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1、理论力学1 81 刚体平面运动的概述和运动分解刚体平面运动的概述和运动分解 82 求平面图形内各点速度的基点法求平面图形内各点速度的基点法 83 求平面图形内各点速度的瞬心法求平面图形内各点速度的瞬心法 84 用基点法求用基点法求 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度 85 运动学综合应用举例运动学综合应用举例第八章第八章 刚体的平面运动刚体的平面运动2理论力学3 前面讨论了平移与定轴转动这两种刚体的基本运动，然而工程中除了这两种简单的运动外，刚体的平面运动也是工程上常见的一种运动，这是一种较为复杂的运动。可以在研究刚体的平移和定轴转动的基础上，通过运动合成和分解的方法，将平面运动分解
2、为上述两种基本运动。本章将分析刚体平面运动的分解，应用合成运动的理论，分析平面运动刚体的角速度、角加速度以及平面运动刚体上点的速度和加速度。理论力学41.平面运动实例平面运动实例8-1 8-1 刚体平面运动概述和运动分解刚体平面运动概述和运动分解理论力学52.平面运动的定义平面运动的定义8-1 8-1 刚体平面运动概述和运动分解刚体平面运动概述和运动分解 在运动过程中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相在运动过程中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为等的距离，这种运动称为平面运动平面运动。也就是说，刚体上任一点都。也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的某
3、一平面内运动在与该固定平面平行的某一平面内运动理论力学6 在在运运动动中中，刚刚体体上上的的任任意意一一点点与与某某一一固固定定平平面面始始终终保持相等的距离，这种运动称为保持相等的距离，这种运动称为平面运动。平面运动。理论力学7 3平面运动的简化平面运动的简化用一个平行于固定平面的平面来截平面运动刚体，得截面S，它是一个平面图形。过平面图形上任意一点A作垂直于图形的直线A1A2，显然直线A1A2作平移，因此A点的运动完全可以代表直线A1A2的运动；平面图形S的运动也就代表了整个刚体的运动。因此，刚体的平面运动可以简化为平面刚体的平面运动可以简化为平面图形图形S在其自身平面内的运动。在其自身平
4、面内的运动。理论力学8刚体的平面运动刚体的平面运动平面图形平面图形S在其在其自身平面内的运动自身平面内的运动到固定平面到固定平面的距离不变的距离不变平面图形平面图形S在与在与平行的平面平行的平面内运动内运动简简化化不需考虑刚体的形状和尺寸，只不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究平面图形的运动，确定平需研究平面图形的运动，确定平面图形上各点的速度和加速度。面图形上各点的速度和加速度。研究平面运动研究平面运动理论力学理论力学10 4平面运动方程平面运动方程为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定平面图形内任意一条线段的位置。我们只需确定平面图形
5、内任意一条线段的位置。任意线段任意线段AB的位置可的位置可用用A点的坐标和点的坐标和AB与与x轴夹轴夹角表示。因此图形角表示。因此图形S 的位的位置决定于三个置决定于三个独立的参变量。所以独立的参变量。所以理论力学115.5.平面运动分解为平移和转动平面运动分解为平移和转动 当图形当图形S 上上点不动时，点不动时，则刚体作定轴转动；则刚体作定轴转动；当图形当图形 S上上 角不变时，角不变时，则刚体作平移。则刚体作平移。故故刚体平面运动可以看成是刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动平动和转动的合成运动。平面运动方程平面运动方程对于每一瞬时对于每一瞬时 t，都可以求出对应的，都可以求出对应的
6、，图形图形S在该瞬时的位置也就确定了。在该瞬时的位置也就确定了。理论力学12 车轮的平面运动可以看成是车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢的平移和相对车厢车轮随同车厢的平移和相对车厢的转动的合成。的转动的合成。车轮对于静系的平面运动车轮对于静系的平面运动 （绝对运动）（绝对运动）动系动系Ax y 相对静系的平移相对静系的平移 （牵连运动）（牵连运动）车轮相对动系车轮相对动系Ax y 的转动的转动 （相对运动）（相对运动）例如车轮的运动例如车轮的运动三种运动都三种运动都是刚体运动是刚体运动理论力学13 我们称动系上的原点我们称动系上的原点为基点，于是为基点，于是车轮的平面运动车轮的平面运动随基点
7、随基点A的平移的平移绕基点绕基点A的转动的转动刚体的平面运动可以分刚体的平面运动可以分解为随基点的平移（牵解为随基点的平移（牵连运动）和绕基点的转连运动）和绕基点的转动（相对运动）。动（相对运动）。理论力学14曲柄连杆机构曲柄连杆机构AB杆作平面运动杆作平面运动平面运动的分解平面运动的分解再例如再例如:平面图形平面图形在在 时间内从位置时间内从位置I运动到位置运动到位置II以以A为基点为基点:随基点随基点A平动到平动到AB后后,绕基点转绕基点转 角到角到AB以以B为基点为基点:随基点随基点B平动到平动到AB后后,绕基点转绕基点转 角到角到AB图中看出：图中看出：AB AB AB，于是有，于是有
8、15 所以，所以，平面运动随基点平动的运动规律与基点的平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关。(即即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的在同一瞬间，图形绕任一基点转动的 ,都是相同的）都是相同的）基点的选取是任意的基点的选取是任意的。(通常选取运动情况已知的点作通常选取运动情况已知的点作为基点为基点)16理论力学17刚体的平面运动刚体的平面运动随基点的平移随基点的平移绕基点的转动绕基点的转动分分 解解合成合成基基点点运动规律与基运动规律与基点的选择点的选择有关有关任意选取，任意选取，通常选取通常选取运动情况已知的运动
9、情况已知的点作为基点点作为基点运动规律与基运动规律与基点的选择点的选择无关无关、与与基点无关基点无关18一、基点法（速度合成法）一、基点法（速度合成法）已知：图形已知：图形S内一点内一点A的速度的速度 ，图形角速度图形角速度 。求求 。8-2 8-2 平面图形内点的速度分析平面图形内点的速度分析A取取A A为基点为基点,将动系固结于将动系固结于A A点点,动系作平动。动系作平动。B其中即即平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和点转动速度的矢量和。这种求解速度的方法称为。这种求解速度的方法称为基点法基点法，也称为
10、，也称为速速度合成法度合成法。理论力学19 由于由于A,B点是任意的，因此点是任意的，因此 表示了图形上任表示了图形上任意两点速度间的关系。由于恒有意两点速度间的关系。由于恒有 ，因此将上式在，因此将上式在AB上投影，有上投影，有速度投影定理速度投影定理平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影相等平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影相等。这种。这种求解速度的方法称为求解速度的方法称为 速度投影法。速度投影法。（对任意一个刚体均成立）（对任意一个刚体均成立）二、速度投影法（对任意一个刚体均成立）二、速度投影法（对任意一个刚体均成立）理论力学20 例8-1 椭圆规尺的A端以速度vA沿x
11、 轴的负向运动，如图所示，AB=l。求：B端的速度以及尺AB的角速度。理论力学21解：1、AB作平面运动 基点：A理论力学22 例8-2如图所示平面机构中，AB=BD=DE=l=300mm。在图示位置时，BDAE，杆AB的角速度为=5rad/s。求：此瞬时杆DE的角速度和杆BD中点C的速度。理论力学23解：1、BD作平面运动 基点：B理论力学24理论力学25 例8-3曲柄连杆机构如图所示，OA=r,AB=。如曲柄OA以匀角速度转动。理论力学26解：1、AB作平面运动 基点：A0Bv=0j=o理论力学27例8-4 如图所示的行星轮系中，大齿轮固定，半径为r1，行星齿轮沿轮只滚而不滑动，半径为r2
12、。系杆OA角速度为。求：轮的角速度及其上B，C 两点的速度。理论力学28解:1、轮作平面运动 基点：A。理论力学29、。理论力学30例8-5 如图所示的平面机构中，曲柄OA长100mm，以角速度=2rad/s转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E沿水平面纯滚动。已知：CD=3CB，图示位置时A，B，E三点恰在一水平线上，且CDED。求：此瞬时点E的速度。理论力学31解：1、AB作平面运动理论力学322、CD作定轴转动，转动轴：C3、DE作平面运动理论力学33 若选取若选取速度为零速度为零速度为零速度为零的点的点的点的点作为基点，作为基点，则求解速度问题的计算会大大简化，则求解速度问题的计算会大
13、大简化，同时也能求出图形的角速度。同时也能求出图形的角速度。l l 基点法基点法基点法基点法l l 速度投影法速度投影法速度投影法速度投影法特点：特点：特点：特点：既能求速度，也能求既能求速度，也能求既能求速度，也能求既能求速度，也能求 ，但不能明显反映速度分布的规律。求解，但不能明显反映速度分布的规律。求解，但不能明显反映速度分布的规律。求解，但不能明显反映速度分布的规律。求解复杂。复杂。复杂。复杂。特点：特点：特点：特点：计算简便，但无法求出图形的角速度计算简便，但无法求出图形的角速度计算简便，但无法求出图形的角速度计算简便，但无法求出图形的角速度 。A为基点为基点理论力学34 三、速度瞬
14、心法三、速度瞬心法 只要只要 ，任一瞬时平面图形上都任一瞬时平面图形上都唯一存在唯一存在唯一存在唯一存在一个速度等于零的点。一个速度等于零的点。证明证明证明证明:（存在性）（存在性）（存在性）（存在性）当点当点M在在AL上时，其速度大小可表示为上时，其速度大小可表示为因此，在因此，在AL上必存在一点上必存在一点P ，其速度为零。，其速度为零。定理：定理：特点：特点：速度为零的点速度为零的点P在在A点速度的垂线上。点速度的垂线上。理论力学35唯一性：唯一性：瞬时性瞬时性：在某一瞬时，图形只有一个速度瞬心。在某一瞬时，图形只有一个速度瞬心。在不同瞬时，速度瞬心在平面图形上在不同瞬时，速度瞬心在平面
15、图形上的位置不同。的位置不同。唯一性自己证明。唯一性自己证明。速度瞬心速度瞬心（intant center for velocities)某瞬时，平面图形上速度为零的点某瞬时，平面图形上速度为零的点。车轮在地面上纯滚动车轮在地面上纯滚动理论力学36方向：方向：选取选取速度瞬心速度瞬心速度瞬心速度瞬心P P为基点，则平面为基点，则平面图形上任一点图形上任一点B的速度的速度 由此可见，只要已知在某一瞬时平面图形速度瞬心的位置由此可见，只要已知在某一瞬时平面图形速度瞬心的位置和平面图形的角速度，就可求出该瞬时图形上各点的速度。和平面图形的角速度，就可求出该瞬时图形上各点的速度。大小：大小：BP，指向
16、与，指向与 转向相一致转向相一致。形绕速度瞬心转动的速度形绕速度瞬心转动的速度。速度瞬心法速度瞬心法速度瞬心法速度瞬心法等于该点随图等于该点随图理论力学37过速度瞬心过速度瞬心P的任一直线上各点的速度分布有何的任一直线上各点的速度分布有何特点特点？就就速度分布速度分布速度分布速度分布而言，平而言，平面图形的运动面图形的运动可视为可视为绕该瞬时的速度瞬心绕该瞬时的速度瞬心绕该瞬时的速度瞬心绕该瞬时的速度瞬心作瞬时转动作瞬时转动作瞬时转动作瞬时转动。与图形绕定轴转动时的速度分布类似。与图形绕定轴转动时的速度分布类似。与图形绕定轴转动时的速度分布类似。与图形绕定轴转动时的速度分布类似。思考思考思考思
17、考 理论力学38解：解：例例：曲柄曲柄OA以匀角速度以匀角速度 转动。求当转动。求当 =60时，时，滑块滑块B的速度及连杆的速度及连杆AB的角速度。的角速度。研究连杆研究连杆A B：（1 1）速度瞬心可以位于平面运动刚体之上，）速度瞬心可以位于平面运动刚体之上，也可以位于其延展体上。也可以位于其延展体上。讨论讨论讨论讨论 理论力学39研究研究连杆连杆AB：（2）当）当 =90时，滑块时，滑块B的速度及连的速度及连杆杆AB的角速度为多少？的角速度为多少？P？该瞬时，连该瞬时，连杆杆AB的的速度瞬心速度瞬心速度瞬心速度瞬心P P在无穷远处，在无穷远处，A为基点，为基点，杆杆AB上任一点上任一点M的
18、速度的速度该瞬时该瞬时该瞬时该瞬时ABAB上各点的速度相等。上各点的速度相等。上各点的速度相等。上各点的速度相等。各点加速度是否相等各点加速度是否相等各点加速度是否相等各点加速度是否相等?该瞬时该瞬时该瞬时该瞬时图形上各点的速度分布如同图形作图形上各点的速度分布如同图形作故图形在故图形在该瞬时该瞬时该瞬时该瞬时的运动称为的运动称为瞬时平移瞬时平移瞬时平移瞬时平移。平移时的一样。平移时的一样。理论力学40确定速度瞬心位置的方法确定速度瞬心位置的方法（a）（b）（c）（d）已知已知A、B两点的速度方向，两点的速度方向，试确定速度瞬心的位置。试确定速度瞬心的位置。瞬时平移瞬时平移确定速度瞬心位置的方
19、法确定速度瞬心位置的方法已知已知A、B两点的速度方向，两点的速度方向，试确定速度瞬心的位置。试确定速度瞬心的位置。理论力学理论力学理论力学图形与固定面的接触点为速度瞬心图形与固定面的接触点为速度瞬心理论力学45例例:沿直线沿直线轨道轨道轨道轨道作纯滚动的车轮，其半径为作纯滚动的车轮，其半径为R，轮心的速度为，轮心的速度为u，求轮上求轮上A、B、C、D的速度。的速度。解：解：车轮与轨道的接触点车轮与轨道的接触点A为为速度瞬心速度瞬心。车轮的角速度为车轮的角速度为速度瞬心法的特点：速度瞬心法的特点：（1 1）计算简便；）计算简便；（2 2）直观解了平面运动图形上各点的速度分布）直观解了平面运动图形
20、上各点的速度分布。理论力学46 观察一种现象观察一种现象观察一种现象观察一种现象如何解释这种现象？如何解释这种现象？离车轮与地面的接触离车轮与地面的接触处处近近的钢丝看得较清楚，的钢丝看得较清楚，而离得而离得远远的钢丝则模糊不清，的钢丝则模糊不清，甚至看不见。甚至看不见。理论力学47理论力学48问题：问题：1：转弯时转弯时两个前轮的转角两个前轮的转角是否相同是否相同?2：车辆的转弯半径与哪些车辆的转弯半径与哪些因素有关？因素有关？Rb理论力学49理论力学50ABD例：例：已知已知AB杆杆A点的速度，点的速度，求杆求杆B端的速度、杆的角速端的速度、杆的角速度、杆中点度、杆中点D的速度和圆盘的速度
21、和圆盘的角速度。的角速度。解：解：1、研究、研究AB杆，杆，确定确定AB杆的速度瞬心杆的速度瞬心AB杆的速度瞬心在杆的速度瞬心在Cv点点2、研究圆盘、研究圆盘B，确定其速度瞬心，确定其速度瞬心圆盘圆盘B的速度瞬心在地面接触点的速度瞬心在地面接触点理论力学51行星齿轮机构行星齿轮机构理论力学52解：解：OA定轴转动定轴转动;轮轮A作平面运动作平面运动,瞬心瞬心P点点）(例例3 行星齿轮机构。已知行星齿轮机构。已知:R,r,o 。轮轮A作纯滚动，轮作纯滚动，轮O不动。不动。求求 。理论力学53例例4图图示示曲曲柄柄连连杆杆机机构构中中连连杆杆AB上上固固连连一一块块三三角角板板ABD，机机构构由由
22、曲曲柄柄O1A带带动动。已已知知曲曲柄柄的的角角速速度度为为 2 2rad/s，曲曲柄柄O1A=0.1m，水水平平距距离离O1O2=0.05m，AD=0.05m，当当O1AO1O2时时，ABO1O2，且且AD与与AO1在在同同一一直直线线上上，=30。试试求求三三角板角板ABD的角速度和点的角速度和点D的速度。的速度。解解：运运动动分分析析：O1A和和O2B作作定定轴轴转转动动；ABD作平面运动，其速度瞬心在点作平面运动，其速度瞬心在点C。C ABDO1O2ABDjvAvDvB 2理论力学54例例5 图示机构，已知曲柄图示机构，已知曲柄OA的角速度为的角速度为，角，角 =b b=60,OAAB
23、BO1O1Cr，求滑块，求滑块C的速度。的速度。解：解：AB和和BC作平面运动，作平面运动，其瞬心分别为其瞬心分别为P1和和P2点，则点，则 ABabOABO1CP1vAvBvCP2 BC理论力学55曲柄肘杆压床机构曲柄肘杆压床机构理论力学56解：连杆解：连杆AB作平面运动，瞬心在作平面运动，瞬心在P1点，则点，则例例6 曲曲柄柄肘肘杆杆式式压压床床如如图图。已已知知曲曲柄柄OA长长r以以匀匀角角速速度度 转转动动，AB=BC=BD=l，当当曲曲柄柄与与水水平平线线成成30角角时时，连连杆杆AB处处于于水水平平位位置置，而而肘肘杆杆DB与与铅铅垂垂线线也也成成30角角。试试求求图示位置时，杆图
24、示位置时，杆AB、BC的角速度以及冲头的角速度以及冲头C 的速度。的速度。vAvBvCAOBDC3030ABP2BC连杆连杆BC作平面运动，瞬心在作平面运动，瞬心在P2点，则点，则P1理论力学57AOBDC3030vAvBvCP1ABP2BC 特别提示特别提示 每个作平面运动的刚体在每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬心每一瞬时都有自己的速度瞬心和角速度，并且瞬心在刚体或和角速度，并且瞬心在刚体或其扩展部分上，不能认为瞬心其扩展部分上，不能认为瞬心在其他刚体上。在其他刚体上。例如例如,AB杆的杆的瞬心在瞬心在P1点，点，BC杆的瞬心在杆的瞬心在P2点，而且点，而且P1也不是也不是DB
25、杆上的点。杆上的点。理论力学58平面机构平面机构理论力学59解：杆解：杆OC,楔块楔块M作平移作平移,圆盘作平面运动，圆盘作平面运动，由由vA及及vO方位可确定方位可确定P为盘的速度瞬心。为盘的速度瞬心。）(例例7 平面机构中平面机构中,楔块楔块M:=30,v=12cm/s;盘盘:r=4cm,与与 楔块间无滑动。求圆盘的楔块间无滑动。求圆盘的 及轴及轴O的速度和的速度和B点速度。点速度。理论力学60 比较上述两图可以看出，不能认为圆轮只滚比较上述两图可以看出，不能认为圆轮只滚 不滑时，接触点就是瞬心，只有在接触面是不滑时，接触点就是瞬心，只有在接触面是 固定面时，圆轮上接触点才是速度瞬心。固定
26、面时，圆轮上接触点才是速度瞬心。理论力学61取取A为基点，将为基点，将平移坐标系平移坐标系固结于固结于A点点取取B动点，则动点，则B点的运动分解为点的运动分解为相对运相对运动为圆周运动和牵连运动为平移。动为圆周运动和牵连运动为平移。于是于是,由牵连平移时加速度合成定理可得如下公式。由牵连平移时加速度合成定理可得如下公式。一、一、基点法基点法 (合成法合成法)已知：图形已知：图形S 内一点内一点A 的加速度的加速度 和和 图形的图形的 ,（某一瞬时）。（某一瞬时）。求：该瞬时图形上任一点求：该瞬时图形上任一点B的加速度。的加速度。8-3 8-3 平面图形内点的加速度分析平面图形内点的加速度分析a
27、BaAaBABAaA 理论力学62 方向方向 AB，指向与指向与 一致。一致。即即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这。这种求解加速度的方法称为种求解加速度的方法称为基点法基点法，也称为，也称为合成法合成法。是求解。是求解平面图形内一点加速度的基本方法。平面图形内一点加速度的基本方法。BAaAaBaAaBAe方向沿方向沿AB，指向指向A点。点。理论力学63注注 一般情况下，对于加速度没有类似于速度投影定理一般情况下，对于加速度没有类似于速度
28、投影定理 的关系式。的关系式。即一般情况下即一般情况下,图形上任意两点图形上任意两点A,B的加速度的加速度 若某瞬时图形若某瞬时图形 =0,即瞬时平移即瞬时平移,则有则有 即即若平面图形在运动过程中某瞬时的角速度等于零，则该若平面图形在运动过程中某瞬时的角速度等于零，则该瞬时图形上任意两点的加速度在这两点连线上的投影相等瞬时图形上任意两点的加速度在这两点连线上的投影相等。上述公式是一平面矢量方程。需知其中六个要素，方能求上述公式是一平面矢量方程。需知其中六个要素，方能求出其余两个。由于方位总是已知，所以在使用该公式出其余两个。由于方位总是已知，所以在使用该公式中，只要再知道四个要素，即可解出问
29、题的待求量。中，只要再知道四个要素，即可解出问题的待求量。理论力学64 由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那样容易确定，且一般由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那样容易确定，且一般 情况下又不存在类似于速度投影定理的关系式，故常采用基情况下又不存在类似于速度投影定理的关系式，故常采用基 点法求图形上各点的加速度或图形的角加速度。点法求图形上各点的加速度或图形的角加速度。分析：分析：大小大小？2 方向方向？故应先求出故应先求出 。（）例例8 半径为半径为R的车轮沿直线作纯滚动的车轮沿直线作纯滚动,已知轮心已知轮心O点的速度点的速度及加速度及加速度 ,求车轮与轨道接触点求车轮与轨道接触点P的加速度。的
30、加速度。解：轮解：轮O作平面运动，作平面运动，P为速度瞬心，为速度瞬心，理论力学65由于由于 =vO/R在任何瞬时都成立，且在任何瞬时都成立，且O点作直线运动，故而点作直线运动，故而 由此看出，速度瞬心由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心。当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速加速度瞬心。当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心度瞬心P的加速度指向轮心。的加速度指向轮心。以以O为基点，有为基点，有 其中：其中：（）做出加速度矢量图，由图中看出：做出加速度矢量图，由图中看出：（与与 等值反向）等值反向）即即理论力学66解：解：(a)AB作平移
31、，作平移，例例9 已知已知O1A=O2B,图示瞬时图示瞬时 O1A/O2B 试问试问(a),(b)两种情况下两种情况下 1和和 2，1和和 2是否相等？是否相等？(a)(b)O1A与与O2B运动完全一致。运动完全一致。理论力学67(b)AB作平面运动作平面运动,图示瞬时作瞬时平移图示瞬时作瞬时平移,此时此时理论力学68理论力学69例例10 曲柄滚轮机构。滚子半径曲柄滚轮机构。滚子半径R=15cm，n=60 rpm求：当求：当 =60时时(OA AB),滚轮的滚轮的，。理论力学70解：解：OA定轴转动，定轴转动，AB杆和轮杆和轮B作平面运动作平面运动 研究研究AB：（）P为为AB杆的速度瞬心，杆
32、的速度瞬心，P2为滚轮的速度瞬心。为滚轮的速度瞬心。分析分析:要想求出滚轮的要想求出滚轮的 ，先要求出先要求出vB，aBP2P1vB理论力学71取取A为基点，为基点，指向指向O点点大小？方向 作加速度矢量图，将上式向作加速度矢量图，将上式向BA线上投影线上投影）(）(研究轮研究轮B：P2为其速度瞬心为其速度瞬心由由B指向指向A理论力学72vCvB45例例11 平面四连杆机构的尺寸和位置如图所示，如果杆平面四连杆机构的尺寸和位置如图所示，如果杆AB以以等角速度等角速度 =1 rad/s绕绕A轴转动，求轴转动，求C点的加速度。点的加速度。解解：AB和和CD作作定定轴轴转转动动，BC作作平平面面运运
33、动动，其其B、C两两点点的的运运动动轨轨迹迹已已知知为为圆圆周周，由由此此可可知知vB和和vC的的方方向向，分分别别作作vB和和vC两两个个速速度度矢矢量量的的垂垂线线得得交交点点O即即为为该该瞬瞬时时BC的的速速度度瞬瞬心心。由由几几何关系知何关系知 ABCD10010045O BC理论力学73aBABCD45取取B为基点分析为基点分析C点的加速度，有点的加速度，有 将将C点的加速度向点的加速度向BC方向投影得：方向投影得：负值表明实际方向与假设方向相反。负值表明实际方向与假设方向相反。aB理论力学74例例12 图图示示曲曲柄柄连连杆杆机机构构中中，已已知知曲曲柄柄OA长长0.2 m，连连杆
34、杆AB长长1m，OA以以匀匀角角速速度度 =10 rad/s绕绕O轴轴转转动动。求求图图示示位位置置滑滑块块B的加速度和的加速度和AB杆的角加速度。杆的角加速度。解：解：AB作平面运动，瞬心在作平面运动，瞬心在C点，则点，则vAO45A45BvBC AB理论力学75AB作平面运动，以作平面运动，以A点为基点，则点为基点，则B点的加速度为点的加速度为其中其中O45A45BaBaAa nBAa tBAaA将将B点加速度投影到点加速度投影到h h轴上得轴上得hx将将B点加速度投影到点加速度投影到 轴上得轴上得理论力学理论力学理论力学78解解：薄薄板板作作平平面面运运动动，取取B为为基基点点分析分析A
35、点的加速度如图所示：点的加速度如图所示：例例13 图示正方形薄板边长图示正方形薄板边长20 mm，在其平面内运动。某，在其平面内运动。某瞬时顶点瞬时顶点A和和B的加速度分别为的加速度分别为 和和 方向如图。求薄板的角速度和角加速度。方向如图。求薄板的角速度和角加速度。DCBAaBaAa nABa tABaB其中其中：理论力学79将等式两边分别向将等式两边分别向x和和y方向投影得：方向投影得：xyDCBAaBaAa nABa tABaB理论力学80再取再取B为基点分析为基点分析C点的加速度如图所示点的加速度如图所示将加速度分别向将加速度分别向x和和y方向投影得：方向投影得：其中其中方向与方向与C
36、D成成45夹角指向右下方。夹角指向右下方。DCBAxyaBaCaBa nCBa tCBaCxaCy理论力学81解解:OA定轴转动；定轴转动；AB，BC均作平面均作平面 运动，滑块运动，滑块B和和C均作平移。均作平移。求求对对AB杆应用速度投影定理：杆应用速度投影定理：对对BC杆应用速度投影定理：杆应用速度投影定理：例例14 配气机构中，配气机构中，OA=r,以等角速以等角速 o转动转动,在某瞬时在某瞬时 =60，AB BC,AB=6 r,BC=。求求 该瞬时滑块该瞬时滑块 C的速度和加速度。的速度和加速度。理论力学82求求以以A为基点求为基点求B点加速度：点加速度：(1)P1为为AB杆速度瞬心
37、，而杆速度瞬心，而作加速度矢量图作加速度矢量图,并沿并沿BA方向投影方向投影理论力学83作加速度矢量图作加速度矢量图,P2 为为BC的瞬心的瞬心,而而 P2C=9 r再以再以B为基点为基点,求求将将(b)式在式在BC方向线上投影方向线上投影注注 指向可假设，结果为正说明假设与实际指向相同，指向可假设，结果为正说明假设与实际指向相同，反之，结果为负，说明假设与实际指向相反。反之，结果为负，说明假设与实际指向相反。30理论力学84一、概念与内容一、概念与内容1.刚体平面运动的定义刚体平面运动的定义刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变。刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变。2
38、.刚体平面运动的简化刚体平面运动的简化可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形S在自身平在自身平 面内的运动代替刚体的整体运动。面内的运动代替刚体的整体运动。3.刚体平面运动的分解刚体平面运动的分解 分解为随基点的平移（平移规律与基点的选择有关）分解为随基点的平移（平移规律与基点的选择有关）与绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关）。与绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关）。4.基点基点可选择平面图形内任意一点，通常是运动状态已知的点。可选择平面图形内任意一点，通常是运动状态已知的点。第九章刚体平面运动习题课第九章刚体平面运动习题课理论力学855.速度
39、瞬心速度瞬心(瞬心瞬心)任一瞬时，平面图形或任一瞬时，平面图形或扩大部分扩大部分都唯一存在一个速度为零都唯一存在一个速度为零的点，的点，瞬心位置随时间改变，即瞬心位置随时间改变，即瞬心有加速度瞬心有加速度。每一瞬时平面图形的运动可视为绕该瞬时瞬心的转动。每一瞬时平面图形的运动可视为绕该瞬时瞬心的转动。这种瞬时绕瞬心的转动与定轴转动不同。这种瞬时绕瞬心的转动与定轴转动不同。瞬心位于无穷远处，瞬心位于无穷远处，=0。各点速度相同，。各点速度相同，刚体作瞬刚体作瞬时平移，瞬时平移与平移不同。时平移，瞬时平移与平移不同。6.刚体定轴转动和平面平移是刚体平面运动的特例刚体定轴转动和平面平移是刚体平面运动
40、的特例。7.求平面图形上任一点速度的方法求平面图形上任一点速度的方法 基点法：基点法：速度投影法：速度投影法：速度瞬心法：速度瞬心法：其中，基点法是最基本的公式，瞬心法是基点法的特例。其中，基点法是最基本的公式，瞬心法是基点法的特例。理论力学86 8.求平面图形上一点加速度的方法求平面图形上一点加速度的方法 基点法：基点法：，A为基点为基点,是最常用的方法是最常用的方法 此外，当此外，当 =0,瞬时平移时才可采用方法瞬时平移时才可采用方法 它是基点法在它是基点法在 =0时的特例。时的特例。9.平面运动方法与合成运动方法的应用条件平面运动方法与合成运动方法的应用条件 平面运动方法用于研究平面运动
41、方法用于研究一个平面运动刚体一个平面运动刚体上任意两点的速上任意两点的速 度、加速度之间的关系及任意一点的速度、加速度与图形度、加速度之间的关系及任意一点的速度、加速度与图形 角速度、角加速度之间的关系。角速度、角加速度之间的关系。合成运动方法常用来确定合成运动方法常用来确定两个相接触的物体两个相接触的物体在接触点处有在接触点处有 相对滑动时的运动关系的传递。相对滑动时的运动关系的传递。理论力学87二、解题步骤和要点二、解题步骤和要点 1.根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运动形式。注意每一次的研究对象只是一个刚体。的运动形式。注意每
42、一次的研究对象只是一个刚体。2.对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速度求解速度(图形角速度图形角速度)问题的方法问题的方法,用基点法求加速度用基点法求加速度(图形图形角加速度角加速度)。3.作速度分析和加速度分析，求出待求量。作速度分析和加速度分析，求出待求量。(基点法基点法:恰当选取基点，作速度平行四边形，加速度矢恰当选取基点，作速度平行四边形，加速度矢量图；量图；速度投影法速度投影法:只能求速度的大小，不能求出图形的只能求速度的大小，不能求出图形的 ;速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键。速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键。理论力学8
43、8例例1 导槽滑块机构导槽滑块机构理论力学89例例1 导槽滑块机构导槽滑块机构已知已知 曲柄曲柄OA=r,匀角速度匀角速度 转动转动,连杆连杆AB的中点的中点C处连接处连接 一滑块一滑块C可沿导槽可沿导槽O1D滑动滑动,AB=l,图示瞬时图示瞬时O,A,O1三三 点在同一水平线上点在同一水平线上,OA AB,AO1C=30。求：该瞬时求：该瞬时O1D的角速度。的角速度。解：解：OA,O1D均作定轴转动均作定轴转动,AB作平面运动作平面运动 研究研究AB:，图示位置，图示位置,作作瞬时平移瞬时平移,所以所以用合成运动方法用合成运动方法求求O1D杆上与滑块杆上与滑块C 接触的点的速度接触的点的速度
44、 动点动点:AB杆上杆上C(或滑块或滑块C),动系动系:O1D杆杆,静系静系:机架机架理论力学90绝对运动绝对运动：曲线运动，曲线运动，方向方向 相对运动相对运动：直线运动，直线运动，方向方向/O1D牵连运动牵连运动：定轴转动，定轴转动，方向方向 O1D根据，作速度平行四边形根据，作速度平行四边形（）这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论求解的综合性问题理论求解的综合性问题。理论力学91例例2 平面机构平面机构理论力学92解解:轮轮A,杆杆AB,杆杆BC均作平面运动均作平面运动,套筒套筒O作定轴转动作定轴转动,滑块滑块C平移。平移。取套
45、筒上取套筒上O点为点为动点动点,动系动系固结于固结于AB杆杆;静系静系固结于机架固结于机架,由于沿由于沿AB,所以方向沿所以方向沿AB并且与反向。并且与反向。从而确定了从而确定了AB杆上与杆上与O点接点接触点的速度方向。触点的速度方向。研究研究AB,由由vA及及ve的方向可确定的方向可确定P1为速度瞬心。为速度瞬心。例例2 平面机构图示瞬时平面机构图示瞬时O点在点在AB中点中点,=60,BC AB,已知已知O,C在同一水平线上在同一水平线上,AB=20cm,vA=16cm/s,试求该瞬时试求该瞬时AB杆杆,BC杆的角速杆的角速 度及滑块度及滑块C的速度。的速度。理论力学93同样也可以用同样也可
46、以用瞬心法求瞬心法求 BC和和vC。研究研究BC,以以B为基点为基点,根据根据作速度平行四边形作速度平行四边形）(（）理论力学94例例3 导槽滑块机构导槽滑块机构理论力学95解：解：应用点的合成运动方法确定应用点的合成运动方法确定CD杆上杆上C点与点与AE杆上接触杆上接触 点点C 之间的速度关系。之间的速度关系。取取CD杆上杆上C为动点，动系固结于为动点，动系固结于AE，静系固结于机架；则，静系固结于机架；则 (a)应用平面运动方法确定应用平面运动方法确定AE上上A、C 点之间速度关系点之间速度关系 (b)例例3 导槽滑块机构导槽滑块机构图示瞬时图示瞬时,杆杆AB速度，杆速度，杆CD速度速度
47、及及 角已知，且角已知，且AC=l,求导槽求导槽AE的角速度。的角速度。理论力学96将将(b)代入代入(a)得得 ,作速度矢量图投至作速度矢量图投至 轴，轴，且且vCv，vu，有，有（）8-5 8-5 运动学综合应用举例运动学综合应用举例1.1.运动学综合应用运动学综合应用 ：机构运动学分析。机构运动学分析。2.2.已知运动机构已知运动机构 未知运动机构未知运动机构 3.3.连接点运动学分析连接点运动学分析接触滑动接触滑动合成运动合成运动铰链连接铰链连接平面运动平面运动理论力学98 例例8-13 如如图图所所示示平平面面机机构构，滑滑块块B可可沿沿杆杆 OA滑滑动动。杆杆BE与与BD分分别别与
48、与套套筒筒B铰铰接接，BD杆杆可可沿沿水水平平导导轨轨运运动动。滑滑块块E以以匀匀速速v 沿沿铅铅直直导导轨轨向向上上运运动动，杆杆BE长长为为 。图图示示瞬瞬时时杆杆OA铅直，且与杆铅直，且与杆BE夹角为夹角为 。求该瞬时杆求该瞬时杆OA的角速度的角速度与与角加速度角加速度。09-29d理论力学99由由v及及vB方向可知此瞬时点方向可知此瞬时点O为为BE杆的杆的速度瞬心，所以有速度瞬心，所以有以以E为基点，为基点，B点的加速度为点的加速度为OEBDllOAvAvBaB 杆杆BE作平面运动，可先求出套筒作平面运动，可先求出套筒B的速度和加速度。套筒在的速度和加速度。套筒在OA杆上滑动，杆上滑动
49、，并带动杆并带动杆OA转动，可按点的合成转动，可按点的合成运动运动方法求解杆方法求解杆OA的角速度和加角速度。的角速度和加角速度。1.求求B点的速度。点的速度。2.求求B点的加速度。点的加速度。解：理论力学100沿沿BE方向投影上式，得方向投影上式，得从而求得从而求得OEBDllOAvAvBaB理论力学理论力学101于是得杆于是得杆OA的角速度的角速度式式中中va=vB；牵牵连连速速度度ve其其方方向向垂垂直直于于OA，因因此此与与va同同向向；相相对对速速度度vr沿沿OA杆，即垂直于杆，即垂直于va。显然有。显然有3.求求OA杆的角速度。杆的角速度。OEBDllOAvAvrveva a动系固
50、连于动系固连于OA杆。杆。动点滑块动点滑块B。定系固连机座。定系固连机座。（逆时针转向）（逆时针转向）理论力学理论力学102OEBDllOAvA故杆故杆OA的角加速度为的角加速度为aaOA4.求杆求杆OA的角加速度。的角加速度。应用加速度合成定理应用加速度合成定理则滑块则滑块B的牵连切向加速度为的牵连切向加速度为（顺时针转向）（顺时针转向）沿沿BD方向投影方向投影理论力学103 在在示示平平面面机机构构中中，AC杆杆在在导导轨轨中中以以匀匀速速v平平动动，通通过过铰铰链链A带带动动AB杆杆沿沿导导套套O运运动动，导导套套O与与杆杆AC的的距距离离为为l。图图示示瞬瞬时时AB杆杆与与AC杆杆的的