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1、机械优化设计机械优化设计第五章 约束优化方法 5-15-1 引言引言 5-25-2 约束坐标轮换法约束坐标轮换法 5-3 约束随机方向法约束随机方向法5-4 5-4 复合形法复合形法5-5 5-5 惩罚函数法惩罚函数法1机械优化设计机械优化设计教学目的、要求1掌握常用约束优化方法的基本思想、方法构成、迭代步骤、终止准则。教学重点1复合形法2惩罚函数法 2机械优化设计机械优化设计5-1 引言引言1.1.优化方法分类优化方法分类(按对约束条件的处理方法分)（1 1）直接法）直接法常用方法有常用方法有:约束坐标轮换法约束坐标轮换法,约束随机方向约束随机方向法法,复合形法复合形法,可行方向法可行方向法
2、,线性逼近法等。线性逼近法等。-将迭代点将迭代点限制在可行域内限制在可行域内(可行性可行性),),步步步降低目标函数值步降低目标函数值(下降性下降性),),直至到达最优点直至到达最优点.（可解（可解IP型问题，不适用型问题，不适用EP型问题）型问题）3机械优化设计机械优化设计步长步长可行搜索方向可行搜索方向可行搜索方向可行搜索方向:当设计点沿该方向作微量移动时，当设计点沿该方向作微量移动时，目标函数值将下降，且不会越出可行域目标函数值将下降，且不会越出可行域。（2 2）间接法）间接法（可解各类（可解各类问题）问题）-通过变换通过变换,将约束优化问题转化为无将约束优化问题转化为无约束优化问题求解
3、约束优化问题求解.常用方法有常用方法有:罚函数法罚函数法,拉格朗日乘子法等拉格朗日乘子法等.4机械优化设计机械优化设计5-25-2 约束坐标轮换法约束坐标轮换法 1.1.基本思想基本思想(1)(1)依次沿各坐标轴方向依次沿各坐标轴方向-e1,e2,-e1,e2,en,en方向搜索；方向搜索；(2)(2)将迭代点限制在可行域内。将迭代点限制在可行域内。可取定步长、加速步长和收缩步长可取定步长、加速步长和收缩步长,但不能取最优步长但不能取最优步长;对每一迭代点均需进行可行性和下对每一迭代点均需进行可行性和下降性检查。降性检查。5机械优化设计机械优化设计2.迭代步骤6机械优化设计机械优化设计2.迭代
4、步骤若满足适用性和可行性若满足适用性和可行性迭代终止条件：迭代终止条件：邻近邻近4个点均不能同时满足适用性和可行性条件个点均不能同时满足适用性和可行性条件7机械优化设计机械优化设计3.3.存在问题存在问题有时会出现死点有时会出现死点,导致输出导致输出“伪最优点伪最优点”.*为辨别真伪为辨别真伪,要用要用K-TK-T条件条件进行检查进行检查.8机械优化设计机械优化设计5-35-3 约束随机方向法约束随机方向法 坐标轮换法有时会输出坐标轮换法有时会输出“伪最优点伪最优点”,用随机用随机方向法可克服这一缺点方向法可克服这一缺点.1.1.基本思路基本思路在初始点处产生一随机方向，在初始点处产生一随机方
5、向，若该方向适用、可行，则以定若该方向适用、可行，则以定步长前进；步长前进；若该方向不适用、可行，若该方向不适用、可行，则产生另一方向；则产生另一方向；若在某处产生的方向足够若在某处产生的方向足够多多(50-100)(50-100)，仍无一适用、可，仍无一适用、可行，则采用收缩步长；行，则采用收缩步长；若步长小于预先给定的误若步长小于预先给定的误差限则终止迭代。差限则终止迭代。9机械优化设计机械优化设计其其其其基基基基本本本本原原原原理理理理如如如如图图图图所所所所示示示示，在在在在约约约约束束束束可可可可行行行行域域域域S S S S内内内内选选选选取取取取一一一一个个个个初初初初始始始始点
6、点点点X(0)X(0)X(0)X(0)，在在在在不不不不破破破破坏坏坏坏约约约约束束束束的的的的条条条条件件件件下下下下以以以以合合合合适适适适的的的的步步步步长长长长a a a a。沿沿沿沿X(0)X(0)X(0)X(0)点点点点周周周周围围围围几几几几个个个个不不不不同同同同的的的的方方方方向向向向（以以以以某某某某种种种种形形形形式式式式产产产产生生生生的的的的随随随随机机机机方方方方向向向向）进进进进行行行行若若若若干干干干次次次次探探探探索索索索，并并并并计计计计算算算算各各各各方方方方向向向向上上上上等等等等距距距距离离离离（步步步步长长长长a a a a。）点点点点的的的的函函函
7、函数数数数值值值值，找找找找出出出出其其其其中中中中的的的的最最最最小小小小值值值值f f f f（X(lX(lX(lX(l)）及及及及点点点点X(lX(lX(lX(l)。若若若若f f f f（X(lX(lX(lX(l)）f f f f（X(0)X(0)X(0)X(0)），则则则则继继继继续续续续沿沿沿沿方方方方向向向向（X(l)-X(0)X(l)-X(0)X(l)-X(0)X(l)-X(0)）以以以以适适适适当当当当的的的的步步步步长长长长a a a a向向向向前前前前跨跨跨跨 步步步步，得得得得 到到到到 新新新新 点点点点 X(1)X(1)X(1)X(1)，若若若若f f f f（X(
8、1)X(1)X(1)X(1)）老老老老f f f f（X(lX(lX(lX(l)），则则则则将将将将新新新新的的的的起起起起点点点点移移移移至至至至X(1)X(1)X(1)X(1)，重重重重复复复复前前前前面面面面过过过过程程程程。否否否否则则则则应应应应缩缩缩缩短短短短步步步步长长长长a a a a，直直直直至至至至取取取取得得得得约约约约束束束束好好好好点点点点。如如如如此此此此循循循循环环环环下下下下去去去去。当当当当迭迭迭迭代代代代的的的的步步步步长长长长已已已已经经经经很很很很小小小小时时时时，则则则则表表表表明明明明已已已已经经经经逼逼逼逼近近近近约约约约束束束束最最最最优优优优点
9、点点点。达达达达到到到到计计计计算算算算精精精精度度度度要要要要求求求求时时时时，即即即即可结束迭代计算。可结束迭代计算。可结束迭代计算。可结束迭代计算。10机械优化设计机械优化设计2.2.随机方向的构成随机方向的构成1.1.用用RND(X)RND(X)产生产生n n个随机数个随机数2.将将(0,1)中的随机数中的随机数变换到变换到(-1,1)中中去去;3.构成随机方向构成随机方向变换得变换得:于是于是例例:对于三维问题对于三维问题11机械优化设计机械优化设计(1)(1)产生随机数产生随机数2.2.随机方向的构成随机方向的构成n=50.9108949033543470.157138510840
10、0140.5520721492357550.7479062366764990.0958456043154001 12机械优化设计机械优化设计(2)(2)构成随机方向构成随机方向var y:array of real;begin setlength(y,n);for i:=low(x)to high(x)do yi:=2*xi-1;end;矢量矢量 模为？模为？113机械优化设计机械优化设计3.3.迭代过程迭代过程在初始点处产生一随机方在初始点处产生一随机方向，若该方向适用、可行，向，若该方向适用、可行，则以定步长前进；则以定步长前进；若该方向不适用、可行，若该方向不适用、可行，则产生另一方向；
11、则产生另一方向；若在某处产生的方向足够若在某处产生的方向足够多多(50-100)(50-100)，仍无一适用、，仍无一适用、可行，则采用收缩步长；可行，则采用收缩步长；若步长小于预先给定的误若步长小于预先给定的误差限则终止迭代。差限则终止迭代。14机械优化设计机械优化设计4.4.流程图流程图X0=X,F0=F给定内点给定内点X0,0 0,m,m,=0,F0=F(X0)F=F（X）j=1K=K+1是K=0,j=0产生随机方向产生随机方向=0.5否FF0j=0Km结 束X*=X0,F*=F0是否是否是是否XDD是是否15机械优化设计机械优化设计 5-4 5-4 5-4 5-4 复合形法复合形法复合
12、形法复合形法一一.基本思路基本思路在可行域内选取若干初始点并以之为顶点构成在可行域内选取若干初始点并以之为顶点构成一个多面体一个多面体(复合形复合形),),然后比较各顶点的函数值然后比较各顶点的函数值,去去掉最坏点掉最坏点,代之以好的新点代之以好的新点,并构成新的复合形并构成新的复合形,以逼以逼近最优点近最优点.16机械优化设计机械优化设计有两种基本运算有两种基本运算:1)映射映射-在坏点的对侧试在坏点的对侧试探新点探新点:先计算除最坏点外先计算除最坏点外各顶点的几何中心各顶点的几何中心,然后再然后再作映射计算作映射计算.2)收缩收缩-保证映射点的保证映射点的“可行可行”与与“下下降降”X1为
13、最坏点为最坏点-映射系数映射系数常取常取若发现映射点不适用、可行若发现映射点不适用、可行,则将则将 减半后重新映射减半后重新映射.17机械优化设计机械优化设计5-45-4复合形法复合形法 在可行域内选取若干在可行域内选取若干初始点并以之为顶点构成初始点并以之为顶点构成一个一个多面体多面体(复合形复合形)，然，然后比较各顶点的函数值，后比较各顶点的函数值，去掉去掉最坏点最坏点，代之以好的，代之以好的新点，并构成新的复合形，新点，并构成新的复合形，以逼近最优点。以逼近最优点。1.1.基本思想基本思想X0X(R)X(0)-除除X(H)以外，各点的几何中心。以外，各点的几何中心。X(R)映射点映射点映
14、射系数，映射系数，1.21.21.41.4，可根据实际情况进行缩减。可根据实际情况进行缩减。p9518机械优化设计机械优化设计*初始复合形的构成初始复合形的构成*复合形的移动和收缩复合形的移动和收缩2.2.初始复合形的构成初始复合形的构成(1)(1)复合形顶点数复合形顶点数K K的选择的选择建议建议:小取大小取大值值,大取小值大取小值(2)(2)初始复合形顶点的确定初始复合形顶点的确定用试凑方法产生用试凑方法产生-适于低维情况适于低维情况;用随机方法产生用随机方法产生19机械优化设计机械优化设计 将非可行点调入可行域内将非可行点调入可行域内 K K个顶点中要求无一在可行域内。重新产生。个顶点中
15、要求无一在可行域内。重新产生。K K个顶点中有可行点个顶点中有可行点，重新排列，将可行点依次排在前重新排列，将可行点依次排在前面，如有面，如有q q个顶点个顶点X(1)、X(2)、X(q)是可行点，其它是可行点，其它K-qK-q个为非可行点。对个为非可行点。对X(q+1)，将其调入可行域的步骤是：，将其调入可行域的步骤是：先用随机函数产生先用随机函数产生 个随机数个随机数 ,然后变换到预定的区间然后变换到预定的区间 中去中去.用随机方法产生用随机方法产生K K个顶点个顶点20机械优化设计机械优化设计(1)(1)计算计算q q个点集的中心个点集的中心X(s)；(2)(2)将第将第q+1q+1点朝
16、着点点朝着点X(s)的的方向移动，按下式产生新的方向移动，按下式产生新的X(q+1)，即，即 若若仍仍不可行，则重复此步骤，直至进不可行，则重复此步骤，直至进入可行域为止。入可行域为止。按按照照这这个个方方法法，同同样样使使X(q+2)、X(q+3)、X(K)都都变变为可行点，这为可行点，这K K个点就构成了初始复合形。个点就构成了初始复合形。21机械优化设计机械优化设计3.3.复合形法的迭代步骤复合形法的迭代步骤(1)(1)构造初始复合形；构造初始复合形；(2)(2)计算各顶点的函数值计算各顶点的函数值F(X(j)，j=1,2,.,Kj=1,2,.,K。选出好点选出好点X(L)和坏点和坏点X
17、(H)；(3)(3)计算坏点外的其余各顶点的中心点计算坏点外的其余各顶点的中心点X(0)。22机械优化设计机械优化设计(4)(4)计算映射点计算映射点X(R)检查检查X(R)是否在可行域内。若是否在可行域内。若X(R)为非可行点，将映为非可行点，将映射系数减半后再按上式改变映射点，直到射系数减半后再按上式改变映射点，直到X(R)进入可行域进入可行域内为止。内为止。(5)(5)构造新的复合形构造新的复合形 计算映射点的函数值计算映射点的函数值F(X(R)，并与坏点的函数值，并与坏点的函数值F(X(H)比较，可能存在两种情况：比较，可能存在两种情况：1 1）映射点优于坏点）映射点优于坏点 F(X(
18、R)F(X(H)这这种种情情况况由由于于映映射射点点过过远远引引起起的的，减减半半映映射射系系数数，若有若有F(X(R)F(X(H)，这又转化为第一种情况。，这又转化为第一种情况。24机械优化设计机械优化设计4.4.判断终止条件判断终止条件1)1)各顶点与好点函数值之差的均方根值小于误差限，即各顶点与好点函数值之差的均方根值小于误差限，即2 2）各顶点与好点的函数值之差的平方和小于误差限，即）各顶点与好点的函数值之差的平方和小于误差限，即 3 3）各顶点与好点函数值差的绝对值之和小于误差限，即）各顶点与好点函数值差的绝对值之和小于误差限，即 如果不满足终止迭代条件，则返回步骤如果不满足终止迭代
19、条件，则返回步骤2 2继续进行下继续进行下一次迭代；否则，可将最后复合形的好点一次迭代；否则，可将最后复合形的好点X X(L)(L)及其函数值及其函数值F F(X(X(L)(L)作为最优解输出。作为最优解输出。25机械优化设计机械优化设计比比较较复复合合形形各各顶顶点点的的函函数数值值，找出好点找出好点XL，坏点坏点XHXH=XR=0.5找出次坏点找出次坏点XSH，XH=XSH满足终止条件？满足终止条件？X*=XL,F*=F(XL)结结束束4.4.流程图流程图是是否否给定给定K，ai,bii=1,2,n产生初始复合形顶点产生初始复合形顶点Xj,j=1,2,K计算复合形各顶点的函数值计算复合形各
20、顶点的函数值F(Xj),j=1,2,K是是是是是是否否否否否否XRDFRF(XH)26机械优化设计机械优化设计 5-6 5-6 5-6 5-6 惩罚函数法惩罚函数法惩罚函数法惩罚函数法一一.概述概述1.基本思想基本思想将将约束问题约束问题 转化成转化成无约束问题无约束问题 求解求解惩罚函数惩罚函数可调参数可调参数*构造惩罚函数构造惩罚函数的基本要求的基本要求:惩罚项用约束条件构造惩罚项用约束条件构造;到达最优点时到达最优点时,惩罚项的值为惩罚项的值为0 0;当约束不满足或未到达最优点时当约束不满足或未到达最优点时,惩罚项惩罚项的值的值大于大于0 0.27机械优化设计机械优化设计2.分类分类内点
21、法内点法-将迭代点限制在可行域内将迭代点限制在可行域内;外点法外点法-迭代点一般在可行域外迭代点一般在可行域外;混合法混合法-将外点法和内点法结合起来解将外点法和内点法结合起来解GPGP型问型问题题.28机械优化设计机械优化设计二二.SUMT.SUMT内点法内点法1.1.惩罚函数的构造惩罚函数的构造原原问题问题:s.t.可取可取式中式中,1)*当当X X趋于趋于D D的边界时的边界时,B(X)趋于无穷大趋于无穷大,故又称故又称为为障碍障碍(围墙围墙)函数函数;29机械优化设计机械优化设计2)罚因子罚因子为为使使与原问题同解与原问题同解,应使应使*对对于于一一个个,求求解解一一个个无无约约束束优
22、优化化问问题题.前前一一问问题题的的结结果果为为后后一一问问题题的的初初值值,故故为为系系列列无无约约束束极极小小化化方方 法法(Sequential(Sequential Unconstrained Unconstrained Minimization Minimization Technique).Technique).30机械优化设计机械优化设计输出输出X*，F*=F（X*）结结束束是是2.SUMT2.SUMT内点罚函数法迭代步骤内点罚函数法迭代步骤用无约束方法求用无约束方法求的极小点的极小点X*输入输入X0，r0,c,否否k=k+1,Xk=X*，rk=crkK=0,Xk=X0,31机械
23、优化设计机械优化设计例例:解解:惩罚函数惩罚函数在在D D内内,对于固定对于固定的的,令令得得r(k)x*f(x*)B(x*)1/22111.51/101.4472 0.7236 2.2361 0.94721/501.20.650.71/6250 1.0179 0.508955.90170.5179010.50.532机械优化设计机械优化设计r(k)x*f(x*)B(x*)1/22111.51/101.4472 0.7236 2.2361 0.94721/501.20.650.71/6250 1.0179 0.508955.90170.5179010.50.533机械优化设计机械优化设计1)初
24、始点初始点X0的确定的确定(必须为内点必须为内点)*用现有机器参数作初值用现有机器参数作初值;*用图解法用图解法;*用随机方法用随机方法;*用内点法求内点用内点法求内点.3.应用内点法应注意的问题应用内点法应注意的问题-X0,r(0),c的确定的确定34机械优化设计机械优化设计2）罚因子的初值罚因子的初值*过大过大,会使会使的最优点的最优点比比 X X0 0 离真正的最优点更远离真正的最优点更远;过过小小,在域内的惩罚作用小在域内的惩罚作用小,在接近边在接近边界时则突然加大使性态变坏界时则突然加大使性态变坏,且有且有可能使迭代点越出可行域可能使迭代点越出可行域.Fox Fox 推荐推荐3）递减
25、系数递减系数C C本书推荐本书推荐0.10.10.5.0.5.35机械优化设计机械优化设计三三.SUMTSUMT外点法外点法1.惩罚函数的构造惩罚函数的构造考虑非线性规划问题考虑非线性规划问题:s.t.惩罚函数可取为惩罚函数可取为2)罚因子罚因子*1)时时,惩罚项为惩罚项为0 0,不惩罚不惩罚;时时,惩罚项大于惩罚项大于0 0,有惩罚作用有惩罚作用.因因 边边界界时时,惩惩罚罚项项中中大大括括号号中中的的值值趋趋于于0 0,为为保保证证惩惩罚罚作用作用,应取应取36机械优化设计机械优化设计2.SUMTSUMT外点法的迭代步骤外点法的迭代步骤给定给定X0，c,r0,1,2,3k=0,r(k)=r
26、0,X(K)=X0输出输出X*，F*=F（X*）结束结束是是是是是是否否否否否否求解求解得极小点得极小点X*k=k+1r(k)=cr(k)X(k)=X*-初始点初始点,对凸规划可任意给定对凸规划可任意给定;*-外点法点距精度外点法点距精度;-等式约束允许的误差限等式约束允许的误差限;-不等式约束允许的误差限不等式约束允许的误差限;-罚因子的放大系数罚因子的放大系数;*为使迭代点进入可行域为使迭代点进入可行域,可设可设约约束容差带束容差带:37机械优化设计机械优化设计例例:解解:惩罚函数惩罚函数在在D D外外,对于固定的对于固定的,令令得得r(k)x*f(x*)11.50.250.5101.90
27、9090.826540.909091001.990990.980296 0.99009910001.999001 0.998003 0.99900121138机械优化设计机械优化设计3.外点法与内点法的比较外点法与内点法的比较1)1)外点法可解各类问题外点法可解各类问题,内点法仅适于内点法仅适于IPIP型问题型问题;2)2)外点法的初始点可任选外点法的初始点可任选,内点法的初始点必须为内点内点法的初始点必须为内点;3)3)外点法的极小点系列一般在外点法的极小点系列一般在D D外外,内点法的极小点系列内点法的极小点系列 在在D D内内(全为可行点全为可行点););39机械优化设计机械优化设计k=
28、0,X(k)=X0,r(k)=r0I2为空集为空集计算指标集计算指标集以以X X(K)(K)为初始点为初始点,求解求解得得X X*。输出输出是是否否任取任取X0,给定给定r0,c,40机械优化设计机械优化设计5-55-5 惩罚函数法惩罚函数法 通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约束最通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题，进而用无约束最优化方法去求解，这类方法优化问题，进而用无约束最优化方法去求解，这类方法称为序列无约束最小化方法。简称为称为序列无约束最小化方法。简称为SUMTSUMT法。法。（Sequential Unconstrained Minimization Tec
29、hnique）1.1.基本思想基本思想DD有约束优化问题模型p10941机械优化设计机械优化设计转化成为增广函数，惩罚函数-罚因子，为大于零的可调参数-罚函数的惩罚项-泛函数42机械优化设计机械优化设计 求解该新目标函数的无约束极小值，以期得到原问题的约束最优解。按一定的法则改变罚因子r 和m的值，求得一序列的无约束最优解，不断地逼近原约束优化问题的最优解。2.2.分类分类 内点法-将迭代点限制在可行域内;外点法-迭代点一般在可行域外;混合法-将外点法和内点法结合起来解GP型问题.43机械优化设计机械优化设计一一.内点法内点法 1.1.基本思想基本思想 内点法将新目标函数(X,r(k)构筑在可
30、行域 D 内，随着惩罚因子r(k)的不断递减，生成一系列新目标函数(X(k),r(k)，在可行域内逐步迭代，产生的极值点 X(k)(r(k)序列从可行域内部趋向原目标函数的约束最优点X*。内点法只能用来求解具有内点法只能用来求解具有不等式约束不等式约束的优化问题。的优化问题。转化后的惩罚函数形式为：D:D:44机械优化设计机械优化设计r(k)是惩罚因子，是一个由大到小且趋近于0的正数列，即罚因子降低系数0.10.5 内点法的惩罚函数定义于可行域内，当迭代点在内点法的惩罚函数定义于可行域内，当迭代点在可行域内离约束边界较远时，惩罚项的值较小，当可行域内离约束边界较远时，惩罚项的值较小，当迭代点接
31、近约束边界时，惩罚项的值急则增大，于迭代点接近约束边界时，惩罚项的值急则增大，于是惩罚函数的值就急剧增大，即迭代点接近可行域是惩罚函数的值就急剧增大，即迭代点接近可行域边界是以惩罚函数值增大为代价的。这就相当于对边界是以惩罚函数值增大为代价的。这就相当于对接近并企图越过可行域边界的接近并企图越过可行域边界的种种“惩罚惩罚”。45机械优化设计机械优化设计X*例例：求下述约束优化问题的最优点。：求下述约束优化问题的最优点。min.F(x)=x x R1 D:g(x)=x-1 0X*=1,F*=1X1*X2*46机械优化设计机械优化设计47机械优化设计机械优化设计2.2.几个参数的选择：几个参数的选
32、择：1.1.惩罚因子初始值惩罚因子初始值 r r(0)(0)的选择：的选择：过大、过小均不好，过大、过小均不好，(1-50)(1-50)建议考虑选择：建议考虑选择：2.2.降低系数降低系数C C的选择：的选择：C C取取0.10.1或更小，本书推荐或更小，本书推荐0.10.10.50.5（过大）（过大）。建议先试算。建议先试算。3.3.初始点初始点X(0)的选择的选择：要求：要求：在可行域内；在可行域内；不要离约束边界太近。不要离约束边界太近。方法：方法：人工估算，需要校核可行性；人工估算，需要校核可行性；计算机随机产生，也需校核可行性。计算机随机产生，也需校核可行性。48机械优化设计机械优化
33、设计 4.4.收敛条件收敛条件49机械优化设计机械优化设计5.5.5.5.算法步骤算法步骤算法步骤算法步骤1 1）选择可行域内初始点）选择可行域内初始点X X(0)(0);2 2）选取初始罚因子）选取初始罚因子r r(0)(0)与罚因子降低系数与罚因子降低系数C C，并置，并置K0K0；3 3）求）求min(xmin(x(K)(K),r,r(K(K)解出最优点解出最优点x xK K*；4 4）当）当K=0K=0转步骤转步骤5 5），否则转步骤），否则转步骤6 6）；）；5 5）KK+1KK+1，r r(K+1)(K+1)rr(K)(K)，x xK+1K+10 0 xxK K*，并转步骤，并转步
34、骤3 3）；）；6 6）按终止准则判别，若满足转步骤）按终止准则判别，若满足转步骤7 7），否则转步骤），否则转步骤5 5）；）；7 7）输出最优解（）输出最优解（X*X*，F*F*），停止计算。），停止计算。50机械优化设计机械优化设计例：例：用内点法求用内点法求的约束最优解。取的约束最优解。取r r(0)(0)=1,C=0.3=1,C=0.3解解:用内点法求解该问题时，首先构造内点惩罚函用内点法求解该问题时，首先构造内点惩罚函数数:用解析法求函数的极小值，运用极值条件：用解析法求函数的极小值，运用极值条件：联立求解得：联立求解得：51机械优化设计机械优化设计时不满足约束条件时不满足约束条件
35、应舍去应舍去。无约束极值点为无约束极值点为当当52机械优化设计机械优化设计二二.外点法（可解外点法（可解GPGP型问题）型问题）1.惩罚函数的构造考虑非线性规划问题:s.t.惩罚函数可取为53机械优化设计机械优化设计2)罚因子*1)时,惩罚项为0,不惩罚;时,惩罚项大于0,有惩罚作用。因 边界时,惩罚项中大括号中的值趋于0,为保证惩罚作用,应取 外点法的迭代过程在可行域之外进行，惩罚项的作用是迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面。由惩罚项的形式可知，当迭代点 X 不可行时，惩罚项的值大于0。54机械优化设计机械优化设计2.SUMT外点法的迭代步骤给定X0，c,r0,1,2,3k=0,r(k)=
36、r0,X(K)=X0是是是是求解求解得极小点得极小点X*输出输出X*，F*=F（X*）结束是是否否否否否否k=k+1r(k)=cr(k)X(k)=X*55机械优化设计机械优化设计-初始点初始点,对凸规划可任意给对凸规划可任意给定定;*-外点法点距精度外点法点距精度;-等式约束允许的误差限等式约束允许的误差限;-不等式约束允许的误差不等式约束允许的误差限限;-罚因子的放大系数罚因子的放大系数;56机械优化设计机械优化设计*为使迭代点进入可行域,可设约束容差带:57机械优化设计机械优化设计例例 用外点法求解下列有约束优化问题用外点法求解下列有约束优化问题解：惩罚函数为：解：惩罚函数为：对上式求偏导
37、，得对上式求偏导，得 58机械优化设计机械优化设计无约束目标函数极小化问题的最优解系列为：无约束目标函数极小化问题的最优解系列为：当惩罚因子渐增时，由下表可看出收敛情况。当惩罚因子渐增时，由下表可看出收敛情况。59机械优化设计机械优化设计r r0.010.01-0.80975-0.80975-50.00000-50.00000-24.9650-24.9650-49.9977-49.99770.10.1-0.45969-0.45969-5.00000-5.00000-2.2344-2.2344-4.9474-4.94741 10.236070.23607-0.50000-0.500000.963
38、10.96310.12950.129510100.832160.83216-0.05000-0.050002.30682.30682.00012.0001100010000.998000.99800-0.00050-0.000502.66242.66242.65822.65821 10 08/38/38/38/360机械优化设计机械优化设计内点法和外点法的简单比较内点法和外点法的简单比较 内点法的特点：内点法的特点：（1 1）始点必须为严格内点）始点必须为严格内点 （2 2）不适于具有等式约束的数学模型）不适于具有等式约束的数学模型 （3 3）迭代过程中各个点均为可行设计方案）迭代过程中各个点均为可行设计方案 （4 4）一般收敛较慢）一般收敛较慢 （5 5）初始罚因子要选择得当）初始罚因子要选择得当 （6 6）罚因子为递减，递减率）罚因子为递减，递减率c c有有0c10c1 1 61