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1、第第7章章 刚体的平面运动刚体的平面运动7-1 7-1 刚体的平面运动及其分解刚体的平面运动及其分解7-2 7-2 平面图形上任意点速度的求法平面图形上任意点速度的求法7-3 7-3 平面图形上任意点加速度的求法平面图形上任意点加速度的求法7-4 7-4 刚体绕平行轴转动的合成刚体绕平行轴转动的合成(自学自学)定义定义：在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一保持不变也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内运动具有这种特点的运动称为平面内运动具有这种特点的运动称为刚
2、体的平面运动刚体的平面运动7-1 7-1 刚体的平面运动及其分解刚体的平面运动及其分解计算平面图形的平面运动时计算平面图形的平面运动时,把图形的运动分成以把图形的运动分成以任意点任意点为基准的平移与转动的组合为基准的平移与转动的组合,不影响计算结果不影响计算结果.定义定义任意点任意点(A)为基点为基点.平面运平面运动随基点平随基点平动相相对基点基点转动7-2 7-2 平面图形上各点的速度分析平面图形上各点的速度分析三种方法：三种方法：一一,基点法基点法二二,投影定理投影定理三三,速度瞬心法速度瞬心法练习练习1:基点法求速度基点法求速度(几何法几何法)解：解：求：求：研究研究刚体体AB(平面平面
3、运动运动),A基点基点已知：已知：曲柄连杆机构如图所示，曲柄连杆机构如图所示，OA=r,AB=。如曲柄如曲柄OA以匀角速度以匀角速度转动。转动。研究刚体研究刚体AB(平面运动平面运动),基点：基点：A解：解：二、速度投影定理二、速度投影定理不不仅能求能求线速度的大小速度的大小,还能确定其真能确定其真实方向方向;vBA不出不出现;速度投影定理反映了速度投影定理反映了刚体体两点两点间距离不距离不变的特性的特性.解：解：1,研究研究刚体体AB(平面运动平面运动)例例 已知：已知：求：求：可以在图形内找到一点Q，在此瞬时，相对加速度 大小恰与基点A的加速度等值反向，其绝对加速度 ,Q点就称为图形在该瞬
4、时的加速度瞬心优点:既可求线速度,也可求图形的角速度不仅能求线速度的大小,还图所示的平面机构中，曲柄OA长100mm，以角速度7-4 刚体绕平行轴转动的合成(自学)车轮上与地面的接触点A为速度瞬心。由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那样易确定，且一选A为基点，则 上任一点M的速度练习1:基点法求速度(几何法)唯一性：选取速度瞬心P为基点，则平面=2rad/s转动。图所示的平面机构中，曲柄图所示的平面机构中，曲柄OA长长100mm，以角速度，以角速度=2rad/s转动。连杆转动。连杆AB带动摇杆带动摇杆CD，并拖动轮，并拖动轮E沿沿水平面纯滚动。水平面纯滚动。已知：已知：CD=3CB，图示位置时，
5、图示位置时A，B，E三点恰在一水三点恰在一水平线上，且平线上，且CDED。求：此瞬时点求：此瞬时点E的速度。的速度。解：解：1,研究研究AB(平面运动平面运动)2,研究研究CD(定轴转动定轴转动)3,研究研究DE(平面运动平面运动)刚体平面运动时求速度的步骤刚体平面运动时求速度的步骤1 选择研究对象，时刻选择研究对象，时刻2 在研究对象上画速度（在研究对象上画速度（任何已知的信息任何已知的信息,真实方向真实方向）3 选择求速度的方法选择求速度的方法4求解答案求解答案 若选取若选取速度为零的点速度为零的点速度为零的点速度为零的点作为作为基点，则求解速度问题的基点，则求解速度问题的计算会大大简化，
6、同时也计算会大大简化，同时也能求出图形的角速度。能求出图形的角速度。速度为零的点速度为零的点速度为零的点速度为零的点的存在性的存在性;下面讨论下面讨论:并要求容易寻找并要求容易寻找.三、速度瞬心法三、速度瞬心法只要只要 ，任一瞬时平面图形任一瞬时平面图形上都上都存在且唯一存在且唯一存在且唯一存在且唯一一个速度等于零的点一个速度等于零的点证证明明明明:（1 1）过点点A作直作直线。选A为基点，基点，则上任一点上任一点M的速度的速度因此因此,在在 平面平面图形的形的LL上必上必存在唯一存在唯一点点P ,其速度其速度为零。零。定理定理定理定理 某一瞬时平面图形上某一瞬时平面图形上速度等于零速度等于零
7、的点，称为图形在的点，称为图形在该瞬时该瞬时该瞬时该瞬时的的瞬时速度中心瞬时速度中心瞬时速度中心瞬时速度中心，简称，简称速度瞬心速度瞬心速度瞬心速度瞬心 。唯一性：唯一性：唯一性：唯一性：瞬时性：瞬时性：瞬时性：瞬时性：在某一瞬时，图形只有一个速度瞬心。在某一瞬时，图形只有一个速度瞬心。在不同瞬时，图形具有不同的速度瞬心。在不同瞬时，图形具有不同的速度瞬心。（2 2）过点点A 的其它直的其它直线上的点上的点 因因 和和不共不共线，故速，故速度均不度均不为零。零。定义定义定义定义 选A为基点，则 上任一点M的速度图示位置时,AB水平.只要 ，任一瞬时平面图形上都存在且唯一一个速度等于零的点过A、
8、B两点分别作速AB,BD均作平面运动由此可见，只要已知图形在某一瞬时的速度瞬心(1)研究AB,P为其速度瞬心度 、的垂线，两垂线之交点。试问(a),(b)两种情况下1和 2，1和2是否相等？练习:已知轮 ,轮在两种不同的固定面上纯滚动,求A,P点的加速度.若选取速度为零的点作为7-2 平面图形上各点的速度分析解:(1)研究车轮(平面运动),瞬心 为 C和图形角速度 。车轮上与地面的接触点A为速度瞬心。基点，则求解速度问题的 选取选取速度瞬心速度瞬心速度瞬心速度瞬心P P为基点，则平面为基点，则平面图形上任一点图形上任一点B的速度的速度等于该点随图等于该点随图形绕速度瞬心转动的速度形绕速度瞬心转
9、动的速度。由此可见，只要已知图形在某一瞬时的速度瞬心由此可见，只要已知图形在某一瞬时的速度瞬心位置和角速度，就可求出该瞬时图形上各点的速度。位置和角速度，就可求出该瞬时图形上各点的速度。方向：方向：大小：大小：BP，指向与，指向与 转向相一致。转向相一致。速度瞬心法速度瞬心法速度瞬心法速度瞬心法4.速度瞬心位置的确定速度瞬心位置的确定 (1).已知平面图形上一点已知平面图形上一点A的速度的速度 和图形角速度和图形角速度 。速度瞬心速度瞬心速度瞬心速度瞬心P P：过点过点A作作 的垂线的垂线，并取并取 。速度瞬心速度瞬心速度瞬心速度瞬心P P：过过A、B两点分别作速两点分别作速度度 、的垂线，两
10、垂线之交点。的垂线，两垂线之交点。(2).已知平面图形上任意两点已知平面图形上任意两点A、B的的 速度方向速度方向。确定速度瞬心位置第确定速度瞬心位置第确定速度瞬心位置第确定速度瞬心位置第(2)(2)种方法之种方法之种方法之种方法之特例特例特例特例：特例特例特例特例1 1 两垂线平行。两垂线平行。两垂线平行。两垂线平行。速度瞬心速度瞬心速度瞬心速度瞬心P P 在无穷远处，在无穷远处，在无穷远处，在无穷远处，。特例特例特例特例2 2 两垂线共线。两垂线共线。两垂线共线。两垂线共线。解：解：(1),研究研究AB已知已知：求：求：图示瞬示瞬时 练习练习3:用速度瞬心法求速度用速度瞬心法求速度固定面固
11、定面已知已知:半径为半径为R的车轮在水平固定面上纯滚动的车轮在水平固定面上纯滚动,轮心轮心O点点 的速度为的速度为 。求求:轮缘上点轮缘上点A、B、C、D的速度。的速度。解：解：车轮作平面运动。车轮作平面运动。车轮上与地面的接触点车轮上与地面的接触点车轮上与地面的接触点车轮上与地面的接触点A A为为为为速度瞬心速度瞬心速度瞬心速度瞬心。车轮的角速度为车轮的角速度为各点的速度方向如图所示。各点的速度方向如图所示。瞬时平动和平动瞬时平动和平动5.瞬心平动瞬心平动 曲柄肘杆压床机构曲柄肘杆压床机构已知：已知：OA=0.15m,n=300 rpm,AB=0.76m,BC=BD=0.53m.图图示位置时
12、示位置时,AB水平水平.求该位置时的、求该位置时的、及及 .解：解：OA,BC作定轴转动作定轴转动,AB,BD均作平面运动均作平面运动 根据题意根据题意:(1)研究研究AB,P为其速度瞬心为其速度瞬心(2)研究研究BD,P2为其速度瞬心为其速度瞬心,BDP2为等边三角形为等边三角形DP2=BP2=BD优点优点:可以快速求线速度可以快速求线速度缺点缺点:不能求图形的角速度不能求图形的角速度优点优点:既可求线速度既可求线速度,也可求图形的角速度也可求图形的角速度缺点缺点:计算比较繁琐计算比较繁琐总结总结:v基点法求速度基点法求速度v投影法求速度投影法求速度v瞬心法求速度瞬心法求速度优点优点:可以快
13、速求线速度可以快速求线速度,可求图形的角速度可求图形的角速度7-37-3平面图形上各点的加速度分析平面图形上各点的加速度分析随基点平随基点平动平面运平面运动相相对基点基点转动指向基点指向基点二二.求加速度的方法（求加速度的方法（1）-基点法基点法练习练习1:基点法基点法求加速度求加速度即若平面图形在运动过程中某瞬时的角速度等于零，则该瞬时图形上任意两点的加速度在这两点连线上的投影相等解:(1)研究车轮(平面运动),瞬心 为 C图所示的平面机构中，曲柄OA长100mm，以角速度可以在图形内找到一点Q，在此瞬时，相对加速度 大小恰与基点A的加速度等值反向，其绝对加速度 ,Q点就称为图形在该瞬时的加
14、速度瞬心优点:既可求线速度,也可求图形的角速度过点A作 的垂线，选取速度瞬心P为基点，则平面特例1 两垂线平行。特例2 两垂线共线。可求图形的角速度若选取速度为零的点作为某一瞬时平面图形上速度等于零的点，称为图形在图所示的平面机构中，曲柄OA长100mm，以角速度由此可见，只要已知图形在某一瞬时的速度瞬心若某瞬时图形=0,即瞬时平动,则有求：车轮的角加速度和轮上速度瞬心的加速度。优点:既可求线速度,也可求图形的角速度车轮沿直线滚动。已知车轮半径为车轮沿直线滚动。已知车轮半径为R，中心，中心O的速度为的速度为，加速度为，加速度为,车轮与地面接触无相对滑动。车轮与地面接触无相对滑动。求：车轮的角加
15、速度和轮上速度瞬心的加速度。求：车轮的角加速度和轮上速度瞬心的加速度。解解:(1)研究车轮研究车轮(平面运动平面运动),瞬心瞬心 为为 C(3)(3)选选为基点为基点,求求C C点的加速度点的加速度练习练习:已知已知轮轮 ,轮在两种不同的固定面上纯滚动轮在两种不同的固定面上纯滚动,求求A,P点的加速度点的加速度.v加速度投影定理加速度投影定理一般一般情况下，对于加速度情况下，对于加速度没有没有类似于速度投影定理的关系类似于速度投影定理的关系式式.即一般情况下即一般情况下,图形上任意两点图形上任意两点O,M的加速度的加速度 若某瞬若某瞬时图形形 =0,=0,即即瞬瞬时平平动,则有有即若平面即若平
16、面图形在运形在运动过程中某瞬程中某瞬时的角速度等于零，的角速度等于零，则该瞬瞬时图形上任意两点的加速度在形上任意两点的加速度在这两点两点连线上的投影上的投影相等相等瞬时平动和平动瞬时平动和平动v可以在图形内找到一点可以在图形内找到一点Q，在此瞬时，相对加速度在此瞬时，相对加速度 大小恰与基点大小恰与基点A的加速度等值反向，其绝对加速的加速度等值反向，其绝对加速度度 ,Q点就称为图形在该瞬时的加速度瞬心点就称为图形在该瞬时的加速度瞬心v加速度瞬心加速度瞬心v 由于加速度瞬心的位置不象由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那样易确定，且一速度瞬心那样易确定，且一 般情况下又不存在类似于速度般情况下又不存
17、在类似于速度投影定理的关系式，故常采用投影定理的关系式，故常采用基点法求图形上各点的加速度基点法求图形上各点的加速度或图形角加速度或图形角加速度选取研究对象选取研究对象加速度的图形加速度的图形（有的方向是假设；有的方向是派生；有的方向是确定）（有的方向是假设；有的方向是派生；有的方向是确定）如果加速度中有要求的速度量，调用速度求解如果加速度中有要求的速度量，调用速度求解求出未知量求出未知量求解求解刚体平面运体平面运动上点的加速度上点的加速度问题的的一般步一般步骤:加速度基点法加速度基点法已知已知O1A=O2B,图示瞬时图示瞬时 O1A/O2B试问试问(a),(b)两种情况下两种情况下 1和和 2，1和和 2是否相等？是否相等？(a)(b)练习练习2:求加速度求加速度(a)(b)已知滚子纯滚动已知滚子纯滚动,OA=AB=R=2r=1m,=2rad/s;求图示瞬时点求图示瞬时点B和点和点C的速度和加速度的速度和加速度.解解:此瞬时此瞬时,AB杆瞬时平动杆瞬时平动