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1、1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。挠度用 y 表示。与 y 轴同向为正，反之为负。2.转角：横截面绕其中性轴转动的角度。转角用 表示，逆时针转向为正，反之为负。二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。挠曲线方程为：y=y(x)三、转角与挠曲线的关系：一、度量梁变形的两个基本位移量小变形FxyCC1y上节回顾材料力学挠曲线近似微分方程积分法求梁的变形：对挠曲线近似微分方程积分二次，应用 位移边界条件、连续光滑条件求积分常数。FxyCC1y上节回顾材料力学按叠加原理求梁的挠度与转角(叠加法)叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独作用于结构而引起的
2、变形的代数和。适用条件：线弹性、小变形上节回顾材料力学梁的刚度条件其中称为许用转角；y/L称为许用挠跨比。三种刚度计算问题：刚度校核、刚度设计、许可载荷梁的合理刚度设计上节回顾 选择合理截面、改善内力分配、合理选择材料材料力学简单超静定梁的求解（1）确定梁的超静定次数 根据待求未知力数目与独立平衡方程数目之差确定。(2)解除多余约束，并以相应的反力代替其作用，得静定基。(3)计算静定基在解除约束处的挠度或转角，并根据所解 除约束的变形协调关系和物理关系得到补充方程。(4)联立平衡方程和补充方程，求出未知反力。(5)未知反力求出后，可通过静定基计算原超静定梁的内 力，应力与位移。上节回顾材料力学
3、第六章 应力状态与强度理论材料力学低碳钢塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁应力状态/应力状态的概念及其描述材料力学铸铁 低碳钢为什么脆性材料扭转时沿45螺旋面断开？应力状态/应力状态的概念及其描述材料力学 重 要 结 论 不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；不仅要研究横截面上的应力，而且也要研究斜截面上的应力。应力状态/应力状态的概念及其描述材料力学轴向拉压同一横截面上各点应力相等：FF同一点在斜截面上时：应力状态/应力状态的概念及其描述材料力学 此例表明：即使同一点在不同方位截面上，它的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。应力状态/应力状态的概念及其描述材料力学 横截面上正应力
4、分析和切应力分析的结果表明：同一面上不同点的应力各不相同，此即应力的点的概念。应力状态/应力状态的概念及其描述平面弯曲材料力学 过一点不同方向面上应力的集合，称之为这一点的应力状态（State of the Stresses of a Given Point）。应 力哪一个面上？哪一点？哪一点？哪个方向面？指明应力状态/应力状态的概念及其描述材料力学1、应力的面的概念应力的三个重要的概念2、应力的点的概念3、应力状态的概念应力状态/应力状态的概念及其描述材料力学 单元体(微元)（Element）dx dy dz,0一点应力状态的描述应力状态/应力状态的概念及其描述dx dydz单元体构件内的点
5、的代表物，是包围被研究点的无限小的几何体，常用的是六面体。xyzs xsz s ytxy材料力学可以认为：1、各个面上的应力都是均布的；2、单元体每一对相互平行的两个面上应力大小相等，方向相反。若单元体各个面上的应力已知，由平衡条件即可确定任意方向面上的正应力和切应力。应力状态/应力状态的概念及其描述xyzs xsz s ytxy材料力学应力状态/应力状态的概念及其描述tzx例1 画出下列图中的A、B、C点的已知单元体。P PAAsxsxMPxyzBCsxsxBtxztxytyx材料力学应力状态/应力状态的概念及其描述主单元体、主面、主应力：主单元体(Principal bidy)：各侧面上切
6、应力均为零的单元体。主平面(Principal Plane)：切应力为零的截面。主应力(Principal Stress）：主平面上的正应力。主应力排列规定：按代数值大小，s1s2s3xyzsxsysz材料力学应力状态/应力状态的概念及其描述单向应力状态（Unidirectional State of Stress）：只有一个主应力不为零的应力状态。二向(平面)应力状态（Plane State of Stress）：只有一个主应力为零的应力状态。三向(空间)应力状态(ThreeDimensional State of Stress）：三个主应力都不为零的应力状态。AsxsxtzxsxsxBtx
7、zs1s2s3材料力学三向（空间）应力状态yxz(Three-Dimensional State of Stresses)应力状态/应力状态的概念及其描述垂直于x轴的截面上的正应力垂直于x轴的截面上的切应力，其方向平行于y轴材料力学(Plane State of Stresses)平面（二向）应力状态xy应力状态/应力状态的概念及其描述材料力学xyxy单向应力状态(One Dimensional State of Stresses)纯剪应力状态(Shearing State of Stresses)应力状态/应力状态的概念及其描述材料力学三向应力状态平面应力状态单向应力状态纯剪应力状态特例特例
8、应力状态/应力状态的概念及其描述材料力学F F示例一S面111应力状态/应力状态的概念及其描述材料力学1F FS面1n同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式.应力状态/应力状态的概念及其描述材料力学示例二：FPl/2l/2S面应力状态/应力状态的概念及其描述材料力学54321543211S面23应力状态/应力状态的概念及其描述材料力学示例三FPlaS应力状态/应力状态的概念及其描述材料力学xzy4321S面应力状态/应力状态的概念及其描述材料力学yxzMzFsyT4321143由 产生的切应力忽略。应力状态/应力状态的概念及其描述材料力学二、平面应力状态分析xy求垂直于xy平面的任意斜截面e
9、f上的应力。ef应力状态/平面应力状态分析材料力学拉为正压为负1、正应力正负号规则应力状态/平面应力状态分析材料力学 使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为负。切应力正负号规则应力状态/平面应力状态分析材料力学 由x正向逆时针转到n正向者为正；反之为负。yx 角正负号规则应力状态/平面应力状态分析材料力学 平衡对象用ef斜截面截取的微元局部2、利用截面法及微元局部的平衡方程dAnt ef应力状态/平面应力状态分析xyef材料力学参加平衡的量 应力乘以其作用的面积 平衡方程及dAcosdAsin应力状态/平面应力状态分析dAnt ef材料力学 s-cos)cos(dAx-s ydA(sin)s
10、indA s-t dA(cos)sinxy-t dA(sin)cosyx应力状态/平面应力状态分析dAcosdAsindAnt ef材料力学tdA-s xdA(cos)sin+t xydA(cos)cos+s ydA(sin)cos-t yxdA(sin)sin应力状态/平面应力状态分析dAcosdAsindAnt ef材料力学解得：用 斜截面截取，此截面上的应力为应力状态/平面应力状态分析材料力学因此即单元体两个相互垂直面上即单元体两个相互垂直面上的正应力之和是一个常数。的正应力之和是一个常数。即又一次证明了即又一次证明了切应力的互等定理切应力的互等定理。应力状态/平面应力状态分析材料力学x
11、-y坐标系xy坐标系xp-yp坐标系同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式：同一点的应力状态可以有各种各样的描述方式：应力状态/平面应力状态分析材料力学 三、应 力 圆（Mohrs Circle for StressesMohrs Circle for Stresses）1、应力圆方程将前面所得的关于将前面所得的关于 和和 的方程写成的方程写成应力状态/应力圆材料力学Rc应 力 圆（Mohr Mohr 圆）圆）应力状态/应力圆材料力学 在s-坐标系中，标定与微元垂直的A、D面上 应力对应的点a和d 连ad交 轴于c点，c即为圆心，cd为应力圆半径。ADa(sx,txy)d(sy,tyx)cR
12、2.应力圆的画法应力状态/应力圆材料力学r 点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向上的正应力和切应力3、几种对应关系caA应力状态/应力圆材料力学yxq转向对应半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；CaAa2 q二倍角对应半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。应力状态/应力圆材料力学sxsxADtsodacxyy45 x245245beBE44、基本变形的应力状态、基本变形的应力状态单向拉伸单向拉伸应力状态/应力圆材料力学单向拉伸单向拉伸xyBEsxsxsxtxytyxsyBE应力状态/应力圆材料力学可见：45 方向面既有正应力又有切应力，但正应力不是最大值，切应力却最大。应力状态/
13、应力圆材料力学ttotsa(0,t)d(0,-t)ADbec245245sytsxtBE纯剪切纯剪切应力状态/应力圆材料力学sxtsytBEttBE纯剪切纯剪切应力状态/应力圆材料力学结果表明：45 方向面只有正应力没有切应力，而且正应力为最大值。应力状态/应力圆材料力学四、平面应力状态的极值与主应力（一）主平面、主应力与主方向txysxsytyxtsoc2padAD主平面（Principal Plane Principal Plane）：）：t=0,=0,与应力圆上和横轴交点对应的面与应力圆上和横轴交点对应的面应力状态/应力圆材料力学tsotso主应力（Principal Stresses
14、Principal Stresses）：）：主平面上的正应力主平面上的正应力应力状态/应力圆材料力学txysxsytyxAD主应力的确定tsoc2pad应力状态/应力圆材料力学主应力表达式应力状态/应力圆材料力学 主应力排序：s1s2 s3tsoc2padtsotso应力状态/应力圆材料力学txysxsytyxADtsoc2pads s1 1 s s2 2s s1 1s s1 1ps s2 2s s2 2(sx,txy)主方向的确定 负号表示从主应力的正方向 负号表示从主应力的正方向到 到x x轴的正方向为顺时转向 轴的正方向为顺时转向应力状态/应力圆材料力学 对应应力圆上的最高点的面上切应力
15、最大，称为“面内最大切应力”。tsotmaxc（二）面内最大切应力应力状态/应力圆材料力学例1：一点处的平面应力状态如图所示。已知 试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；（3）绘出主应力单元体。应力状态/应力圆材料力学解：（1）斜面上的应力应力状态/应力圆（一）、解析法材料力学（2）主应力、主平面应力状态/应力圆材料力学主平面的方位：哪个主应力对应于哪一个主方向，可以采用以下方法：应力状态/应力圆材料力学主应力 的方向：主应力 的方向：+应力状态/应力圆材料力学主应力单元体：应力状态/应力圆材料力学（二）、图解法otscdfe应力状态/应力圆材料力学例2：一点处的平面应力状态如图所示。
16、已知 求（1）主应力；（2）绘出主应力单元体。120otsCa120D解：（1）作应力圆应力状态/应力圆材料力学（2）根据应力圆的几何关系确定主应力120otsa120b半径因此主应力为：应力状态/应力圆材料力学（3）绘出主应力单元体。120otsa120bCDs1s2s2s1应力状态/应力圆材料力学分析：分析：11、本题亦可用解析法求解。、本题亦可用解析法求解。22、在某些情况下，单元体可以不取立方体，如平面应、在某些情况下，单元体可以不取立方体，如平面应 力状态问题，零应力面可以取矩形、三角形等，只要力状态问题，零应力面可以取矩形、三角形等，只要 已知和零应力面垂直的任意两个面上的应力，就
17、可以已知和零应力面垂直的任意两个面上的应力，就可以 求出其它任意斜截面上的应力以及主应力。例如：求出其它任意斜截面上的应力以及主应力。例如：应力状态/应力圆CD材料力学44、一点处的应力状态有不同的表示方法，而用、一点处的应力状态有不同的表示方法，而用主应力表示最为重要。主应力表示最为重要。otsa应力状态/应力圆材料力学应力状态的分类:1、单向应力状态：三个主应力中，仅一个不为零的应力状态2、二向（平面）应力状态：三个主应力中，两个不为零的应力状态；3、三向（空间）应力状态：三个主应力均不为零的应力状态；复杂应力状态13 3应力状态/应力圆材料力学五、三向应力状态的概念m 三向应力状态三个主
18、应力均不为零的应力状态；m 特例三个主应力中至少有一个及其主方向是已知的。据此，平面应力状态即为三向应力状态的特例。定 义应力状态/三向应力状态的概念材料力学szsxsytxytyx至少有一个主应力及其主方向已知sytxytyxsxsz三向应力状态特例的一般情形应力状态/三向应力状态的概念材料力学s1s2s3 三向应力状态 的应力圆应力状态/三向应力状态的概念材料力学tsIIIIIIs3s2s1I平行于s1的方向面其上之应力与s1无关，于是由s2、s3可作出应力圆 I平行于s2的方向面其上之应力与s2无关，于是由s1、s3可作出应力圆 II平行于s3的方向面其上之应力与s3无关，于是由s1、s
19、2可作出应力圆 IIIIIs2s1 s3s3IIIs2s1s s1 1 s s2 2s s3 3应力状态/三向应力状态的概念材料力学s1s2s3IIIIIIs s1 1s s2 2s s3 3ts 在在-平面内，代表任意斜截面的应力的点或位于平面内，代表任意斜截面的应力的点或位于应力圆上，或位于三个应力圆所构成的区域内。应力圆上，或位于三个应力圆所构成的区域内。应力状态/三向应力状态的概念材料力学zpypxpIIIIIIs1s2s3 sxtxttt tmax=s1s2s3s2s1s2s3s1s3s2s1s2s3s1s3s1s3s2s3s2s1 在三组特殊方向面中都有各自的面内最大切应力,即：应力状态/三向应力状态的概念材料力学 三向应力状态中（方向与 及 成45角）应力状态/三向应力状态的概念材料力学20030050otmax 平面应力状态作为三向应力状态的特例应力状态/三向应力状态的概念材料力学20050O30050应力状态/三向应力状态的概念材料力学30050O应力状态/三向应力状态的概念材料力学(1)(2)排序确定(3)平面应力状态特点：作为三向应力状态的特例应力状态/三向应力状态的概念材料力学