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1、2023年2月19日1第第4 4章章 刚体的平面运动刚体的平面运动主要研究刚体运动方程以及刚体上不同点主要研究刚体运动方程以及刚体上不同点的运动量关系。可采用复合运动方法。的运动量关系。可采用复合运动方法。2023年2月19日2一、工程实例与概念一、工程实例与概念汽车车轮的运动汽车车轮的运动2023年2月19日3自行车车轮的运动自行车车轮的运动2023年2月19日4车轮的运动车轮的运动2023年2月19日5上料机械手上料机械手2023年2月19日62023年2月19日7行星轮机构行星轮机构2023年2月19日8行星轮机构行星轮机构2023年2月19日9行星轮机构行星轮机构2023年2月19日1
2、0曲柄连杆机构曲柄连杆机构2023年2月19日11例如曲柄连杆机构中的连杆例如曲柄连杆机构中的连杆AB 的运动的运动,其中点其中点A作圆周运动，点作圆周运动，点B作直线运动，作直线运动，因此，连杆因此，连杆AB 的运动既不是平移也不的运动既不是平移也不是定轴转动，而是一种复杂运动是定轴转动，而是一种复杂运动定义定义:在刚体运动过程中，体内任意在刚体运动过程中，体内任意点到某一固定平面之间的距离始终保点到某一固定平面之间的距离始终保持不变。即刚体上任一点都在与该固持不变。即刚体上任一点都在与该固定平面平行的某个平面内运动定平面平行的某个平面内运动.2023年2月19日121.1.平面运动的简化平
3、面运动的简化平面图形二、刚体平面运动的研究方法二、刚体平面运动的研究方法刚体的平面运动可以简化刚体的平面运动可以简化为平面图形为平面图形S 在其自身平在其自身平面内的运动面内的运动.即在研究平即在研究平面运动时，不需考虑刚体面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究的形状和尺寸，只需研究平面图形平面图形S 的运动。的运动。2023年2月19日13 2.2.刚体的平面运动方程刚体的平面运动方程 平面图形平面图形S 的位置，只需确定的位置，只需确定S 内任意一条线段的位置而内任意一条线段的位置而任意线段任意线段AB的位置可以用其的位置可以用其上点上点A的坐标和线段的坐标和线段AB与与x轴轴的夹角
4、表示因此平面图形的夹角表示因此平面图形S 的位置决定于的位置决定于 三个三个独立独立的的参变量。参变量。2023年2月19日14称为刚体平面运动方程称为刚体平面运动方程 对于每一瞬时对于每一瞬时 t，都可以求出对应的，都可以求出对应的,平面图形平面图形S 在该瞬时的位置也就确定了。在该瞬时的位置也就确定了。2023年2月19日153.3.平面运动分解为平移和转动平面运动分解为平移和转动当平面图形当平面图形上的点上的点不动时，则刚体作定轴转动，不动时，则刚体作定轴转动，平面图形的平面运动（绝对运动）可以看成是平面图形平面图形的平面运动（绝对运动）可以看成是平面图形一方面随基点一方面随基点A A的
5、平移（牵连运动），另一方面图形又绕的平移（牵连运动），另一方面图形又绕基点的转动（相对运动）的合成运动。基点的转动（相对运动）的合成运动。当平面图形当平面图形上上 的角的角 不变时，则刚体作平移。不变时，则刚体作平移。称点称点A为基点为基点2023年2月19日162023年2月19日172023年2月19日18车轮的运动分解车轮的运动分解车轮的平面运动可以看成车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢的平移和是车轮随同车厢的平移和相对车厢的转动的合成相对车厢的转动的合成 车轮相对定系（车轮相对定系（Oxy）的平面运动（绝对运动）的平面运动（绝对运动）车厢（动系车厢（动系 A x y )相对定系的平移
6、（牵连运动）相对定系的平移（牵连运动）车轮相对车厢（动系车轮相对车厢（动系 A x y )的转动（相对运动）的转动（相对运动）2023年2月19日192023年2月19日20转动部分的角度、角速度、角加速度转动部分的角度、角速度、角加速度与基点的选择无关。与基点的选择无关。平移部分的轨迹、速度与加速度都与基点的选择有关。平移部分的轨迹、速度与加速度都与基点的选择有关。2023年2月19日21AB杆平面运动的分解杆平面运动的分解2023年2月19日22 关于关于关于关于刚体平面运动分解为平移和转动的方法刚体平面运动分解为平移和转动的方法刚体平面运动分解为平移和转动的方法刚体平面运动分解为平移和转
7、动的方法:1)1)基点可以任选基点可以任选(通常选运动情况已知的点通常选运动情况已知的点)；2)2)在基点上在基点上建立平移坐标系建立平移坐标系 (特定的动系特定的动系););3)3)刚体平面运动可以分解为平面图形刚体平面运动可以分解为平面图形S 随基随基点的平移点的平移 (与基点的选择有关与基点的选择有关)，以及平面图，以及平面图形形S 相对于基点的转动相对于基点的转动(与基点的选择无关与基点的选择无关)。2023年2月19日23三、平面图形上各点的速度与加速度分析三、平面图形上各点的速度与加速度分析三、平面图形上各点的速度与加速度分析三、平面图形上各点的速度与加速度分析1 1 1 1 基点
8、法基点法基点法基点法1)1)1)1)速度：速度：速度：速度：2023年2月19日242)2)加速度加速度注意注意:式中式中A、B两点应是同一两点应是同一 平面图形平面图形上的不同两点上的不同两点.2023年2月19日25OBAvOaO例例1 1 半径为半径为R的的圆轮在直线圆轮在直线轨道上作纯滚动。轮心速度轨道上作纯滚动。轮心速度为为vO 、加速度为加速度为aO。求：求：1.1.轮与地面接触轮与地面接触点点A的的加速度加速度;2.2.轮缘上轮缘上B点的加速度。点的加速度。2023年2月19日26例例2 2 图示为图示为曲柄连杆机构曲柄连杆机构,已已知知:OA=r,AB=l,。求：求：1.1.连
9、杆连杆AB的角的角速度速度AB和滑块和滑块B B的速度的速度vB ;2.2.连杆连杆AB的角加的角加速度速度AB和滑块和滑块B的加速度的加速度aB。2023年2月19日272 2 2 2 瞬心法瞬心法瞬心法瞬心法基点法的特殊形式之一。基点法的特殊形式之一。基点法的特殊形式之一。基点法的特殊形式之一。问：问：问：问：基点可任选，选什么基点，公式最简？基点可任选，选什么基点，公式最简？答：答：答：答：选选S上速度或加速度为零的点。上速度或加速度为零的点。速度瞬心速度瞬心Cv、某瞬时某瞬时S上速度为零的点。上速度为零的点。加速度瞬心加速度瞬心Ca 某瞬时某瞬时S上加速度为零的点。上加速度为零的点。取
10、瞬心取瞬心为基点研究平面图形上各点为基点研究平面图形上各点速度或加速速度或加速度的方法叫瞬心法。度的方法叫瞬心法。2023年2月19日28解：解：解：解：1)1)速度瞬心法速度瞬心法2023年2月19日29速度瞬心位置的确定速度瞬心位置的确定过过A,B两点分别作速度两点分别作速度 的垂线的垂线,交点就是该瞬间的速交点就是该瞬间的速度瞬心度瞬心Cv 。已知某瞬间平面图形上已知某瞬间平面图形上A,B两点速度两点速度 的方向的方向,且且 。2023年2月19日302023年2月19日312023年2月19日322023年2月19日334545o o9090o o9090o o 0O1OBAD例例3
11、3 在图示四连杆机构中在图示四连杆机构中OA以以 0绕绕O轴转动。轴转动。求：求：1、AB杆的角速度；杆的角速度；2、B和和D点的速度。点的速度。2023年2月19日34连接连接A，B与两速度末端，两线与两速度末端，两线段的交即为图形的速度瞬心段的交即为图形的速度瞬心Cv。已知某瞬时图形上已知某瞬时图形上A,B两点速度两点速度 同同向不等值向不等值,或反向，且或反向，且 2023年2月19日352023年2月19日36下接下接 例例442023年2月19日37行星轮机构行星轮机构2023年2月19日38若若vAvB，如右图所示。，如右图所示。则也是瞬时平移。则也是瞬时平移。此时此时,平面图形平
12、面图形的瞬心的瞬心Cv在无穷远处在无穷远处,平面图形平面图形的角速度的角速度 =0,图形上各点速度相图形上各点速度相 等等,这种情况称为瞬时平移。这种情况称为瞬时平移。已知某瞬时已知某瞬时平面图形平面图形上上A,B两点的速度两点的速度 平行等值。平行等值。2023年2月19日392023年2月19日40 曲柄连杆机构在图示位置时，连杆曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平移作瞬时平移此时连杆此时连杆BC的图形角速度的图形角速度 ，BC杆上各杆上各点的速度都相等点的速度都相等.但各点的加速度并不相等。但各点的加速度并不相等。2023年2月19日412023年2月19日42平面图形沿固定面做纯
13、滚动，平面图形沿固定面做纯滚动，其接触点即为速度瞬心其接触点即为速度瞬心Cv 。2023年2月19日43试画出图示作平面运动的构件的速度瞬心试画出图示作平面运动的构件的速度瞬心位置以及角速度的转向（轮子作纯滚）。位置以及角速度的转向（轮子作纯滚）。1.1.轮轮O作平面运动，作平面运动，C为其速度瞬心。为其速度瞬心。2.2.杆杆AB作平面运动作平面运动,C2为其速度瞬心。为其速度瞬心。2023年2月19日441.1.轮轮C作平面运动，作平面运动，C1为其速度瞬心，为其速度瞬心，C。2.2.BD作平面运动，作平面运动，C2为其速度瞬心，为其速度瞬心，BD。3.3.AB作平面运动，作平面运动，C3为
14、其速度瞬心，为其速度瞬心，AB。2023年2月19日45 平平面面图图形形在在任任一一瞬瞬时时的的运运动动可可以以视视为为绕绕速速度度瞬瞬心心的的瞬瞬时时转转动动，速速度度瞬瞬心心又又称称为为平平面面图图形形的的瞬瞬时时转转动动中中心心。若若点点C 为为速速度度瞬瞬心心，则则任任意意一一点点A的的速速度度大大小小为为 方方向向 A C，指指向与向与 一致。一致。2023年2月19日46 关于速度瞬心的几点小结关于速度瞬心的几点小结 1.1.瞬瞬心心在在平平面面图图形形上上的的位位置置不不是是固固定定的的，而而是是随随时时间间不不断断变变化化的的。但但在在任任一一瞬瞬时时是是唯唯一一存存在的。在
15、的。2.2.瞬心可在平面图形内瞬心可在平面图形内,也可在图形以外也可在图形以外.3.3.速速度度瞬瞬心心处处的的速速度度为为零零,但但加加速速度度不不一一定定为零。为零。4.4.刚刚体体作作瞬瞬时时平平移移时时，虽虽然然各各点点的的速速度度相相同，但各点的加速度不相同。同，但各点的加速度不相同。2023年2月19日47解：解：解：解：2023年2月19日48解：解：解：解：2023年2月19日49解：解：解：解：2023年2月19日50解：解：解：解：2023年2月19日512)2)2)2)加速度瞬心法加速度瞬心法加速度瞬心法加速度瞬心法2023年2月19日522023年2月19日53 线性分
16、布2023年2月19日543 3 3 3 投影法投影法投影法投影法问：问：问：问：基点法公式基点法公式 在任何方向的投影式成立，在任何方向的投影式成立，在何方向获得最简形式？在何方向获得最简形式？2023年2月19日55思考思考思考思考:下列运动是否可能下列运动是否可能下列运动是否可能下列运动是否可能?2023年2月19日562023年2月19日57解：解：解：解：2023年2月19日58 1.1.一般情况下一般情况下,加速度瞬心与速度瞬心不是同加速度瞬心与速度瞬心不是同一点一点 2.2.一般情况下，对于加速度没有类似于速度投一般情况下，对于加速度没有类似于速度投影定理的关系式影定理的关系式.
17、即一般情况下即一般情况下,图形上任意两点图形上任意两点A,B 的加速度：的加速度：关于加速度瞬心的几点小结关于加速度瞬心的几点小结2023年2月19日59 3.3.由由于于加加速速度度瞬瞬心心的的位位置置不不象象速速度度瞬瞬心心那那样样容容易易确确定定，且且一一般般 情情况况下下不不存存在在类类似似于于速速度度投投影影定定理理的的关关系系式式，故故常常采采用用基基点点法法求求平面图形平面图形上各点的加速度或上各点的加速度或图形的图形的角加速度。角加速度。若某瞬时若某瞬时平面图形平面图形 =0,即瞬时平移即瞬时平移,则有则有2023年2月19日601 1 1 1 一般分析思路一般分析思路一般分析
18、思路一般分析思路1)1)分析要素分析要素2)2)分析途径分析途径结点分析结点分析：铰铰.瞬时重合点（移动瞬时重合点（移动?）,无滑滚动无滑滚动刚体分析刚体分析:两点运动关系两点运动关系顺次求解顺次求解迂回求解迂回求解四、平面机构的运动分析四、平面机构的运动分析 2023年2月19日613)3)机构类型机构类型铰联式铰联式铰联、滑移式铰联、滑移式行星轮系行星轮系（含滑动联结的平面机构）各运动构件之间铰联，在铰接点两物体的速度和各运动构件之间铰联，在铰接点两物体的速度和加速度均相同。加速度均相同。（含铰联与无滑动滚动）（含铰联与无滑动滚动）2023年2月19日62曲柄滚轮机构曲柄滚轮机构2023年
19、2月19日63分析分析:要想求出滚轮的要想求出滚轮的,先要求出先要求出vB,aB.例例1 1 已知已知:OA=R=15cm,曲柄转速曲柄转速 n=60 r/min。求：当求：当 =60时时 (OA AB),滚轮的滚轮的，2023年2月19日64解：解：研究研究AB：C1，C2 分别为杆分别为杆AB和轮的速度瞬心和轮的速度瞬心C12023年2月19日65将上式向将上式向x方向投影，得方向投影，得式中式中2023年2月19日662023年2月19日672023年2月19日682023年2月19日69双曲柄机构双曲柄机构2023年2月19日70例例3 3 已知：已知：OA=0.15m,n=300 r
20、/min,AB=0.76m,BC=BD=0.53m.图示位置时图示位置时,ABAB水平水平.求该位置时的求该位置时的 、及及 .2023年2月19日712023年2月19日72例例4 4 已知已知:图示瞬时图示瞬时,O点在点在AB中点中点,=60,BC AB,O,C在同一水平线上在同一水平线上,AB=20cm,vA=16cm/s 。求求:该瞬时该瞬时AB杆杆,BC杆的角速度及滑块杆的角速度及滑块C的速度。的速度。2023年2月19日73由于由于 沿沿AB,所以所以 其方向沿其方向沿AB。从而确定了从而确定了AB杆上与杆上与O点接触点的速度方向。点接触点的速度方向。解解:取点取点O为动点，动系固
21、连在杆为动点，动系固连在杆AB上，有上，有2023年2月19日74研究研究AB,C1为其速度瞬心为其速度瞬心2023年2月19日75研究研究BC,以以B为基点，有为基点，有1个动点个动点2个基点的例个基点的例2023年2月19日76 行星轮机构行星轮机构2023年2月19日77砂轮轴线2023年2月19日78砂轮轴线2023年2月19日79砂轮轴线2023年2月19日80砂轮轴线2023年2月19日811 1、问题的引入、问题的引入引例：已知：引例：已知：r,0=常数常数 ,AB OA,试用两种方法求点试用两种方法求点B的速度的速度.（1 1）基点法；）基点法；（2 2）点的速度合成法。）点的
22、速度合成法。OAB 0rr五、五、刚体绕平行轴转动的合成刚体绕平行轴转动的合成2023年2月19日822023年2月19日83OAB 0rrxyx y 1)1)基点法：基点法：取取A为基点，即以为基点，即以A为原点建立图示平移坐标系。为原点建立图示平移坐标系。行星轮的平面运动（绝对运动）行星轮的平面运动（绝对运动）行星轮随动系的行星轮随动系的平移平移（牵连运动）（牵连运动）行星轮相对动系的行星轮相对动系的转动转动（相对运动）（相对运动）+此时，有此时，有:a=r a=r2023年2月19日84OAB 0rrxyx y 2)2)点的速度合成法：点的速度合成法：行星轮的平面运动（绝对运动）行星轮的
23、平面运动（绝对运动）行星轮随动系的定轴行星轮随动系的定轴转动转动（牵连运动）（牵连运动）行星轮相对动系的行星轮相对动系的转动转动（相对运动）（相对运动）+有必要研究有必要研究a，e 和和 r之间的关系。之间的关系。此时，此时，a=r 不再成立不再成立。取取B为动点，将动系固连在杆为动点，将动系固连在杆OA上。上。2023年2月19日85axy刚体绕两平行轴转动时，刚体绕两平行轴转动时，刚体的绝对转角等于它刚体的绝对转角等于它随动系的牵连转角与相随动系的牵连转角与相对动系的相对转角的对动系的相对转角的代代数和数和。O1O2x y 1)1)三种转角之间的关系三种转角之间的关系2 2 三种转角三种转
24、角 角速度及角加速度之间的关系角速度及角加速度之间的关系rax y eO2er2023年2月19日86刚体的绝对角速度等于它随动系的牵连角速度刚体的绝对角速度等于它随动系的牵连角速度与相对动系的相对角速度的与相对动系的相对角速度的代数和代数和。刚体的绝对角加速度等于它随动系的牵连角加速刚体的绝对角加速度等于它随动系的牵连角加速度与相对动系的相对角加速度的度与相对动系的相对角加速度的代数和代数和。2)2)三种角速度及角加速度之间的关系三种角速度及角加速度之间的关系2023年2月19日87 过速度瞬心过速度瞬心C，与牵连轴，与牵连轴O1及相对轴及相对轴O2平行的轴称为瞬时轴。平行的轴称为瞬时轴。（
25、1 1）当）当 e 与与 r同向时，同向时，瞬时轴的位置可由瞬时轴的位置可由 3)3)刚体瞬时轴的确定刚体瞬时轴的确定 设：设：O1C=h1，O2C=h2 即即 h1 e=h2 r 得得当当 e 与与 r同向转动时，瞬时轴内分两轴间的距离，内分比同向转动时，瞬时轴内分两轴间的距离，内分比与两角速度大小成反比。与两角速度大小成反比。O1O2erCh1h22023年2月19日88(2)当当 e e 与与 r r反向，且反向，且 e e r r时时,当当 e e 与与 r r反向，且反向，且 e e r r 时时 ，同样有上式成立。，同样有上式成立。O1O2er设：设：O1C=h1 O2C=h2 瞬
26、时轴的位置仍可由瞬时轴的位置仍可由 当当 e e 与与 r r反向转动时，瞬时轴外分两轴间的距离，在较反向转动时，瞬时轴外分两轴间的距离，在较大角速度的轴的外侧，外分比与两角速度大小成反比。大角速度的轴的外侧，外分比与两角速度大小成反比。Ch1h2即即 h1 e=h2 r 得得2023年2月19日89(3)e e 与与 r r反向，且反向，且e=r 时时，a=e-r 0 刚体平移刚体平移O1O2er刚体的这种运动称为刚体的这种运动称为转动偶转动偶。当当 e e 与与 r r等值且反向转动时，等值且反向转动时，刚体的合成运动为平移刚体的合成运动为平移。2023年2月19日902023年2月19日
27、91例例1 杆杆OA的角速度为的角速度为，各轮半径均为各轮半径均为r,轮轮1 1固定固定。求求:轮轮3 3上点上点M（AMOA）的速度的速度vM，加速度加速度aM。M 123OAB2023年2月19日92vM=vA=4r aM=aA=4r 2 2又点又点C1为轮为轮2 2的速度瞬心的速度瞬心于是有于是有vD=2vB=4r=vA解：解：已知已知vB=2r,vA=4r可知轮可知轮3 3为转动偶，故有：为转动偶，故有：M 123OABvDvAC1DvB2023年2月19日93OAB 0rr例例2 2 已知：已知：r,0=常数常数 ,AB OA,试用两种方法求点试用两种方法求点B B的速度。的速度。（
28、1 1）基点法；）基点法；（2 2）点的合成运动法。）点的合成运动法。2023年2月19日94OAB 0rr解解1 1 基点法：基点法：取取A为基点，研究点为基点，研究点B 1a=2 0vAvAvBA由速度四边形，得由速度四边形，得vBCx y 1a2023年2月19日95OAB 0rr解解2 2 点的速度合成法：点的速度合成法：取取B为动点，动系固连在杆为动点，动系固连在杆OA上，上，1rvevr由于瞬时轴由于瞬时轴C C位于两轴之间位于两轴之间,故故 1r 与与 0 0 同向，同向，Cx y 1r=02023年2月19日96OAB 0rr 1rCyvevr vax2023年2月19日97M
29、 0 0123OAB 1 1OAB 0rr 0思考题思考题如何求行星轮的如何求行星轮的a 和和 r?有否更简便的方法求有否更简便的方法求 a 和和 r?介绍反转法介绍反转法2023年2月19日98六、点在平面运动参考系中的合成运动六、点在平面运动参考系中的合成运动六、点在平面运动参考系中的合成运动六、点在平面运动参考系中的合成运动1 1 速度合成速度合成2 2 加速度合成加速度合成2023年2月19日99导槽滑块机构导槽滑块机构导槽滑块机构导槽滑块机构2023年2月19日1002 2）应用平面运动方法确定）应用平面运动方法确定AE上上A、C 点之间速度关系点之间速度关系。例例1 1 导槽滑块机
30、构导槽滑块机构 图示瞬时图示瞬时,杆杆AB速度速度 ，杆，杆CD速度速度 及及 角已知，且角已知，且AC=l ,求求:导槽导槽AE的角速度。的角速度。解：解：1 1）应用点的合成运动方法应用点的合成运动方法 取取CD杆上杆上C为动点，动系固结于为动点，动系固结于AE，动系平面运动动系平面运动。2023年2月19日101 将式将式 (2 2)代入式代入式(1 1)得得 作速度图投至作速度图投至 轴，且轴，且vCv，vAu 2023年2月19日102导槽滑块机构导槽滑块机构2023年2月19日103例例2 2 曲柄曲柄OA=r,匀角速度匀角速度 转动转动,连杆连杆ABAB的中点的中点C C处连接滑
31、块处连接滑块C C可沿导可沿导槽槽O1D滑动滑动,AB=l,图示瞬时图示瞬时O,A,O1三点三点在同一水平线上在同一水平线上,OA AB,AO1C=30。求：该瞬时求：该瞬时O1D的角速度的角速度2023年2月19日104解：解：杆杆OA,O1D均作定轴转动均作定轴转动,杆杆AB作平面运动作平面运动研究研究AB:,图示图示位置位置,作瞬时平移作瞬时平移,所以所以用合成运动方法用合成运动方法求杆求杆O1D上与滑块上与滑块C 接触的点的速度接触的点的速度动点动点:杆杆AB上上C(或滑块或滑块C),动系动系:固连在杆固连在杆O1D上上,2023年2月19日105根据，作速度图根据，作速度图2023年
32、2月19日106模块五：动力学普遍定理模块五：动力学普遍定理1动力学普遍定理中涉及的物理量一共有几种动力学普遍定理中涉及的物理量一共有几种?这些物理量的物理意义分别是什么？它们的表达式是什么？这些物理量的物理意义分别是什么？它们的表达式是什么？2在动力学普遍定理中，这些物理量的对应关系是什么？在动力学普遍定理中，这些物理量的对应关系是什么？各定理分别从哪个方面来揭示这些物理量的关系？具体表各定理分别从哪个方面来揭示这些物理量的关系？具体表达式是什么？（定义式、刚体情形、守恒形式等）达式是什么？（定义式、刚体情形、守恒形式等）3质点系对固定点的动量矩与对运动点的动量矩的关系质点系对固定点的动量矩与对运动点的动量矩的关系是什么？质点系对固定点的动量矩定理与对运动点的动量是什么？质点系对固定点的动量矩定理与对运动点的动量矩定理的关系是什么？矩定理的关系是什么？4普遍定理的综合应用的习题类型有哪些？相应的求解普遍定理的综合应用的习题类型有哪些？相应的求解方式又如何？方式又如何？