑抽样的修正系数需考虑抽样的修正系数需考虑抽样的修正系数,这时的样本均值的这时的样本均值的这时的样本均值的这时的样本均值的抽样标准差抽样标准差抽样标准差抽样标准差的误差的误差的误差的误差 ，其中，其中，其中，其中N N是总体容量是总体容量是总体容量是总体容量5-2-24数量数量方法方法非重复抽样的总体均值非重复抽样的总体均值的区间估计的区间估计 以正态总体方差以正态总体方差以正态总体方差以正态总体方差 2 2已知，总体均值的区间估计已知，总体均值的区间估计已知，总体均值的区间估计已知，总体均值的区间估计为例为例为例为例,总体均值总体均值总体均值总体均值 在在在在1-1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为